Nouvelle mecanique ou Statique : dont le projet fut donné en MDCLXXXVII

"Wt

1

(§■

\

i mmm

ï

NOUVELLE

ov

STATIQUE.

DONT LE PROJET EUT DONNE

EN M. DC. L XXX VU.

Ouvrage foflhume de M. VARIGNON, des Académies
Royales des Sciences de France } d'Angleterre & de PruJJe 5
Lecleur du Roy en Philofophie au College 2 Royal , iS Pro »
feffeur des .Mathématiques au College Mayarin.

TOME PREMIER.

M. DOC XXV.

Avec Approbation & Privilège du Roy,

AVERTISSEMENT.

Es que M. Vmgnon eut découvert que les
mouvemens compofez expliquoient avec
'«ne grande facilité l’emploi des forces dans les
Machines 5 qu’ils donnoient exa élément les rap-
ports de ces forces , félon quelque direélion qu’on
les y fupposât placées , avantage qui manquoit
aux méthodes que l’on avoit fuivies avant lui : il
s’attacha à en faire l’application aux Machines
Amples j 8 c en 1 ta S y . dans XHifloire de la Républi-
que des Lettres , il donna un Mémoire fur les Pou-
lies à moufles , dans lequel il fe fervoit des mou-
;vemens compofez pour déterminer tout ce que
l’on peut defirer fur cette efpéce de Machine.

En 1687. il publia fon Projet d'une Nouvelle Mé-
.canujue. Cet Ouvrage entièrement fondé fur la
compofition des mouvemens , ne contenoit de
principes que ce qu’il en falloit à ceux qui pofle-
Soient déjà cette Science. Aufli ne le rendoit-ii
^public que pour fçavoir le fentiment des Géomè-
tres far ce nouveau Syftême. Le jugement qu’ils
en ont porté ,, l’a engagé à en faire un Traité com-
plet. de Mécanique, qui lervît à apprendre cette
;Science à fonds. Il y travailloit encore lorfqu il
eft mort. Il ne lui reftoi.t qu’à mettre dans l’ordre
qui convenoit à tout l’ouvrage , les Problèmes qui
en dévoient être la demiere partie.

M. de Fontenelle à qui M. Vangnon a légué fes pa-
piers,, a remis ce Traité à M .-de Bemj\t de l’Aca-

'avertissement:

demie Royale des Sciences , qui s’eft chargé d&
foin de l’Edition avec M. l’Abbé Camus. Tout élit
ici' tel que l’Auteur l’a faille. Il n’y, a que les Pro-
blèmes , qui étant- demeurez iân-s ordre , ont été' 1
arrangez comme on a pu juger qu’ils Teulfent, été: '
paî M. Varignon lui- me me.

On a- a jouté 'deux- petite-Traitez qui dépendent''
de la Mécanique, &~quiétoientdignes d’être confer—
vez. Le premier regarde la Machine fans frotte—
mens-, dont parle M. Perrault dans fon Commentaire'
furVitruik. L’ânaiÿfe que M. Varigname n fait , indi- -
quera la maniéré dont on doit juger des autres
Machines , en y appliquant la méthode- des mou-
vemens-compoféz;

Le fécond Traité eflf l’Examen de fopinion de •
M. Borelü fur les Poids fulpendus à des cordes 5011 Lee
donne comme M. VarignonXwoix. mis à la fuite de -
fon Projet de Mécanique j-à cela prés que quelques--'
unes des proportions de cet Examen fe trouvant :
déjà dansde corps de l’Ouvrage , r on s’efb contenté .*
de les citer;

On a crû devoir conferver FEpitre Dêdicatoire à’t
Meflieurs de l’Académie Royale des Sciences , & la 1
Préface qui étoient à là tête du Projet de cette Mé-
canique, l’Auteur- n en ayant point compofé d’au-'
très : enfin on y a joint l’Eloge de ce grand Géo-
mètre par le Secrétaire de l’Académie.,

Dans la fuite on donnera au- Public -tout ce que
l’on trouvera de M. Vangnm en-état de lui être don-
né. On commencera par fon commeree de Lettres
fameux

avec lés pl

Mathématiciens de l’Europe^-

A MESSIEURS

ROYALE

D E S S C I E N C E S«

Je n ai pas cru devoir expofer au jugement du PuPtm
ce - Projet J me Nouvelle Mécanique } fans \'appu)ey-

E P I T R E.

d'une au (fi grande autorité que la votre y moi qui niai
encore aucun nom dans les Lettres y id qui dois par
confequent me défier de ces premiers mouvemens que
l'amour des Sciences infpire a ceux qui commencent a
s y appliquer . Sans cela on pourrait jujlement maccufer
de quelque témérité y d'avoir entrepris de découvrir dans
cette matière ce que tant de fçavans Auteurs dont pas
découvert ) & je craindrois de métré laiffé tromper par
ces illujions flateufes de la nouveauté y qui abufent
d ordinaire les hommes , lorfquils fe piquent d'avoir
des opinions particulières. Je puis dire néanmoins y
Messieurs ; que ce défi pas l'ambition de me
fignoler par des idées extraordinaires qui m'a pouffé â
écrire ce petit Traité j ceft un effai que fai voulu faire
de mes forces pour être connu de vous y & pour vous
donner occafim de ni encourager dans l'étude que fai
■embrajfée. Si je n'ai pas tout ce qui efi neceffaire pour
inf mire les autres , y fai du moins toute la docilité qu'il
faut pour être inflruit je ne me flatte point aufli
d'avoir établi des principes certains dans ce Projet , ni
d en pouvoir tirer des confequences infaillibles. Vous en
jugereg mieux que perfonne y Mess i eu iis , vous
qui pénetregf avant dans les Sciences les plus relevées-
On fait que rien d échappe a vos foins & à pofre
Pxaüitude. La Nature fi avare aux autres de fis tréfors y
(fi fi obfijflee à fe cacher } da pu fe défendre contre la

W-

E P I T R JS;

pénétration de votre efiprit y & contre lafubtilité de vos
recherches : Vous en ave^plus découvert en vingt ans. r
pu on n avait fait en plufieurs fiecles. Vos Ohfervations
Afironomtques ont dévoilé ( pour a 'mfi dire ) des Planettes
qui, fi dérobaient à nos jeux ; vos mefures fi précifer
fur la terre , par rapport a celles que vous preniez en
meme tems dans le Ciel 7 ont rectifié mille drreurs de
nos. anciens Géographes La Phyfique vous doit ce
quelle a de plus curieux y f it dans la dijfeCtion du-
Corps humain LT des Animaux , fit dans la defcnption
aV dans l’analyfe des Plantes x des- Eaux & des
Minéraux. Que ne vous doivent- point aujfi les Ma-
thématiques en général pour tant di Ouvrages célébrés
que vous ave^ mis au jour f Enfin il ri y a. point dé-
ficience que vous n ayeg perfectionnée ; & que vous «
ti enrichi fie^ de tems en terris par vos travaux . Que
n dttend-i on pas encore de vous , animeg comme vous
êtes par les bienfaits d’un Grand Roy , qui veut rendre
fin Régné aujji glorieux par les Sciences & par les
Arts y quil l’efi déjà par fis prodigieufis Conquêtes r &
fes héroïques aidions. ? A quoi ne deve^-vous pas afpirer
vous-mêmes aujourd’hui fous la protection d-un Mmifire
fi fiige & fi vigilant j qui excite tout le monde par fies
ordres Et par fini exemple à illufirer & P célébrer
un Régné Jî plein de merveilles ? Soufjre^ donc y ■
Me s s i e URSj. s’il vous plaît ? vous quiïkes comme'

WP 1 T R E.

J da four ce de toutes les Sciences humaines , ù* a qui
rtien ne manque pour continuer vos recherches } & pour
.■augmenter vos xonnoiffances , que fofe vous offrir iy
mettre au jour ce que f ai puifé dans cette fource y & i
quen effayant de vous fuivre i 'y de vous imiter , je
puiffe quelquefois profiter de vos lumières , .(y vous
r qffûrer que je fuis avec me parfaite vénération t

MESSIEURS ,

lustre très-humble & très-
jpbéïflant feryiteur ,

V A III G N O N.

jP&EFÀC&

-3t fi

PREFACE-

L'ouverture du fécond Tome des Let-
tres de M. Defcartes , je tombai fur un
endroit de la 24. où il dit que ceft me
chofe ridicule , que de vouloir employer la rai -
fon du Levier dam la Poulie. Cette réflexion m’en
fit faire une autre } fçavoir , s’il eft plus raifonna-
ble de s’imaginer un Levier dans un poids qui efl;
fur un plan incliné , que dans une Poulie. Après
y avoir penfé , il me fembla que ces deux Machi-
nes étant pour le moins aufli Amples que le Le-
vier , elles n’en dévoient avoir aucune dépendan-
ce, Sc que ceux qui les y rapportoient , n’y étoient
forcez , que parce que leurs principes n’avoient
pas allez.. d’étendue pour en pouvoir démontrer
les proprietez indépendamment les unes des au-
tres.

Eli effet en examinant ces principes un peu de
près , il me parut qu’ils ne pouvoient fervir tout
au plus qu’à dé montrer cqut l équilibre fe trouve tou-
jours dans un Levier auquel jont applique^ deux poids
qui font entreux en raijon réciproque des dijlances de
leurs lignes de dire&ion a fon point d appui > encore
n’étoit-ce qu’en ce cas : i°. Que ce Levier fut droit.
2 0 . Que fon point d'appui fut entre les lignes de direction
des poids qui y font applique 3 0 . Que ces yjfncs lignes
T ome I. m é

P P E F A CE .

fuffent parallèles entr elles , & perpendiculaires A ce-
Levier, Audi Guid-Ubalde , 6c les autres qui s’en,
tiennent à la démonftration d’Archimé.de , ont-
ils été obligez de faire revenir de gré ou de force
toutes- fortes de Machines à cette efpece de Le-
vier, 8c de réduire de même., tous, les. autres cas à.
celui- ch

C’eft peut-être ce qui a porté M. Defcartes 8c.
M. "Wallis à prendre une autre route. Quoiqu’il
en foit,.ce n’a pas été fans fiuccèsj puifque celle,
qu’ils ont fuivie , conduit également à la connoiD
fance des ufages de chacune, de ces Machines
fans être obligé de les faire dépendre l’une de
l’-autrej outre qu’elle a mené. M. Wallis beaucoup
plus loin qu’aucun Auteur , que je fçache , n’eut.:
encore été de ce coté- là.,

La comparaifon que je fis de ces deux fortes
de Principes, me fit fentir que ceux d’ Archimède.,
n’étoient ni fi étendus , ni fi convainquans que.
ceux de, M . 1 Defcartes 8c de M, Wallis 5 mais je.
ne fends point que les uns ni les autres m’éclai-
ralfent beaucoup. J’en cherchai la raifon , 8z ce
défaut me parut venir- de ce que ces Auteurs fe
font tous plus attachez à prouver la necelfité de;
l’équilibre, qu’à montrer la maniéré dont il fe fait...

Ce fut ce qui me fit prendre le parti d’épier
moi-même la nature , 8c d’effayer fi en la fuivant ;
pas à pas , .je ne pourrois point appercevoir coitk-
ment . elle j y prend , pour faire que deux puiD -
fiances , ij t égales , ou inégales , demeurent ea;

PR E FA C E

équilibré. Enfin je m’appliquai à chercher 1 équi-
libré lui-même dans fa fource , ou pour mieux
dire , dans fa génération.

Le premier objet qui me vint à îefprit , ce fut
?un poids qu’une puiffance foutient fur un plan
incliné. D’abord je me le reprefentai de telle fi-
gure que le concours de fa ligne de direction avec
celle de cette puiffance , fe fit dans quelqu’un
de fes points. De-là je vis auffi que leur concours
d’aélion fe faifant auffi par ce moyen dans ce
feul point, il devenoit alors fon centre de dire-
élion : de forte que fi ce plan eut manqué tout
d’un coup , ce corps auroit neceffairement fuivi
l’impreffion de ce point. Je cherchai enfuite
quelle devoit être cette impreffion , St j’apperçus
que celles que faifoient fur ce point ? St la pefan-
teur de ce poids, St la puiffance qui le retenoit ,
étant les mêmes que s’il eût été pouffé en même
tems par deux forces qui leur euffent été égales ,
êt qui euffent agi fuivant leurs lignes de direétion,
J’apperçûs , dis-je , qu’il lui en réfultoit une im-
preflion compofée fuivant une ligne qui étoit la
diagonale d’un parallélogramme fait fous des par-
ties de ces lignes de direélion , qui étoient en-
tr’elies comme ce poids St cette puiffance. D’oû
je vis que fimprelfion de ce corps fe faifoit alors
fuivant cette diagonale , qui devenoit en ce cas
fa ligne de direélion 5 mais c
perpendiculairement oppofé
te entière ; ce qui faifoit que

jue ce plan lui étant
, il la fo|kenoit tou-

ce poids ^jjnfi pouffé
éij

PREFACE'.

par le concours d’aétion de fa pefanteur 8c de là
puiffance qui lui étoit appliquée , demeuroit fut
ce plan incliné de même que s’il eût été horifon-
tal , 8c que cette impreffion compofée n’eût été
qu’un effet de fa pefanteur,

l>e cette penfée j’en vis n’aitre pluf;eurs au-
tres , 8c je m’apperpûs , i°. Que toute l’impreffiom
que ce plan recevoit alors de ce poids ainfi foû~
tenu par cette puiffance , fe faifoit fuivant cette
diagonale. i.°. Que fa charge c’eft- à-dire , la for-
ce de cette même impreffion , écoit à ce poids 8c
à cette puiffance , comme cette même diagonale-
à chacun des cotez qui les repréfentent dans fon
parallélogramme.. 3 0 . Que ce poids 8c cette puif-
lance étoient toûjours entr’eux comme ces mê-
mes cotez, c’eft- à-dire , en raifon réciproque des
finus des angles que font , leurs lignes de direc-
tion avec cette diagonale y ou ( ce qui reviens
au même ) en raifon réciproque des diftances de
quelque point que ce foit de cette diagonale à
leurs lignes de direélion. Je vis enfin prefque
tout à la fois.quantité de chofes toutes nouvelles y
qu’on verra dans les Corollaires de la Propofition
des Surfaces.

Après- avoir ainft trouvé la maniéré dont Té*
quilibre fè fait fur des plans inclinez, je cherchai
par le. même chemin comment, des poids foû-
tenus avec des cordes feulement , omappliques
à: des Pouces ,. ou. bien à des Leviers, font équi-
libre enc/tux ,0 travée les puiffançes. qui. les fou?-

PREFACE.

tiennent j 8c j’apperçùs de même que tout cela fe
faifoit encore par la voye des mouvemens com-
pofez, 8c avec tant d’uniformité, que je ne pus
m’empêcher de croire que cette voye ne fut vé-
ritablement celle que fuit la nature dans le con 5 *
cours d’aéfion de deux poids ou de deux puiflan-
ces, en faifant que leurs impreffions particulières,
quelque proportion quelles ayent , fe confondent
en une feule , qui fe décharge toute entière fur le
point où fe fait cet équilibre rde forte que la raifon
Phyfique des effets qu’on admire le plus dans les
Machines-, me parut être juftement celle des mou-
vemens compofez;

Je me démontrai d’abord par cette méthode.,
8c fins le fecours d’aucune Machine, les proprie-
tez des poids fufpendus avec des cordes , en quel-
que nombre qu’elles foient , 8c pour tous^ les an-
gles pofïibles quelles peuvent faire entr elles. De-
là je paffai à une démonftration des Poulies, qui'
comprend toutes- les direéfions poffibles des pu-if*
fances ou des poids qui y font appliquez , foit que
le centre de ces Poulies demeure fixe ,..foit qu’oiï
le fuppofe mobile. Enfuite au lieu de' la démon-
ftration qu’on ne fait ordinairement que pour les
plans inclinez , j’en- trouvai une qui s’étend géné-
ralement à toutes fortes de- furfaces- , & à toutes
les direélions poffibles des puilfances ou des- poids-
qui y font appliquez. Enfin d’une feule démonftta-
tion je découvris les proprietez de td^tes- les ef~
geces-de Leviers,- de quelque-figure ,.{&%ansqu.eD-

PREFACE.

<que fituation qu’ils foient r & pouf toutes les di-
jreélions poffibles des puiffances ou des poids qui
y font appliquez.

Des ,vûës fi étendues me furprirent5& leviden-
ce avec laquelle le détail de tout cela me paroif-
foit , indépendamment même du général , me
.confirma encore dans l’opinion où j’etois , qu’l
faut entrer dans la génération de l’équilibre, pour
y voir en foi , & pour y reconnoître les propriétés
que tous les autres Principes ne prouvent tout au
plus que par néceflité de confequence.

Il y a encore un avantage dans la route que je
tiens, c’efl quelle facilite extrêmement le calcul
des forces, tant des poids que des puifîances , en
ce que leurs rapports y font toujours déterminez
immédiatement parlesfmus des angles que font
leurs lignes de direction avec celle de l’impreffion
•qui réfulte de leur concours d’aélion , <& que cette
méthode détermine pour le point où elles con-
courent. On y voit que lorfque deux puiffances
ou deux poids , ou bien une puiffance & un poids
font équilibre foit avec des cordes feulement ,
foit à l’aide de quelque Poulie , de quelque Sur-
face , ou de quelque Levier que ce foit , ils font
toujours entr’eux en raifon réciproque des finus
de ces mêmes angles.

J’avois deffein d’expliquer avec cette méthode
les effets les plus furprenans & les plus difficiles des
M a c hi n e s/£ om p o fé es que l’on rencontre dans les
§c d/j's la nature 7 mais pela demandoit plus

%

F REVA CE.

de loilîr , & même un plus grand nombre d’expe-
riences que l’état de ma fortune ne me peut per-
mettre c’eft pour cela que je me fuis déterminé
à ne. donner préfentem'ent que les Proposions
fondamentales- de la Mécanique. Peut-être que
de plus habiles gens que moi , 6t qui feront plus
en état, de faire cette entreprife ? voudront bien
fe donner la peine d’en faire l’application à la
Phyfique.

Mais en attendant je ne îàiflerai pas d’amallcr
tout ce que je pourrai d’ expériences pour ce def-
fein : c’eft pourquoi je prie ceux qui n’auront: pas
en vûë d’y travailler , de vouloir bien me com-
muniquer celles qu’ils croiront s’y pouvoir rap-
porter } & fur-tout de me faire part de tout ce.
qui leur viendra de difficultez ou de lumières fur
les principes qu’on propofe ici , leur promettant
d’en ufer avec toute la docilité d’un hon^ne quiî
ne.cherche que la vérité..

ELOGE

D Ê M. V A R I G N 0 M

P ierre Varignon naquit à -Caen en 1 6 5 4. d’un Archi-
tecte Entrepreneur , dont la fortune était fort médio-
cre. Il avoit deux frer.es., qui fuiyirent la profdlion du
pere, & il étudia pour être Ecclefiaffique.

Au milieu de cette éducation commune , quton donne
aux jeunes gens dans les Colleges , tout ce - qui peut les
occuper un jour plus particulièrement vient par diffé-
rais hasards £e prefenter à leurs yeux j & s’ils ont quel-
que inclination naturelle bien déterminée , .elle ne man-
que pas de faifir fon objet , dès quelle Je rencontre.
Comme les Architectes , 8c quelquefois les Amples Ma-
çons, fçavent faire des Cadrans , M. Varignon en vit
tracer de bonne heure, 8c ne le vit pas indifféremment.
Il en apprit la pratique la plus grofliere , qui étoit tout
ce qu’il pouvoir apprendre de les Maîtres, mais il foup-
.çonnoit que tout cela dépendoit de quelque Théorie gé-
nérale , foupçon qui ne fervoit qu’à l’inquiéter, 8c à le
tourmenter jans fruit,. Un jour , pendant qu’il étoit en
Philo.fophie aux Jefuites de-Caën , feuilletant par amufe-
; ment différais Livres dans la boutique d’un Libraire, il
.tomba fur un Euclide , 8c en lut les premières pages , qui
je charmèrent non feulement, par lordre 8c l’enchaîne-
ment des idées.,, mais encore par la facilité qu’il fefentjt
à y entrer. Comment l’efprit humain n’aimeroit-il pas
.ce qui lui rend témoignage de fes talens ï Il emporta
l’Euclide chez lui , 8c en fut toujours plus charmé par
les mêmes raifons. L’incertitude éternelle , Lembarras
: Sophiftiqi$ , l’obfcurité inutile , 8c quelquefois affectée
de la Ph| t /fophie des Ecoles , aidèrent encore à lui faire
• f ' ' goûter

DE M. Varignon.

goûter la clarté, la liaifon, la fureté des veritez géomé-
triques. La Géométrie le conduifit aux ouvrages deDef-
cartes , & il y fut frappé de cette nouvelle lumière , qui
de-là sert répandue dans tout le Monde penfant. Il pre-
noit fur les neceffitez abfoluës de la vie dequoi acheter
des Livres de cette efpece , ou plutôt il les mettoit au
nombre desneceffitez abfoluës 3 il falloir même, & cela
pouvoir encore irriter la paffion , qu’il ne les étudiât
qu’en fecret j car fes parens qui s’appercevoient bien que
ce n’étoient pas-là les Livres ordinaires dont les autres
faifoient ufage , defapprouvoient beaucoup , &: traver-
saient de tout leur pouvoir l’application qu’il y donnoit.
Il paffa en Théologie , &; quoique l’importance des ma-
tières , & la neceffité dont elles font pour un Ecclefiafti-
que , le fixalfent davantage , fa paffion dominante ne leur
fut pas entièrement facrifiée.

Il alloit fouvent difputer à des Thefes dans les Claffies
de Philofophie , & il brilloit fort par fa qualité de bon
argumenteur , à laquelle concouroient & le caractère
de fon efprit , &: fa conftitution corporelle , beaucoup
de force & de netteté de raifonnement d’un côté , & de
l’autre une excellente poitrine , & 'une voix éclatante.
Ce. fut alors que M. l’Abbé de S. Pierre qui étudioit en
Philofophie dans le même College , le connut. Un goût
commun pour leschofes de raifonnement, foitPhyfiques,
foit Métaphyfiques , & des difputes continuelles , furent
le lien de leur amitié. Ils avoient befoin l’un de l’autre
pour approfondir , & pours’aflurer que tout étoit vu dans
un fujet. Leurs caractères dilferens faifoient un aiforti-
ment complet & heureux , l’un par une certaine vigueur
d’idées , par une vivacité féconde , par une fougue de
raifon 3 l’autre par une analyfe fubtile , par une preci-
fion ferüpuleufe , par une fage & ingenieufe lenteur à
difcuter tout.

M. l’Abbé de S. Pierre pour joiiir plus à fon aife de
M. Varignon , le logea avec lui 3 & enfin t^ûjours plus
couché de fon mérité , il réfolut de lui faire u% fortune,
T orne I. | % 1

Eloge

qui le mît en état de fuivre pleinement fes talens Sc fort ,
génie. Cependant cet Abbé , cadet de Normandie, n’a-
voit que 1800 liv. de rente j il en détacha 300 qu’il
donna par Contrat à M. Varignon. Ce peu qui étoit.
beaucoup par rapport au bien du Donateur , étoit beau-
coup auliî par rapport aux befoins 8c aux deiirs du Do-
nataire. L’un fe trouva riche , 8c l’autre encore plus d’a-
voir enrichi fon ami.

L’Abbé perfuadé qu’il n’y avoit point de meilleur fé- -
jour que Paris pour des Philofophes raifonnables- , vint
en 1686. s’v établir avec M. Varignon dans une petite
maifon du Fauxbourg Saint Jacques. Là ils penfoient
chacun de fon côté , car ils n’étoient plus tant en commu-
nauté de penfées 5 l’Abbé revenu des fubtilitez inutiles 8 c
fatigantes , s’étoit tourné principalement du côté des re-
flexions fur l’Homme , fur les mœurs 8 c fur les principes
du gouvernement. M. Varignon s’étoit totalement en-
foncé dans les Mathématiques. J’étoisleur compatriote.,
8 c allois les voir alfez fouvent , 8 c quelquefois palTer deux
ou trois jours avec eux -, il y avoit encore de. la place
pour un furvenant , 8 c même pour un fécond forti de la
même Province, aujourd’hui l’un des principaux. Mem-
bres de l’Académie des Belles Lettres , 8 c fameux par les.
Hiftoires qui ont paru de lui. Nous nous ralfembiions
avec un extrême plaifir , jeunes , pleins de la première
ardeur de fçavoir , fort unis , 8 c ,. ce que nous ne comp-
tions peut-être pas alors pour un allez grand bien , peu
connus. Nous parlions à nous quatre une bonne partie
des differentes Langues de l’Empire des Lettres , 8 c tous;
les Sujets de cette petite focieté fe font difperfez de-là
dans toutes les Académies.

M. Varignon , dont la conftitution étoit robufte , au
moins dans fa jeuneffe , paffoit les journées entières au
travail : nul divertiflêment , nulle récréation , tout au plus
quelque promenade à laquelle fa raifon le forçoit dans
les beaux jpiurs. Je lui ai oiii dire que travaillant après
fouper ltL'in fa coutume , il étoit fouvent furpris par des

DE M. Vajlignon

Cloches qui lui annonçoient deux heures après minuit ,
& qu’il ètoic ravi de fe pouvoir dire à lui-même que ce
n’étoit pas la peine de fe coucher pour fe relever à qua-
tre heures. Il ne fortoit de-là ni avec la trifteffe , que les
matières pouvoient naturellement infpirer , ni même
avec la laffitude que devoit caufer la longueur feule de
l’application , il en fortoit gai 5 e vif , encore plein des
plaifirs qu’il avoit pris , impatient de recommencer. Il
rioit volontiers en parlant de Géométrie* & à le voir on
eût cru qu’il la falloit étudier pour fe bien divertir.
Nulle condition n’étoit tant à envier que la lienne 5 fa
vie étoit une poffeffion perpétuelle & parfaitement paifî-
,ble de ce qu’il aimoit uniquement. Cependant fi on eût
eu à chercher un homme heureux, on l’eût été chercher
bien loin de lui , & bien plus haut , mais on ne l’y eût
pas trouvé.

Dans fa folitude du Fauxbourg Saint Jacques , il ne
laifïoit pas de lier commerce avec plufieurs Sçavans, èc
des plus illuftres, tels que Meilleurs du Hamel , du Ver-
ney , de la Hire. M. du V erney lui demandoit affez fou-
vent des lumières fur ce qu’il y a en Anatomie qui ap-
partient à la Science des Mécaniques 5 ils examinoient
enfembîe des pofitions de Mufcles, leurs points d’appui,
leurs dire&ions , & M. du Verney apprenoit beaucoup
d’ Anatomie à M. Varignon, qui l’en payoit par desrai-
fonnemens mathématiques appliquez à l’Anatomie.

Enfin en 1 6 87. il fe fit connoître du Public par fou
Projet d’une Nouvelle Mécanique dédié à l’Académie des
Sciences. Elle étoit nouvelle en effet. Découvrir des ve-
ritez, & en découvrir les fources , ce font deux chofes
qui peuvent d’abord paraître inféparables , & qui ce-
pendant font fouvent féparées , tant la Nature a été
avare de connoiffances à notre égard. En Mécanique
dont il s’agit ici , on démontroit bien la neceflité de
l’Equilibre dans les cas où il arrive 5 mais on ne fçavoit
pas précifément ce qui le caufoit. C’eft ce c||ieM. Vari-
gnon apperçutpar la Théorie des Mouv cmer^compofez,

c

Eloge

& c’eft ce qui fait tout le fujet de fon Livre. Les prin-
cipes- effentiels une fois trouvez , les veritez coulent avec-
une facilité délicieufe pour l’efprit , leur enchaînement
eft plus fimple, & en mêmetems plus étroit , le fpeéla-
cle de leur génération , qui n’a plus rien de forcé , en
eft plus agréable , & cette même génération plus légitime
en quelque forte , eft auffi plus féconde. - La Nouvelle
Mécanique fut reçue de tous les Géomètres avec ap-
plaudiffement j & elle valut à fon Auteur deux places
confiderables , l’une de Géomètre dans cette Académie
en i 6 8 8 . l’autre de Profeffeur de Mathématiques au
College Mazarin. On vouloit donner du relief à cette
Chaire, qui n’avoit point encore été remplie , & il fut
choift.

Il mit au- jour en ré^o.fes Nouvelles Conjectures fur-
la Fefanteur. Il conçoit une Pierre pofée dans l’Air , 8c
il demande pourquoi elle tombe vers le centre de la
Terre. L’Air- eft un Liquide , dont par confequent les
differentes parties fe meuvent en tous les fens imagina-
bles , & une direction quelconque étant déterminée , il
n’eft pas poifible qu’il n’y en ait un grand nombre qui
s’accordent à la fuivre. On peut imaginer toutes celles
qui s’accordent dans une même direction , comme ne fai-
fant qu’une même Colonne. La Pierre eft donc frappée
par des Colonnes qui la pouffent d’Orient en Occident ,
a’Occident en Orient, de bas en haut, de haut en bas-
Les Colonnes qui la pouffent latéralement d’Orient en
Occident , ou au contraire, font égales en longueur, &t
par confequenten force-, ôc il n’enréfulte à la Pierre au-
cune impreffion. Mais -celles qui la pouffent de haut en
bas font beaucoup plus longues que celles qui la pouffent
de bas en haut , & cela à quelque diftance de la Terre
où la Pierre ait jamais pu être portée elle fera donc
pouffée avec plus de force de haut en bas , que de bas
en haut , & elle tombera , & tombera vers le centre de
la Terre j Œ/,;, ce qui eft le même, perpendiculairement

//

mil

♦ t

DE M. Varignon.

à fa furface , parce que les Colonnes latérales égales en
force , l'empêchent de s’écarter , ni à droite , ni à gau-
che. Si la Pierre. étoit aune égale diilance 6edelaTerre,
ôe de la derniere furface de l’Air , elle demeureroit en
repos, plus loin elle monteroit. Ce qu’on a dit de l’Air,
on le dira de même de la matière fubtile , £e de tout au-
tre Liquide où des Corps feront pofez. Telle e fi: en ge-
neral l’idée de M. Varignon fur la caufe de la Pefan-
teur. Plufieurs grands Hommes ont prouvé par l’inutilité
de leurs efforts l’extrême difficulté de cette matière j 6e
j’a voue qu’il pourrait bien auffi lavoir prouvée. Du
moins ce Syftême a-t’il eu peu de Sectateurs j 6e quoique
fimple , bien lié > bien fuivi , il eft vrai qu’un Phyficien ,
rhême avant la difcuffion , ne fe fent point porté à le
croire. L’Auteur l’aurait plus aifément défendu que
perfuadé. Auffi ne l’a-t’il point donné avec cette con-
fiance 6e cet air triomphant , qui ont accompagné tant
d’autres Syffêmesj le titre modefte de Conjectures répon-
doit fincerement à fa penfée. Il ne eroyoit point qu’en
matière de Phyfique , & principalement fur les premiers,
principes de la Phyfique, on pût paffer la conjecture , 8e
il fembloit être ravi que fa cher e. Géométrie eût feule la
certitude en partage.

Dans fes recherches mathématiques , fon génie le
portoit toûjours à les rendre les plus generales qu’il fût
poffible. Un Païfage dont on aura vû toutes les parties
l’une après l’autre , n’a pourtant point été vû , il faut
qu’il le foit d’un lieu affez élevé , où tous les objets au-
paravant difperfez , fe raffemblent fous un feul coup
d’œil. Il en va de même des veritez géométriques y on
en peut voir un grand nombre difperfées çà & là , fans
ordre entr’elles , fans liaifon 3 mais pour les voir toutes
enfemble , &. d’un coup d’œil , on eil obligé de remon-
ter bien haut , 6e cela demande de l’effort 6e de l’adreffe.
Les formules generales Algébriques font les lieux élevez
où l’on fe place pour découvrir tout à la fi«ù un grand

©

Et O G E

Pays. Il n’y a peut-être pas eu de Géomètre , ni qui ait
mieux connu, ni qui ait mieux fait fentir le prix de ces
formulesque M. Varignon.

Il ne pouvoit donc manquer de faifir avidement la
Géométrie des Infiniment Petits , dès qu’elle parue j elle
s’élève fans celle au plus haut point de vùë poffible, à
l’Infini de-là elle embrafle une étendue infinie. Avec
quel tranfport vit-il naître une nouvelle Géométrie, &
de nouveaux plaifirs ? Quand cette belle & fublime
* v • l’Hift. Méthode fut attaquée dans l’Académie même *, car il
s? Té£ ft u ’ e de fubît le fort de routes les nouveautez , il

a* jEdir.. ° en fut un des plus ardens Défenfeurs, & il força en fa
fa veur fon caraélere naturel' ennemi de toute conte da-
tion. Il fe plaignit quelquefois à moi, que cette difpute
l’avoit interrompu dans des recherches fur le Calcul
Intégral, dont il auroit de la peine à reprendre le fil. Il
facrifia les Infiniment Petits à eux-mêmes , le plaifir & la
gloire d’y faire des progrès au devoir plus prelfant de les
défendre.

Tous les Volumes que l’Académie a imprimez , ren-
dent compte de fes travaux. Ce ne font prefque jamais
■des morceaux détachez les uns des autres j mais de gran-
des Théories complétés fur les Loix du Mouvement ,
fur les forces Centrales , fur la Refiftance des Milieux
■au Mouvement. Là par le moyen de fes formules géné-
rales , rien ne lui échappe de c:e qui eft dans l’enceinte
de la matiere qu’il traite. Outre les veritez nouvelles ,
on en voit d’autres déjà connues d’ailleurs, mais déta-
chées , qui viennent de toutes parcs fe rendre dans fa
Théorie. Toutes enfemble font corps , & les vuides
•quelles lailfoient auparavant entr’elles , fe trouvent rem-
plis.

La certitude de la Géométrie n’eft nullement incompa-
tible avec l’obfcurité & la confufion 5 Scelles font quel-
quefois telles , qu’il eft étonnant qu’un Géomètre ait pu
fe conduira/mrement dans le labyrinthe ténébreux où il
marchoi tÆ_es Ouvrages de M. Varignon ne caufentja-

DE M. V A R r G N O K.

mais cette defagréable furprife j il s’étudie à mettre tout
dans le plus grand jour j il ne s’épargne point , comme
font quelquefois» de grands hommes , le travail de l’ar-
rangement, beaucoup moins dateur , &: fouventplus pé-
nible que celui de la production même, il ne recherche
point par des fouf-entendus hardis la gloire de paraître
profond.

Il pofledoit fort l’Hiftoire de la Géométrie. Il l’a voit
apprife non pas tant précifément "pour l’apprendre , que
parce qu’il avoit voulu raffembler des lumières de tous
cotez.. Cette connoiffance hiftorique elt fans doute un
ornement pour un Géomètre j mais de plus ce n’elt pas
un ornement inutile. En general plus l’efprit a été tourné
& retourné en differens fensfur une même matière , plus
il en devient fécond.

Quoique la fanté de M. Yarignon parût devoir êcre
à toute épreuve , l’affiduité & la contention du travail
lui cauferent en 1 70 5 . une grande maladie. On n’eft .
guéresfi habile impunément. Il fut fix mois en danger,

& trois ans dans une langueur , qui étoit un épuifement
d’efprits vifibles. il ma conté que quelquefois dans des ac-
cès de fievre , il fe croyoit au milieu d’une forêt , où iL
voyoit toutes les feuilles des arbres couvertes de Cal-
culs algébriques. Condamné par fes Médecins , par fes
amis , par lui-même à fe priver de tout travail , il ne
laifloit pas , dès qu’il étoit feul dans fa chambre , de
prendre un Livre de Mathématique , qu’il cachoit bien
vîte, s’il entendoit venir quelqu’un. Il reprenoit la conte-
nance d’un malade, & n’a voit pas befoin de jouer beau-
coup.

Il eft à remarquer , par rapport à fon caraétere , que
ce fut en ces tems-là qu’il parut de lui un* Ecrit , où il
reprenoit M- Wallis fur de certains Efpaces plus qu’in-
finis , que ce grand Géomètre attribuoit aux Hyperbo-
les. Il foutenoit au contraire qu’ils n’étoient que finis. ** y l’Hift,
La critique avoit tous les aflaifonnemens po/Ebles d’hon- de p 3
nêtetéi mais enfin c’étoit une. critique : & l’avmr 47 ’

G

Eloge

"faite que pour lui feul. Il la confia à M. Carré , étant dans
un état qui le rendoit plus indiffèrent pour ces fortes de
chofes 5 & celui-ci touché du feul intérêt des Sciences,
la fit imprimer dans nos Mémoires , à l’infçû de l’Auteur,
qui fe trouva Aggrefleur contre fon inclination.

Il revint de fa maladie &t de fa langueur , & ne profita
nullement du pafle. L’Edition de fon Projet d’une Nouvelle
Mécanique ayant été entièrement débitée , il fongea à en
faire une fécondé , ou plutôt un Ouvrage nouveau»
quoique fur le même plan , mais beaucoup plus ample,,
& auquel le titre de Projet ne convenoit plus. On y de-
voit bien fe-ntir la grande acquifition de richefles qu’il
avoit faite dans d’intervalle. Mais il fe plaignoit fouvent
que le tems lui manquoit , quoiqu’il fût bien éloigné d’en
perdre volontairement. Une infinité de vifites foit de
François , foit d’Etrangers , dont les uns vouloiént le voir
pour l’avoir vu, & les autres pour le confulter èc s’in-
Itruire des Ouvrages de Mathématique que l’autorité
ou l’amitié de quelques perfonnes l’engageoient à exa-
miner , & dont il fe crovoit obligé de rendre le
.compte le plus exaét j un grand commerce de lettres
avec les principaux Géomètres de l’Europe , & des let-
tres fçavantes & travaillées j car il ne falloir pas plus fe
négliger avec ces amis-là , qu’avec le Public même:
tout cela nuifoit beaucoup au Livre qu’il avoit entre-
pris. C’efi: ainfi qu’on devient célébré, parce qu’on a été
maître de difpofer d’un grand loifir , & qu’on perd ce
loifir fi précieux ., parce qu’on e fi: devenu célébré. De
plus fes meilleurs Ecoliers , foit du College Mazarin, foit
du College Royal , car il y occüpoit auffî une Chaire de
Mathématique , étoient en pofieffion de lui demander des
leçons particulières. La joye de voir qu’ils en deman-
da fient,. fon zele pour les Mathématiques , la bonté na-
turelle , fon inclination à étendre un devoir plutôt qu’à
le reflerrer., leur avoient donné ce droit , & ôté la crain-
te d’en uftf'n trop librement. Il foupiroit après deux ou
trois moi /ae vacances qu’il avoit pendant l’année 5 il
/ fuyoit

de M, V'arïgnon.

fiuyoit à quelque campagne , où les journées entières
-étoienc à lui, Si s’écouloient bien vîte.

Malgré fon extrême amour pour la paix , il a fini fa
"vie par être embarqué dans Une conteltation. Un Reli-
gieux Italien, habile en Mathématique, l’attaqua fur la
Tangente & l’Angle d’attouchement des Courbes , tels
qu’on les conçoit dans la Géométrie des Infiniment Pe-
tits. * Il fe crut obligé dè répondre , ôi, à dire le vrai ,
les indifferens ne l 'enflent pas trop cru. Je ne crois pas
Sortir du perfonnage de fimple Hiftorien , en affurant
que fa gloire ne couroit aucun péril 3 mais il étoit lenfi-
ble de ce côté- là , ou plutôt toute fa fenfibilité y étoit
^affemblée. Il répondit par le dernier Mémoire qu’il ait
donné à l’Academie , Si qui a été le feul où il fût quef-
tion d’un différend. ’ Son inclination pacifique y donfi-
noit pourtant encore 3 il n’y nommoit point fon Adver-
saire , qui l’avoic nommé à tout moment 3 que tout le
monde connoiffoit, qui ne fe cachoit point s & quoiqu’on
lui reprefentât la parfaite inutilité, Si même la fuperfti-
tion de cette reticence, il s’obflina toûjoursàne le nom-
mer que l’ Aggre(feur. Il eff vrai qu’il n’en ufoit pas fi
honnêtement à l’égard des Paralogifmes , Si qu’il leur
donnoit leur véritable nom.

Dans les deux dernieres années de fa vie , il fut fort
incommodé d’un rhumatifme placé dans les mufeles de
la poitrine s il ne pouvoit marcher quelque tems fans
■être obligé de fe repofer pour reprendre haleine. Cette
incommodité augmenta toujours , & tous les remedes y
Surent i nu tilles -, ce qui ne le furprenoit pas beaucoup. Il
•n’en relâcha .rien de fes occupations Ordinaires 3 Si enfin
après avoir fait fia claffe au College Mazarin le 2 2 Dé-
cembre 1722. fans être plus mal que de coutume , il
mourut fubitement la nuit fuivante.

Son caraétere étoit amffi fimple que fa fttperiorité d’ef-
;J>rit pouvoit le demander. J’ai déjà donné cette même
loiiange à tant de perfonnes de cette Acacmnie , qu’on
petit croire que le mérité en appartient pfisôt à nos

'I

•* V. Hift.
de l’Acad,
ann. 1711.
pag. 74.
fuir.

E L Q G E

Sciences qu’à nos Sçavans. Il ne connoiffoit point-la jar
lou lie : il eft vrai qu’il e'toic à la tâte des Géomètres de
France > & qu’on ne pouvoit compter les. grands Geo-
métrés de l’Europe lans le mettre dm nombre : mais
combien- d’hommes en tout genre élevez, à ce même
rang, ont fait l’honneur, à leurs inferieurs d’en être ja-
loux & de les décrier h La paffion de conferver une
première place fait. prendre des précautions, qui: dégra-r
dent. Il faut convenir cependant que. quand. on lui pre-
fentoit quelqu’idée qui lui étoit. nouvelle , il couroit
quelquefois un peu trop vîte à l’objedien , & à la. diffi-
culté 3 le feu de fon efprit des vues dont. il. étoit. plein
fur chaque matière , venoient. traverfer trop impetueur
fement celles qu’on lui offroit 3 mais on parvenoit allez
facilement à obtenir de lui une attention plus tranquille
& plus favorable. Il metroit dans la difpute une cha-
leur que l’on, n’eut jamais, cru qu’il eût- du terminer par
rire. Ses maniérés- d’agir nettes , franches , loyales en
toute occafion , exemptes de tout, foupçon d’intérêt in-r
direct & caché , auroient feules fuffi pour, juftifier la
Province dont il étoit des. reproches quelle a. d'ordinai-
re à elfu y er : il n’en confervoit qu’une extrême crainte
de le commettre , qu’une grande cireonfpedion à trai-
ter avec les. hommes., dont.effedivement.le commerce eft
toujours redoutable. Je n’ai jamais vil perfonne qui eût
plus de confcience , je veux- dire ,. qui fût . plus r appliqué
à fatisfaire exadement au fentiment intérieur de les de-
voirs & qtii fe- contentât moins d’avoir fatisfait aux ap-
parences. Il polfedoit la vertu de reconnoiftance au plus
haut degré 5 il faifoit le récit d’un bienfait reçu avec
plus de plailîr que le Bienfaideur le plus vain n’en eût
eu à le faire 3 & il ne fe croyoit jamais acquitté par totn-
tes ces compenfations , dont on s’établit foi-même pour
juge. M étoit Prêtre, & n’avoit pas befoin de beaucoup!
d’efforts pour vivre conformément à cet état. Auffi G
mort fubiari’a- belle point allarmé fes amis.

Il m’a/'hjt l’honneur de me léguer tous, fès papiers

I

de M. Vari gno^.

par fon Teflamenc. J’en rendrai au Public le meilleur
compte qu’il me fera polïïble. La Nouvelle Mécanique
eft en allez bon état, & paroîcra au jour : j’efpere que
les Lettres la fûivront. Du relie je promets de ne rien
détourner à mon ufage particulier des Trefors que j’ai
entre les mains j & je compte que j’en ferai cru. Il fau-
droit un plus habile homme pour faire fur ce fujet quel-
que mauvaife action avec quelque efperance de luccès.-

c

a&üfl

TABLE

DES SECTIONS CONTENUES

dans ce premier V olume.

Première S e c T io n. Lemmes pour l intelligence
des Sections Juivantes , page 5

iSect. I I. Des Poids foutenus avec des cordes feule-
ment , en quelque nombre quelles fient , & pour
tous les angles pojjîbles qu elles peuvent faire entre-
elles, 5,3

S e c T. I I I. Des Poulies & des Moufles } foit que le
centre de ces Poulies demeure fixe , ou qu'on le fup -
pofe mobile $ & pour toutes les directions pofjïbles
des puiffances ou des poids quiy front applique 2 1 o

.'S e ct. IV. Du Tour & des autres Machines qui y
ont rapport ,

;'S i c T. V. De toutes fortes de Leviers , de quelque
figure , de quelque efpece , LT dans quelque fituation
gu ils J oient , & pour toutes les directions pofibles
Tances , ou des poids quiy fnt applique^, 30®

NO0VELLE

t*

»

A Mécanique en general eft la Science
^ du Mouvement de fa caufe > de fes effets î
en un mot de tout ce qui y a rapport. Par
confequent elle efl auffi la Science des
proprietez & des ufages des Machines ou
Inftrumens propres a faciliter le Mouve-

ment. Entre ces Machines on en compte d’ordinaire fix
élémentaires après Pappns ( Liv. 8-. ) lequel pourtant
n’en compte que cinq* quoiqu’il en employé fix 5 fçavoir *
le Levier , le Tour ,1a Poulie le Plan incliné , la Fis , 6 C
le C oin j aufquelles ©n en peut encore ajouter une , que
j’appelle Funiculaire , en ce qu’elle n’efl faite que de
cordes propres à foutenir des poids fans le fecours d’au-
cune autre Machine , & en ce qu elle eft auffi indépen-
dante de celles-là , quelles le font entr’elle%On définira
routes ces Machines } àmefure qu’on en démontrera les
-proprietez^,

(i

t Ko U TELLE

C’eftde cette derniere partie de Mécanique qu’il s’a-
git ici , c’eft-à-dire , qu’il ne s’agit que des Machines;
élémentaires precedentes , & de quelques autres qu’on;
regarde d’ordinaire comme compoîées de celles-là. Cette
partie de Mécanique eh proprement appellée Statique
mais la plupart des Auteurs lui ayant laiîTé le nom ge-
neral de Mécanique , j’ai crû la devoir auffi appeller de.
ce nom., pour ne pas parler mûrement qu’eux. .

Ce Traité fera de dix Sedlions : La première fera de
Définitions , d’Axiomes , de Demandes , &. de Leiiimes ,
pour le mettre à la portée des Commençans, -La fécondé
fera de Poids fufpendus ou foûtenus avec des cordes
feulement. La troifiéme fera des Poulies. La quatrième, .
du Tour. La cinquième, du Levier.. La fixiéme , dir
Plan incliné. La feptiéme ,..de la. Vis. La huitième, du-
Coin. La neuvième contiendra un Corrollaire general
des principes établis dans les Serions précédentes 3 & Ig
dixiéme enfin traitera de l’équilibre des Liqueurs».

PREMIERE SECTION.

Bout l'intelligence des Serions fuivantesl

Defini t ions,

X. éf^\ N appelle Machine , tout Inftrument dont o.a
peut lefervir à mouvoir un corps j & PmJJar:ce v
tout ce qui l’y peut faire fervir , ou en general tout ce
qui eft capable de mouvoir un corps , foit à l’aide d’une
Machine , ou non. Tout ce que cette PuilTance exerce
de force pour cela , s’appelle fa force abfolué , laquelle
Te prend aulfi pour cette PuilTance , lorfque cette force
■eft tout ce que cette même PuilTance eft capable d’en
.exercer. Ce qu’il y a de force employée à mouvoir le
: corps , & en vertu de qui il feroit effectivement mû,
il rien ne s’y oppofoit , s’appelle la force de ce corps . Enfin
l’on appelle ici force relative d’une PuilTance appliquée à
une Machine , tout ce qu’il en réfulte à cette Machine
au point où cette PuilTance lui eft appliquée. Tout ce
que Ton dit ici des Puiffances & des Forces, Te dira de
même des Réfi fiances de ce qui s’oppofe à leur action i
lefquelles font le même effet que des Puiffances ou For-
ces qui reTifter oient précilenient , de même que ces ob-
ftacles font à celles-là.

TL On appelle Pefanteur d’un corps une force ( de
quelque caufe qu’elle lui vienne ) qui .tend à le mou-
voir de haut en bas en ligne droite vers le centre de la
Terre 5 & Ton appelle Poids un corps d’une certaine
jnefure de pefanteur , tel qu’eft une livre , deux livres
: &c. De forte que Pefanteur d’un corps , & Poids du mê-
me corps , ne lignifieront dans la fuite que la même
ichofe. |k

, Cejt - fir cette mefmc cpm fe fait dlarJinaiïjkl* ejlimatio®

(

% o tr v e r, L E'

sl<? toutes les autres Forces moins connues , comme TcJHma-
fion des grandeurs Géométriques Je fait for le Pied, la Toi-
fe , foc. de forte que l’on' dit d’une force quelconque , qu elle
fol d’une Livre , de deux , de trois , foc. comme tondit d’une 1
Ligne quelle efi d’un Pied, de deux , de trois , foc.

III. La Ligne , fuivant laquelle une Puiffanee preffe.,.
jpouiTe , ou tire le corps ou la machine a laquelle elle effc
appliquée , s’appelle la Ligne de direction de cette puif-
Janceou force.

IV. On appelle Impreffton ( Momentum ) de cette puif-
fance ou force fur ce corps ou fur cette Machine , ce
que la maniéré dont elle lui eft appliquée lui permet d’ac-
tion contre l’obffacle à fur monter.

V. Deux ou plulîeurs forces font dites en Equilibre
©ntr’elles , lorfqu’agiffant Tune contre l’autre , ou contre
mi obllacle commun , elle ne l’emportent ni lune fur
l’autre, ni fur cet obllacle j c’ëlt-à-dife , lorfque tout de-
meure en repos , nonob liant faction de ces forces ou
puiffances l’une contre l’autre , ou contre l’obllaele qui
les arrête , & qu’on appelle Appui.

V I. Un mouvement réfultant du concours d’action
de deux ou de plulîeurs forces , s’appelle d’ordinaire
Mouvement compofé : non quil le foit de' plulîeurs autres
mouvemens y mais parce qu’il réfulte de ce concours d’e
forces comme d’une feule qui feroit compoféede ce qu’el-
les y employeur d’actiom..

Axiomes:

I, Les effets font toujours proportionnels à leurs eau-
fes ou forces productrices , puifqu’elles n’énfont les eau-
fes qu ’autant qu’ils en font les effets , de feulement en
raifon de ce qu’elles y caufent.

I I. Donc des forces ou des rélîltances égaies, fuivant
les mêmes directions-, ont des effets égaux, ou les mê-
mes j & confequemment une force égale à une autre-,
ou à quelq/ réliltance que ce foit , mife à fa place avec
la même 3 ection,.& en mêm^-lens-, y doit produire le
même eff/

M l C A N I Oju E- ’f :

I I I. Lorfqu’un corps elt prelfé , pouffé, ou tiré tout à la.
fois par deux forces égalés , & directement oppofées , il
doit relier immobile , c’ell-à-dire , en repos fans autre
obllacle que la contrariété de c es forces qui fe détrui-
sent , 011 s’empêchent également l’une l’autre , chacune
foûtenant l’autre toute entière,-

La même chofe fe doit dire ( ax r 2 . ) d’une force &
d’une réfiltance qui lui feroit égale , & directement op-

IV. Si un corps ainfi ponlfé , prelfé, ou tiré par des
forces à la fois , relie immobile ou en repos , fans autre
obllacle que la contrariété de ces forces j ces mêmes for-
ces feront égales , & directement oppofées , c’ell-à-dire , .
égales entr 'elles , & fuivant une même direction . en fens-
contraires„

La même choie fe doit dire ( ax. 2. ) d’une force &
d'une réfiftance , qui malgré cette force , retiendroit en;
repos le corps que cette même force tendrait à mouvoir,-

V. Un corps prelfé, pouffé-, ou tiré tout à la fois par
deux forces inégales & directement oppofées , doit fe
mouvoir dans le fens de la plus forte, nomme s’il nel’é-
toit que par une feule ainfi dirigée . & égale à leur diffé-
rence > ou fi quelque obllacle l’en empêche , cet oblla-
cle doit être dans la direction commune de ces deux-
forces , & d’une réfiftance égale. à leur différence.

V I, Les vîtefies d’un même corps -,, ou de corps de
maffes égales , font comme les forces motrices qui y font
employées , c’ell-à-dire. , qui y caufent ces vîteffes j réci-
proquement lorfque les vîteffes font en cette raifon ,
elles. font celles d’im même, corps ou de corps de mafiês
égales.

VIL Les efpaces parcourus de vîteffes uniformes en
tems égaux par des corps quelconques , font entr’eux-
comme ces mêmes vîteffes 5 & réciproquement lorfque
ces efpaces font en cette raifon , ils ont été parcourus en
tems eVaux. \

c3 r'\$n

V III. Les efp aces parcourus en tems egfsix par tm-

*>jèL

4 "N O U V ELLE

même corps, ou par des corps de mafTes égalés, font
■ comme les forces qui les leur font parcourir j & récipro-
quement lorfque ces efpaces font en cette raifon , ils
font parcourus en tenus égaux par un même corps , ou
par des corps de malles égales. Cet Axiome-ci eft un Cor-
rodai re des deux précédais Ax. 6 . 7.

Le mot de viteife dans la fuite y fgnifera toujours vîtelfe
-uniforme, à moins gu on n'y avertfje du contraire,

D E M A -N D ES»

I. Pour traiter géométriquement les Machines dont
on parlera dans la luite , qu’il foit permis de les fuppofer
ou imaginer d’abord comme fans pefanteur , fans r e' li-
fta uce de frottemens , ni du milieu ou plein , dans lequel
on les fuppofera comme dans le vuide parfaitement mo-
biles fur leurs axes ou fur leurs pivots , comme fur des
lignes ou fur des points Mathématiques dures & roides.j
excepté les cordes , lelquelles foient parfaitement flexi-
Mes dans toutes leurs parties., lans grofteur , fans /effort
& fans prêter , c’eft-à-dire , fans s’accourcir , ni pouvoir
être allongées : fauf à y ajouter, enfuite pour force, ou à
en retrancher ce qui pourroit y avoir de contraire à
tout cela , dont on demande feulement qu’il foit permis
de faire a bftr action»

IL Qu’il foit auffi. permis de faire abftraction de la
pefanteur d’un corps, & de le confiderer comme s’il n’en
avoit aucune : fauf à la regarder ( ax. 2.) comme une
puiflance qui lui feroit appliquée , quand on le confide-
rera comme poids , on en avertira. Hors cela quand 011
parlera d’un corps , on le confiderera toujours comme
dans pefanteur.

Principe généra l..

Quel que foit le nombre des forces ou des püilfanceÿ
.quelconques , dirigées comme l’on voudra , qui agilfent à
l’a fois fur / 1 même corps , ou ce corps ne fe remuera
point du f \ it , ou il n’ira que par un feul chemin, &

si

*• »

M -E C A K r QJJ E.- J-

fuivant une ligne qui fera la même que fi au lieu d’être
ainfi pouffe') preffé , ou tire' par toutes ces puiffances à la
fois , ce corps ne l’e'toit fuivant la même ligne, & en mê-
me fens que par une feule force ou puiffance équiva-
lente ou égale à la réfui tante du concours de toutes cel-
les-là..

Ce principe ejl d’autant plus évident , que rien ne l'êjl da-
vantage qu’un même corps ne fçauroit aller par plufieurs
chemins à la foi s ; & de quelque vitejfe qu’il y aille , il n’ira
que comme s’il n était pouffé en ce fens que par une feule forc-
ée capable de lui donner cette vitejfe.

COR.O LL A IRE L

Or fi ce corps n’étoit preffé, pouffé ou tiré que par’
Une feule force , im obftacle invincible , ou du moins
d’une réfiftance égale à cette force , oppofé à ce corps
dans la direction de cette même force , l’arrêter oit ( ax. 3 „}
tout court 3 puifque ( hyp. ) cette force n’auroit d’adion,
ni confequemment ce corps d’impreffion que fuivant ce
chemin qui luiferoit alors fermé par cet obftacle. Donc
aufïî un obftacle invincible , ou du moins d’une réfiftan--
ce égale à la force réfultante du concours d’action de
tant d’autres quelconques qu’on voudra , & dirigées com-
me l’on voudra , oppofé dans la direction de cette force,
réfultante au corps , fur lequel agiffent toutes celles-là ,
l’arrêtera tout court , & foutiendra ainfi fur lui toutes
ces forces ou puiffances en équilibre entr’elles.

G O R O L L A I R E II.

Réciproquement , puifqu un corps ainfi preffé , pouffé, >
eu tiré partant de puiffances à la fois quon voudra,:
quelles qu’elles foient , & dirigées comme ion voudra , ,
11e le feroit que comme par une feule force égale à la
réfultante du concours d’action de toutes ces puiffances
fur ce corps, & dirigée en même fens que^ertc réfui- -
tante : fi ce corps fe trouve arrêté par un $»ffacle qui
empêche toutes ces puiffances de fe mouvoir les met- -

: t Nouvelle

te ainfî toutes en équilibre entr’elles } Cet obltacîe fe
.trouvera toujours ( ax. 4. ) dans cette diredion de la. for-
ce réfuitante de. leur concours d’action , qu’il foûtiendra
d’une réfiltance égale , de. diredement .contraire à .cette
-force.

Corollaire III.

Donc l’équilibre fera impolîîble entre quelque nombre
-de p utilance que ce loit , tant qu’elles ne trouveront point
d'obltacle de réfiltance égale èc diredement oppofée à
la force réfuitante de leur concours 5 puifque ( corol. .1 . )
s’il y avoir équilibre entr’elles , il s’y trouverait toujours
cm tel ©bliacle , foit étranger , fdit de la part d’une ou de
•plu Heurs de ces puiifances contre les autres.

Ces Corollaires du principe general font voir , fur tout le
Corol. I. pue pour mettre .en équilibre entr. elles tant de forces
ou puijfances quelconques qu on voudra , qui dirigées a vo-
lonté , agifl.ent toutes à la fois fur un meme corps , il ny a
plus qu a trouver ,, fuivant quelle ligne elles doivent s’accor-
der a le poujfer, ou a le tirer toutes .enfemble , fi on veut lui
oppoferdans .cette ligne un .obfiac le abfolument invincible ; &
avec quelle force fi dans cette ligne on ne veut luienoppofer
qu’un dé une réfifiance égale a cette force réfuitante du concours
d’action de tout ce qu’il y fin a qui agijfent à la fois fur lui.

C’ejltfi que nous allons .trouver par le moyen des mouve -
mens compofez connus des Anciens & des Modernes : Arifiote
en a fait un Truité dans fes Jpuejlions Mécaniques Archi-
mède , Nicomfide ,Dinoftrate , Tiocles , &c. les ont employez,
pour la defeription de ta Spirale , de la Conchoïde, de la Cyf-
foide , de la Jpuadratrice ,.érc. De fartes s’enejl fervi pour
. expliquer la réflexion flr la refraction de la lumière. En un
.mot , tous les Mathématiciens fe fervent des mouvemens com-
pofez pour la génération d’une infinité de lignes courbes s &
tous les Phyficiens exaéts , pour déterminer les forces des chocs
ou des percutons obliques , .(fie. Ainfi je ny prétends rien que
l’ufage qui ] en indiquai il y a prés de 40 ans , (f que j’en fais
fUcore ici wur | explication des Machines .

f Cet

' M E C A N ï QJJ e; y

Ces mouvemens fe trouvent démontrez, far plufieurs Au-
■feurs : cependant pour ne pas renvoyer le Lecteur à leurs Li-
vres , & pour quïl naît befoin que de celui-ci pour enten-
dre le s ufages que je vais faire de ces mouvement* je vais
encore les démontrer ici , & peut-être dune maniéré qui fera
telle de quelqu'un de ces Auteurs : mais qu'importe de qui en
f oient les démonf rations , pourvu qu'elles foient bonnes ,puij -
que je ny prétends que l'ufage que j'en fais ?

D .E F I N I T I O N VII.

La ligne fuivant laquelle plufieurs forces ou puilîan-
ces s’accordent à pouffer enfembleun même corps , s’ap-
pellera leur direction commune > 8t celle fuivant laqueffe
chacune de ces puiffances tend à mouvoir ce corps , ou
fuivant laquelle elle le meuvroit en effet , s’appellera la
direction particulière de cette force ou puiffance.

Corollaire»

Le corps fur lequel ces puiffances agiffent ainffi à la
fois , n’ayant d’impreffion ( dem. z . ) que ce qu’il en reçoit
de leur concours d’ation, leur direction commune lera
auffi celle de ce corps.»

D E T I N .1 T .1 O N V I I L

Le point de cette direction , dans lequel fe re'unit
-i’ation de toutes ces puiffances fur ce corps , s’appelle-
ra fon centre de direction , & le leur. Tout autre point de
cette direction , fur lequel ce corps appuyé demeure-
roit en repos (corol. i . du princ. gener. ) nonobffant lation
■de toutes ces puiffances fur lui , s’appellera fou centre,
d'équilibre , & le leur auffi.

.AVERTISSEMENT ï:

■Quand on dira dans la fuite qu’un corps eff preffé *
pouffé j ou tiré de telle ou telle force , ou par felle.ou telle
force , qu’on appellera auffi puijfance , on n’eqlendra par
cette force que ce que, l’Agent qui preffe , puffe , oi|

,2 0 N 0 U V E L L Ë

tire ce Corps , lui en imprime buvant fa direction , & non-
tout ce que cet Agent en pourroit avoir en le pouffant
ou en le tirant: par exemple , lorfque la boule A cho-
que ou poulie la boule B nous ne prendrons pour la
force de la boule B, , que ce que la boule A lui en im-
primera buvant fa direction , & non tout ce que cette
boule A en avoit en la choquant : le furplus de ce que
la boule A en avoit , n’appartenant point à la boule B ,
mais feulement ce que cette boule B en reçoit fuivant
la direction 'de la boule A. Ainfi par les mots de force,,
,ou pmjfance motrice d’un corps , on n’entendra dans la
fuite que ce qu’il en reçoit de l’Agent qui le poulie oit
le tire, & non tout ce que cet Agent en pourroit avoir
en le pouffant 5 ou ( ce qui revient au même ) on ne
comptera ici pour force ou pat famé motrice dans l’Agent,
que ce qu’il en communique au corps fur lequel il agit :
c’eft cette mefure de force communiquée , qui fera dans
la fuite appellée la force motrice de ce corps,. Ce qui foit
dit pour éviter toute équivoque , que j’ai cru avoir évi-
tée en 1687. dans. le. Projet de cette Mécanique-ci , en
n’y employant pour Agent que des puiffances indiquées
par des mains , & non des corps pour mouvoir des corps,
ou des poids pour mouvoir des poids. C’eft. pour cela:
que l’on n’employera ici encore que. des mains pour in-
diquer les puiffances., ou les forces, dont un corps fera
pouffé, gu tiré , ou dont un poids fera foutenu en équi-
libre r ce qui me paraît d’autant plus commode en ce
cas-ci que l’imagination fe reprefente bien plus affer-
ment des puiffances ou des mains dirigées en tout fens s ,
que des poids qui ne le peuvent être qu’en s’appuyant
fur des poulies, dont il faudrait avoir connu les proprie-
tez avant que de les employer j outre que* des poulies,.,
aux queftions où il ne s’agit pas d’elles , rendraient les
figures plus compofées , & gêneraient toujours i’imagff
nation». /?

»

# M E C’A 'N l’ojj e: §4

AVERTISSEMENT I V

On ne fuppofe ici de Géométrie dans le Le&eur , que
■la valeur des fix premiers Livres & de l’onzième des
Elemens d’Euclide 5 mais auili on l’en fuppofe afiez in-
ilruit pour n’avoir pas b'efoin de nous -alfujettir à les ci-
ter dans l’ufage que nous en allons faire. S’il arrive-
qu’on fuppofe ici quelque chofe de plus , on en inflruira
: 1 e jeune Lecteur : par exemple , comme l’on ne trouve
pas d’ordinaire dans les Elemens d’Euclide certains li-
gnes ufiitez en Algèbre , defquels nous nous fervirons
quelquefois dans la fuite , pour abréger nos dém on ftr ag-
itions , & pour moins partager l’efprit de ce Lecteuiv
fVoici l’explication de ce que nous en employerons,,

EXPLICATION

'De quelques' marques ou fignes dont on féru ira dans la faits
four y abréger les démonjirations , & les rendre
plus claires.

X. Cette marque — f- lignifie plus 5 ou addition : ainfi
7— lignifie 7 plus 5 ,ou 5 ajouté à 7.

I I . Celle-ci * — • lignifie moins , ou joufiraction : ainlî,
il 2-— 4 lignifie 1 2 moins .4, ou 4 retranchez de 1 2.

III. Celle-ci x lignifie multiplication-: ainfi 3x5 figni-
ffie 3 multipliez par 5.,

La multiplication entrelles de deux ou de plu fleur s
grandeurs , appellée ( fi l’on veut ) a, b ,c, &tc. s’exprime-
ra aulîi par la juxta-pofition arbitraire de ces lettres
•comme en un feul mot, ainfi que dans l’Algebre , dont
nous ne fuppoferons que cela , pour ne rien dire ici qui
ne foit à la portée des moindres Géomètres. Ainfi dans
la fuite par ab , ou ba , on entendra a multiplié par b ,
ou b par a , de même que par axb ou bxa pareillement.,
par abc , acb , bac , &c. on entendra également la multi-
plication entr’elles des .trois grandeurs appelés a 3 b 3 c t
4 e même que par axbxc axcxb , by.a&.c , &o& .

klî

' f >

( *7

Tin ' Nouvelle

ÏV. Celle-cfrr: fignifie égalité : ainfi y-Jy — ï 2 fi-
gnifie que 7— 4“5 eft égal' à 1 2 1 du même 1 2 — 4—8
lignifie que 1 2—’ 4 eft égal à 8 > pareillement

1 6 — 4 lignifie que 7—hj eft égal à 1 6— -4, chacune
de ces deux quantitez étant égale à 1 2»

•V.- Celle-ci > ou <! fignifie majorité du côtédefon
ouverture , & minorité du côté de fa pointe : ainfi 1 2 > 8
lignifie que 1 2 eft plus grand que 8 5 & 8 <J i 2 figni-
fie au contraire que 8 eft plus petit que 1-2.

VL Ces quatre points :: placez après le fécond des
quatre termes d’une analogie ou proportion , dont les
trois autres font fuivis chacun d’un point , font la mar-
que de cette proportion r ainfi 2.4:: 3... 6. fignifie que

2 font à 4 , comme 3 font à 6. Et pour exprimer- une

proportion continue , c’eft-à-dire , une fuite de raifons
ou de rapports femblables- , 011 répété les quatre points"
fte deux en deux termes, en mettant un point après chacun
des autres s par exemple, 2.4: : 3 . 6 5. 1 o : : 7. 14.: r

&c. fignifie que 2 font à 4 , comme 3 à; 6, comme 5 à
.10, comme 7 à 1 4 , &c.

V IL Si. à la place des quatre points :: précedens s
placez entre le fécond èc le troifiéme des quatre termes
où ils fignifîoient égalité de raifon , on met quelqu’un des
deux lignes il y lignifiera inégalité de raifon 1

fçavoir , le premier > , majorité de raifon, & le fécond
< , minorité de raifon. Ainfi 5. 2 > 6.3* fignifie que 5
font à 2 en plus grande- raifon que &■ à 3 . Au contrai-
re, 2. 5 <! 3.6.. fignifie que % font, à 5 en moindre rai-
fon que y à 6.

VIII. La lettre f longue fera prife dans la fuite pour
une marque ou caracteriftique qui aura deux lignifica-
tions differentes, félon quelle précédera des angles 3 ou
d’autres grandeurs.

1 0 Elle fignifiera firns d’un angle , lorfqu’elle le pré-
cédera: par exemple, /ABC fignifiera le fnm d’un angle
appellé AlV,

2 0 . Cet/ même lettre / longue fignifiera auflî la fmm&

\

I

0 MiCAHI- Q^U EV- ï-3'

de-plufieurv autres grandeurs , lorfqu’ elle les précédera .

par exemple , f^—j-^-+y—i 5 fignifiera que la fomme -

de 3^4- 5— +7 vaut 15 5 de même/6 — b 7 — 5 = S fignC
fiera que 6— f-7 — 5 valent 8.

On aura foin -dans la fuite d’avertir dans lequel de ces-
deuxfens cette longue / fera prife : mais en cas qu’on ou-
bliât de le faire , ce double fens eft ( je croi ) ici allez mar-
qué pour ne s’y pas méprendre. On ne donne ici cette
double, fignification à cette longue /, que parce qu’étant
la première lettre- des mots de Jim-s Se dé fomme , elle fera
très-propre à les rendre prefens à l’imagination ou à l’ef-
prit i outre que cette longue / italique n’entre d’ordi-
naire , & n’encrera dans la fuite ni dans le calcul ni dans'
les figures pour aucune autre lignification.'-

LEM M-E I»-

Tour préparer F imagination aux mouvement compofez, Piawc. z?
concevons le point A fans pefanteur uniformément mu vers B Fig> Ib
le- long de la droite AB , pendant que cette ligne fe meutaujji
uniformément vers CD le long de AC , en demeurant-
toujours parallèle à elle-même c êf -à-dire , faifant l’angle-

toûjours le même quelconque avec cette ligne .immobile AC :
de ces deux mouvement commencez en même tems , fait la-
vttcjje du premier a la vîteffe du fécond , comme les cotez-
AB-,, AC r du parallélogramme AB CD , le long defquels ils-
fe font. £jucl que foit ce parallélogramme AB CD , je dis-
que par le -concours des deux forces productrices de ces deux
mouvemens dans le mobile A , ce point parcourra la diagona •*
le AD de ce parallélogramme , pendant le tems que chacune
d’elles lui en aurait fait parcourir feule ‘chacun des cotez AB,.-
AC yConefponâans.

Démonstration.

Puifquc ( hyp. ) la vîtelfe du point mobile .A vers B le'
long de la droite mobile AB , elt k la vîtelîe iki’il a avec
elle” vers -CD AB. AC: : CD. AC ( par un $bint quel-

ïr

t

■14 Nouvel l ë •.

conque G de AD foit une parallèle KH à CD, laquelle
rencontre AC , BD , en K , H , ) : : KG. AK. L’ax. 7 fait
voir qu a l’in liant que la ligne AB aura parcouru AK, &
fera arrivée en KH , le point mobile A aura parcouru
fur elle fa partie KG., & fera ainfi pour lors en G fur
la diagonale AD du -parallélogramme BC : lequel point
G ayant été pris indecerminement fur cette diagonale
AD, fait voir qu’en quelque point que la ligne mobile
AB coupe cette diagonale , le point mobile A y fera tou-
jours 5 & conlequemment qu’il fera fur elle en D avec
le point B de cette mobile AB , lorfqu’elie fera en CQ„
Donc par le concours des deux forces productrices des
.deux mouvemens fuppofez à ce point mobile A .le long
de AB & de AC , il parcourra la diagonale AD du pa-
rallélogramme ABCD pendant le temps que chacune
d’elles lui en auroit fait parcourir feule chacun des co-
tez AB , AC xcorrefpondans. Ce cpri il falloit démontrer*

S c. Il G L I E,

U11 point mû le long d’une ligne qui fe meut auffi
elle-même, eft une chofe fouvenc fuppofée par les Géo-
mètres pour la génération de plufieurs lignes courbes
differentes félon la variabilité des mouvemens fuppofez
À la fois dans le point qui les trace , comme le point mo-
bile A en vient de tracer une droite par le concours de
deux mouvemens uniformes. Ce point mobile fe con-
çoit fans peine , en imaginant un corps a in h mu , &; di-
minué pendant cela par l’imagination, jufqu’à être ré-
duit en un tel point. '

LEMME IL

Si le point A fans pefanteur efi pouffé en meme tems &
uniformément par deux forces ou puiffances E , F , toutes eim
ployées fur lui ,fuivant des ligne, s A.C , AB qui fafje?it en-
tr elles que [au angle ■ CAB que ce foit , & que la force ou
puiffance Et) uivant AC , foit a la force on puiffance E fui-
'yant AB^pimme AC efi à JB. Ce point , A par le : çoMCMrs

I

*

0 Me C AN I' QJJ E. ÿp

Je ces deux forces E , F , fans le Je cours d ! 'aucune ligne mo-
bile parcourra la diagonale AD du parallélogramme AB CD
dans le même tems quelles lui en auroient fait parcourir
feparement les cotez, AC , AB ,qu on leur fuppofe proportion-'
nelsc

Démonstration.-

Deux corps mus enfemble fans s’aider ni fe nuire r
comme lorfqu’ils le font d’égales vîtefles en même fens, -
chacun par une force particulière , l’étant chacun com- •
me s’il fe mouvoir feul de la force ouvîtelfe qui lui eft
propre > il efh manifefte que le point A pouffé fuivant
AC vers C par la puiflance E , l e il de même que h la
ligne AB l’étoit en même tems par quelqu’autre caufe
qui la mût parallèlement à elle-même fuivant AC vers ■
CD V d’une vîteife égale à celle que la puiflance E don-
neroit feule de A vers C à ce point A 5 & qu’alors ce
point fans être emporté par cette ligne mobile AB , fe-
rait toujours fur elle ainfi mue, comme fi elle l’empor-
toit effectivement avec elle , pendant que la force ou
puiflance E le mouvrait le long de cette même ligne AB S
ainfi que dans le Leni, î. Donc ce point mobile A pouf-
fé tout à la fois par les deux, puiffances E,F, fuivant
AC , AB , doit fe mouvoir de même que fi dans le tems
que la force F le meut de A vers B le long de la ligne.
AB , il étoit emporté par cette ligne mue parallèlement
à elle-même le long de AC vers CD , d’une vîteffe égale
à celle que la puiflance E donnerait feule à ce point A
vers C 5. c’eft-à-dire , ( ax. 6 . ) d’une vîteffe qui fut à cel-
le que ce point aurait le long de. cette ligne AB : : E. F
( hyp.) :: AC. AB. Or le Lem. 1. fait voir que le point.
A ainfi mû de A vers B le long de la ligne AB , pendant
qu’elle remporterait ainfi vers CD , parcourrait la dia-
gonale AD du parallélogramme BC pendant le même
tems que chacune des forces E , F , productrices de ce
qu’il a de mouvement en ces deuxfens , luh|fo feroit feu-
le parcourir chacun des cotez AC, AB , coi^fpondans.

!

nti Nouvelle

Donc fans le mouvement de la ligne AB, fuppofe leuîe^
•ment pour aider l’imagination , le point mobile A fans
•pefante.ur, pouffé tout à la fois fuivant les lignes AC,
AB , par les deux puiffances E , F , fuppoféesenraifon de
ces deux lignes , & employées ( hyp. ) toutes entières ale
mouvoir en ces -deux lens, parcourra 4a diagonale AD
du parallélogramme ABCD dans le même tems que cha-
cune de ces deux puiffances E , F , lui en ferait feule
•parcourir chacun des cotez AC, AB ,• correfpondans. -
-Ce qu il - falloir démontrer..

Four démontrer ce h on fe contente dé ordinaire du Lem.-t.
.■qui y ejt ejf Vivement fujffant : aujfi n ai-je employé que lui
dans le Projet que je donnai en a 6 8*7. de cette Mécanique «
si i mais ayant reconnu depuis que quelques Phyficiensy trou*
•‘voient de la difficulté , dans la penfée oit ils étaient que la
-ligne mobile AB Jcrvoit et tranfporter 'le point. mobile A vers
CD i pendant quiil fe mouvait de A vers B : c efi pour dé*
montrer quelle y efi inutile , & quelle ne fert qu’à fait tenir
ici ï imagination , que j’ajoûte ce fécond Femme-ci au pre*
mier, que je ne répété que pour rendre la démonffration de
, celui-ci plus courte (jr plus aifée. En voici le s, Corollaires.

je

C O R O L L A I R E I.

Puifque la force réfültante du concours des puiffances
-E, F, fait parcourir la diagonale AD du parallelogram-
une ABCD , au point -mobile A , dans le même -tems que
.chacune de ces forces lui en aurait feule fait parcourir
- -le côté AB , ou AC, fuivant lequel elle eft dirigée j.non
•feulement ces trois forces doivent avoir leurs trois dire-
-étions dans un même plan j mais. encor ela.réfultante fui-
vant AD du concours d’action des deux autres E, F,
■dès le premier inffant du mouvement qu’en reçoit le
point A , doit dès cet inffant être à. chacune de celles-là
\asc. ,8..) comme, cette diagonale AD, du parallélogram-
me BCeff chacun de les cotez AC,. AB , correfpon-
dans, /

g 7

tCoROL.LA^RE

% «/

ét M E C A N I QJ7 ï: XJ

Corollaire II.

- Ceft donc la même cliofe ( ax. z.) que le point A foie
pouffé le long de AD par le concours d’action des puif-
lances E , F , ou qu’il y foit pouffé par une feule puiffan-
ce ainfl dirigée , laquelle foit à celles-là comme AD eft
à AC , AB puifque cette nouvelle puiffance étant
( Corol. i . ) égale à Ja réfultante du concours d’aétion de
celles-là Æ & ( hyp. ) dirigée Avivant la même AD quelle,
ferait fuivre cette ligne à ce point mobile A ( ax. r. ) de
la même vîteffe que la force réfultante du concours
d’action des fuppofées E , F , c’eft-à-dire , de la même vî-
teffe que ces deux-ci la lui font fuivre enfemble. Ainlï
un point quelconque mû d’une vîteffe uniforme aufli
quelconque , & en ligne droite AD , peut également
d’avoir été par une feule puiffance dirigée en ce fens,
ou par le concours de deux autres E , F , dirigées Avivant
les cotez; AC , AB, d’un parallélogramme quelconque
BC , dont cette ligne AD , foit la diagonale , & qui foient
à cette puiffance-là comme ces cotez correfpondans font
à. cette diagonale.

Corollaire II L

Il fuit aufli de eeLemme-ci,que A la force ou l’im-
preflion réfultante du concours d’action des deux puif-
lances E , F , dirigées Avivant AP, AQ^, fe trouve diri-
gée Avivant AO, tout parallélogramme BC , dont la dia-
gonale AD fera fur cette droite AO , & les cotez AC,
AB, fur AQ^, AP, aura ces mêmes cotez AC , AB,
entr’eux en raifon des deux puiffances E , F , dont ils
font ( hyp. ) les directions autrement l’impreflion réfül-
tante du concours d’action de ces .deux puiffances , ne
fe ferait pas Avivant la diagonale AD du parallélogram-
me BC , ainfi qu’on le fuppofe > mais ( Lan. z.) Avivant
celle d’un autre parallélogramme , dont les citez aufli
.pris fur les directions AQ^, AP , de ces dèumpuiffances
Ê , F , feraient ent’reux comme ces mêmes pSffances,.

I

C Ô R O L L A ï R Ê I VA

Donc auffi lorfque l’impreffion réfultante du concours
d’action des puiffanceS: E ,F , dirigées fuivant AQg, AP,.:
fe fait fuivant AO 5 tout, parallélogramme BC, dont la-
diagonale AD- fera fur cette droite AO fes cotez
AC , AB , fur AQ^_, AP , aura cette diagonale AD à
chacun de ces cotez AC,. AB , comme cette impreffion-
■ réfultante du concours d’action des puiffances E , F
fera à chacune d’elles : puifque ces deux puilfances E ,
F , étant alors entr’elles ( Corol. 5 . ) comme ces cotez AC,
AB,. correfpond ans, feraient auffi pour lors à l’impref-
fion réfultante de leur concours, d action , comme ces
mêmes cotez AC , AB du parallélogramme BC,feroiene:
à fa diagonale AD.

C O R O L L A I R E VF

Le même raifonnement qui dans la démonffrat.. dfe
Lem.. !.. vient de prouver que le point mobile A

doit parcourir la diagonale AD par le concours d’action
des deux, forces- E , F ,. fuppofées entr’elles comme les
côtez. AC , AB , du parallélogramme BC, fuivant lefquels
on les fuppofe auffi dirigées : ce* même raifonnement , dis-
je, prouvera que le même point A pouffé à la fois par
deux autres puiflances dirigées, fuivant les côtez AM,.
AN d’un autre parallélogramme quelconque MN qui
auroit la même diagonale AD que celui-là , & entr’ellës.
en raifon de ces deux, cotez A.M , AN 5 parcourroit en-
core par leur concours d’action cette diagonale AD du
parallélogramme MN dans le même tems que feparé-
ment elles lui en feroient parcourir les côtez , chacune
celui fuivant lequel elle feroit dirigée. De forte que ff
ces deux nouvelles forces fuivant AM ,AN , étoient aux.
deux premières E , F , comme AM , AN , font à AC , AB,
étant alorafeparément capables ( ax. 8 . ) de faire parcou-
rir au pof x A les côtez correfpondans AM , AN , du
parallel/^ramme MN, dans le même tems que les forces

»

ê

^ E C A N î QU i: ' ( ' 't-$

F, feparément auffi lui feroient parcourir les corref-
pondans AC , AB du parallélogramme BC j elles feroient
auffi enfemble parcourir à ce point A la diagonale com-
mune AD dans le même teins que les deux forces E, F y
la lui feroient parcourir enfemble. Par confequent (ax. 8 .)
la force réfultante du concours d’adion de ces deux-là „
feroit alors égale à la réfultante du concours d’adion de
ces deux-ci. Il en fera de même de toutes autres forces
qui agiroient deux à deux fur le même point A , fuivant
des cotez de tout autre parallélogramme qui auroit la
même diagonale AD , & qui feroient non feulement en-
tr elles comme les cotez de ce parallélogramme , fuivant
.lefquels elles feroient dirigées s mais encore aux autres
puiffances prifes de même deux à deux , comme ces co-
tez correfpondans de ce parallélogramme aux corref-
pondans des leurs. D’où l’on voit ( Corol. z.) qu’il n’y a
point de mouvement uniforme en ligne droite , qui ne
puiffe également être l’effet d’une feule puiffance , ou du
concours d’adion d’uneinfînité d’autres prifes deux à deux
-de cette maniere-là.

Ce qu’on dit ici des mouvement uniformes en lignes droites 3
fe fournit appliquer à toutes fortes d’autres mouvement*,
.mais .cela nous ée art croît de notre fujet.

COROLLA I RE VI.

Si le point mobile A , au lieu d’être pouffé ( comme ci-
deffus ) par deux forces ou puiffances feulement , l’étoit
-tout à la fois par tant de puiflànces quelconques qu’on
voudra , dirigées fuivant les lignes AC, AB, AM, AN,
.&c. menées à volonté dans un ou plufieurs plans , lef-
quelles puiffances fuffent entf elles comme ces lignes , 6c
confequemment ( Ax. 8. ) capables feparément de les
faire parcourir chacune la iîenne à ce point A en rems
égaux. Si fous deux AC , AB, de ces deux lignes, clioi-
iies à volonté , on fait le parallélogramme^ BC avec fa
diagonale AD j enfuite fous AD , ôc fous ce;;% AM qu’on
■voudra des autres proportionnelles aux puj^nces fitp-

J

I

»

ri io Nouvelle %

pofées ,1e parallélogramme DM avec fa diagonale ÂL j:
de même fous AL , 6e fous celle AN quon voudra de
ces proportionelles reliantes , le parallélogramme LN
avec fa diagonale AP, &c. on verra fuivant ce qui pré-
cédé, que toutes ces forces ou puilfances confpireroient
enfembie à faire parcourir au point A la dernière dia-
gonale, qui ell ici AP, dans le même tems que féparé-
rnent elles lui feroient parcourir chacune celui des cotez
de ces parallélogrammes , fuivant. lequel elle feroit di-
rigée».

Gar fuivant le prefent Lem. %. ce point mobile A par-
courrait la diagonale AD du parallélogramme BC en
vertu de la force réfultante du concours des dirigées
fuivant AC , AB , dans le même tems que chacune de
celles-ci lui en feroit parcourir 1 fêjparément? le côté AC
ou AB fuivant lèquel elle eft dirigée. De même ce point
A parcourroit la diagonale AL du parallélogramme DM
dans ce même tems par le concours de cette réfultante
fuivant AD , & de la dirigée fuivant AM j & confequem-
ment en vertu de la réfultante du concours des trois di-

rigées fuivant AC , AB , AM. Pareillement ce même*
point A- parcourroit encore AP pendant ce même tems,
par le concours de cette derniere réfultante fuivant AL,
& de la dirigée fuivant AN 5 & confequemment auffi en;
vertu de la réfultante du concours des quatre dirigées
fuivant AC , AB, AM, AN y &ainfi toujours quelque
foient le nombre, les directions & les quantitez ou les
rapports des puilfances qui agilfent à la fois fur ce point
mobile A. D’où l’on voit que par le. concours d’aélionde
toutes, ce point A fuivra toujours la diagonale du der-
nier des parallélogrammes faits comme ci-delTus, & la
parcourra dans le même tems que chacune de ces puif-
lances feparément lui auroit fait parcourir celui des co-
tez de ces parallélogrammes fuivant lequel elle ell dirigée .

Corollaire Y IL
Corol. i.la force, du. point A. fuivant AD

Mecani QJ7 Et ’i-T-

réfultaiite du concours des dirigées fuivant AC, AB‘,
étant à celles-ci comme AD eft à AC, AB , ce que ce
point en a fuivant AL par le concours de cetteréfultan- -
te fuivant AD , & de la dirigée fuivant AM , étant de
même à celles-ci comme AL eft à AD, AM 5 ce qu’il en
a fuivant AP par le concours de la précédente fuivant
AL , & de la dirigée fuivant AN , étant pareillement à
celles-ci comme AP eft à AL , AN , &c. Il s’enfuit que
cette derniere: force du point A fuivant AP , réfultante
du concours d’action de toutes fes fuppofées dirigées fui-
vant les cotez 'AC, AB, AM, AN, des parallelogram- *
mes précedens ,. & entr elles en raifon de ces cotez , fera •
toujours à chacune Me celles-ci comme cette derniere
diagonale AP fera à chactm de ces cotez correfpondans. j
Scainfi de mêmedes réfultantes du concours de tant d’au-
tres puiffances quelconques qu’on voudra fuppofer agir
en même tems fur le point mobile A , quelqu’en foient -
auffi lés directions..

S GH O L I E. -

L On vient' de voir dans la démonflratîon du prefent Fr«r'r?‘-
Lem. 2. que le point mobile A poulfé à la fois fuivant
AC, AB , par deux forces ou puiffances E , E , en raifon
de ces deux cotez AC, AB du parallélogramme ABCD
de la Big. -iv doit- fé mouvoir fuivant la diagonale AD de
ce parallélogramme-, de-même que fi mû de A vers B
par la- force F le long de AB, qui fût une ligne mobile,
il étoit emporté en même tems par elle mue parallèle-
ment A elle-même le long de AC vers CD d’une vîteffe
qui fût à celle de ce point A le long de cette ligne mobile
AB, comme AC eft à AB ,ainfi que dans le Lemme 1.

Cela étant , ces deux Lenimes reçûs de tous lesGéo-
métres , deviendront fenfibies aux Phyficièns qui fça-
vent quelque chofe des proportions , fi au lieu du point
mobile- A ils imaginent une Fourmi qui fe meuve uni-
formément de A vers- B le long de la RéjMe AB?, pen-
dant que cette Régie coule de là uniformément, &pa-

X

IM®'

:2'X

ii

vt V - (

Nouvelle S
rallelement à elle-même ledong de AC vers CD, d’une vî«
; telTe qui foit à la vîtelTe de la Fourmi fur cette Régie, com-
me AC eft à AB3 car tout le refte demeurant le meme que
•dans la Fig. i. dont il s’agit ici, ces Pliyficiens verront
alors de cette Fourmi, comme on Ta démontré du point
mobile A dans le Lem. i,. que lorfque la Régie AB fera
.arrivée en KH, la Fourmi aura parcouru KG fur elle»
.•& confequemment fera pour lors en G fur la diagonale
AD,. Ils verront de même qu’en quelqu’autre endroit
de AC que la Régie AB le trouve , la Fourmi fera tou-
jours fur la diagonale AD , dans le point où cette dia-
gonale fera .coupée par cette Régie 5 tk enfin en D /lorf-
que cette Régie AB fera en CD. On voit en cela deux
mouvemens diftincfcs de la Fourmi vers BD., CD , réunis
en un fuivant A.D , & réciproquement.

; IL Imaginons de plus dans la Fig. z. du CoroJ. 6 . que
pendant que la Fourmi parcourt ainft la diagonale AD
du parallélogramme ACDB par le concours de fes mou-
vemens vers les cotez BD , CD de ce parallélogramme::
imaginons , dis-je , que cette diagonale AD eft alors em-
portée parallèlement à elle-même le long de AM d’un
mouvement uniforme qui la porte en M pendant le
même-tems que la Fourmi employé à parcourir cette
; même AD .3 on verra encore.., comme ci-deflas., que cet-
jce Fourmi parcourra la diagonale AL du parallélogram-
me ADLM dans ce même tems par le concours de fes
deux mouvemens fuivant AD , AM : ainli Ion mouve-
ment fuivant AD venant de réfulter ( art. x . ) du con-
cours de fes mouvemens fuivant AB , AC 3 on voit que
L'on mouvement fuivant AL doit.ici réfulter du concours
,des trois fuiyans AB , AC , AM.

De même ft pendant que cette Fourmi parcourt ain fi
AL par le concours de ces trois mou vemens uniformes.»
•cette ligne ou régie AL eft tranfportée parallèlement à
elle-même fuivant AN d’un mouvement auffi uniforme
,qui lui faflf! parcourir AN pendant le .teins qu’elle eft
éile-mêm|r parcourue par la Fourmi 3 cette même poux-

M i- c a n i ' qjj e; 2,-3“

mi parcourra atifli pendant ce même tems la diagonale
AP du- parallélogramme ALPN par le concours de fon
mouvement fuivant AL.,..&de celui de cette Régie AL
fuivant AN 5 &; confequemment le- mouvement de cette
Fourmi fuivant AL venant de réfülter des trois fuivant
AB , AC , AM , celui qu elle aura ici fuivant AP , lui ré-
Alitera des quatre uniformes fuivant AB ,AC 3 AM 5 ->
AN , qu’on lui voit effectivement avoir par rapport à
leurs parallèles en parcourant ainfî AP : il en fera tou--
jours de même jufqu a la dernier© diagonale de tout ce
qu’il pourroit y avoir ici d’autres parallélogrammes con-
itruits comme dans le Corol. 6 . De forte qu’en parcou-
rant ainli cette dernière diagonale , cette Fourmi aura
à la fois, toutes les déterminations exprimées par les di«-
reétions de tout ce que ces parallélogrammes auront de.
cotez par le point A ,& avec des forces ainfi. dirigées
qui feront entr elles comme ces cotez.

III. Voilà donc dans la nature tout le contenu du
prefent Leni. z. & de Les Corollaires , fondement de tou-
te la doctrine des mouvemens compofez employez(com-’
me j’ai déjà dit ) par Archimede dans la defcription d&
la fpirale, & par plufieurs autres Géome-tres du premier
ordre, tant anciens que modernes , pour la defcription
d’une infinité d’autres lignes courbes : voilà à la portée
de tout le monde une multiplicité de déterminations à la
fois dans un même corps , d autant plus grande , qu’il y
aura ici plus de parallélogrammes faits ,, ou imaginez
faits de Régies mobiles comme ci-deffus. Cette multipli-
cité de déterminations à la fois dans un même corps ,
s’offre même tous les jours aux yeux de tout le monde :
©n la voit dans chaque clou , & même dans chaque point
de la eir conférence des roués de caroffes, de chariots- &
de charettes , qui avancent en roulant : on la voit dans
un homme qui dans un vaiffeau y marche en tout autre:
fens que celui du vaiffsau : on la voit dans toutes les •
parties de notre corps., lefquelles outre le gouvernent-
commun du marcher, ont encore leurs mou vfmsnspar-

jh

*4 N O U V ELLE ^ • *'

Jfcidiërs : on la voit généralement dans tout corps lira
fur un autre , qui fe meut atifii lui-même fur un autre,
lequel fe meut encore fur un autre, celui-ci encore fur
un autre , & ainfi de tant de corps qu’on voudra.., qui
tranfportez les uns par les autres , Le meuvent . en fens
differens , dont celui; qui eft porté par tous les .au-
tres, & qui n’en porte aucun , a toutes les détermina-
tions à la : fois. Cette multiplicité de déterminations dans
un même corps ell enfin fi fréquente dans la nature , où
une infinité de mouvemens réfultent du concours de plu-
sieurs chocs , qu’il y a lieu de eroire qu’il ne s’y . fait
prefque : rien que par des compofitions de mouvemens 5
& qu’ainfi le prefent Lem. z. n’eft pas feulement vrai,
mais auflî très-propre à expliquer la plupart des mou-
vemensde la nature, & à déterminer ce qui les doit em-
pêcher y eaufer l’équilibre dont il s’agira dans, la
fuite.

IV. Il faut pourtant avouer que ceux qui croyant
fur la parole de M. Defcartes , qu’il fe conferve toujours
une égale quantité de mouvement dans. le monde, pen-
dent qu’il ne s’y en détruit point du tout, ne s’accommo-
dent pas de ce Lennne <2. lequel prouvant ( ÇoroL 1.)
que la -force réfultante du. concours d’adion de. deux
autres quelconques dirigées Suivant des cotez de quel-
qu’angle que ce foit , elt - toujours .moindre que lafom-
;ïne de ces deux for ces, génératrices,. & d’autant moin-
dre que cet angle eft. plus obtus , prouve auffi ( Jx.j . )
qu’il doit toujours alors y avoir une perte de mouvement
d’autant plus grande : ils font autant. efiFra.yez de, ; cette
perte d’un fimple -mode, que s’il .s’agifloit d’une fu b fian-
ce anéantie. Mais qu’ils s’en prennent à la Nature êc à
la raifon , ■ qui démontre. ce -Lem. 2. Ou il; l’autorité de
M. Defcartes.fait.plus d’imprelfion fur . eux , qu’ils confi-
derent que ce grand Géomètre encore plus que ..Philo-
fopbe , â-teUement admis ce Lemme , que ..c’elt -fur lui
., qu’il a étajydi tout .ee qu’il a dit ,de la .P^eflexiom&._.de la
infraction de la lumière .dans .fa Pioptrique fans
*4 compter

s.

Megan rojJ R
Æonipter l’emploi qu’il en a fait; dans plufieurs endroits
de les Lettres , & ailleurs.

V. Ce qui doit pourtant confoler ces Cartefiens , c’eft F
que s’il feperd du mouvement dans les compofez , il en
renaît auffi de nouveau dans leur décompofition , en ver-
tu des differentes de'terminations qu’on y a vues dans les
art. i. z. 3. Car puifquele corps dur A, par exemple,
pouffé en même tems par deux autres durs E , E , fui-
vant les cotez AB , AC , du parallélogramme BC , avec
•des forces capables feparément chacune de lui faire par-
courir chacun de ces cotez en tems égaux, en parcour-
aroit { Démonfir. dti Lem . z . ) par leur concours , & en pa-
reil tems la diagonale AD , de même que fi au lieu d’être
ainli pouffé , il parcouroit de A vers B , 1 a Régie AB de
la vîteffe que le feul corps F lui adroit doimée en ce
fens, pendant que cette Régie toujours parallèle à elle-
même , Pemporteroit vers CD de la vîteffe que le feul
corps E auroit donnée vers là à ce corps A : ileft vifible
que lorfque ce corps A arrivera en D avec la Régie
AB en CD , s’il y rencontre deux autres corps durs
f, e , fur les lignes CD , BD , prolongées , fon mouvement
fuivant cette Régie AB, c’elt-à-dire alors , fuivant CD»
lui fei*a pouflèr en ce liens le corps /de la force dont il
la parcourt ; & que celui qu’il a avec cette Régie fuivant
BD , lui fera pareillement pouffer en ce fens le corps
e de la force dont ce corps A le meut avec cette Régie,
Donc ces corps /, e, doivent effedivement être pouffez
par le corps A en arrivant en D fuivant AD par le con-
cours d’adion des corps F, E, qui ( Hyp. ) le choquent à
la fois. Par confequent la force qui lui réfulte du con-
cours de celles qu’il communique ainli aux corps f,e 9
étant moindre ( Corol. ï . ) que leur fournie , &. égale à ce
qu’il en perd par cette communication qu’on voit réful-
«er de fon choc contre ces deux corps/, e, à la fois j il
fuitqti’alors il leur communique plus de force, & confe-
quemment auffi ( Ax.i. ) plus de mouvement qu’il n’en
perd par cette communication. Donc s’il y a (tw*. 4. ) d®

>

r%TS

\

Nouvel le

mouvement perdu dans le choc fîmultanée des deux
corps E,. F, .contre le corps A-, il y en a auffi de regagné
dans le choc de ce corps A contre les deux corps e ,.à
la- fois.

V I. Il efi vrai qu’il ne' leur' en donne pas tant qite
les corps E , F , en ont perdu en le choquant : un corps
dur qui en choque un autre pareillement dur , ne lui
communiquant jamais tout fon mouvement : mais les
corps e ,f, en pourront de même ( art. 5 . ) donner à d’au-
tres plus qu’ils n’en perdront , ceux-ci encore à d’autres^
& ainfi à l’infini 5 outre que ce gain pourrait meme fe
faire fans aucune perte precedente , fi le corps A étoît
pouffé fuivant AD contre les corps e , f, par une feule
force fimple égale à la réfultante du concours des chocs,
fie E , F , contre lidfc l’effet de cette force unique étant la
même chofef Coroi. 1 . ) que celui' de ce concours. D’où
l’on voit dans le choc des corps durs , que par cette dé-
compofition ( art. 5 . ) de. mouvemens il peut fort bien y
avoir à peu près autant de gain de forces ou de mouve-
mens , que de per te {art: 4. ) par leur eompofitïon i ce
qui fuffit pour' l’explication des Phenomenes; Des corps
à reffort l'auroient fait voir dans une moindre fuite de
chocs j mais il aurait fallu toujours revenir aux petits
corps durs, qui en caufent le reflort.

Une telle compenfation de gain & de perte dé mou-
vement , pouvant' en confier ver dans le monde une quan-
tité moralement égale 5 les C'artefiens effrayez: de ce qui
s’en perd ( Cor al.. 1 . ) dans les mouvemens compofez , doi-
vent fe raffiner d’autant plus que cette égalité morale
©fi fuffifante & beaucoup plus propre pour l’explication
fies Phenomenes , que la Metaphyfique &, rigoureufe fùp-
pofee par M.. Defcartes pour l’établiflement des Régies,
fiu mouvement } dont la plupart fe trouvent fauffes par
les autres principes mêmede: cet Auteur-

Au refie,, je ne me fuis tant étendu ici fur cet article ,,
que pour/atisfaire un- Cartefîen que la perte demouve-
ment quif le fait ( an. 4, ).dans les compofez, a foulevé

f

H E C A N I QJJ E 27

'■centre ces fortes de mouvemens dans les Nouvelles de la
République 'des Lettres du mois d’ Avril 170 5. art. 2 . pag.
585?. & fuiv.

Quoique les Lemmes (fi les Corollaires qui précèdent, ne
foient que pour des points mus chacun par le concours de plu-
sieurs puijjances quelconques dirigées d volonté > d application
qu'on vient de faire à des corps dans le Scholie précèdent ,
ne laijfe pas de valoir , ces corps pouvant être pris fi petits
quon voudra. Voici prefentement pour toutes fortes de corps-,
grands ou petits , mûs de même par le concours de plufieurs
puijjances quelconques dirigées d volonté \

FLEMME IIX

Soit prefentement un corps quelconque ÉFGH fans pefan-
■tcur , poufjé par le concours de. deux puijjances E , F , appli- F 4 -
.quées comme don voudra en E , F , fuivant de directions E C, 6 ‘ 7 ‘

F B , qui fajfent entr elles en A quelque angle CAB que ce
fait , dont les cotez, AC., AB , f oient entr eux comme ces puif-
fances E , F , foit.de ces cotez fait le parallélogramme ABDC ,
fur la diagonale AD , duquel fait M N perpendiculaire en A,

(fi rencontrée en M, N, par B M , C N, parallèles d cette dia-
gonale AD , fur laquelle prolongée ( s'il efi necefjaire ) foient
.aujji BP , CJjjj, perpendiculaires en P , Cela fait, (fila
- diagonale AD ( prolongée ou non )pajfant par quelqu'un des
points du corps EFGH, je dis ,

I. jpue.ce - corps EFGH reçoit de chacune des puijjances
E , F , deux impreffions d la fois : fçavoir , de la feule puiffan-
se E , deux impreffions fuivant AJjf, AN , dont les forces
font d cette puiffance E , comme ces cotez Ajfj AN du pa-
rallélogramme NJéfifont d la diagonale A C ; (fi de même de
îa puijjance F , deux impreffions fuivant AP , AM, dont les
forces font aujji d cette puiffance F , comme ces cotez AP , AM ,
du parallélogramme AP font d la diagonale AB.

IL Jpue ce que la puijjance E employé de jkrce , ou fait
effort fuivant AD fur ce corps EFGH , efi dérque lapuifi

%

zll t N Ô Ü V E L E E

fonce E en fait fur lui fuivant la meme
ire , comme AJéjfi, ejl à AP.

III. Jfoue le fur fous de force fuivant AN , AM, des puif
fonces E , F ,fe détruit ou s'empêche toujours mutuellement, ..

IV. £ju enfin le corps EF GH ainfi poufié par ces deux
pui fiances E F, a la fois , parcourra la diagonale AD du pa-
rallélogramme BC r ou la valeur de cette diagonale fuivant
fo direction de A vers D , par le concours d’ aêiion de ces deux
puifiances E , F , dans le même tems que feparément elles lus
auraient fait parcourir les cotez, correfpondans AC T . AB , de
ce parallélogramme , ou des longueurs équivalentes d ces cot-
iez fuivant leurs direêUons de A vers C t ,B..

De m o nst-ration-

Pare L Soient ET ,EV ,, perpendiculaires en T j,
:V 5 à CN, CQ^, prolongeas > & ER.., FS , perpendiculai-
res auffi en R , S , à BM , BP , prolongées , s'il eft neceffai-
te.- ( Corol. v. du Lem. 2.. ) La puiffance E dirigée ( Hyp.)
fuivant EC, fait feule fur le point E du corps EF GH la-
même impreffion que deux autres puiffances feraient en-
femble fur ce -point , lime fuivant EV l’autre fuivant
ET } à chacune defquelles dirigées fuivant ces lignes, la
puiffance E ferait comme EC à chacune! de ces. mêmes
lignes EV ,ET. Le corps EFGH reçoit donc enfon point
E deux: impreffions differentes- à la fois de la feule puif-
fànce E:fçavoir, une fuivant E V , 011 AQ^, d’une force
qui eff à celle de cette puiffance E ( Lem. 2. Corol . 1. )
ï: EV.EC: : AQ^ AC. Et l’autre fuivant ET ou AN.,
d’une force qui eft auffi. à cette même puiffance E ( Lem.
2. Corol. 1.) : : ET. EC:: AN. AC. On. démontrera de
même que ce même corps EFGH reçoit en fan point E
deux impreffions differentes à la fois de la feule puiffan-
ce F: fçavoir, une fuivant PS ou AP d’une force qui
eft à celle de cette puiftance F FS. FB r : AP. AB. Et
l’autre fuivant FR, ou ÀMyd’une force qui eft auffi à
cette rnênA puiffance P : : PR. PB:: AM. AB. Ce qui!
folioté 5°. démontrer.

1

• -•«•V / ■

X. KS.:

ligne , pour eu ton*

M E C AN ï QJJ E. ^

RT. 1 1. Cela étant > fi l’on appelle N , ce que
la puilTance E employé ainii de forces ou fait d’efforts
fuivant AQ^, AN > fur le corps EFGH ; &P,M, ce que
la puilTance F en. fait de même fur lui fuivant AP, AM;
Ton aura ici QJE : *. AQ^AC. Et P. F. : : AP. AB. Donc
( en raifon ordonnée entre ces deux dernieres analogies )
l’on aura ici P,,E : : AP. AC.- ou E. P : : AC. AP,- Donc
auffi ( en raifon ordonnée entre cette derniere analogie
êc la première de toutes ) l’on aura pareillement ici ;
Q. P : : AQ^ AP.. C’eft-à-dire, fuivant les noms précdens,
que ce que lapuiffance E employé de force ou fait d’ef-
fort ( QJ fur le corps EFGH fuivant la diagonale AD,
du parallélogramme BC, eft à ce que la puiffance F eu-
fait (P) fur ce corps fuivant la même direction fur ce
corps en même fens, ou en fens contraire comme AÇF
eft.à AP, Ce qu il falloit 2°. démontrer.

Par t- II I. La Part. a. donnant encore fuivant les*
noms précedensde la Part. r. N-E : : AN. AC.-Et M.F
2 : AM. AB. La fuppofition qu'on fait ici de F.E: : AB
AC. donnera ( en raifon ordonnée entre ces deux der-
nieres analogies ) M.E : : AM.. AC. ou E. M : : AC. AM.-
Donc (en. raifon encore ordonnée entre cette. derniere
analogie, -& la première de toutes celles-ci ) Ton aura pa-
reillement ici N.M : : AN.- AM. De forte que les trian-
gles ( conftr. ) femblables APB , DQC, qui ont AB— CD
&: AB. CD : : BP.CQj : AM.-AN. donnant ainfi AMaa:
AN , donnent aüffi M— N : c’eft-à-dire , les efforts M, N,,
fuivant AM-,. AN , des puiffances F,E, non feulement
directement contraires r mais encore toujours égaux en—
t-r’èux. Donc ( Ax. 3 . ) ces efforts M , N , fe détruifcnt
ou s’empêchent toujours mutuellement. Ce cju il falloir
y 0 démontrer.

P A R T.- I Y.. Pnifque la Part. 2. donne Q--P : : AQ^
AP. l’on aura auffi QiP : : AQ^ AQgKâP. Mais on
voit dans cette Part.. 2.. que la Part. 1. donne E. Qj : AC..
AÇf Donc ( en raifon ordonnée ) E.Q^P :\AAC. AQjy
AP... Ox le parallélogramme BC , & les angles ( conjtr.)

D if

3 o. Nouvelle ' - - v . .

droits en P,Q, rendant les triangles APB ; , DQC Sem-
blables ôc égaux en tout , donnent AP— DQ^Doncauffi
E. Qgt P : : AC. AQ_+ DQ^ fçavoir , E. Q— fd : : AC-
AQ^+DQ^, AC. AD. dans les Kg. 4. 6. Et E. Q^-P:.:
AC. AQt'DQj : AC. AD. dans.les Fig. 5,. 7-. Or ( Pan .
-l.-z.-3. )' l a Pomme QH-Pdes forces P, Q^, dans les Fig.
4. 6. &L leur différence Q— «P dans les Fig. 5 . 7. eft tout
ce que les puiffances E,.F , dirigées fuivant leurs pro-
portionnelles AC, AB ,Æn impriment parleur concours
-d’action au corps EF GH. Donc ce corps fera ici pouffé
de A vers D fuivant AD par le concours de ces deux
puiffances E , F , & d’une force à laquelle .elles feront
comme les cotez cor-refpondans AC,. A b. du parallélo-
gramme ABCD font à la diagonale AE). Donc aulîî
( Ax.S. ) ce corps EFGH , libre d’ailleurs , .parcourrais
diagonale AD du parallélogramme BC, ou une longueur,
équivalente fuivant la même direction de A vers D s
par le concours d’action de ces -deux puilfances E, F*
dans-le même tems que -chacune d’elles feparément lui
-auroit fait parcourir les cotez correfpondans AC , AB »
de ce parallélogramme , lefquels leur font ( Hyp. ) pro-
portionnels , ou des longueurs équivalentes fuivant leurs
directions de A vers C , B. Ce qu'il falloit 4 0 . ‘démontrer.

COIOLL A I R E L

•Des forces égales fuivant les mêmes directions ayant
( Ax. .2 . ) les mêmes effets , c’e d la même chofe que le
.corps EFGH doit pouffé- en des points E, JF., ;par les puif-
lances E , F ,, fuivant EC , FB , ou qu’il foit tiré en fes
points G, H, par les mêmes puiffances , ou par.ff égales
fuivant -les mêmes directions GC , HB. Donc foit que.. ce
.corps EFGA foit pouffé , ou tiré à la fois vers C, B., fui-
vant les directions AC , AB , par deux puiffances E , F,
ou G , FI , qui foie lit entr elles CQmine.cesç.Qtez 4 u pa-
rallélogramme ABCD.

i°. C^Ç deux puiffances E, F , lui donnerontecfem-
hic .par leur concours d’action j .Par h 4. ) une impreiffoja

Mé CAK ï-' Q^_Ü F.'- ft

ôuuorce de A vers D fui vaut la diagonale AD de ce
parallélogramme BC , capable de la lui faire parcourir-,
ou- une longueur équivalente en même fens de A ver-s
D, dans le même tems que chacune d’elles feparémenî
lui auroit fait parcourir chacun des cotez AG , AB de
ce parallélogramme , -lefquels leur font ( Hyp. ) propor-
tionnels i & confequemment les directions de ces deux,
puilfances E , F , & de la force réfultante de leur con-
cours , feront toutes trois dans un même plan,-
2°. Cette force réfultante du- concours de ces deux
puilfances E , F , ou G , H r à ce corps AFGH fuivant
cette diagonale AD du parallélogramme BC, fera donc
( Ax. 8’ ) à chacune de ces deux puilfanees, comme cette
diagonale AD à chacun des cotez correfpondans AG,
AB de ce- parallélogramme, proportionnels ( Hyp. ) à ces
puiilances , defquelles ils font aulïi ( Hyp. ) les directions.

3 °. Ce -que chacune de ees deux' puilfances E , F , ou 3
-G , H , employé de force ou fait d’effort fuivant cette
même ligne AD en même fens dans les Fig. 4, 6 . ou en
* fens contraires dans les Fig. 5, 7. ell [ Fart-. 2.) à cha-
cune d’elles comme chacune des parties AQ^, AP , de
" .cette même ligne AD , prolongée dans les Fig. 5 . 7. eil à-
chacun des-côtez correfpondans AC , AB du parallélo-
gramme A B CD.

4 0 . Ce que ces deux puilfances E,F,ou G, H, em-
ployent de force fur le corps EFGH fuivant AD, étant'
tout ce- que leur concours d’action fur lui leur en lailfe 5
pmifque ( Part. 3, ) le furplus de ce qu’elles en auroient
feparément fuivant AN, AM, fe détruit ou s’empêche
mutuellement par fon égalité Sc contrariété directe : li
l’on arrête ou détruit aulîi cette force ou imprelîion com-
mune fuivant AD > en lui oppofant directement un ob-
ftacle invincible , ou du moins qui lui foit égal en quel-
que point X, où cette direction AD prolongée rencon-
tre, le corps E , F , G, H 5 ces deux puilTances E >F, ou
<x,H, demeureront en équilibre entr’elles aÿec ce corps
en repos fur cet appui X, fans qu’aucune d’elles. feguiflè-

$£' ;N O ü V E L ï. É " v-ïse.-

faire pancher ou -mouvoir ..d’aucun côté, chacune délia
fe trouvant alors entièrement épuifée de force par une
extindion de leurs compofantes fuivant AN, ACQ, pour
: 1 a première E ou G de ,ces deux puiffances , & fuivant
AM, AP, pour la fécondé E ou H.

5°. Enfin de ce .que les efforts de A vers D fuivant
AD , des puiifances E , F , font en general ( Part. z. )

: : A.QjAP : : :t AQx AD. APxAD. 11 fuit que fi l’angle
JB AC des diredions de ces puiffances eft droits par exem-
ple, dans quelqu’une des Fig. 4. 6 . un tel angle rendant

AG=AQxAD , & AB— APxAD , les efforts fuivant
AD, de ces deux puiifances E, F, feront auffipour lors

.entr’eux : : AC. AB. c’eft-à-dire ( nomb. 1. ) comme les
quarrez, de ces mêmes puiifances.

Corollaire IL

Il fuit de ce Corol 2 . nomb. 1 . que tant que les dire*:
dions de deux forces pu puiffances qui agifient enfem- f
bie fur un même corps , feront eefemble quelqu’angle
entr’elles , ce corps doit fe mouvoir fuivant une troifié-
me ligne à travers de cet angle du, côté que ces deux for-
ces ou puifiances confpirent à le pouffer ou à le tirer , 1
à moins que quelque obfiacle ne s’y oppofe comme dans
|e nomb. 4. 4 e ce Corol. 2, Par çonlequent s’il arrive
que ce corps airrfi pouffé ou tiré demeure en repos, fans
que rien d’ailleurs l’empêche d’être mû par le concours
d’adion des deux puiffances qui le pouffent ou le tirent,;
il faut ,

j °. Que ces deux puiffances foient dirigées Suivant
<ane même ligne droite.

2°. Quelles y agiffent en fens contraires j autrement
.elles s’accorder oient à le mouvoir fuivant cette ligne.

3 0 . Qu’elles foient égales entr’elles j autrement il s’y
aiieuvrôit encore ( Ax, 5 . ) dans le fens de h plus forte
des deux,*-

Ain.fi iprfqudn, corps pouffé pu pstrdeax forces

àh

Megan i qjc; e: 3 3

, a la fois , ne laide pas de demeurer en repos , & elles en
-.équilibre fur lui , fans qu’aucun obftacle étranger les y
retienne comme dans le nomb. 4. du Corol. 1 . ou autre-
ment i il faut necelfairement alors que ces deux forces
agirent en fens contraires fuivant une même ligne droH
•te, & quelles foient égales entr’elles.

Corollaire III.

Ü fuit de même du Corol. 1 . nomb. 1 . qu’un poids at-
taché au bout d’une corde accrochée par l’autre bouta
un clou, ou fur un pieu mobile autour d’un appui , &
fans autre obftacle que la refl fiance de cette corde a in h
attachée , ou de ce pieu ainh appuyé , ne s’arrêtera en
repos que lorfque la direétion de fa pefanteur fera en li-
gne droite avec la leur j & qu’alors leurs réflftances fe-
ront égales chacune à fa pefanteur.

Corollaire IV.

Il fuit de plus du Corol 1 . nomb. 1 . que non feulement
Timpreflion réfultante du concours d'action des puiflan-
ces E , F , ou G , H, dirigées fuivant les cotez AZ , A Y,
d’un angle quelconque ZAY , doit le faire fuivant une
ligne droite AO, qui palfe à travers cet angle > mais en-
core que tout parallélogramme BC , dont la diagonale
AD fera fur cette droite AO, & les cotez AC, AB, fur
AZ , A Y , aura ces mêmes cotez AC , AB , entr’eux en
raifon des puiflances E , F , en G, H, dont ils font ( Hyp. )
les directions : autrement l’impreflîon réfultante du con-
cours d’action de.ces deux puiflances fur le corps EFGH,
ne fe fereit pas fuivant la diagonale AD du parallélo-
gramme BC j ce qui eft contre l’hypothefe : mais ( Corol .
ï . nomb. 1 . ) fuivant celle d’un autre parallélogramme „
dont les cotez pris anflî fur les diredions AZ., AY , de

feroient âitr’euxen

ces deux puiflances E , F , ou G , H ,
raifon de ces deux mêmes puiflances,

Cor o l l air e V.

Donc auffi lorfque l’impreffion réfultante au corps,.
IFGH du concours d’action de ces. deux puilfances E s „
F , ou G, H , dirigées, fuivant AZ, A Y , fe £ait fuivann
AO , tout parallélogramme BC , dont . la diagonale AD
elt fur AO', & les cotez AC, AB, fur AZ, A Y', aura
cette diagonale AD à chacun de ces cotez AC, AB,
comme l’impreffiun réfultante du concours de ces deux,
puilfances E , E , ou G , H, fera à chacune d’elles 5 pu if-
que ces deux puilfances étant alors entr elles ( Corol. 4. )
comme ces cotez correfpondans AC , AB , font auffi
( Corol. 1. nomb. %..) à l’impreffioa réfultante de leur con-
cours d’action fur le corps EF GH , comme ces mêmes
cotez AC , AB, du parallélogramme BC font à. fa dia-
gonale AD„

C O R O IL A I R E V L

Il fuit auffi duCorol. 1. nomb. 2. que le corps EF GH
aînfi poulfé ou tiré fuivant AD , par le concours des
puilfances E , F , ou G>, H , dirigées fuivant leurs propor-
tionnelles AC , AB , l’elt de même que s’il l’étoit en ce
fens de A, vers D fuivant la même AD par une feule
guilfance qui fût à chacune de. ces deux-là comme cette-
diagonale AD du- parallélogramme BC eft à chacun de
fes cotez correfpondans AC , AB 5 &: réciproquement.

D’où l’on, voit que la pefanteur d’un corps fuivant la
direction AD , ne fait fur lui que ce qu’p feroient en-
femble deux puilfances ou forces dirigées fuivant les co-
tez AC, AB , d’un parallélogramme quelconque BC a .
dont cette direction AD feroit diagonale , & qui feroient
à la pefanteur de ce corps comme ces cotez AC, AB,
feroient à cette diagonale AD.. Et comme cette diagona-
le peut être celle d’une infinité de parallélogrammes.
differens,on voit auffi que la pefanteur d’un corps pour-
voit réfulfer d’un concours d’une infinité de forces prifes
adnfi deux à deux; & comme chactme de celles-ci pour-.

m

ï E C A N I QJJ E. 35

toit de même réfulter de deax autres , chacune def-
quelles pourrait auffi réfulter de deux autres , & ainfi à
: l’infini j il eft vifible que la pefanteur d’un corps lui peut
réfulter du concours de plufleurs forces differentes iffues
de chocs faits contre lui par plulieurs parties à la fois du
fluide dans lequel il pefe ou tombe; il y a même bien de
, l’apparence que c’eft la caufe de fa pefanteur.

Co R O LL AIRE. VII.

Suivant le precedent CoroL 6 . un corps dur A fans pe- îig. t
fanteur , pouffé par une feule force ou puilfance E fui-
vant ED, oblique à un plan dur & immobile GH, que
ce corps rencontre en C , l’étant de même que s’il fétoit
par le concours de deux puiffances ou forces dirigées fui-
vant les cotez AC, AB du parallélogramme rectangle
BC, lefquelles fuflent à la puilfance E comme ces cotez
font à la diagonale AD de ce parallélogramme. Ce plan
GH étant directement oppofé à celle de ces deux autres
forces , qui feroit fuivant AC , & nullement à celle qui
fer oit fuivant AB , recevrait & foutiendroit ( Ax. 3 . )
tout le coup de la première, fans rien recevoir ni fou-
-■tenir de la fécondé. Donc ,

1 °. Le corps A pouffé de la force E fuivant ED ou AD,’
frapperait en C le plan GH d’une force qui feroit à cel-
là, comme AC eft à AD.

i°. Il couleroit après cela de C vers H fuivant CH
de la force qui lui réitérait feule & toute entière fuivant
AB, laquelle feroit à la force E , comme AB., ou CD
cfiltà AD.

CoROIL AL RE VIII.

Donc pour qd’un corps pouffé ou tiré demeure en re-
pos fur un plan, il faut qu’il le foit fuivant une perpen-
diculaire à ce plan en un point' où il le touche, ou com-
pris entre ceux où il le rencontre.; & réciproquement fi ce
Æorps eft ainfi pouffé ou tiré contre ce pla?i , il y doit
{ Ax. 3 . ) demeurer en repos , n’ayant ( Hyp ) que cette

M .

<1

JF'i ‘©vÿ3 ■

Pl A NC. 1 '

JF i fi. 10 .

0 ,

’jé Nouvel l ë

impreifion ou force perpendiculaire , à laquelle Fà'' réfN

fiance invincible du plan eft alors directement oppofée» •

\

G O- R O L L A H E I Xo

Tout cela, c’efl-à-dire , tout ce qu’on voit du plan
GH dans les Corol. 7. 8 . fe doit auffi entendre d’une fur-
face quelconque immobile MCN , touchée en C par ce
plan perpendiculaire ( Hyp. ) à la direction AC de ce que
le corps A a de force en ce fens , c eft-à-dire , d’une fur-
face courbe perpendiculaire en C à cette direction j puif-
que c’eil par la réfiflance directement oppofée de ce
point ou élément commun à cette furface courbe- quel-
conque MCN , & à fon plan touchant GH , que ce plan
foûtient ( Ax r.,.3 . ) toute la force du corps A fuivant AC,
fans s’oppofer en.aucune maniéré à fa force fuivant AB,,
ou CH. D’où l’on voit que ce corps A pouffé fuivant ED,
ou AD par la force E, rencontrant-ainfi perpendiculai-
rement en Cia fur face- courbe. & immobile MCN , de-
vrait continuer fon mouvement fuivant là tangente GH,
de cette même courbe & demeurer & fur l’une & fur
l’autre en repos en C> s’il n’étoit pouffé ou tiré contr elles
que fuivant leur commune perpendiculaire AC , à l’ex-
trémité G de laquelle il le touchât..

G O R O L L A ï R E X.

Soit prefentement le corps- EF GH pouffé ou tiré à la
fois par tant de puiffances E., F- ,. G, H , &c. qu’on vou-
dra , fuivant des directions quelconques EC , FB ,GM ,
HN , &c„ rencontrées chacune par quelqu’une d’entr’eL
les , ou par quelqtrune de, celles, des forces réfultantes du
concours de deux ou de plufieurs puiffances propofées.
Soit le parallélogramme BC, dont- les cotez AC , AB , pris
fur les directions concourantes en A des puiffances E , F ,
foient entr’eux comme ces mêmes puiffances , & dont la
diagonale DA. prolongée rencontre en K la direction GM
de la. puiffapce G. Soit prife fur elle KlC=rAD , & KM,
AO H G. E. De ces deux cotez KH , KIvl ., foit fait de pa-

• — j.

E> G' A N I- 0:17 E?' '$f

ï-kfl^granime RM dont la diagonale KL reilcontfe en S
la direction NH delà puiflance H. Soit auflî prife SQ=;-
KL-, & SN. AC: : H. F. De ces deux cotez SÇK, S N >
foit pareillement fait le parallélogramme NQjde la dia- '
gonale SP, duquel- on le fer vira comme l’on vient de
faire des autres AD , KL , s’il y a davantage de puiffan-
ces ; & toujours de même en quelque nombre quelles
foient.

Cela fait , il fuit des- nomb. i . i * du-Cofol. i . que le
corps EFGH , ainft pouffé ou tiré par toutes ces puiffan-
ces à la fois , 1 e fera toujours par leur concours fuivant
la diagonale du dernier des parallélogrammes faits com-
me ci-delfus , & d’une force qui fera à chacune- de ces
puiffances E,F, G, Fi, &c. comme cette derniere diago-
nale ( qui eft ici SP ) à chacune de leurs proportionnelles
AC, AP, KM, SN, Sec,

Car félon les nomb. i, 2,. du Corol. 1. l’impreflîon ré-
fültante du concours des puiffances E , F , au corps EFGH,
eft fuivant AD , ou KR , & d’une force qui eft à la puif-
faiïce E : : AD. AC ( à caufe de KR—AD ) : : KR. AC.
Mais ( Hyp. ) E. G : : AC. KM. Donc ( en raifon ordon-
née ) la force réfukante du concours des deux puiffan-
ces E , F , au corps EFGH fuivant KR , eft à la force ou
puiflance G : : KR. KM. Donc auflî ( Corol. 1- nomb. 1. 2 .)■
l’impreflîon réfultante à ce corps du concours de ces deux,
dernieres forces , c’eft-à-dire , du concours des. trois E *
F,. G,. eft fuivant KL ou 5 Q^> &: d’une, force qui eft à
la puiflance G : :-KL. KM ( à caufe- de* SQ==KL ) : : SQ^
KM.. Mais ( %. ) G. E : : KM. AC. Et E.H: : AC SN.
Donc le corps EFGFI eft pouffé ou tiré fuivant SQ__par.
le concours des trois puiffances E, F, G , d’une force
qui eft à la puiflance H: : SQHN. Donc auflî ( Corol. i.t •
nomb. 1.2.) ce corps eft pouffé ou tiré fuivant SP par
le concours de ces deux. forces-ci , .c’eft- à-dire-, parle
concours des quatre E , F , G ,, H , d’une force qui eft a.
la puiffance H : : SP. SH. Et confequemment qui eft à.
chacune des quatre E, F, G, H, du concours deftyueK

MH '

}0 ’N O Ü V E L L E _

les on la voit réfulter , comme SP.eft à chacune de leurs
proportionnelles AC , AB , KM, SN j ainfi de tant
d'autres qu’on voudra, ainli qu’on devient d’avancer»

■Co R O X L'AI R E ..XL

Suivant cela le corps EFGH ici pouffé ou tiré fui vaut
SP par le concours des puiffances E,F , G, H, dirigées
fuivant AC, AB, KM , SN, & en même raifon en tr el-
les que ces cotez des parallélogrammes BC , MR , NQ^
l’efh de même ( Ax. % . ) qu’il; le feroit par une feule puiff
fance dirigée de S vers P fuivant cette dernier e diago-
nale SP, & qui fût a chacune des précédentes E , F , G,
H, comme SP eft à chacune de leurs proportionnelles
.AC, AB , KM , SN j puifque ( Ccrol . vio. ) cette nouvelle
puiffance fuivant SP, feroit égale à la réfultante en ce
.feus du concours d’aclion de. toutes celles-là»

C O R O L L A I RE .XI J.

Donc fi l’on place en quelque point X de rencontre
• du corps EFGH parla dernière diagonale SP, un appui
ou une puiffance directement contraire fuivant XS à la
force réfultante du concours des précédentes E,F,G lî(
H , fuivant cette deriiiere diagonale SP , & d’une puif-
fance ou force égale à cette réfultante j cet appui ou cet-
, ; te puiffance X ( Corol. a. du firme, gener. ) retiendra le
.tout en équilibre ou en repos: & réciproquement, fi cet
appui ou cette puiffance contraire retient ainfi le tout
en repos, il faut ( Ax. 4. ) que lui ou elle foit d’une ré-
f fiance ou force égale à, la réfultante du concours des
puiffances E, F, G., H, & fuivant la ligne de direction
PS de cette force réfultante à contre-fens.

C O R O L L A I R E XII L

ç, Lorfque toutes les forces concourantes E , F , G, H;
fe réduifent à deux E,F , comme dans les Fig. 4. 5,6.7^
du prefentLem. 3 . alors AD étant la première & ;la den-
niere des diagonales prouvées dans le Coroh 1 o. ce qu’on

_ M'è c'a n r qjct e. 3ÿ

Fient de voir de SP dans les' Fig. <?. 10. fe doit dire auffib
de AD dans les Fig. 4. 5. 6. 7. Par confequent ( CVcA
r=z. ) F l’on place en quelque point X de ceux où la dia-
gonale AD rencontre le corps EF GH , un appui ou une
puiflance directement contraire fuivant AD à la force
réfultante du concours des deux E,F, fuivanc la même '
AD j & d’une, réfiftance ou force égalé à cette réfultan- -
te à contre-fens j cet appui ou cette puiflance X retien- -
dra le tout en équilibre conformément au 110111b. -4. du
Corol. r.Et réciproquement fi le tout eft ainfl retenu en-
équilibre par cet appui ou par une puiflance , cet appui
doit être d’une réfiftance , ou cette puiflance d’une for-
ce égale à la réfultante du concours des. puiflances E , F,
6e fuivant la direétion DA de cette force réfultante à
contre-fens. D ou l’on voit que cet appui ou la puiflan- -
ce fubftituée en fa place contre la force réfultante du :
concours des puiflances E , F , doit être alors dans leur
plan, c’eft-à-dire , avoir fa réfiftance dans le plan des.
directions des puiflances E , E , & une direction qui pafle -
à travers l’ingleBAC de celles-là, •

s. ’ —

G o r o l lui e XI Y..

Donc aufli trois puiflances E , X , F , appliquées comme
Ion voudra à un même corps DE ne peuvent demeurer
en équilibre entr’elles , & le tenir ainfl en repos 3 ,à moins,
que leurs trois directions ne paflent le long d’un même
plan , par un même point, chacune à travers l’angle
compris entre les deux autres 5 ce qu’on verra dans la
fuite s’étendre jufqu’au paralleliflne de ces trois dire-
étions entr’elles : puifque celle X de ces trois puiflances
qui réflflera feule aux deux autres , doit ( C-orol. 12.)
avoir pour cet équilibre une direction qui foit la même
à contre-fens que celle AD de la force réfultante du
concours des deux autres E , F 3 -& confequemment une -
direction XA qui (comme AD) pafle parle concours A,
des. directions AC , AB , de ces deux -autres puiflances E a

4© '' Nouvelle

*F , dans le n plan de ees deux directions-ci , & à travers
leur angle BAC

Corollaire XV.

: pie. i r ( . i a D’où l’on voit que 11 un poids BCGH , dont DX foit la
direction de la pefanteur qu’on lui fnppofe prefentement,
eft foLitenu par deux puilTances E , F , avec des cordes EC,
FB j la direction DX prolongée de ce poids ainfl en équili-
bre avec ces deux puilTances , paflera toujours -par le con-
cours A de leurs directions prolongées EC , FB , dans leur
plan , & à travers leur angle BAC j puifque fans' cela ces
deux puilTances E , F , & la pefanteur de ce corps, qui
en eft une troifiéme , ne feroient point ( Corol. 1 4. ) en
, équilibre , entr elles, j ce qui eft contre l’iiypothefe.

Ce fera la même chofe ( Ax. z . ) A au lieu des deux
puilTances E,F, 011 fuppofe deux clous en leur place.,
aufquels lein;s deux cordes foient accrochées.

Corollaire X V I*

fiX&iït: Donc aulîî.le poids BCGH de la Fig. i'z. fufpendu a
un feul clou A par le moyen de deux cordes CA , BA ,
qui y feroient accrochées , n’y peut être .en équilibre ou
en repos que lorfque fa direction DX paflera par ce
point de concours A, puifque ( Ax. z.) ce clou ou cro-
chet A réflfteroit ici fuivaiit AC, AB, au poids BCGH,
comme feroient les deux puilTances E , F ., en équilibre
avec lui, fl toutes deux en ce point A, elles lui étoient
appliquées fuivant les mêmes directions EC, FB»

■Corollaire XVII.

I; j ffi> -De même dans la Fig. 1 1 . les puilTances E , F, réflftant
au poids BCGH par le moyen des cordes EC , FB , com-
me feroient ( Ax. 1. ) deux pieux AG , AH, fuivant les
mêmes directions 5 ce poids BCGH ne peut demeurer non
plus ( Corol. 1 y. ) en équilibre ou en repos fur ces deux
pieux appuyez en A , q ne loriq ue la direction DX paflera

H

(

C O K O L L A I R E XVIII.

Il en feroit de même non feulement dans la Fig. 1 1. Fls,II ‘
il ces deux pieux , au lieu d’être appuyez en A , letoient
en M , N , fur un plan ou furface fixe quelconque PQ^,
fur laquelle ils ne pufient que fe mouvoir autour de ces
deux points M , N , fans glilfer j mais encore dans la Fig.
i 2. fi MG, NH, y e'toient deux pieux ainfi appuyez en
M , N , fur la furface fixe PQ^_, ce que leurs directions
concouruffent en A: on prouvera, dis-je, de même en-
core que le poids BCGPi , ne peut point du tout être en
repos fur ces deux pieux des Fig. 1 1. i 2 . foit que les
directions de ces pieux concourent haut ou bas, à moins
que celle DX de ce poids ne palfe par leur point de con-
cours A.

Corollaire XIX.

Si l’on imagine prefentement en équilibré entr’elles
quatre puiffances E , H , G , F , appliquées à autant de
cardons CE , CH, BG, BF , attachez deux à deux aux
extrêmitez C, B , d’une autre, corde , ou verge CB, &
qui prolongées concourent aufii deux à deux en deux
autres points quelconques AD , il fuit encore du précè-
dent Corol. 1 4. que l’effort réfultant du concours d’ac-
tion des deux puiffances H , G, de directions concouran-
tes en D, & le réfultant du concours d’action des deux
puifiances E , F , de directions concourantes en A , au-
ront DA pour direction commune en fens contraires >
püifque l’effort réfultant du concours d’action en D des
deux puiffances H , G , en équilibre ( Hyp. ) avec les deux
autres E,F, fait la fonction d’une nouvelle puiffance qui
égale à lui , & appliquée en D fuivant fa direction , fe-
roic feule équilibre avec ces deux-ci E, F , & que réci-
proquement l’effort réfultant du concours d’aétion en A
de ces deux dernieres puiffances "

42 Nouvelle

d’une nouvelle puiflance , qui égale à lui, &: appliquée
en A fuivant fa direction , feroit feule équilibre avec les
deux autres puiffances H , G,

Ce raisonnement conviendra également a tout ce qu on vou-
dra exprimer dé autres cas de ce Corol. i 9. par rapport k ce
que les points A , D , peuvent avoir de portions differentes de
celles quon leur voit dans la pre fente Fig . 1 3 . qui feule fuffvt
ici , les autres étant . aifées k imaginer fur elle.

Corollaire XX.

Deux clous ou crochets en E , F , à la place des deux
puiffances de ces noms réfiftant ( Ax. 2..) comme elles
•aux deux autres puiffances H , G , il fuit du précèdent
Corol. 1 9 . que la dire&ion de l’effort réfultant du con-
cours d’adion de ces deux dernieres puiffances H , G ,
pafferoit toujours du concours D de leurs diredions par
ie concours A des diredions des cordons, accrochez aux
crochets fuppofez en E , F.

S CHOLM.

I. N’y ayant dans une queftion que ce qu’on y fuppo-
fe,ilefl vifible que ne fuppofant dans le préfent Lcnn
3 . aucune réfîftance differente de ce que les puiffances
fuppofées s’en peuvent faire l’une à l’autre comme dans
la Part. 3 . de ce Lemme ,.ee feroit fortir de la que it ion >
que de vouloir en confiderer ici d’autre que celle-là. Il
ne faut cependant pas dire pour cela que les mouvemens
précedens n’étant tels qu’on les vient de démontrer que
dans le vuide , le rapport des forces qu on en a conclu ,
ne feroit d’aucun ufage dans un milieu réfiftant i puif-
que l’équilibre qu’on en verra réfulter dans la fuite con-
formement au Corol. 1 . du principe general , fe feroit
dans le plein comme dans le vuide le plein ne réfiftant
qu’au mouvement & non au repos : de forte que fi deux
ou plaideurs forces appliquées à un même corps, fe foû-
tenoient mutuellement en équilibre fur ce corps en re-
pos dans unefpace vuide, elles s’y foutiendroient appli-

'?

Mîcani OJJ e. 43

même dans un efpace plein. D’où l’on voit non
feulement que le rapport des forces, qui cauferoit l’équi-
libre dans le vuide , le cauferoit aulfi dans le plein où
elles auroient de femblables applications } mais encore
que la celfation de ce rapport , ou de la relfemblance des
applications de ces forces , qui cauferoit la rupture de
l’équilibre dans le vuide , la cauferoit aufli dans le plein
,avec cette feule différence que le mouvement qui en
.rélulterok , fe feroit plus lentement dans le plein que
dans le vuide , à moins que cette différence de forces ne
fût au deffous de la moindre réfiftancepoffible du plein.
Donc en fait d’équilibre , il feroit inutile de demander
s’il fe fait dans le plein ou dans le vuide , pour avoir ( du
moins à une petite différence près ) le rapport des forces
qui le caufent , & réciproquement. C’eft pour cela qu’à
l’exemple de tout ce qu’il y a eu d’ Auteurs qui ont traité
-cette matière , nous ne parlerons plus de cette différence
des milieux.

1 1. Quant aux frottemens des corps les uns contre les
autres , l’accrocbement ( pour ainfi dire ) que l’afperité de
.leurs furfaces peut caufer entr’eux par l’engrenement
des parties de ces furfaces les unes dans les autres , fai-
sant ( comme le peu de réfiftance du plein ) la fonction
d’une force ou puiffance qui retiendroit ainff les corps
les uns contre les autres , & toujours en faveur des plus
ffoibles contre les plus fortes qui leur feraient appliquées,,
pourroit fort bien aider à les retenir en équilibre , fans
que ces autres puiffances fuffent entr elles dans le rap-
port qu’il faudrait dans le vuide pour cela ff ces frotte-
înens n’étoient d’aucune réfiftance, quoique ni eux, ni
la réfiftance du plein ne puiffent l'empêcher quand ce
rapport s’y trouvera. C’eft ce qui nous fera négliger dans
la fuite ces frottemens avec la réfiftance du plein , com-
me s’ils n’en faifoient aucune 5 fauf à y compter fuivant
l’Ax. z. & la Demand. 1 . tout ce qu’ils en ont , en le pre-
nant pour une puiffance d’une force ou réfiftance qui
lui fait égale , quand on l’aura connu.

FÜL

\

44 Nouvelle

Les Géomètres a- qui les trois Lemmes précédées avec leurs
Corollaires , fe présentent tout d’un coup , feront fans doute
furpris de la maniéré fcrupuleufe dont je viens de les démon-
trer, <& du- grand détail que j’en viens défaire : au[fi aurcis-
je fuppofé tout cela comme connu , fi je n’avois eu affaire qu a
eux ’> mais j’ écris pour des Commençant , à qui- il faut- tout
expliquer , & ce dé autant plus ici', que c’efl fur ces trois Lem-
mes , & furie principe general qu’efl fondé tout ce qu’on: va
voir des propriétés des Machines.

JL E M M E IV.

Flufeurs puiffànces étant appliquées k autant de cordons
rattaches enfemhle par un feul & même nœud commun que
rien autre chofe ne retienne i l’équilibre ejl impoff blc entre
ces puiffànces ( quelles quelles foient , & quel qu’en foit le
nombre ) lorfqu elles font dirigées de maniéré qu’un plan puijf e
paffer par le nœud commun de leurs cordons fans paffer entre
elles , & fans quelles foient toutes dans ce plan.

Démonstration.

Il eff manifefte qu’un plan qui rencontreroit ainff tous
les cordons des- puilTances fuppofées , auroit toutes- ces
puiffànces tirantes d’un feul côté par rapport à lui , ou
quelques-unes tirantes -vers ce côté-là pendant que tou-
tes les autres tireroient fuivant fa direétion. Donc ( Corot
6-duLem. i. & Corot io. du Lem. 3 . ) de quelque ma-
niéré qu’on combine toutes ces puiffànces , il ne relui tera
du concours de toutes qu’une imprelïïon totale vers lé
coté qu’il y aura des puiffànces hors le plan fuppofé.
Donc ( princ.gener . )il ne pourra y avoir alors d’équilibre
entre toutes ces puiffànces. Ce qu.il falloit démontrer.

Corollaire I. .

Donc quelques- foient- les directions de plus de deux
cordons ( en quelque nombre qu’ils foient ) attachez tous
enfemble par un feul & meme nœud , & quelques pu if-

M ïcan i qjej 4 ,'f

fanceJ^qii’on leur applique , une à chacun 5 l'équilibre
entr 'elles fera impoflible.

i°. Dans le cas de tous leurs cordons en même plan,
fi la direction de quelqu’un d’eux ne divife pas quel-
qu’un des angles que les autres cordons font entr’eux 5
puifqu’un autre plan que le leur , mené fuivant ce cor-
don-là , les rencontreroit alors tous en leur nœud com-
mun , fans paffer à travers d’eux.

2°. Dans le cas des mêmes cordons en plans différ ens,
fi quelqu’un de ces plans prolongé ne paffe non plus à
travers des cordons des autres plans , puifque celui-là
fera lui-même , alors un plan qui rencontrera auffi tous
ces cordons en leur nœud commun, fans paffer à tra-
versd’eux.

G.o R O LL AI- R E IL f

Il fuit encore de ce Lemme-ei , quelques foient les di-
rections de plus de deux cordons ( en quelque nombre
qu’ils foient encore ) attachez tous enfemble par un feul
& même nœud, qui foit. regardé comme le. centre d’Cin
cercle au: d’une fphere 5 que h ces cordons ne font pas
répandus en plus d’un demi-cercle ,.lorfqu’ils font tous
en même plan, ou en plus d’une demi-fphere-, lorfqu’ils
font en plans différons. 5 quelque puilfance qu’on leur
applique, une à chacun , elles 11e pourront jamais être
en équilibre entr 'elles fuivant ces directions : puifqu’on
pourra toujours alors faire , paflêr un plan par le nœud
commun de ces cordons, .fans le faire palier. entr’eux,
&. fans qu’ils foient -tous, dans ce plan. -

Il efi vif b le que . chacun de ces Corollaires fuit auffi , de '
l'autre & qu ils fe prouvent .mutuellement tous deux.

LEMME Y.

L. Lorfque tous les cordons if ils d' un même. nœud , font di-
rigez, fuivant un même plan-, & répandus en plus d'un demi ’
cercle y Un y en a aucun qui, prolongé par delà ce nœud corn- -
mun y ne paffe entre les autres cordons.

4-é Nôü vi ixÉ

Car s’il n’y pafloit pas , il feroit le diamètre terminant
d’un demi-cercle dans lequel feul lui & les aurres cor-
dons feroient alors tous répandus s ce qui eit contre l’hy-
pothefe. Donc , &c.

IL Dans la même hypothefe de tous, les cordons dirigez,
fuivant un même flan , é" répandus en plus d'un demi-cercle ,
quelque ligne droite qu’on mene -ou qu on imagine fur.ce plan
par le nœud commun de tous -ces cordons , fans paifer le long
dé aucun d'eux , elle paffera toujours de part & d’autre de ce
nœud , d travers deux des angles que ces cordons feront en -
freux .

Car fi elle ne pafloit à travers aucun de ces angles
elle feroit-' le diamètre terminant d’un demi-cercle dans
..lequel feul tous ces cordons feroient alors répandus j ce
qui efi contre Phypothefe. Et fi cette ligne droite ne
pafloit à travers que d’un des angles de ces cordons , les
deux cordons voifins à droite & à gauche de cette ligne
droite du côté où elle lie pafiferoit à travers aucun de leurs
angles feroient en ligne droite terminante aufli un demi-
cercle , dans lequel feul tous ces cordons feroient alors
.répandus j ce qui efi: contre l’hypothefe. Donc toute ligne
droite mene fur le plan & par le nœud commun detous
xes cordons , paffera toujours à travers deux de leurs an-
gles de part d’autre de ce nœud. Ce qu’il falloit dé-
montrer

III. Lorfque tes cordons font dirigez fuivant des plans
■ dijferens , & répandus en plus d’une demie-fphere j il ny a
aucun de ces plans qui prolongé par de-ld le nœud commun
de ces cordons , ne pafje entre les cordons des autres plans.

Car s’il 11 y pafloit pas , il feroit le plan d’un grand
cercle terminant une demie-fphere , dans laquelle feule
tous les cordons feroient alors répandus j ce qui eft con-
tre Phypothefe. Donc , &ç

S C H O L I

La raifon qui vient de faire voir ( Part. 2. ) que toute
ligne droite menée par le noeud fur le plaa.commun

r

n

.r" M £ C A N I QJJ t,
de placeurs cordons qui y feraient tous répandus en plus
d’un demi- ter cle, fans le faire paffer le long d’aucun de
ces cordons j palferoit toujours à travers deux de leurs
angles de part & d’autre de leur nœud commun : cette
raifon , dis-je, fera voir de même que tout plan mené
par le nœud commun de plu fleurs cordons répandus en
plus d’une demie-fphere , fans le faire paffer le long d’au-
cun d’eux , pafferoit auffi toujours à travers deux de
leurs angles de part & d’autre de leur nœud commun..

Les Figures de ces deux derniers Lem. 4.. 5. étant faciles
h imaginer , on a négligé de les ajouter ici , ér ce dautant
qu'il y aurait fallu exprimer des plans à angles différons avec
celui de la Planche , plus difficiles^ tracer , ér h reconnaître
fur elle , qu'à fe les reprefenter fur le difcours que l' embarras
de ces Figures n aurait fait que rendre plus long & moins clair .

AVERTISSEMENT.

Jufqu’ici nous n’avons employé de Géométrie que quel-
que cliofe des fix premiers Livres & de l’onzième des
Elemens d’Euclide. Voici prefentement quelques Lem-
mes de pure Géométrie , qui n’en fuppofe pas davantage :
c’eff pour rendre plus univerfelle l’application du pre-
cedent principe general aux machines , & pour faire
qu’aucun cas n’échappe à la généralité de nos propofi-
lioiis , lefquelles n’exigeant dans le Lecteur que la valeur
de ces fept Livres d’Euclide , feront ( ce me femble ) à la
portée des Commençans attentifs : c’eft pour eux que
j’ajoute les Définitions fuivantes , qui ne fe trouvent'
point dans Euclïde.

Définition IX.

Si d’un point quelconque D de la demi-circonference p x
CDF d’un cercle, dont A foit le centre , on laiffe tomber
une perpendiculaire DE fur le diamètre CF en E j cette
perpendiculaire DE eft également appellée Sinus des an-
gles CAD, DAF, ou des arcs CD, DF, mefures de ces
angles. Suivant la même dénomination lé rayon B A per=

■A*'

G,

4' 3 N 0 U V E L L E

pendiculaire auffi fur CF , eft pareillement appelle Sinus
de chacun des angles droits CAB , BAF , ou de chacun
des quarts de cercle BC , BF , & comme ce Sinus AB
cille plus grand de tous , on l’appelle .Sinus total, fur le-
quel fe meiurent tous les autres. D’où l’on voit que fon
égal AD doit auffi être pris pour Sinus total, dont DE
fait un des Sinus partiaux. De forte que.,

Corollaire I.

Dans le -triangle rectangle AED ., en prenant AD pour
le Sinus total, ou de l’angle droit E, l’on aura DE pour
le Sinus de l’angle DAC ou DAF j & par la même rai-
fou l’on aura auffi AE pour le Sinus de l’angle ADE.

Corolla.ïre IL

On voit auffi que deux angles DAC, DAF , compîe-
mens l’un' de l’autre a deux droits , c’eil-à-dire , dont la
fomme vaut deux droits ont chacun le même Sinus DE,
•en prenant toujours AD pour Je Sinus total.

D E F 1 N 1 T 1 6 n X.

Si à l’extrémité C du rayon AC , on mene une per-
pendiculaire , ou tangente CM, laquelle foit rencontrée
en G par l’autre côté AD prolongé de l’angle CAD 5 la
partie CG de cette perpendiculaire, eft appellée Tangente
de cet angle CAD , ou de l’arc CD. De même il a l’ex-
tfêmité F du rayon AF , on mene une perpendiculaire
FN , laquelle foit rencontréé en H par l’autre côté DA
prolongé de l’angle FAD complément du premier CAD
a deux droits j la partie FH de cette fécondé perpendi-
culaire fera auffi. appellée Tangente de ce complément
FAD ou de l’arc FD.

Corollaire.

Les lignes CG , FH , étant égales entr elles , de même
le font les autres cotez AC , AF , des triangles ACG,
A;FH ( cpnjtr, ■) femblables on voit que les tangentes des
■Hüfc- ’ deux

^ M Ê-c â n i qj; e; 4.9

deux angles compiemens l’un de l’autre à deux droits ,
font toujours égales entr elles, de même que. leurs finus
le font toujours ( .Défi y. Corel. 2. ) entr’eux j c’efl-à-
dire , que deux angles compiemens l’un de l’autre à deux
droits , ont toujours la même tangente & le même finus.

Il en eft .de même de AG, AH , qu’on appelle leurs
Sécantes.

D E FI N I TI O N XL

■Xorfqu’un angle à force de devenir aigu , s’évanouit
en parallelifme de fes cotez entr eux , foit qu’ils foient
ou non confondus en un , on l’appelle infiniment aigus
& lorfqu a force de devenir obtus , fes deux cotez de-
viennent ( comme bout à bout ) en ligne droite , on l’ap-
pelle ■ infiniment obtus.

C O R O.L L A I R E.

On voit de-là qu’un angle infiniment aigu en a. tou-
ours un infiniment obtus pour complément à deux droits,
A: réciproquement

LE MME IV.

A l' infant qu un angle rcÏÏiligne s’ évanouit à force de
■diminuer , fes cotez, deviennent parallèles entr eux.

Démonstration.

Car le parallelifme de ces deux lignes entr’elles ( dont
■la réduction de ces mêmes lignes en une , eil une efpe-
ce ) naifTant de 1 eyanouiffement du dernier , c’efl-à-di-
re , du plus petit des angles quelles puilfent faire entre-
belles , la fin de ce dernier angle doit être le commence-
anent de ce parallelifme , & nomme le terme où ils fe
mouchent , pour ainfi dire ; par confequent à l’infiant
: de cet évanouiffement il doit y avoir -tout à la fois entre
-ces deux, lignes & angle finiffant , &; parallelifme naif-
fant. Donc à l’infiant que leur angle s’évanouit à force
de diminuer , elles deviennent parallèles entr’elles. Qe
. qu.ilfiaüoit , démontrer „

A

)

5 o

Nouvelle

Corollaire I.

Cet angle finiffant ainfi ( Définit, i i.J par l'infiniment
aigu , il s’enfuit que deux lignes droites arrivées à ce
terme , le font auffi à leur parallelifme , & confequem-
ment que lorfqu’elles ne font plus entr’elles qu’un an-
gle infiniment aigu , elles peuvent à la rigueur paffer
pour parallèles , & réciproquement puifqu’elles n’ont
plus de chemin à faire pour palfer de cet angle au pa-
rallelifme,

C O R O L L AI RE I L *

Si de deux points fixes partent deux lignes droites
mobiles chacune autour du lien , lefquelles falfent en-
tr’elles un angle qui devienne aigu de plus en plus par
l’éloignement continuel de fon fommet * ces deux lignes
feront (Coroi. i . ) parallèles entr’elles lorfque ce fommet fe
trouvera infiniment éloigné de leurs points fixes , l’angle
qu’elles feront entr elles, fe trouvant alors infiniment aigu,

C OR O LL A I RE III.

Si au contraire d’un même point fixe partent deux
lignes droites, dont l’angle compris entr 'elles , devienne
enfin infiniment aigu 5 alors ces deux lignes devenuës
( Corol, 1. ) parallèles entr’elles, palfant ( Hyp. ) par un
même point, fe confondront en une feule 8 c même ligne
droite, & la bafe de l’angle fini quelles faifoient aupa-
ravant entr’elles , fe trouvera alors anéantie ou réduite
en un point, fi ces deux lignes étoient égales,, ou égale
à leur différence pareillement confondue avec elles, fi
-elles étoient inégales 5 réciproquement ces deux lignes
• feront égales ou inégales entr’elles , félon que leur angle
/Infiniment aigu rendra cette bafe nulle ou non,

-y O

Corollaire IV.

Deux lignes droites qui font entr’ëlles un angle infini-
ment aigu d’un côté, en faifant toujours un( Corol. Défi. 1 1)

/

ggp^ry; .. ..

M E C A N î QJJ E. 1 5 I

infiniment obtus de l’autre > il fuit que puifqu’elles fe dif-
pofent parallèlement [ Corol. 2.) ou fe confondent en
■ une ( Corol. 3 . ) du côte' de l’angle infiniment aigu , elles
doivent fe difpofer en fens directement contraires paral-
lèlement, ou en ligne droite bout à bout du côté de 1, an-
gle infiniment obtus.

LE MM E VIL

De quelque maniéré que la ligne droite AD divife î angle f î5 . i$;
rectiligne BAC,leJinus de cet angle total BAC fe trouvera;

..égala la fomme des finus des angles partiaux B AD , BAC ,
lorfque ce même angle total fera infiniment aigu.

Démonstration.

Du centre A , & d’un rayon quelconque AE
l'arc de cercle EFG, qui rencontre AD , ÂC , en F , O }
des points E,F , foient EH., FK , perpendiculaires en H ,
K, lur AC , la première EH rencontrant AD en L , &
du point E la droite EG perpendiculaire auffi en G fur
ÀD. Cela fait, fi l’on prend AE, ou Ion égale AF pour
finus total , l’on aura ( Défi y. Corol. 1 . ) EH , FK , EG,
pour les finus des angles BAC, DAC , B AD.

Je dis donc que lorfque l’angle total BAC fera deve-
nu infiniment petit , fon finus EH fe trouvera égal à la
fomme des finus EG , FK, des angles partiaux B AD,
DAC ) c’eft-à-dire , qu’alors on aura EH—EG--+FK.

Pour le voir , il 11’y a qu’à confiderer que lorfque l’an-
gle total BAC fera infiniment aigu , les deux partiaux
B AD, DAC, le feront auffi j & confequemment ( Corol.
i.du Lem. 6 . ) que les trois droites B A ,DA , CA, feront
alors parallèles entr’elles de l’une ou de l’autre des deux
maniérés marquées dans les Corol. x. 3 . du Lem. G. Donc
les angles ( Hyp. ) droits en H , K , G, rendront alors EH ,
FK , EG, perpendiculaires à chacune de ces trois parallè-
les ,-ce qui confondant EL avec EG , 6e LH avec FK ,
donne alors EG“-FFK~EL--+LPi— EH . Donc le finus
EH fe l’angle total BAC fe trouve alors égal à la fomme

■5 v Nouvelle ; \

des finus EG, FK,des angles partiaux BAD , DAC. C 4
qu’il fialloit démontrer.

Corollaire I.

Donc auffi pour lors le finus de celui qu’on voudra
de ces deux angles partiaux BAD ,DAC, fera égal à la
différence dont le finus de l’autre fera furpafle par le
finus EH de l’angle total BAC 3 c’eft-à-dire , qu’ alors
EG— EH-— FK , & FfcEH— EG.

C O R O L L A I RE IL -

Or en prolongeant DA-., CA , vers M , N -, l’on aura
auffi ( Défi. 9. Corol. 2. ) EG , EM, FN, pour les finus des
angles B AM , BAN , MAN 3 & lorfque l’angle BAC fera
infiniment aigu , fan complément ( à deux droits ) B AM.
fera infiniment obtus , & MAN infiniment aigu. Donc
lorfqu’un angle BAM infiniment obtus fera divifé en
deux , dont un -MAN foit infiniment aigu, le finus de
l’angle total BAM fera toujours égal à la différence
dont le finus. du.plus grand BAN des partiaux furpaffera
le .finus. du plus petit MAN 3 puifqu’alors ( Corel. 1 ... ) l’on
aura toujours E G— EH — E K ,

Quoique dans le Corol. 2.. les angles BAM, B AN ^infi-
niment obtus , fioient infiniment grands par rapport à /’ infini-
ment aigu MAN l’étant - aujji par rapport à leurs comple-
mens infiniment aigus B-AB , BAC , qui ont ( Déf. 9 . CuroL
2.) les mêmes finus queux ; leurs finus EG, EH, feront
infiniment petits , (fi de même genre que celui EK de l’angle
MAN > & confiequemment. E 6— Eif — E'K fiera ici dé une
valeur réelle , quoi qu’. infiniment.-- petite. C’efi pour rendre de
la plus grande univerfialité poffible les propofiitions & les (Co-
rollaires des ficelions fuiv antes , que nous en venons ici- ju.fi-
qu aux infiniment petits , dont l’idée feule fiujfira fans enfiça -
voir le calcul ridée à la portée de tout', le monde , avec un
feu dé attention. Bar infiniment petit., on n entend qu’une
grandeur moindre- que quelque affignable que ce fioit , laquelle,
au langage des Anciens , s'appellerait quantitas minor quavis,
data. .

S CHOL I E.

' <r

Les angles emH , K , G , étant ( Hyp. ) droits, èt le Gm
roi. 1. duLem. 6 . faifant- voir que lorfque l’angle BAC
eft infiniment aigu , 8 c confequemment auffi les angles
B AD , D AC j les trois lignes BA ,DA , CA , font paral-
lèles entr 'elles de quelqu’une des deux maniérés mar-
quées dans les Corol. 1. 3. de ce Lem. 6 . On vient de
conclure , fuivant la doctrine d’Euclide, que chacune des
lignes EH, FK , EG , efE perpendiculaire à chacune de
ces trois parallèles 5 & confequemment qu’alors LH eft
égale à FK , auffi-bien que EG à EL , qui pour lors fe
confond avec elle comme LH avec-FK. Pour voir tout
cela, il faut cônfîderer que lorfque les droites B A, CA,
deviennent parallèles entr’elles , tout ce qu’on en peut
imaginer d’autres par A dans l’angle BAC, le devien- ;
lient auffi entr’elles ( Lem. 6 .' Corol. 1 . ) -& à ees deux-là >
& confequemment que l’arc EFO perpendiculaire à to ci-
tes , dégénéré pour lors en une ligne droite , qui leur eft:
auffi -perpendiculaire, 8 c quipaffant parE, F, de même
que EH , EG,FK, perpendiculaire auffi pour- lors à ces
parallèles AC, AD , AB , doit fe confondre avec celles-
là , defquelles EG fe trouve pour lors au bout de FK en
ligne droite-, avec laquelle EH fe confond alors fur cet
arc EFO redreflê en une ligne EH—EG—fFK , confor-
mément au prefent Lem. 7.

L E MME VUE

De quelque point E de la diagonale AD d’un parallèle- j 1
gramme quelconque ABDC , qu on mene deux perpendicti- I 7-
taire s EF , EG , fur fe s cotez AB , AC, prolongez avec
cette diagonale oit befoin fera ; ces perpendiculaires feront tou-
jours entre lies en raifon réciproque de ces citez , cefi-a-im-c
JE-Jv EG :: AC. AB, ■

D E M O N S T RA T I O N.

Du point D foiènt DH, DK , perpendiculaires aufli
'fur les cotez AB , AC, du même parallélogramme ABDÇ.
Le parallelifme de fes deux autres cotez DC,DB, avec
ces deux-là, rendra les angles HBD— H AK— KCD, ou-
,tre les angles EAF— D AH , & EAGrmDAK. Donc les
angles en H, K, F, G, étant ( Hyp. ) droits, les triangles
DüH , DCK , feront femblables entr’eux , de même que
les triangles EFA, DHA , & que les triangles EGA,
DKA. Par confequent DH. DK : : DB. DÇ : : AC. AB.
Et EF. DH : : EA. DA : : EG. DK. Ou ( en permutant,)
EF. EG : : DH. DK. Donc auffi EF. EG : : AC. AB. Ce
qu il jalloit démontrer.

C O R O LL AIRE L

Mais E l’on prend AE pour le linus -total , l’on aura
( Déf p. Corol. i. ) EF , ËG, pour les linus des angles
EAF, E AG , ou de leurs égaux ou complemens DAB ,
DAC. Donc les cotez AC , AB , du parallélogramme
ABDÇ font entr’eux comme les fin us des angles D AB,
DAC, c’elt-à-dire , en raifon réciproque des firius des
angles que ces deux cotez font avec la diagonale AD :
de forte que les angles DAB , ADC , étant égaux entr’eux,
de même que les cotez ÀB , DC , les cotez AC , DC , du
triangle ACD , feront toujours, entr’eux comme les linus
des angles ADC, DAC, qui leur font oppofez dans ce
.triangle.

O

C O R O L -LAI RE IL

Par la même raifon, f l’on achevé le parallélogramme
ADCM , dont AC foit la diagonale , l’on aura AM à AD
.. comme le lî nus de l’angle CAD au finus de l’angle CAMi
c’eft-à-dire ( à caufe de AMttrDC, & l’angle CAMr~
ACD ) les cotez DC , AD , du triangle ACD , entr’eux
comme les finus des angles CAD , ACD , qui leur font
..oppofez dans ce triangle. Donc ayant déjà ( Corol, a.)

»

Y

r M E C A N I QJT E.' 5 5

les* cotez ÂC , AD , de ce même triangle ACD entr’eux
comme les finus des angles ADC , D AC ; l’on aura les
' trois cotez AC , DC , AD , de ce triangle quelconque
ACD entr’eux comme les finus des angles ADC , DAC >
DCA , qui leur font oppofez j & ainfi de tous les autres
triangles rectilignes à l’infini , celui-ci ACD moicié d’un
parallélogramme ( Hyp. ) quelconque ABDC, étant aulli
.quelconque;

Corollaire III.

Mais le parallélogramme ABDC donne DC— AB , :
l’angle ADC— DAB, & le finus de l’angle DCA , égal
(Déf.c,. Corol. i . ) à celui de fon complément BAC à deux
droits. Donc ( Corol. i. ) AC , AB , AD , font entr’eux com-
me les finus des angles , DAB , DAC , BAC. ■

Corollaire I V\ ■

Or le parallélogramme ABDC rend aulli les angles
DAB— ADC , DAC=ADB , BAC— BDC , &c leurs cotez
AOmBD , AB— CD. Donc ( Corol. 3. ) l’on aura de mê-
me toujours BD , CD, AD > entr’eux comme 1 le finus des
angles ADC , ADB , BDC.

C O RO LL AI R E Y.

Donc les finus des angles ADC , ADB , étant ( Déf
Corol. 1.) les mêmes que ceux de leurs complemens
CDO , BDO , l’on aura aulli toujours ( Corol. 4.) BD , CD,
AD, en raifon des finus des angles CDO, BDO, BDC %
au travers defqueis ces lignes prolongées palferoient.

Corollaire VL

Il fuit encore du Corol. 4. qu’un angle reétiligne quel-
conque BDC étant divifé à volonté par une droite DA ,
plus cet angle total BDC fera petit , plus fera grande la
raifon de Ion finus à chaque finus des angles partiaux
ADB , ADC , & plus au contraire ce même angle total
BDC fera grand, plus cette raifon fera petite: car fi fur

i

!

>5^ ^ -No'üvelle

la diagonale AD prife de grandeur arbitraire , Bon ima-
gine un parallélogramme ABDC , dont les eôtez DB ,
DC, foient fur ceux de l’angle fuppofé BDC 5 on verra
que plus cet angle diminuera /plus cette diagonale AD
augmentera , les cotez DB , DC , du parallélogramme
ABDC demeurant toujours les mêmes, & plus au. con-
traire cet angle BDC augmentera , plus cette diagonale
AD diminuera. Donc dans tous ces changeai ens du pa-
rallélogramme ABDC , cette diagonale AD fe trouvant
toujours ( Corol. 4. ) à fes cotez BD , DC , comme le finus
de l’angle total BDC fera aux finus . des angles partiaux
ADC , ADB.

1 °. Plus cet angle total BDC diminuera , plus au con-
traire le rapport deiou finus à chacun des finus de deux
. angles partiaux ADC , ADB , augmentera jufqu a fe
trouver le plus grand qu’il puiiTe être , lorfque cet angle
BDC fera infiniment aigu.

z°. Réciproquement plus ce même angle total BDC
augmentera., plus au non traire le rapport de fon finus à
chacun des finus des deux angles partiaux ADC, ADB,
diminuera , jufqu a fe trouver le plus petit qu’il puilfe
-;être lorfque cet angle BDC fera infiniment obtus.

CORDLLAIJa. V II.

Il fuit de plus du CoroL 4. qu’en quelque rapport fini
qu’un angle rectiligne fini quelconque BDC, foit divifé
par la droite AD , chacun des finus de cet angle total
des deux partiaux ADC , ADB , fera toujours moindre
que la foraine des deux autres finus. Car fi. fur AD de
.longueur prife à volonté , & de cotez pris furDC, DB ,
on fait ( comme dans le precedent Gorol. 6 . ) le parallé-
logramme ABDC i le Corol. 4. fait voir que les finus de
pes ..trois angles BDC, ADC, ADB, foncent deux conv
me AD , BD , CD , ou ( à c-aufe de ACmr.BD ) comme les
trois cotez AD, AC, CD, du triangle A CD. Or on fçait
que chacun de ces trois cotez e fi: moindre que . la fom-
.ffie des deux autres. Donc auffi chacun des finus des

.trdh

~ / Hecahi qjj e "5 7

tïols âSgles finis BDC, ADC, ADB,efl: moindre que la
.femme des deux autres finus.

Corollaire V I I I.

Trois lignes droites DE, DC,DA , étant menées d’un Fr®, x$i
même point D fur un même plan , faifant entr’elles des I7 ‘ 10t
angles quelconques , fi par tels points H , L , K , qu’on
voudra de ces trois lignes prolongées , ou non , on leur
fait autant de perpendiculaires EF , FG,EG> il fuit en-
core du Corol. 2 . que ces cotez EF , FG , EG , du trian-
gle EFG, qui en réfultera , feront toujours entr’eux com-
me les finus des angles ADC , ADB , BDC , à travers def-
quels, ou des complemens defquels , leurs sperpendiculai-
res DB : , DC , DA , prolongées pafleroient.

Car fi l’on imagine PQ^parallele à BD , avec laquelle,

■de avec AD prolongée (s’il efl: neceifaire) elle fafie le
triangle PQD , ,8e que l’on prolonge BD ., CD , jufqu a la
rencontre de EG ( prolongée ) en MN : les triangles EFiM,

DKM , reétangles ( Hyp. ) en H , K, ayant de plus les an-
gles EMH— DMK , ont auffi leurs troifiémes angles
MEFfcnMDK : de même les triangles GLN ., DKN , re-
ctangles ( Hyp. ) en L , K , ayant aulfi de plus les angles
GNL=DNK,ont pareillement leurs troifiémes angles
NGL— NDK. Mais les angles MEKanGEF , MDK—
BDPtnéDPQ^_, à caufe de PQ_fuppofée parallèle à BD 5
& les angles NGL— EGF , NDK— PD(Q_ Donc les an-
gles GEFvrDPQ^-, EGF—PDQ^, dans les triangles EFG,

PQD , lefquels en confequence ont leurs troifiémes an-
gles en F , O j pareillement égaux encr’eux: ce qui rend
ces deux triangles femblables entr’eux 5 & par confe-
quentîes, trois cotez EF , FG, EG , du premier EFG,
proportionnels aux trois cotez PCQ, QD , PD , du fé-
cond PQD de ces deux triangles. j -c’e/i-i-dire , EF. FG.

EG : : PQ^QD. PD,

Créés trois derniers cotez PQ^, QD, PD, du triangle
PQD , font entr’eux ( Corol. ) comme les finus des angles
j?DQ^ DPQ^, DQP , ou ' ( Def 5?, Corol. 2. ) ou de leurs

f5‘8 N O U V E L L E

complemens ADC , ADB , BDC. E

EF, FG , EG , du triangle EFG, Font entr’eux comme les
finus des angles ADC , ADB , BDC , à travers defquels ,
ou des complemens defquels leurs perpendiculaires

( Hyp. )DB , DC ,DA , prolongées palTeroient , ainfi qu’on -
le voit avancé au commencement de ce Corollaire-ci.

Corollaire IX. .

Il fuit aufïi du prefent Leni. 8.. que de quelque point
E d’un des cotez AD d’un parallélogramme quelconque
ADCM , qu’on mene des perpendiculaires EG , EF , lur
la diagonale AC , & fur Ion autre côté AM s cet autre
côté AM,& cette diagonale AC feront toujours entre-
eux en raifon réciproque de ces deux perpendiculaires

EG , EF , fçavoir , EF. EG : ; AC. AM. Puifque ce Lem. 8.
donne toujours EF. EG : : DH. DK : : DB. DC : : AC. AM.

Cela peut aufïi fe démontrer immédiatement de cela
feul que EF. EG : -. DH. DK : •. DB. DC : : AC. AM.

On pourra tirer de ceci des conséquences Jemblables a celles
quon vient de tirer du prefent Lem. S . cela ejl prefentement
trop facile pour s y arrêter..

Corollaire X.

Il fuit enfin de ce dernier Corol. p. & du prefent Lem J
S . que de quelque point , foit de la diagonale , ou d’un
des cotez d’un parallélogramme quelconque , qu’on me-
né des. perpendiculaires fur les deux autres de ces trois
lignes prolongées , ou non j ces deux perpendiculaires fe-
ront toujours entr’elles en raifon réciproque des deux
cotez , ou d’un d’eux , & de la diagonale du parallélo-
gramme propofé quelconque , fur lefquelles elles font à
angles droits.

, L E M M E I X.

I. Lorfquun angle de un parallélogramme quelconque dé*
noient infiniment aigu , là diagonale qui pajje par cet angle ,
devient égale à la Jornrne de Jes cotez.

s

jU ~ t M E C’A N i 0.U % 55»

' T : i:"Ju contraire lorfgue cet angle devient infiniment ob -
■gus , cf#<? diagonale ne Je trouve glus égale gu a la dijferen -
Vf if tes memes cotez,.

5 9

D E M O N S T R A T I 0*N,

P A R t. I. Suivant le CoroL 3 . da Lem. 8 . la diagona- F 1 e;
le AD d’un parallélogramme quelconque ABDC ell
toujours aux cotez AB , AC, de ce parallélogramme
comme le finus de l’angle total BAC eit aux finus des
angles partiaux D AC, DAB. Mais lorfque cet angle to-
tal BAC devient infiniment aigu , fon finus ( Lem. y.)
devient égal à la fo'mme des finus des angles partiaux
DAC,DAB. Donc auffi pour lors la diagonale AD de-
vient égalé àla Pomme des cotez AB, AC. Ce gu il falloit
.a °. démontrer.

Part. IL Imaginons le parallélogramme ABDC fait
de quatre réglés AB , BD , AC, CD , mobiles autour de
quatre clous qui les retiennent enfemble en A, B, D,

C , &L qu’on l’écrafe en preflant les deux points ou clous

B, C, l’un vers l’autre jufqu’à fa diagonale AD, qui
s’alongera ainfi à mefure que l’autre BC s’acourcira,
les cotez du parallélogramme ainfi varie' demeurant tou-
jours les mêmes. On verra qu'a mefure que fes angles
ABD , ACD , deviendront ainfi plus obtus , les cotez DB,

DC, avanceront vers AD en décrivant du centre* D les
.arcs circulaires BQ^, CP, jufqu’à ce que les fommets B,

C , de ces deux angles foient arrivez en Q^, P , Sc ces co-
ûtez DB , DC , en DÇfj DP , fur cette diagonale AD ,,
dont l’allongement joint au racourciflement de l’autre
BC , permettra aufii aux deux autres cotez AD , AC ,
d’arriver pour lors fur elle en AQj AP -, auquel inftant
■des angles ABD, ACD , ainfi devenus infiniment obtus,
la diagonale BC fera en PQ^_ Donc alors BG— :PQr=DP
*~D (>=D C— D B — A B — AC. Ce gu il fallait z°. démon*

Mer,.

Hij

Corollaire ï.

Si l’on fuppofe prefentement qu’un corps ou point' M-
foit pouffé ou tiré par deux puiffances à la fois, dirigées r
fuivant les cotez AB , AC , du parallélogramme ABDC s
lefquels leur foient proportionnels j les art. i . z . du CoroL
i . du Lem. 3 . faifant voir que ce corps ou point A devroic
alors tendre de A vers D fuivant la diagonale AD de ce
parallélogramme, & d’une force qui feroit à- chacune de ces
puiffances comme cetce diagonale à chacun des cotez AB ,
AC , qui leur font ( Hyp. ) proportionnels. La démonftra-
tion delà Part. 1 „ de ce Lemme-cifait confequemment
voir que fi l’angle BAC étoit infiniment aigu , la force
du corps ou point A fuivant AD, réfultante du concours,
des puiffances dirigées fuivaiit AB , AC , feroit alors
égale à la fomme de ces deux puiffances , & dirigée
{Le?n. 6 .. Corol. l. ) parallèlement à leurs directions alors
parallèles entr’elles , & en même fens que ces puiffances
qui tendr oient alors toutes deux de A vers D , & confpî-
reroient ainfi toutes entières à mouvoir en ce fens ce corps
ou point A de la fomme entière de leurs forces.

Cor oll aire IX

Si B étoit le point ou le corps pouffé ou tiré à la fois
par les deux puiffances précédentes dirigées prefentement
fuivant les cotez B A , BD ,du parallélogramme ABDC,.
qui leur font ( Hyp. ) proportionnels 5 les art. 1. 2 . du Co-
rol. ï.. du Lem. 3 , faifant encore voir que ce corps ont
point B tendroit alors de B vers C , fuivant l’autre dia-
gonale BC de ce parallélogramme , & d’une force- qui
feroit à chacune de ces puiffances comme cette diago-
nale BC à chacun des cotez B A, BD , de ce même paral-
lélogramme ABDC i la démonftration de la Part. 2.. de ce
Lemme-ci fait confequemment voir aufii (au contraire
de la démonftration de la Part. 1. ) que.fi l’angle ABD
etoit infiniment obtus , la force du corps ou point B fui-
vant BC , réfultante du concours de ces deux puiffances,,

m

M e c a n r qjj e: "<f ÿ

ou pi®c)t reliante de la direde contrariété quî( 1 km 6 ,
Gorol .4. ) feroit alors entr elles , ne feroit plus alors que-
gale à la différence de ces deux puiffances & dirigée
( hem. 6. Corol. 4-, ) parallèlement à leurs directions alors’
parallèles entr’elles ou directement oppofées, & en même
fens que la plus forte d’entr elles ,. à qui feule leur dire-
cte contrariété ne laifferoit que fon excès fur l’autre 1
pour agir fur ce corps ou point B,-

Ces deux Corol. 1. 1. s accordent parfaitement avec les loix'<
ordinaires du choc des corps , fuivant le [quelles deux donnant
u- la fois fur un en même fens , le pouf eroient en ce fens de. la
fomme de toutes les forces qu ils lui communiqueraient fepa-
rément y conformément au Corol. 1. Et deux donnant a la-
fois fur un en fens directement contraires , ne le pouferaienP
que de la différence de ces deux forces dans le fens de la plus :
rande , conformément au Corol. 2 „

&

Corollaire III;

Si l’on imagine , comme dans la démonffrat. de la Part, 1
a; les cotez B A , BD , du triangle ABD , mobiles autour
des points, fixes A , D , de la bafe AD , laquelle s’allonge :
à mefure qu’en écrafant ce triangle vers elle, on en ap-
proche l’angle B 5 cette démonfhation de la Part. 2 . fait •
voir que lorfque ce fomme-t B fera fur cette bafe allon-
gée AD , elle fera égale à la fomme des deux autres cotez '
BÀ,BD-, de ce -triangle ABD, & chacun de ces cotez 1
égal a la différence dont 1 autre eff alors furpalfé par cet- -
te bafe : & comme.- ( Déf ri . ) l’angle ABD du triangle de
ce nom, fe trouve alors infiniment obtus, & chacun des
deux autres B AD , BD A , infiniment aigu 5 il s’enfuit que •"
dans un triangle réduit à un angle infiniment obtus , & à 1
deux infiniment aigus ,

1 °. Que le côté oppofé à l’angle infiniment obtus , vaut :
la fomme des deux autres cotez.

2 °. Que le côté oppofé à un angle infiniment aigu , vaut -
U différence des. de ux a ucr es cotez.

Schoii £.

I. Dans la démonfirat. de la Part. on vient de voir
< que lorfque deux angles oppofez ABD , ACD , du pa-
rallélogramme ABDC deviennent infiniment obtus par
l’arrivée de leurs fommets B , C,fur la diagonale ADj
cette diagonale AD , fur laquelle les deux cotez AB ,
BD , fe couchent alors en ÇH, de même que les deux au-
tres A.C s CD , en P , fe trouve alors égale à la fomme de
ces cotez pris ainfi deux à deux , c’eit-à-dire , qu’alors
AD=cA.B— -f-BDuuAC— PCD. Or lorfque l’angle ABD fe
trouve infiniment obtus , fon complément BAC efi: ( Co-
rot. i i.) infiniment aigu. Donc lorfqu’un angle BAC
d’un parallélogramme quelconque ABDC devient infi-
niment aigu par l’arrivée de fes cotez AB , AC , fur la
diagonale AD , cette diagonale fie trouve toujours alors
égalé à la fomme de ces deux mêmes cotez. Ce qui efi:
encore une nouvelle preuve très-fenfible de la Part, i ,
de ce Lemme-ci, pour le cas où les fommets B, C, des
angles ABD , ACD , font mobiles.

I I. Pour avoir aufii de cette Part, i . une démonftra-
rîion fenfible autant que l’incompréhenfibilité de l’infini
le peut .être , lorfque l’angle BAC devient infiniment
aigu , les deux points B , C , demeurant fixes j imaginons
le parallélogramme ABDC fait des parties BA , BD,
CA , CD , de quatre régies indéfinies BE, BG, CF , CH,
mobiles autour de ces points fixes B , C , & qui dans leur
mouvement autour de .ces deux points , fe coupent tou-
jours en deux quelconques A , D , de la droite infinie
MN , fixe à égales diitances des points aufii fixes B , C»
On verra qu’à mefure que ces points de concours A,D,
s’éloigneront l’un de l’autre le long de cette droite MN,
les angles oppofez BAC , BDC, deviendront aigus de
plus en plus , & les oppofez ABD , A CD, obtus de plus
en plus j & que lorfque ces deux points de concours A ,
p, feront infiniment, éloignez l’un de l’autre , & des
-points fixes JB, C, les angles BAC, BDC , feront infini-

MECANIQUE, G 2

mène aigus , 6e les deux autres ( Corot de la Def il)
ABD j ADC , infiniment obtus. Or fi du centre D , 6e des
rayons DB,DC, on a conçu deux arcs circulaires BQ^,
GP, variables comme leurs rayons par l’éloignement con-
tinuel de leur centre D,on verra qu’a mefure que ce
centre D s’éloigne, comme le point A, des points fixes
B , C , ces deux arcs deviennent moins courbes de plus
en plus, jufqu’à devenir lignes droites perpendiculaires
à MN , 6e aux deux régies de chacun des points B,C 5
bouta bout endigues droites parallèles à MN-, lorfque
les points A , D , lont infiniment éloignez l'un de l’autre,
6e des points fixes B , C , & que les lignes PA , PD ) CA ,
CO , QA , Qp , B A , BD , ainfi changées en infinies PM,
PN , CP , CH , QM, QN, BE , BG , parallèles entr’elies,
feront pour lors P A=vPM=C.F=C A , PD=PN=CH=:
CD , QA=QM— BF=BA , &: Qpr=Q^=BG=BD. •
Donc alors la diagonale infinie AD ( PA— j-PD ) ~CA
H-CD , & AD ( QA-EQD ) “BAH-BD 5 c’eft-à-dire ,
dans ce cas-ci des points fixes B , C , comme dans celui
( art. i . )de ces deux points mobiles , que la diagonale
AD d’un parallélogramme quelconque ABDC elt tou-
jours égale à la fomrne de fes cotez CA , CD , ou B A ,
BD, lorfque l’angle BAC, ou BDCen eft aigu.

I IL Les angles ABD , ACD du parallélogramme
ABDC , devenant obtus comme dans le precedent art. 2 S
par l’écartement vers M , N , de leurs cotez autour de
leurs fommets fixes B , C j on voit que la diagonale BC ne
change point pendant que l’autre diagonale AD , A tous
les cotez de ce parallélogramme changent comme dans ;
cet art. i: jufqu’a devenir infinis par cet écartement fait
jufqu’au parallelifme de ces lignes entr’elies. D’où Ion
voit que ce cas des angles ABD , ACD, devenus infini- '
ment obtus par un tel mouvement de leurs cotez autour
de leurs fommets fixes B , C, - n’eft point compris dans la :
Part. i. de ce Lemme-ci , A qu’ainfi la démonftration
qu’on a donnée ci-defifus de cette Part. en comprend
toute, l’étendue, -

1

.-1 *

)

\ r

8

iN O ü ? É L Lt v

Quant à la part, i . elle comprend les deux cas des
fommets B , C, fixes ou mobiles des angles ABD , ACD »
& outre la démon fixation qu’on en a donnée d’abord
dans toute cette étendue , les deux précedens art. 1.2.
en fournilFent encore une nouvelle plus fenfible de la
même étendue.

I E M M E X

Fîft.ii. 1?. Soit un parallélogramme quelconque GIC E , avec une lî-
H.-H' gtie droite HP ,pofée comme l’on voudra par rapport a lui
dans le même ou dans differens plans , il n importe. Si des
quatre angles ou pointes G , I, C , E ,de ce parallélogramme
on mene à volonté quatre plans exprimez, en profil par CL ,
JP., CH , EF, tous parallèles entr. eux > (fi que de ces. quatre
pointes jufqu à HP , on tire le long de ces plans autant de li-
gnes droites GL , IP , CH , EF lefquell.es rencontrent HP en
E , P j, H, F, de quelque maniéré que ce Joit:je dis que la par-
tie de. celle-ci , par exemple., HL , comprife entre deux GL ,
ÇH ,.de celles-là ,lef quelles partent des points G.C ,diagona-
lement oppofez, e fi toujours égale à la fiomme de fies autres
parties HF , HP , lorfque les points V , P , fie trouvent du même
coté de H , comme. dans les Fig, z I . z-z.ou à la différence de
ces mêmes parties HF, HP, lorfque ces points F, P , fe trou <*
vent de différent cotez, de H , comme dans les Fig. % 3 . 24. 2 5,.
,£ efi-k-dire ., H Lcn HF-\-HP ,dans le cas. des Fig. % 1 . 2 2. çr
HLcczHV — HP , comme dans celui des Fig. % 3 . 24.. ou HL
FtHP — HF, comme dans la Fig, z 5 .

D E M O X S T R A T I O N„

Menez les diagonales IE, GC ,. qui fe coupent .chacune
-par la moitié, en K j & après avoir conduit par ce point K
tin plan encore parallèle à ceux qu’on a fuppofé l’être
parles pointes du parallélogramme GICE, faites tomber
de ces quatre pointes ou angles G., I, C> E ; , quatre lignes
GR , IM . CS , EN j toutes parallelcles à HP, & qui ren-
contrent ce dernier plan en R , M , S , N. Enfin du point
.où ce dernier plan rencontre HP, menez QjeQR,QM;QQ>

m

M E C A N I QJJ t: 6 f

"Cela raie j foie que ces cinq lignes en faffent plufieurs
«differentes , Toit qu’elles le confondent en une feule, il effc
; clair que puifque GR , IM, CS:, EN, HP, font toutes
( confir. ) parallèles entr elles.

i °. IM 6c PQJfont dans un même plan avec PI 6c QM$
ainli puifque PI 6c QM fe trouvent dans des plans (Hyp. )
parallèles entr’eux., elles feront aulîi parallèles entr 'elles ,
& par confequent MP fera un parallélogramme. On
prouvera de même que RL, SH, & VN, font autant de
parallélogrammes. Donc IM— PQsGR— LÇq, CS— HQ^
&EN— VQ^

2°. De ce que IM , EN', font ( confir. ) parallèles en-
tr 'elles. H 1 fuit aulîi que les angles MIK , NEK , font
égaux entr’eux , 6c que ces deux lignes font dans un mê-
me plan avec IE. Par confequent li l’on mene KM,KN,
ces deux lignes-ci feront aulîi dans ce même plan IMENj
ainlî puifqu’elles font encore ( confir. ) dans un autre plan
qui paEe par KÇV, elles feront la commune fection de
ces deux plans 5 6c par confequent elles ne fontenfemble
qu’une même ligne droite. Ce qui donnant encore les
angles IKM, EKN, égaux entr’eux , il fuit manifeffement
que les triangles IMK , ENK , font femblables, 6c que
puifque IK— KE , l’on aura aulîi IM— EN. On prouvera
de même que les triangles GKR, CKS, font femblables
entr’eux , 6c que puifque GK— CK , l’on aura aulîi
GR-CS.

Or on vient de voir ( confir. ) que lM— PQ^, EN— V Q,
GR— LQ^_, CS— HQ^ Donc ( nomb . 2.) PQ=rVQ^_, 5 c LQ^
— HQq Donc aulîi L P— H VS Donc enfin HL— H V — |-
HP dans le .cas des Fig. 2.2. .2 3 . où V ,P, fe trouvent du
même.'Cotë de H 6c dans celui .ou V , P , fe trouvent de
différons cotez de H, l'on aura HL— H V — HP comme
dans les. Fig. 24. 2 5 . ou HL— HP— FIV , comme dans la
Fig. 1.6 . Ce qu’il fallait démontrer.

S’il fe trouve des Commmcans qui , embarrafiez, par la
multitude des Fig. %i, .22. 23. 2.4. 25.
démonfiration convient , agent ..de la peine d

}

6 6 Nouvelle ,*•

tes h la fois > ils pourront d’abord l'appliquer h chacune fepa
rément , en les prenant l’une- après l’autre à volonté. Apre
cela ils verront fans peine que cette démonfi ration convien
également a toutes ces cinq Figures , & même u plufieur
autres qu’ils imagineront aifément alors , & que j’omets tant
■pour leur en laijjêrle plaifr , que pour ne pas multiplier inu-
tilement le nombre de celles-ci. Ils pourront en ufer de même,
dans tout ce qu’ils trouveront ici de propofitions à plufieurs
cas ou Figures ..

C O R O LL AIRE I

Soit prefentement/par A dans des plans quelconques
tant de parallélogrammes auffi quelconques qu’on vou-
dra , dont le premier foit ABCD , de qui la diagonale.
AD foie un des cotez du fécond ADLM -, de qui la dia-
gonale AL foit auffi un des cotez du troifiéme ALPN,
de qui la diagonale AP foit pareillement un des cotez
du quatrième , 8c ainfi à l’infini. Des extrêmitez C , B
M,N,&c. des cotez non diagonaux de ces parallélo-
grammes fixent autant de. plans parallèles, & fur eux
autant de droites CF,BH, MG, NE, &c. qui rencon-
trent fous quelque angle que ce foit en F , H , G ,E, &c» -
la diagonale du dernier de ces parallélogrammes , c’eft-
à-dire, ici la diagonale AP du parallélogramme A LPN,
prolongée vers O, JE,. il fuit du prefent Lem. io. que
cette derniere diagonale AP—AF-+ A G^-f-APP-^AE.

Gar fuivant ce Lemme, fi des extrêmitez D , L , &c„ .
des cotez diagonaux AD , AL, 8cc, des parallélogram-
mes pre'cedens , l’on mene auffi des plans parallèles aux
parallèles pre'cedens , 8e fur lefquels foient les droites
DV,LX, 8Cc. lefquelles rencontrent en Y, X, 8ec. la
derniere diagonale AP prolongée, dont AD reprefente
ici la droite PiP des precedentes Fig. iz. 23. 24. 2 5»
x 6 . Le premier parallélogramme ACBD donnera A
AF — F A El 5 le fécond ADLM donnera A X— A V— j-A G,
& confequemment AX— AF-+AH—+AG ; le troifiéme
donnera AP^AJG— AE , 2e confequemment

MïC ANIQJJE. _ Cj

AP—AF— J-AH— }-AG — AE, ainfi qu’on le vient d’avan-
mer. Ce raifonnement fait voir qu’il en fera de même à
l’infini, quelque nombre de parallélogrammes quelcon-
ques faits comme ci-deffüs , qu’on fuppofe dans des plans
;aulîî quelconques avoir tous le même points A pour un
de leurs angles par où paffent les diagonales dont on vient
de parler :1a derniere de ces diagonales , telle quel! ici
AP, fera toujours— AF-+ AH— E AG' — AE+,&c. C’eft-
à-dire , égale à la fomme de ce que les cotez non diago-
naux AC, AB, AM, AN, &c. y donneront d’abfcilfes
AF, AH , AG, &c. depuis A vers l’autre extrémité P de
cette derniere diagonale , moins la fomme AE, &c. de ce
que ces cotez non diagonaux y en donneront au-delà du
point A du côté de E.

Corollaire IL

Toutes chofes demeurantles mêmes, fuppofons pre-
Lentement que le point A , ou un corps en ce point ,
Doit pouffé ou tiré tout à la fois fuivant AC , AB , AM
AN , &c. par autant de puiffances appellées C , B , M,N,
&c. lefquelles foient entr’elles comme ces lignes corref-
pondantes. LesCorol. 6 . 7. du Leni. z. & le Corol. 10.
duLem. 3 . font voir que l’impreflîon réfultante au point A,
du concours de toutes ces puiffances , eft toujours lion
feulement fuivant la derniere diagonale , qui eft ici AP
celle du dernier ALPN des parallélogrammes préce-
dens 5 mais encore d’une force de A vers P , laquelle eft
toujours à chacune des puiffances fuppofées fuivant AC,
AB, AM, AN, comme cette derniere diagonale AP eft
.à chacun de ces cotez proportionnels ( Hyp. ) à ces puif-
fances C , B , M , N. Mais le précèdent Corol. 1 . donne
ici AF— AF — {-AH— j-AG— AE. Donc aufii la force du
point ou corps A. fuivant AP , réfultante du concours de
toutes ces puiffances-là , eft toujours à chacune d’elles,
-comme AF—pAH— f-AG — AE eft à chacune de leurs
proportionnelles AC, AB , AM , AN , & ainfi à l’infini en
quelque nombre qu’elles foient.

U •’*>

V

fci. N O U V B L l E~

Corollaire. III...

? i ïfï On voit de-là que fi EQeff la direction de la force
réfultante du concours des puilfances C , B , M ., .N»,
c’eft-à-dire , la direction fuivant lefquelles ces puiflan-
ces tendent enfemble. à pouffer le point ou corps À vers .
Os & confequemment ( Lem. 2 . Corol. 6 . & Ltm. 3 . Corol,
10.) celle de là derniere diagonale AP des parallélo-
grammes précédons de la Fig. 2 7. l’on aura , fans en fai-
re aucun ,. la longueur de cette derniere diagonale 5 Sc
confequemment ( Lem. 2. Corol. j. ér Lem . 3 . Corol. 1 o. )
l’on aura aufli la force refultante. du concours de ces
puilfances , fuivant cette direction commune AO, fi. des
extrémités C , B , M , N , de leurs proportionnelles &
directions particulières AC , AB , AM , AN , on lui
mene feulement les parallèles CE, BH ,MG ,NE , quel-
qu’angle quelles faflent. avec elle s puifque le Corol. 1.
donne toujours AF— pAG— pAH — AE~AP : c’eft-à-
dire en general, la derniere diagonale de tant deparalle-
logrammes. qu’on voudra , faits comme ci-deflus , tou-
jours: égale à la différence AF — pAG— pAH — AE_+_,&c.
dont la fourme. AF— F A G — pAH — p, &c. des abfciffès
AF, AG, AF 1 , &c. faites fur elle de fon côté par rap-
port à A par des parallèles, menées comme ci-dellus , fur-
pafle la fomme AE— p, &c. de ce qui s’en fait fur elle
prolongée de l’autre côté de ce point A , ou concourent
( Hyp. ) les puiffances fuppoiées C , B ,.M,N , Sic. Et d’où
partent leurs proportionnelles & directions particulières
AC, AB, AM , AN, &c. ded’extrêmité defquelles font
menez des plans parallèles quelconques exprimez par
CF , BH , MG , NE , Sic. qui déterminent ces abfciffès.
AF, AH, AG,AE, &c. par leur rencontre avec EO.

R E M a R qjj E.

L 11 eft à remarquer que quoique AF—pAG— pAH—
AE+ , & foit toujours ( Corol. 1 . ) égale, à la diagonale du
dernier des parallélogrammes qu’il auroit fallu faire

I

Me gan i qjje. &<?

comme dans le Corol. i . pour la trouver , fans fe fer-
vir des lignes précédentes CF , BH , MG , NE , &c. me-
nées fur des plans parallèles , par les extrêmitez des pro-
portionnelles AC, AB, AM, AN, &c. aux puilfances
G, B ,M-, N , &c. qu’on fuppofe agir toutes à la fois fui-
vant ces directions particulières , chacune fuivant la fien-
ne , fur le corps ou point A 3 & qu’ainfi ( Lem. 2. Cor. 7.
& Lem. 3. Corol. 10.) AF— J-AH— F A G — AE+ , &c. foit
toujours l’exprelfion de la force réfultante du concours
de toutes ces puilfances fuivant leur - dire £t ion commune
AO 3 les parties correfpondantes AF , AH , AG, AE , &c.
de cette expreffion , n’expriment pourtant pas toujours
ce que chacune de ces puilfances C , B , M , N , &c. con-
tribue à cette force totale de A vers O fuivant AO, c’eft-
à-dire , ce que chacune d’elles y employé de force pour
ou contre , mais feulement lorfque ( Lem. 3 . fart. 2.) les
lignes droites CF , BH,MG ,NÊ,.&c. ou les plans paral-
lèles fur lefquels on les fuppofe , font perpendiculaires à
cette direction commune- AO prolongée départ ôe d’au-
tres : lorfqu’elles le font , chacune de ces puilfances C,

B , M , N , &c. eft toujours ( Lem. 3 . fart. 2 . ) à ce qu’elle
fait d’imprelfion pour ou contre fuivant cette direction
AO , ou AE , fur le point ou corps A , comme celle de
leurs proportionnelles AC > AB , AM , AN , ôcc. qui l’ex- -
prime , elt à celle des abfcilfes AF , AH , AG , AÈ , ôte.
qui lui répond. Par exemple, dans ce cas de perpendicula-
rité des lignes CF, BH , MG , NE, &c. fur AO, lapuilfan.- -
ce C dirigée fuivant fa proportionnelle AC , eft à ce
qu’elle fait d’efFort fuivant AO:: AC. AF. ôe ainli des
autres en quelque nombre qu’elles foient , quelques rap- -
ports quelles ayent entr’elles , èc fuivant quelques dû- -
rections qu’ elles agilfent fur le corps ou point A,

IL De-Ià il fuit encore que AF — pAH-— PAG — AEjp_&c, •
ïmAP pour ce cas des lignes CF , BH 3 MG , NE , &c. per- -
pendicidaires fur cette ligne AP prife pour la dernier©
diagonale qui [Lem. 2. Corol. Lem. 3. Corol. 10. j
exprime l’effort réfultant au corps ou point A du con-

. y , ,

-70 Nouvelle

cours des puiffances appellées ici C, B,M,
puifque cet effort total luivant cette derniere diagonale
AP, n’eft fait que des efforts particuliers de ces puiffan-
,ces fuivant cette ligne , ou plutôt n’eft que la lomme de
ce qu’ellesen.font de A vers P fuivant cette ligne, moins
ce qu’elles en font fuivant la même ligne en fens con-
traire , & que ces efforts particuliers font ( Lem. 3 . fart,
z.) comme les abfciffes AF ,.AH , AG , AE,&c. dont les
premières AF, AH , AG, &c. expriment ici ces efforts
de A vers P fuivant AP , & les dernieres AE, &c. ce qui
: s’en; fait fuivant la même ligne en fens .contraire : il fuit,
.dis-je , du precedent art. a . que ce cas des lignes CF, BFi,
MG, NE, éec. perpendiculaires à cette ligne AP prolon-
ge^ de part & d’autre du point A , l’on aura encore cette
derniere diagonale APr=AFH-AH— fAG— 'AE^i, &c»
conformément au precedent CoroL 3 . dont ceci n’eff
qu’un cas , l’angle que les préçedens plans parallèles en-
tr’eux , ou que les lignes ÇF , BH, MG , NE, &c. menez
•fur eux, font avec cette derniere diagonale AP , y étant
indéterminé tel qu’on voudra , au lieu que cette der-
niere preuve le fuppofe droit.

III. Il eft auffi à remarquer que puifque l’impreffiou
néfultante du concours de toutes les puiffances C , B , M,
N , &c. au point ou corps A , le pouffe ( Hyp. ) fuivant
AO , en forte que libre d’ailleurs il fuivroit cette droite
de A vers O j il faut que ce que ces puiffances font cha-
cune d’effort dur lui ( Lem. -3 . pari. 1 . ) fuivant chacune
des correfpondantes FC , HB, GM , EN , &c. perpendi-
culaires à AO , pour ( art. .1 . ) le détourner de cette ligne
AO, fe trouve en équilibre 5 e détruit , comme l’on voit
dans la part. 3 . du Lem. 3 . par la contrariété directe de
ces efforts collateraux entr’eux 5 6c qu’ainfi ce qui s’en
fait de droite à gauche de cette direction. commune.. A O,
/oit toujours .égal à ce qui s’en fait de gauche à droite j 6e
de même de, tous les autres cotez diamétralement oppo-
sez autour de AO. D’où l’on voit que fi les quatre dire-
:âiqns pardcuÛer,es AC , AB, AM, AN, étpient Al m

N , 6ec„ Car

'*%&»■ M bca ni qjj e. 71

même plan deux d’un côté, & deux de l’autre de la di-
rection commune AO, comme elles paroilTent ici,. l’on y
aurait FG— |-HB— GAI— f-EN j puifque FG, FI B, GM , EN,
feraient entr’elles( Lem. y. pan. 1. ) comme les efforts des
puifTances C, B , M , N , en ces deux fens , & que les deux
premiers feraient ainfi diamétralement oppofez aux deux
autres,-

Définition XI L

Four éviter les équivoques dans la fuite nous appellerons •
puijfances libres celles qui par leur concours d’action fur
un corps ou fur un point , le meuvroient effectivement '
comme dans le principe general , & dans les Lem. 1 . 2.

3 . Et lorfqu’elles en feront empêchées par quelque obfta-
cle,ou par quelqu’autre puiifance qui , égale & directe-
ment oppofee à leur concours d’action , les arrête toutes
en équilibre avec elle fur ce corps ou fur ce point j nous
les appellerons toutes puifTances forcées ou retenues. Sui-
vant cela en appellant ( comme nous ferons toujours dans
la fuite ) n le nombre des puifTances libres , & m celui des
forcées , nous aurons toujours alors ; •

LEMME X L

Soient encore (comme dans le Cor. 1. du precedent Lem. 10 .) *
par le point A dans des plans quelconques tant de parallélo-
grammes auffi quelconque ^ qu’on voudra , dont le premier foit
AC'DB ,de qui la diagonale AD foit un des cotez, du fécond
AD LM , de qui la diagonale AL foit auffi un des cotez du
troifiéme ALP N , de qui la diagonale AP foit pareillement'
m des cètez d'un quatrième , & ainfi à l’infini. Par les ex-
trèmitez C , B , des cotez A C , AB , du premier A CD B de ces
parallélogrammes foit une fécondé diagonale CB , qui rencon - ~
tre la première AD en de ce point Jifpar l’extrémité
M dU- coté AM du fécond parallélogramme AD LM , foit "'
JépM qui rencontre fa diagonale AL en R > de ce point R par '
ï extrémité N du coté AN du troifiéme parallélogramme
ALP N , foit RN qui rencontre fa diagonale AP- en '

• •Êr

-y z Nouvelle

toujours de meme jufiqud la derniere, laquelle fioit ici AP
pour ne pas aller k l'infini.

.Cela fiait fie 'dis que la partie A S- de cette, derniere. diago-
nale fiera a cette diagonale entière AP , comme i unité efi au
nombre des cotez .non diagonaux AC , AB , AM , A N, des
parallélogrammes fuppofièz , o.u ( ce qui revient au même )
comme l'unité efi au nombre de ces parallélogrammes plus uns
.cefi-d-dire ici, AS. AP : : i. 4.

D e m o n s t k a t.i o n.

Les parallélogrammes ALPN ,,ADLM , A CD B , don-
nant NP=AL , MLttnAD— 2 x AQ^, les triangles Sem-
blables ASR , PS’N , & ARQ ., LRM, donneront AS. SP : :

AR. NP : : AR. AL : : AR : AR—fRL : : AQ^AQ^LML

: : AQ^AQ^+AD : : AQ^AQH-z x AQ^ : AQ^_ 3 xAQm

1.3. Dope auffi AS. AS-H-SP : : 1 . 1— h 3 • c’eft-à-dire ,

AS. AP: : ; i. 4*:Et ainü dans. le dernier de.tout cequ’on
peut ajouter d’autres parallélogrammes à ceux-ci de la
.maniéré precedente : la derniere diagonale s’y trouvera
; toujours divlfée de Sa maniéré precedente en deux par-
les , dont la plus proche du point A fera à cette diago-
nale entière , comme l’unité fera au nombre des cotez
non. diagonaux de .tous ces parallélogrammes, ou ( ce qui
revient au même ) comme l’unité fera au nombre de ces
parallélogrammes plus un. Defgrteque fi le nombre des
cotez non diagonaux étoit ~n , & que confequemment
le nombre de. ces parallélogrammes fut— a,, la partie
La plus proche de A delà derniere diagonale divifée en
deux ..comme ci-delfus , fer.oit à cette diagonale entière
sa î . n. Ce qu'il fialloit démontrer.

C’efi M. Le.ihrutz> qui m a fiait p enfer h ce Lemme , dont
il n a donné que l' énoncé , avec .quelques explications dans le
Journal de s S f avans.de .1 65x3 . \pag. 4.1 7. L'ufage qu'il me
parut pouvoir avoir .dans mon Projet d’une nouvelle Mé-
canique de 1687. me fit en chercher la démonfiration „ que
je'trowjai dujji-tôt telle qu'on lavo.it ici : cetufage paroîfra dans

CO KO LL, 4,1 KE

v

75

Si donc le point A , ou un corps ( fans pefanteur ) ex-
prime' par A } étoit pouffé ou tiré à la fois fuivant AC,

AB , AM , AN , &c. par autant de forces ou puiffances
proportionnelles à ces cotez de parallelogrammes , & di-
rigées fuiyant ces lignes 5 non feulement il feroit pouffé
ou tiré ( Lan. 3 . Corol. 10.) par le concours de toutes ces
puiffances enfemble fuivant la derniere diagonale AP ,
a une force qui feroit à celles-là comme cette derniere
diagonale aux cotez AC , AB , AM , AN , qui leur font
( Hyp. ) proportionnels j mais encore cette derniere dia-
gonale AP feroit à fa partie AS , comme le nombre des
puiffances à l’unité j puifque ( Hyp. ) le nombre de ces
puiffances feroit celui de ces cotez non diagonaux, ou
celui des parallélogrammes plus un.

Corollaire II.

O11 voit de-là fuivant ce Lemme-ci , que la derniere
diagonale AP étant donnée , ou fa partie AS 3 il eff aifé
de trouver l'une par l’autre ayant le nombre des puiffan-
ces j fçavoir ici AP— 4X AS , &c AS— |AP : mais fi l’une

ni l’autre n’étoit donnée que de pofition AO , comme
dans la Fig. 3 o. par rapport aux proportionnelles & di-
reétions AC , AB , AM , AN , &c. des puiffances appellées
C , B , M , N , &c. dont le nombre foit n, il faudrait avoir
recours au Corel. 3. duLem. 10. lequel fans faire au-
cun parallélogramme , donnerait la derniere diagonale
cherchée A P— A F—f A H— F A G — AF+. , &c. en menant F 1 g.
feulement des extrêmkez des proportionnelles préceden- lî '
tes les parallèles CF , BH , MG , NE , &c. fous quelque
angle qu’elles rencontrent la direction donnée AO de
cette diagonale cherchée AP prolongée de part & d’au-
tre à de-là le prefent Lem. 1 1. donnant AS—— , Ion

aurait auffi AS^; A F — A ~ ° ^ ans ( dis-je ) fai-

K

«• * -* . .

î

m

M JE C A N i QJ7 ' 1 :
Corollaire I.

% s*sr

y

«

74 Nouvele e < ^

re aucun parallélogramme. D’où l’on vole fui vaut îe
précèdent Corol. i. que l’ unité feroit ici au nombre n

des puiflances , comme A F — A - A ; G — & c ~ à la - der-

nière diagonale cherchée AP,. qui fe trouvera ainfidans.
la Fig 2.8. fans y faire aucun des parallélogrammes qui
l’ont donnée dans la Fig. 2.7. Corol. 1. duLem. 10.

COROLLA IR E III.

g s-@. if. Mais cela fuppofe qu’on ait la. pofition AO de la der-
nière diagonale AP , par rapport aux directions données
des puiflances. Prefentement pour trouver cette pofition
il faut confiderer,

i°. Que BQcmCQ^, ou BQ^CQj : x . 1. Puifque BQ^
£XQp: AB.. CD : : X, !..

2°. Que RM. RQq : 2.. r. Puifque RM. RQj : LM,-
AQj : AD. AQj : BC. CQQ nomb. 1 ) : : 2.. I .

3 °. Que NS. RS : : 3 . ï . Puifque NS. RS : : NP. AR : t

AL. AR : : QM.QR ( nomb. 2. ) : : 3 . x . Et ainfi à l’in-
fini.

D’où l’on volt que les directions AC, AB , AM , AN,
&c. des puiflances C, B, M,N , &c. étant données pro-
portionnelles à Ces mêmes puiflances , h par les extrêmi-
ï&z des deux premières A.C AB , on mène la droite:

BC , fon milieu Q^ avec A donnera la pofition de la pre-
mière diagonale AD. Si l’on mene enfuite de ce point

la droite QM à l’extrémité M de la troifiéme proportion-
nelle AM , laquelle QM foit divifée en R de maniéré
qu’on ait RM. RQqp 2 . 1. ce point R avec A donnera la
pofition de la fécondé diagonale AL. Si après cela du
point R on mene la droite RN à l’extrémité N de lat
quatrième proportionnelle AN , laquelle RN foit divifée
en S de maniéré qu’on ait NS.RS : : 3 , 1. . ce point S avec
le point A donnera la pofition de la troifiéme diagonale
AP j & ainfi à l’infini , en divifant de même en raifon ré-
ciproque de x à 4, la hgne qui. de S fe ter miner oit àl’ex-

Micahî^üi; 75

trêmtté d’ütie cinquième proportionnelle 3 la fuivanteen
raifon réciproque de ï à 5 ; la fui vante encore en raifon
réciproque de 1 à 6 & toujours de même les Suivantes ,
en raifon réciproque de 1 à 7 , de 1 à 8 , de 1 à g , de 1
à IO, &C.

C’eit-à-dire en general ( en appellant les droites BG ,
QM,RN, &c. Lieux des pmjjances : fç avoir ici BC , Lien
des deux puijfances C , B j QM , Lieu des trois puijj'ances G „

Î 3 , M j RN > Lieu des quatre puijj antes C, B., M, N j &c„
qu’en divifant chaque Lieu en raifon réciproque de
. l’unité de la puilfance , à la proportionnelle de laquelle
il fe termine par un bout , au nombre des puilfances du
lieu auquel il fe termine par l’autre bout , de même que
RNici divifée en SN.SR: : 3 .1. l’efh en raifon récipro-
que de l’unité de la puilfance N au nombre 3 . des puif-
lances C , B , M , du Lieu QM : 011 voit , dis-je , en general
que le point d’une telle divifion de chaque Lieu , donne-
ra toujours avec A la pofition de la diagonale , fuivant
laquelle fe fait le concours d’aétion de toutes les puiffan-
ces de ce Lieu , de même que le point S du Lieu RN
ainfi diyifé en ce point S, donne avec le point A la pofi-
; tion de la diagonale AP, fuivant laquelle fe fait ici ( Lem.

3. Corol. 1 o. ) le concours d’action des quatre puilfances
Ç, B , M , N, de ce Lieu RR

Corollaire I Y.

Suivant cela, 8de Coroh 2 . il fera toujours aifé de trou-
ver la pofition & la longueur de la derniere diagonale
de tant de parallélogrammes qu’on voudra , faits com - F i
me dans le' prefent Lemme 1 1 . fans en faire aucun ,
ayant. feulement les directions AC, AB , AM, AN , &c<,
des puilfances C, B, M , N , &c. proportionnelles à ces
anêmes lignes : voici comment.

:i°. Ces proportionnelles ayant été prifes jufqu ici dans
un ordre arbitraire, le Corol. 3. fait voir que fi par les
æxtrèmitez, C, B , de deux quelconques AC, AB , d’en-
;£r.’elles,on:m.enela droite CB 3 que de fon milieu Qjon

R b . _

Y

: v . \

y 6 Noûvêlle

mene QM à î’extrêmité M d’unetroifiéme proportion-
nelle aullï quelconque AM , laquelle QM foit divifée
en R , de maniéré qu’on ait RM. RQj : z . i . Qu’enlui-
te on mene RN a l’extrémité N d’une quatrième pro-
portionnelle encore quelconque AN , laquelle RN foie
divifée en S , de manière qu’on ait SN. SR : : 3 . 1 . l’on
aura AS prolongée vers O pour la po fit ion de la derniè-
re diagonale AP des- parallélogrammes faits comme dans
ce Lemme-ci, fans en faire aucun 5 & ainfi de quelque
autre nombre de puilfances , ou de leurs proportionnel-
les qu’on puilfe fuppofer. De forte que 11 n étoitle nom-
bre des puillances, lefquelles prifes dans l’ordre précè-
dent euflént QM pour le lieu de toutes , hors delà der-
nière N 5 l’analogie SN.SR: : n — -i . 1 . donneroit AS pour
la pofition AO de la diagonale du dernier des parallélo-
grammes faits comme dans ce Lemme-ci.

2 0 . La pofition AO de la diagonale du dernier de ces
parallélogrammes étant a in fi trouvée, ce Lemme-ci don-
nera la longueur AP de cette derniere diagonale “4 x
AS,- s’il n’y a ( comme ici ) que trois parallélogrammes ,
que les quatre puilfances C, B, M, N j & en general
cette longueur fera —bx AS , fi le nombre des puilfances
ellt^TZjOu celui des parallélogrammes—

Le Corol. z . donnera anfli la longueur de cette der-
nière diagonale —A F— h A H— FA G — AEA±c&:c. dans la

3 Fï@. t?. Fig» z 8 . fans faire aucun parallélogramme , en lailfant:

tomber des extrêm-itez des dire cl ions proportionnelles
AC, AB, AM, AN , &c. des puiif mcesC, B , M , N , &c„
autant cl e perpendicu laites CF , BH , MG , NE , &c. fur la
pofition AO ( de cette diagonale) trouvée dans le nomb. l

Corollaire V.

j ï e. 15; Ce dernier Corol. 4. fournit la maniéré de déterminer
la route ou la direction &c la force d’un corps poulFé ou
tiré par le concours-dé plulîeurs puilfances données , & de
direcFions données qui: partent d’un même point, fans faire
aucun parailelog ramme. Car puifque ce corps par le con-

^ 4

M ! C A N I QJ 7 E.
cours de toutes ces puiflances quelconques , quelles qu en
foient les diredions & le nombre , doit ( Lem. 3 . C orol. 10.)
être poulie ou tiré fui vint la diagonale du dernier des-
parallélogrammes faits ( comme ci'-delius ) de leurs dire-
dions proportionnelles,- & avec une force qui loit à cha-
cune de ces puiflances comme cette diagonale à chacune
de leurs proportionnelles 5 & que le precedent Corol. 4.
donne la poiition Scia longueur de cette derniere diago-
nale , fans faire aucun parallélogramme, il donnera aufli
fans en faire aucun, la route ou ladiredion & la force
du corps poulie ou tiré par toutes ces puiflances à la fois,
c’elt-a-dire ( Dcj. 7. ) la diredion commune de toutes ces
puiflances la force réfultante de leur concours fuivant
cetce diredion.- De lorte que li ce corps eft poulie ou F 1 61 3«*
tiré à la fois , par exemple , par quatre puiflances C , B ,

M,N, données avec leurs diredions particulières AC,

AB , AM , AN , iefquelles foient proportionnelles à ces
puiifances , il n’y aura qua mener la droite CB 5 enfuite
de ion milieu mener la droite QM , laquelle foit di-
vifée en lh , de maniéré qu’on ait RM. RQj : 1 . 1 . Après
cela mener RN , qui loit aufli diviiée en S , mais de ma-
niéré qu’on ait SN.SR : : 3 . 1 . Enfin mener AS prolon-
gée vers O , fur laquelle foit prife AF~qx AS : cette
droite AP fera ' ( Corel. 3.. ) de pofition &l de grandeur la-
diagonale du dernier des parallélogrammes, qui auroient
été faits ( comme dans ce Femme-ci, Fig. 1 y . ) des pro-
portionnelles fuppofées. Donc ( Lem. 3. Corol. 10.) les
quatre puiflances ici fuppofées C ,. B ,M , N , poufferont
"ou tireront enfemble le long de cette ligne AP ou AS
le corps auquel elles font appliquées , & d’une force qui
fera a chacune d’elles comme cette même ÂP ou la va-
leur 4XAS eft à chacune de leurs proportionnelles AC,

AB, AM, AN. Et akifi de tout autre nombre de puif-
fances à volonté , qu’on fuppoferoit agir à la fois fur ce.
corps fuivant des diredions qui partiffent d’un mêmgr
point..

7 S No V V E L L Ë

Corollaire VL
Les divifions precedentes fuppofées des lignes CE ;
QM , NR , &ç. en , R , S , ,Rc. on voit ( Corol. 5 . ) que
l’étfort résultant du concours des deux puiflances C , B s
fe feroit fuivant AQj que le réfultant duconcoùrs des trois
puiflances C , B, M , fe feroit fuivant ARjque le réfultant
' du concours des quatre puiflances C, B, M, N, fe feroit fui-
vant AS, fie ainfi de tant de puilfances qu’on voudra fup-
pofer agir toutes à la fois fur un même point A, de quelque
maniéré que ce foin Donc fuivant le Corol. 1. du principe
general ( files lieux CB, QM, NR , Rc„ étoient autant
de verges inflexibles R fans pefanteur , aufquelles les
puilfances C , B , M, N, Rc» fans changer de direction ,
étoient appliquées comme on le voit; ici ) il y auroit équi-
libre entre les deux puilfances C, B , fur un appui placé
.en Q j entre les trois puiflances C, B, M, fur un appui
placé en R j entre les quatre puiflances C , B , M , N,
fur un appui placé en S , & ainfi de tel autre nombre
de puiflances qu’on voudra, dirigées toutes par A.D’ou
Ton voit ( Déf 8 .) que QqeA; le centre d’équilibre des
deux puiflances C, B. j que R efl: celui des crois puiflan-
; ces C, B , M ; que S. efl: celui des quatre puiflances C, B,
M , N , Rc. fur les verges ou lignes CB , QM ,RN ? Rç
.-fuppofées inflexibles R fans pefanteur»

D e f 1 n.:ï t i o n XI IL

Ces points Q^_, R, S, Rc. feront appeliez dansîafui-
j.t g, centres principaux d'équilibre de ces puilfances C,B iS
.M, N , Rc fçavoir Q^, centre principal d'çquilibre des
puijfances C, B 3 R, centre principal d' équilibre des pwjfan-
: ces CjB.jM j S , centre principal d’équilibre des puiffances
-C , B , M , N , R ainfi de tout autre nombre de puiflances
i libres dirigées toutes par le point, A , fuivant quelques
•plans que.ee foin

P E F ï N I T TON X I V»

pefauteurs particulières de toutes les parties diras

I

M E C A N î QJÜ E»
poids quelconque pouvant être regardées ( Ax. z . ) com-
me autant de puifïances qui agilfent enfemble fur lui de
Haut en bas avec des forces égales à ces pelanteurs , 8c
fuivant les mêmes directions qu’elles j il fuit du CoroL
lo. du Lem. 3. qu’il en doit réfulter à ce corps entier
une impreffion ou force totale de haut en bas , qui en
falfe la pefanteur totale , & fuivant une ligne qui ( Défi. 3 .)
en foit la direction. Quelle que foit cette ligne de dire- '
ction de la pefanteur d'un corps , elle s’appellera verti-
cale dans la fuite j & les perpendiculaires à celle-là , fe-
ront nommées horifontales. Si en quelque fens qu’on tour-
ne ce poids , la direction de fa pefanteur pafife toujours
par un même point de ce corps , ce point s’appellera à
l’ordinaire le centre de gravité de ce même corps.

Corollaire.

Le Corol. I .du principe general fait voir qu’un poids ‘
qui adroit un tel point , quelque fituation qu’on lui don-
nât autour de ce point , il y demeurerait toujours en
équilibre & en repos tant que ee point ferait foutenu ,
ou fixement arrêté, nonobitant la mobilité de ce corps
autour de ce même point fixe.

On verra dans la fuite fi un tel centre de gravité efi poffi-
ble , & en quel fens ; c êft-œ-dire , quelles doivent être pour
cela les directions des pefanteurs particulières de toutes les
parties des poids. En attendant nous ne mus fer virons point
des centres de gravité , mais feulement des directions de ces
poids , le [quelles fe trouvent toujours ( Corol. i.princip. ge--
lier.1 être les lignes fuivant le f quelle s ils demeurent (ufpendus,-

LEMME XII.

Soit un parallélogramme quelconque MDNG , dont les F'
deux cotez, DM, DN, prolongez, ( s'il efl neceffaire ) foient 34 ’ .
rencontrez perpendiculairement en H , K , parles deux cotefi
HR, K R , d’un angle auffi quelconque H RK placé en meme
plan, fe dis que fi HRt<DM~KRy.DN , ou ( ce qui revient
au même ) fi El R . K R : : J? N, D M La diagonale DG du par

C*

$o Nouvelle

rallelogramme MB NG , prolongée ( s’ ilefi necejfaire ) paffe*
ta-; par l’angle R.

Démonstration.

Si l’on nie que la diagonale DG paffe par l’angle R
foit menée la droite DR , qui loit prife pour le lin us to-
tal; foit auffi prile /pour la marque ou la caracf eriftiq ue
des autres linus. Les angles ( Hyp. ) droits en H , K , don-
lieront /HDR./KDR : : HR. KR ( Hyp.)-. : DN. DM : : MG.
DM'A. 8 . Cor. z.) : -./MDG.fMGD ::/MDG. fNDG,
Cependant li DG ne le confondoit pas avec DR , l’on
auroit ici /HDR à /KDR en moindre raifon que f'MDG
à/NDG ; & en plus grande , lî DR y étoit de l’autre
cote' de DG. Donc ces deux lignes DG, DR , doivent
fe confondre en une & par confequent la diagonale
DG ainli confondue avec DR , & prolongée , s’il eit ne-
celfaire , palfera comme DR par l’angle R. Ce gu il fai*
lait démontrer,

L E MME XI LL

ÿ ï.s. 33. r ar un point B donné dans un angle donné H AG , me*
ner une ligne droite BC , que ce point B divife en raifon do,n~.
née de m a n 3 c ejl- à-dire ,en forte gu on ait BD .BC : ; ni. n»

S o l u T 1 o N.

Sur AD prolongée du côté de D , foit prife DE. AD ::
n. m. Soit menée EC parallèle à AG , qui rencontre
AH en C ; de ce point C par le donné D foit menée CD,,
qui prolongée rencontre AG en B : je dis que CB eft la
ligne requife, c’eR-à-dire , que non feulement elle pallie
par le point donné D , mais encore quelle y elt divifée
de maniéré que BD. DC : : m. 71. ainfi qu’il ,efl ici requis.

Démonstration.

Puifque AB , EC., font ( confit. ) parallèles entr’elles , &
qu’ainli les triangles ADB , EDC, font femblables en-
tr’eux , l’on aura ici DC. DB; : DE.DA ( confit. ) : : n, m.

Dons

1

c.;

V

i

U è c a n i cvu e; r

Donc ( en renverfant ) BD- DC wm.n. Ce qu il falloit
faire & démontrer.

L E M M E XI Y.

Deux points A ,B , étant donne f d volonté , mener du pre- ^ 1 s ‘ 3.è’
mer A deux lignes AD , AC , de grandeurs données P ,
fr du fécond, B , une ligne B C , laquelle fait divifée cnD , C,
par ces deux-ld , en raifion donnée de m d n : c eft-d-dire , era
forte qu on ait ici tout h la fois AD~P , A C — ,& BD.

PC:: ni. n.

Solution.

Soit menée AB par les deux points donnez A , B , & fur
elle prolongée du côté de B , foit prife AE. AB : : n. m _

Des centres A , E, & des rayons AF—’ “~xP , EF—

foient décrits deux arcs de cercles qui fe coupent en F >
enfuite après avoir mené AC , FC , parallèles à EF , EA,

& qui fe coupent en C , foit menée BC , que la droite
AF coupe en C. Cela fait , je dis que AC— Q^_, AD^P %

Se que BD. DC : • m. n. ainfi qu’il eft ici requis.

Démonstration.

Car le parallélogramme AEFC réfultant de cette con-
flruction , rendant AC— EF ( Hyp. )— Q__, CF— AE, Se
les triangles ADB , FDC , femblables entr’eux , donne
premièrement AC— Q^i fecondement , FD. AD : : FC.

AB : : AE. AB ( conftr. ): : n.m. D’ou réfulte ( en compo-

fant ) m : AF ( xP ) . AD— P. Troifiéme-

ment enfin BD. DC : : AB. FC : : AB. AE ( conftr. ) : : m. n .

Donc cette même conftruétion donnera ici tout à la fois
AC~Q^, AD— P , Se BD. DC : : m.n._ Ce qu'il fallait dé-
montrer .

LEM ME XV.

&■<

Soit une ligne droite XO mobile autour dé un de fes points y t e ; •$ y
M fixe qui la divife en deux branches ou parties B X,BO, telles 3A

L • *>

ît Me c a n i qjj e;

qu’on voudra 'imaginons-la je mouvoir de XO en x a autour
de ce point fixe B. Par un autre point quelconque A fioient
menées des points X ,x , 0 , « , les quatre droites XA ,,xA,
OA, u A , fur le [quelles du point B tombent autant de perpen-
diculaires BD , Bd, BP , Bp. Je dis que la branche BX qui je
fera ainfi approchée du point A en Bx , pendant que b autre BQ
( moindre , plus grande , ou égale d elle s il n importe ) s'en
fera éloignée en B a , donnera toujours BP . BD |> Bp. Bd. cefi ?
À- dire -, BP a BD en plus grande rai f on que Bp d Bd » ■

Démonstration»

Après avoir pris Xb , x/ 2 . , chacune égaie à BO ou àB%
fur OX , cox , foient menées bm , , perpendiculaires fur

AX , Ax , prolongées s’il en eft befoin. Cela fait ,
r°. En prenan t B a ou fon égale (ox pour le finus total,
l’on aura ( Défi 5». Corol. i„.) @ft- à Bp comme le -fmus de
l’angle @>xp, eft au fmus de l’angle. B cep , ou ( Défi e>. O
roi. i.) coaune le ftnus de l’angle B,vA.eft au linus de
l’ange BsaA 3 6e confequemment auffi ( Lem. 8. Corol : 2 . )
comme Aa eft à Ax , c’eft-à-dire , ftu- Bp : : Aa. Ax. Mais
les triangles ( confir.. ) femblables Bxd , QXp donnant Bd,
: : BX. Qx ( confir. ) : : BX. BO. Donc ( en multipliant
par ordre ) Bd.Bp :: BXxA <3. BOxA-v.

2°. En prenant encore BO ou fon égale ^X pour le fi-
nus total, l’on aura de même ( Défi. 9. Corol. 1. ) BP à bm
comme le fmus de l’angle BOP eft au finus de l’angle
bXmy & confequemment auffi ( Lem. 8. Corol. 2. ) comme
AX eft à AO , c’eft-à-dire, BP. : A X.-AO. Mais les.
triangles ( confir. ) femblables bmX , BDX, donnent bm,

. BD : •. bX. BX ( confir. ) : : BO.BX. Donc ( en multipliant
par ordre ) BP. BD : : BOx AX.BXxAO.

Ces nom b. 1 . 2. donnant ainfi B^. Bp : : BXx A«. BOx Av»
Et BP. BD : : BOxAX. BXx AO. l’on aura ( en multipliant
par ordre ) BPxBABDxBp :::BOxAXxBXxAe». EXxAOx
BOxA.v : : AXxAûi. AOxAx . Mais la conftruftion don-
nanx AX î> Ax , 6c A« > AO , demie pareillement AXx

MEGAN! CLU E.' S 3

> AOxAv. Donc auffi BPxBd > BDxBp j 8c par cou-
fequent BP. BD > B/. B d. Ce qu’il falloit démontrer*

Autre Démonstration.

Soie menée la droite B A -, & pour abréger nos expref-
fions , foit /la car acier ifiique des finus , en forte que
/BAO,/BAX, &c. lignifient les linus des angles BAO,
BAX,&c. Cela pofé, leCorol. i. du Lem. 8. donnera
BO. AO : : /BAO. /ÂBO. Le même Corel, z . du Lem. 8 .
donnera auffi AX. BX : -./ABX./BAX {r>éf 9 . CoroU z .)
t : /ABO./BAX. Lon aura de plus AO. AX : : AO. AX.
Donc ( en multipliant ces trois analogies par ordre ) l’on
. aura BQ. BX : : AOx/BAO. AXx/BAX. Par un fcmblable
raifonnement on trouvera de même B tu. Bv : : Aox/BAæ.
Avx/BAv. Mais (Hyp.) BO.BX: :B<y. Bv. Donc auffi
AOx/BAO. AXx/BAX : : Am / B Ag . Avx/BAv. Et con-
Lequemment AOxAvx/BAOx/BAv—AXxAwx/BAXx
/BAw 5 d’où réfulte ÀXxA^. AOxAv : -./BAOx/BAv.
/BAXx/BA w . Mais la conilrudion donnant AX > Av ,
& Aw > AO , donne AXx A« > AOx Av. Donc auffi
/BAOx/BAx >/BAXx/BA«. Or en prenant AB poul-
ie finus total 5 l’on aura ( Déf. y.Corol. i . ) BP— /"'BAO ,
BD— /BAX , Bp— /BAw , & Bd— /B Av. Donc BPxBd>
BDxBp. Par confequent BP. BD > Bp. Bd. Ce qu’il falloir
encore démontrer .

Tr o isie’me Démonstration.

Toutes cliofes demeurant les mêmes , le Corol. z . du
Lem. 8. donnera,

I °. fBAa.fA&B : : B**. AB ( coup . ) BO. AB.

z°. /A«B. /ÀvB : : Av. A«.

3 °. /AvB./BAv : : AB. Bv ( conjlr. ) : : AB. BX.

Donc ( en multipliant par ordre ) /BA«. /BAv- : BOx
Av. AwxBX. ou /B Av. /BAw: : À*’xBX.BOxAv. On
trouvera de même / B AQ./B AX : : BOxAX. AOxBX.
(Donc en multipliant encore par ordre! /BAOx/BAv.
/BAXx/BA« BOxAXx AaxBX. AOxBXxBOx Av : ;

ï r ©7 37 ,'
8c fui vantes
/ufçju’à 4 ? .

ï I G. 37 .
38 .. 3J>.

F I- 6. 40.
41 , 41 . 4 , 3 .

‘F 1 g. 44.
45 - 4 *-

«4 Moü?ïlie

AXxÂm. ÂOxÂx , c’eft-à-dire , A XxÂ&. AOxÂ,v : •
/BAOx/BA*. /BAXx/BA®. comme dans la precedente
Démon fixation z . Ce qui donnera ici comme là BP. BD >
Bp. Bd. CV falloït encore démontrer.

LEMME XVL

od fur les deux cotez, contigus AB ,AC, d’un parallelo*-
gramme quelconque ABDC , fur la diagonale AD , qui
paffe par l’angle BA C ( que f appelle capital ) compris entre
ces deux cotez, AB, AC. , on fait autant d.e triangles AS B ,
ASC, A SD, d’un fommet commun S donné a volonté autre
que le point A , fur le plan de ce parallélogramme ABD C s-
je dis,

I. jpue lorfque ce point- S fera dans le complément ( a deux
droits ) B AF ou CAF de l’angle capital BAC , comme dans
les Fig. 37- 3 8. 3 y. Le triangle ASD conflruit. fur la dia-
gonale AD du parallélogramme prcpofé ABD C , fera toujours
égal à la fomme des deux autres triangles ASC , AS B , con~
jlruits fur les côtef AC, AB , de cet angle capital BAC ,
c efl-k-dùre ,qu alors on aura toujours A SD‘~AS C — \-ASB,

1 1 * défue lorfque le point donné S fera dans l’angle capital
BAC , ou dans fon oppofé EAF , comme on le voit dans les
Fig.. 40. 41. 42.. 43. Le triangle ASD fera toujours égal k
la différence des deux autres ASC , A SB , defquels le plus
petit aura pour bafe le côté qui avec la diagonale fait des
angles oppofef, dans l’un defquels le point S je trouve , com-
me ici le triangle ASB , dont la bafe éft le coté AB , qui avec
la diagonale AD , forme les angles oppofez DAB , KAE ,
dans un defquels ce point S fe trouve 1 c ejl-k- dire ,qu alors on.
aura par tout ici ASDzzASC-- — ASB.

III. jëfne lorfque le point S fera fur un des côtef (prolon-
gé ou non)de l’angle capital B AC du parallélogramme ABD C\.
comm^e on le voit fur AB dans les Fig. 44. 45. 46 . Le
triangle ASD fera toujours égal k celui qui aura pour bafe
l’autre côté contigu A C de ce parallélogramme > c ejl-k- dire *
qu alors on aura toujours ici yl.SDzg.ASC,.

M E C A N I Qjtf ê: _ ?5'

î V- fijue fi le pin* s e fi fur lu diagonale AD ( pro- p i g ;

longée ou non) comme dans les Fig. 47. 48. 4p. l’on aura
toujours ASBzzASC.

Démonstration.'

F réparation pour tous les cas. Si du fommet communS
des trois triangles ASD , ASB , ASC , dont il eft ici que- j u f<pA 4^-
ftion, l’on mene SG perpendiculaire en G , H, aux co-
tez parallèles AC , BD , du parallélogramme ABDC y
l’on aura GS , GH , HS , pour les hauteurs des triangles
ASC , B AD ,BSD , au-delTus de leurs bafes AC , BD , per-
pendiculaires ( conjlr. ) à ces hauteurs. Par confequent on

aura leurs aires ASC— }ACxGS , BAD— jBDxGH:^dp

ACxGH , BSD— f ACxHS y ce qui donne ,

1 °. B AD-fB SD-. f ACxGH-4- ^ACxHSrrGACx
GH— pHS ( dans les Fig. 37. 3p. 40. 42. 44. 47- )

— f-ACxGS—ASC.

■ 2 0 . B AD— BSD ACx GH — f ACxHS — f ACx.

GH— HS ( dans les Fig. 38. 3p. 41. 42.45.48.) — f j
ACxGS— ASC.,

3 °. BSD-B AD i= 1 ACxHS— fACxGH==f ACx
HS— GH ( dans les Fig. 43. 46. 4p.) — ^ACxGS—

ASC. Or ,

P a k t. I. Les Fig. 37. 3 p. donnent ASD— ASE=— f* fd
BAD— FBSD, & les Fig. 38. 3p. donnent ASD— ASB J 35
— FBAD— BSD. Donc ( prep. nomb. 1.2.) ce cas du point
S dans le complément BAF de l’angle capital BAC > com-
me on le voit dans les Fig. 37. 38. 3 p. donnera toujours ■

ASD— ASE— f-ASC. Ce qu il falloit i°. démontrer.

P a R t. 1 1. Les Fig. 40 . 4 2 . donnent ASD— BAD — h f, g , 40 -.
BSD— ASB, les Fig. 41 . 42 . donnent ASD— B AD — BSD 4*- 4 a - 4 ?*-
— ASB , Sè la Fig. 43. donne ASD— BSD' — 'BAD' — ASB.

Donc ( prep. nomb. 1.2.3.) ce cas du point S dans un des
angles oppofez DAB, KAE , comme on» le voit dans les

^ H » *v -

? t <s. 44.

,F 1-8. 47.
•4- S ° 4 9 -

? t s. 57.
& fuivantes
• jufcju’à 48.

F va 3,7.

4 î e. .4®.
,ÿî. Ai. 43.

0

.8:6 Nouvel l e

Fig. 40. 41. 42,. 43. donnera • toujours ASD—ÂSG-*
ASB. Ce quil falloit. x °. démontrer.

On trouveroitde même JSD^ASB- — -ASC ,f S ètoit dans
un des angles oppofez.DAC , K AF.

Part. III. La Fig. 44. donne ASDnrB A.D — J-BSD,la
Fig. 4 5 . donne ASD— B AD— -BSD , &: la Fig. 46 .donne
ASD— :BSD — BAD. Do ne { prep.nom. 1.2.3.) ce cas du
point S fur le côté AB prolongé de l’angle capital BAC,
comme on le voit dans les Fig. 44.45. 46. donnera tou-
jours ASD— ASC, Ce qu il falloit 3 °. démontrer.

Giitrouveroit de même ASD~ASB , F le point S etoit
quelque part fur l’autre côté AC prolongé.

Part. I V. La Fig. 47. donne ASBtmBAD — f-BSDj
la Fig. 48. donne ASBt=tBAD-G 3 SD , & la Fig. 49. don-
ne ASB-—BSD' — .B AD- Donc ( prep. nomb. 1.2.3. ) ce cas
du point S placé quelque part fur la diagonale AD pro-
longée , comme on le voit dans les Fig. 47. 48. 4p. don-
nera toujours ASBtmASC. Ce quil falloit 4 0 . démontrer.

Corollaire I.

Si prefentement du point S on meme SM , SN , per-
pendiculaires en M, N , fur AB , AD, prolongées , s’il ed:
nece/Taire, comme SG eft ( -conftr . ) perpendiculaire en G
fur AC prolongée j l’on aura les. aires triangulaires ASD

ADxSN , ASB— lABxSM , & ASC~ fACxSG. Or ,

1°. La Part. 1 . donne ASD—ASB— pASC dans les Fig.
37. 38. 3 g. qui ont le point S dans le complément B AF
de 1 : 'angle capital BAC. Donc en ce cas on aura toujours
.ifADxSN— 4 ABxSMH“ëACxSG , ou ADxSN=ABx
SM-pACxSG

On troitveroit la même chofe, delà même maniéré, lî
S étoit dans l’autre complément CAE de l’angle ..capital

u°. La Part, ■%.. donne ASD— ASG — ASB dans les Fig.
40. .41.. 4.2. 43. qui ont le point S dans un des angles
oppofez, DAB , KAE, Donc en ce cas 011 aura toujours

I

MECANI QJ7 E S 7

PDxSN= 1 ACxSG— fABxSM , ou ADxSN=ACxSG
L-ABxSM.

On trouveroit de même ADxSN“ABxSM— ACxSG 3
fi le point S étoit dans un des angles oppofez DAC ,

KAF.

3 °. La Part. 3 adonne ASD^=:ASC dans les Fig. 44. 45. f 1 a; 44 ;.
46. qui ont le point S fur le côte' AB prolongé ou non, 4 s* 4 e *
de l’angle capital BAC. Donc eu ce cas on aura toujours

“ADxSN— £ACxSG , ou ADxSN=ACxSG, -

4 0 . La Part. 4. donne ASB— ASC dans les Fig. 47. 48', J? 1 »; 4^ *
4 j) . qui ont le point S fur la diagonale AD prolongée ou 48 ‘ 45 '
non. Donc en ce cas on aura. toujours ~ ABx ACx
SG , ou ABxSM— ACxSG. -

Corollaire ï L

Puifque ( Corol. 1 \mmb. 3. ) ADxSN“ACxSGdans le F10.44. & -
cas du pointS pris ou donné fur le côté'AB prolongé ^ v ^ es
ou non , de l’angle capital BAC , comme dans les Fig. JU " U 4? ’
44.45. 46. &que ( CoroL 1. nomb. 4.) ABxSM~ACx
SG dans le cas de ce point S pris fur la diagonale AD
prolongée ou non , du parallélogramme quelconque
ABDC, menée par cet angle capital BAC , comme dans •
les Fig. 47. 48. 45. On voit que dans le premier de ces •
deux cas on aura toujours SG. S N : : AD. AC. Et dans
le fécond, SG. SM : : AB. AC. D’où l’on voit en general
que fi d’un point S , pris ou donné à volonté- fur un des
cotez AB , AC, ou fur la diagonale AD ( qui pafle par-
leur angle BAC ) d’un parallélogramme • quelconque
ABDC , on me ne deux perpendiculaires fur les deux *
autres de ces trois lignes prolongées ou non 5 ces deux
perpendiculaires feront toujours entr’elles en raïfon re- -
dproque des deux cotez , ou d’un d’eux , & de la diago-
nale du parallélogramme propofé- quelconque , fur lef~ -
quels ces deux perpendiculaires font à angles. . droits*. •

ï' i -a~. ?9-
41. & fui-
yantes juf-
ÿfi 49"

JFi g. 39.’

.41.

®ï e. 44.
4- J . 4 6.

? 1®. 4,7.
,48. 49 •

f ws. jo. 51.

$ Nouvelle

C’eft ce qu'on a déjà vu autrement démontré dans le
CoroL 1 o . du Lemme 8 .

ScHOLIE,

Ce n'a été que pour démontrer par la même méthode
tous les cas du prelent Lena. 1 6 . qu’on a employé dans
tous la perpendiculaire SG au côté AC de l’angle capital
'.BAC j car on peut aifémement s’en palier dans les cas
des Fig. 351.41. 44. 45. 4,6. 47, 48. 49. & même la
démonllration en fera plus l'impie que par cette voye ge-
nerale. En effet ,

1 °. Dans les Fig. 3 5? . 41. les triangles ASC , B AD , de
bafès égales AC , BD , & compris entre ces mêmes paral-
lèles , étant ai nu égaux entr’eux , l’on aura tout d'un
coup ASD—ÀSB— f B ADunASB— f-ASC dans la Fig. 3
•& ASBpBAD — ASBcmASC— ’ASB dans la Fig. 42. le
tout conformément à ce qu’on a trouvé de l’autre ma-
niéré pour ces deux Fig. 3 51.41. dans ies démonllrations
des Part. 1.2.

2 0 . Dans les Fig. 44. 4 5 . 46. les triangles ASD , ASC,
étant fur mêmes bafes ,AS , & entre mêmes parallèles
AS , CD s 'on voit encore plus promptement que ces deux
triangles font égaux entr’eux , conformément à ce qu’on
en a trouvé dans la démonllration de la Part. 3 „

3 °. Dans les Fig. 47. 4 8 . 45. les triangles égaux ABD,
A CD , ayant des hauteurs égales fur leur bafe commune
AD , & ces hauteurs étant aulE celles des triangles ABS,
ACS , fur leur baie commune AS : ces deux derniers
triangles feront aulîl égaux entr’eux , conformément à ce
qu’on en a trouvé pour ces trois Fig. 47.48.4-9. dans la
démonllration de la Part. 4.

LEMME XVII

Si plus de deux puijjdnees B , C , D ,E , F , G, &c- font
appliquées a autant de cordons attache ^ ensemble par un feul
■& même nœud commun A , que rien autre chofe ne retient ,
j équilibre ejl impoffible entré ces puiffances ( quelles qu elles

<R ; \

A . B )

■■ - A

4 * Me ca ni o_u E. S j>

f aient, & quel qu en foit le nombre ) lorf quelles font dirigées
Je maniéré qu'un plan RS pui (fe pajjer par ce noeud commun
J de leurs cordons , fans pajjer entr elles ou entr eux , ou fans
..quelles f oient toutes dans ce plan, cef- à-dire , fans divifer au-
cun des angles que ces cordons font entr eux , &■ fans qu'ils
foient tous dans ce m ême plan.

Démonstration.

,11 eft vifible qu’un plan RP , qui rencontreront aiiifi en F 1 «• s*
A tous les cordons des puiffances fuppofées auroit toutes f1,
ces puiffances tirantes d’un feul côté par rapport à lui ,
comme dans la Fig. ^ o . ou quelques-unes tirantes vers ce
feul côté-là , pendant que toutes les autres tireroient fui-
,vant ce plan comme dans la Fig. 5 1. Donc de quelque
■maniéré que l’on combine toutes ces puiffances, il ne ré-
iultera du concours de toutes qu’une impreffion totale
vers le côté 0:1 il y aura des puiffances hors le planfup-
pofé. Donc il ne pourra y avoir alors d’équilibre entre
toutes ces puiffances, aufquelles rien d’ailleurs ( Hyp. ) ne
, s’oppofe. Ce qu il fait oit démontrer.

Corollaire I.

Donc quelques foient les directions de plus de deux
■cordons ( en quelque nombre qu’ils foient ) attachez en-
femble par un feul & même nœud, & quelques puiffan-
ces quon leur applique , une à .chacun, l’équilibre fera
impoffible entre ces puiffances.

T°. Dans le cas de tous les cordons en même plan, h .
de prolongement de quelqu’un d’eux ne divife pas quel-
qu’un des angles que les autres cordons font entr’enxj
puifqu’un autre plan que le leur , mené fuivant ce
cordon-là , les rencontreroit alors tous en leur nœud
commun fans paffer -.entr’eux , & fans qu’ils fuffent tous
dans. ce plan,

2 0 . Dans le cas des mêmes cordons en plans differens ,

•il quelqu’un de ces plans prolongé ne paffe pas à tra-
ders des cordons des autres plans 5 puifque celui-là fera,

M

9© Nouvelle

lui-même un plan qui rencontrera tous ces cordons en
leur noeud commun fans paffer entr’eux.

Corollaire IL

Il fuit encore de ce Lemme-ci , que quelques foient
les directions de plus de deux cordons (en quelque nom-
bre qu’ils foient encore ) attachez enfemble par un feul
& même nœud , qui foit regardé comme le centre d’un
cercle , ou d’une fphere 3 que h ces. cordons ne font pas:
répandus en plus d’une demi-fphere , lorsqu'ils font en
plans differens , & en plus d’un demi-cercle , s’ils font en
même plan 3 quelques puilfances qu’on leur applique
aine à chacun , elles ne pourront jamais être en équili-
bre entr 'elles fui vaut ces directions 3 puifqubn pourra
faire palfer un plan par le nœud commun , fans qu’il
paiTe entre ces cordons , &; fans qu’ils, foient tous dans ce ■
plan.

LEMME XVIIL

I. Lorfque tous les cordons iffus d’un meme nœud » font
dirigez, fuivant un même plan , & répandus en plus d’un
demi-cercle , il ri y en a aucun qui prolongé par de-lk ce nœud,
commun , ne paffe entre les autres cordons y c ejl-ù-dire ddtra-
‘vers quelqu’un de leurs angles „

De moiistra t i o n..

Car s’il n’y palTo it pas , il feroit le diamètre terminant
d’un demi-cercle , dans, lequel feul lui &c les autres cor-
dons feroient alors tous répandus:* ce qui elt contre l’hy»
pothefe. Donc , &c.

II. Dans la même hypothefe de tous les cordons dirigez fud-
*uant un même plan ét répandus en plus dun demi-cercle t
quelque ligne droite quonmene oit qu on imagine fur ce plan
par le nœud commun , fans pajjer par aucun deux ; elle pajfc -
ra toujours de part & d autre du nœud h travers deux des an-
gles que ces tordons font entrcux„

MlCANÏ QJJ E.- 'fl

Démonstration.

Car il elle ne paffoit à travers aucun de ces angles, elle
feroit le diamètre terminant d’un demi-cercle dans le-
quel tous ces cordons feraient.» ce qui eft contre l’hypo-
thefe j & £ cette ligne droite ne pafloit à travers que d’un
fies angles de ces cordons , les deux cordons voifins à
droite & à gauche de cette ligne droite du côté qu’elle ne
pafferoit à travers aucun de leurs angles, feraient avec
tous les autres dans un demi-cercle , ou en moins d’un
demi-cercle ; ce qui eft encore contre l’hypothefe. Donc ,
Sec.

III. Lorfque ces cordons font dirigez fuivant des -plans
Mfferens , & répandus en plus dé une demi-fphere , il ny a au-
cun de ces plans qui prolongé ne pajfe entre les cordons des au-
tres plans.

Démonstration.

Car s’il n’y paffoit pas , il feroit le plan d’un grand
cercle terminant une demi-fphere , dans laquelle tous les
cordons feraient répandus 5 ce qui eft contre l’hypothefe*
Donc , Sec. Ce qu’il fallait démontrer.

A VERT 1 SSEMEN T.

I. L’ufage des Lemmes précedens fe verra dans les
Sections fuivantes , dans lefquelles ( pour la commodité
des citations ) les Définitions , quoique de Sections diffé-
rentes , feront numérotées par des chifres de fuite depuis
la première des précédentes , jufqu’à la derniere de ce
Traité-ci. Il en fera de même des Théorèmes entr’eux,
& des Problèmes aufll entr’eux.

II. Les parallélogrammes qui nous vont fervir à ap-
pliquer aux Machines le précèdent principe general , êc
qui par le moyen des rapports de leurs cotez entr’eux,
■& à leurs diagonales , nous fer virant à trouver ceux que
fies puiffances en équilibre fur ces Machines , doivent
avoir entr’elles , à la charge qui en doit réfulter à ces

Mij

•* • Nr

i) ±. K O U V E L L 1

Machines : ces parallélogrammes , di-je , ayant ( Lem. SF
Corol. z. 3.) leurs cotez Se leurs diagonales en raifondes-
finus des angles qui leur font oppofez , nous exprimerons ,
auiîi.ces rapports de puifian-ces- Se de charges des Machi-
nes par* ceux de ces hnus , dont nous nous fervirons fou-
vent x fins même faire mention- des parallélogrammes,
que pour arriver a ces hnus, tant pour la (Implicite des
Pigures Se des Démonftrations , que parce que le calcul
clans les Machines ell beaucoup plus facile Se plus expé-
ditif par les finus que par les cotez Se diagonales des pa-
rallélogrammes,, dont on ne- connoit prelque jamais les
rapports que par le moyen de ceux de ces finus , qui
pour, cela feront , dis-je, ion vent fub (limées dansla fuite
à ces cotez- Se à ces- diagonales de-- parallélogrammes ,
fans en faire quelquefois aucune mention. Cependant h
l’on veut reftituer les parallélogrammes aux endroits ou
nous n’employons que des finus , fans faire aucune men-
tion de ces Figures , la chofe fera aife'e. 5 par exemple, -
dans les Figures, r é. ryvfi l’on veut avoir en diagonale-
Se en- cotez d’un parallélogramme , les- rapports qui ne
feroient exprimez qu’en finus d’angles BDC , ADC , ADB,
il n’y a qu’à faire un parallélogramme ABCD d’une dia-
gonale quelconque AD prife lur la ligne qui divife à vo-
lonté l’angle total BDC en deux autres partiaux ADC,,
ADB , Se; qui ait fes cotez AB , AC, fur ceux de cet an-
gle total BDC , Se alors on aura ( Lem. S . Corol. 4. ) la
diagonale AD , Se les cotez AB , AC , de ce parallélo-
gramme ABDG , en raifon des. finus des angles propofez
' BDC , ADC , ADB 5 aufquels finus an pourra confequemr
ment fubftituer cette diagonale Se ces cotez de parallé-
logramme pour exprimer par leurs rapports ceux qui ne
Fétoient que parles rapports de ces finus.

juiq e. j) o,. Tome , I.

Planche, I ■ JP ouv&lle- .Æecar,

IC]\

nque.

Plane lu. 2

JS! ony-e LU MecamQiu

pqiie.jjg . Tome.I

\

f

' /

/

K-

/N

\

/ ,

v

/ ’

/

1 *

/

. t

&

t

4

Planché p

Nouvelle Mecamque

pacj e .j> a,. Tome.I.

Ft J-W;

Fuj.0,0

Fui .Sa

Mk

Fi

b5

13

i3wWÜ

i planche ■ S ?

Nouvelle Mécanique

piiqe .pz . ToiJie.I .

F è> '^ 5 -

Fuj . 2>7

*&' h 3 \

r

F! N

Fip.jz

Æe,

'caniaue .

CflU

Tom J . peu) .j? a, ,

\

(4c J

V .

mm Mp .

B . $p)

À J A

i\ A,

M e c a n i qjj 2 . 513 ”

SECTION I L

Des Poids joute nus avec des cordes feulement } en>
quelque nombre qu elles foient , & pour tous les an-
gles pojjîbles qu elles peuvent faire entr elles»

Définition- XV»-

L E poids K étant foùtenu avec des cordes feulement, Fia- ?av
,en quelque nombre, ùe fuivant quelques directions 5 ' 4 5i>
qu'elles foient, par les puilfancesP ,.R, &c. les parties
AB , AC , &c. de- ces directions ou cordes prolongées ,
prifes depuis le point A- de leur concours , en raifon des
puilfances P , R , &c. appliquées à ces cordes , feront
dan-sia. fuite Amplement appellées proportionnelles de- ces -
puilTanceSo .

De fin 1 t 1 o n X V L -

Les parties AF , AE , &c. de la direction prolongée XK
du poids K , comprifes entre les concours A des cordes
PG , RH , &c. auffi prolongées ( par où l’on va voir que
cette direction du ■ poids- K doit toujours palier ) & les
perpendiculaires BE , CF , &c. à cette direction XK , me--
nées des autres extrêmitez , B , C , &c, des proportionnel-
les AB, AC,,&c. des puilfances P, R, &c, feront appel- -
lées les fublimitez, de ces puilfances , lorfque cés parties
AE, AF, &c» de la direction du poids K feront au delîlxs ■
du poids A i <2e lorfque ces parties AE , AF , &c. feront au ’
deffous de ce point A , elles feront appellées les profondeurs
de ce s mêmes puilfances P, R, &c. Ce qui fera aullî ap-
peller ces- puilfances fublimes ou profondes , félon qu elles
feront au delîlxs ou delfousde ce concours A de leurs
directions j c’elt-à-dire , félon qu’elles agiront- de bas- en
Faut , ou de haut en bas- Suivant ce langage AE , AF S

M-üj I

e>4 ,’N O U V E L L Ë

.feront autant de fublimitez )&P,R, autant depüiiTatt-
,ces fublimes dans les- Fig. 52. 55 . 56. mais dans la Fig.
54. il n’y aura que AE., 8 c P., qui le foient : AF y fera
aine profondeur ., & R. une puiflance profonde. Dans la
Fig. 5 3. il n’y aura non plus que AF de .fublimitez , 8 c
FL de pui Tances fublimes ; & cela fans aucune profon-
deur , 1 a direction de la puifance P, qui y eft ( Hyp. ) per-
pendiculaire à celle AX du poids K , y r endant AE nulle
.ou zéro.

THEOREME L
"Fondamental de la prcfente Section I L

L Lorfqu un poids quelconque X de pef auteur dirigée fui-
vant KX , eft foûtenu feulement avec des cordes GP , H R :s
par deux puijfances P , R, en équilibre avec luis les directions
XX, PG , RH , de. ces poids eft de ce s deux puifj ances feront
toujours en même plan s toutes trois pafferont par un même
point A , ou feront parallèles enté’ elles eft de maniéré que la
direction XK prolongée du poids , pajfera toujours entre les
deux autres PC , RH.

I I . Du concours des puijfances P , R., il refultera une force
qui en ce cas d’équilibre fera toujours égale au poids K , eft
d’une direction en ligne droite avec celle K X de ce poids.

III. Si fur cette direction XK prolongée , que la démon-
ftration de la part. %. va faire voir pafj'er toujours ( en ce cas
d équilibre ) par A a travers l'angle P AR des cordes P G, RH,
aufjl prolongées s on prend dans .cet angle (, quel quil frit ) de-
puis fon fommet A , une partie quelconque AD , fur laquelle
comme diagonale , on fa je un parallélogramme A 1 >DC , qui
ait pour cotez, des parties AE , AsC , des directions des cor-
des PG., RH, ou. des puijfances P,, R , appliquées u ces cor-
des: le poids X fera toujours a chacune de ces puijfances P ,
R, fuppofées en équilibre avec lui , comme la diagonale AD
de ce parallélogramme ABD C , fera u .chacun de fes , cotez
A R .., A C , qui leur répondent fur leurs directions,.

I V. En ,çe même cas d’équilibre , fi les puijfances P , R,
font en.tr elles comme les parties quelconques AB , AC , de

I

Mécanique- fif

leurs directions , ou ( ce qui revient au même ) fi du concours- \
A de leurs directions on en pend des parties AB , AC , qui
fioient entr elles comme ces deux puififiances P , R , efi que de'
ces deux cote-fi AB, AC , on fiafie un parallélogramme ABD Ç>
fia diagonale AD fiera toujours en ligne droite avec la dire-
ction ICX du poids K ; & ce poids K fiera encore alors a cha-
cune de ces deux puifijances P , R , comme cette diagonale AB‘
du parallélogramme ABDC u chacun de fies cote fi AB , AC A
storrefipondans fiur leurs directions.

V . Réciproquement fi la direction KX du- poids K , proion ^
gée vers D , pafi'e le long du plan , par le concours A , & a
travers T angle F A R des cordes P G, HR, prolongées ,.aufiquelle*
les puififiances P, R font appliquées >■& que ce poids fioitùcha
cune de ces deux puififiances comme la diagonale AD du pa-
rallélogramme ABD C , . fiait comme dans la part. 3 . fiera k
chacun de fies citez, AB-, AG , qui leur répondent fur leurs di-
rections ; ce poids K fiera pour lors en équilibre avec ces deux
puififiances P , R .

V I. Réciproquement encore fi la direction KX du poids K
fie trouve en ligne droite avec- la diagonale AD du parallèle-"
gramme ABD C , fiait comme dans la part. 4, & que ce poids
fioit a chacune des deux pui fiances P , R , comme cette diago--
nale AD fiera h chacun des cotez, AB , AC , qui leur répon-
dent fiur leurs directions dans ce parallélogramme ABDC s
ce poids K fiera pour- lors en équilibre avec ces deux puifian- '
ses P , R.

Démon s t rat ion.-

Pa r t. L. Le Corol. iq . du Leni. 3 . fait voir que dans*
l’équilibre ici fuppofe',la direction KX du poids K doit
toujours paffer le long du plan de. celles PG , RH , des •
puiîîances P, R , par leur point de concours A, à tra-
vers 1 angle PAR qu’elles font entr’elles ; & les Corol- 2.

3,. du-Lem. 6 . font voir que lorfque cet angle fera infi-
niment aigu par l’éloignement .infini de fon fommet A 3 .
ces trois directions KX,PG , RH , feront parallèles en-
tr elles dans le même plan & dans le. même ordre qu’au-

P >6 Nouvelle

■paravant. Donc en ce cas d’équilibre ces directions fe-
ront toutes trois en même plan ,par un même point , ou
parallèles entr’elles , 8e celle KX du poids K fera tou-
jours entre les deux autres PG,RH. qu'il fallait i°
démontrer.

Part. IL Le nomb. ï. du Corel. T. du Lemme 3.
fait voir que du concours des puilfances P , R , il doit
refulter au point A , 8e confequeminent auffi au corps K
une force nouvelle fui vaut quelque ligne AD qui palfe
par A à travers l’angle PAR compris entre les directions
de ces deux puilfances , -fuivant laquelle ligne AD ce
corps feroit tire' par le concours de ces deux puilfances s
de même que fi au lieu de l’être par elles enfemble , il
ne l’étoit -en même fens fuivant cetce ligne AD , que par
•une puilfance égale à La force refultante du concours de
ces deux-là 5 & que ce corps ainfi Lire fe meuvroit effe-
ctivement ( Ax. z. ) fuivant cette ligne de A vers D, Il
quelqu’autre force ou rélîllance ne s’v oppofoit. Donc
n’y ayant ici ( Hyp. ) que la pefanteur de ce poids K qui
-s’y oppofe , non feulement cette direction AD de la for-
ce remltante du concours des deux puilfances P , R , dans
l’équilibre ici fuppofé , doit être<( Lem. 3 .Corol. z . nomb. 1 .)
en ligne droite avec la direction KX du poids K , ou de
l'a pefanteur 3 mais . encore cette force doit ( Lem, 3. Co-
rot, z. nomb. -3 . ) être égale à cette pefanteur * c’elt-à-dire
Lem. 3 . Corol. z . ) être égale & directement oppofée à cet-
te même pefanteur. Ceyu il fallait . démontrer.

Part. II I. Puifqué le poids K eft ( Hyp. ) foutenu par
-le concours des puiflances P, R, &e. en équilibre avec
.elles , les nomb. -I . z . .3 . du Corol. z . du Lem. 3 . font voir
.que la pefanteur doit être égale à la force refultante
■( Lem. .3 . .Corol. -ï . nomb. ,1 . ) de leur concours d’aCtion
.contre lui, 8c être dirigée fuivant la même ligne que cet-
xe force en fais directement contraire : de forte que la
pefanteur de ce poids étant ( part. r. ) dirigée fuivant
'•DA j la force refultante du concours d’aCtion des puif-
■jfupcps .P, R , contre ,lui> fera aiilîi dirigée fuiyant .lamé-

M E C A N I QJJ E.’ 9 J

me diagonale AD du parallélogramme ABDC. Par con-
feq uent cette force ou impreffion refultante du concours
de ces deux puiffances P , R. , fera non feulement égale
& directement oppofe'e à la pefanteur du poids K , mais
encore ( Lem. 3 . Corol. 5. ) elle fera à chacune de ces mê-
mes puilfances P, R , comme la diagonale AD du paral-
lélogramme ABDC .elt à chacun de fes cotez AB, AC,
qui leur répondent fur leurs directions. Donc auffi le
poids K ou fa pefanteur fera de même ici à chacune de
ces deux puilfances P , R. , comme cette diagonale AD
elt «a chacun des cotez AB , AC, qui leur répondent
dans le parallélogramme ABDC. Ce qu’il falloit 3 0 . dé-
montrer.

Part. I V. Puifque ( Hyp. ) P. R.: : AB. AC. la dire-
ction de la force réfultante du concours de ces deux
puilfances- P , R. , doit être ( Lem . 3,. Corol. 1 . nomb. 1 . )
de A vers D fuivant la diagonale AD du parallélogram-
me ABDC- Or dans le cas d’équilibre ici fuppofé., cette
direction doit être [part. 1.) en ligne droite avec- celle
KX du poids K. Donc en ce cas d’é-quilibre la diagonale
AD doit être fur cette direction XK prolongée du côté
de K 3 & confequemment ( part. 3 . ) le poids K doit être
ici à chacune des puilfances P , R , fuppofées en équilibre
avec lui , comme la diagonale AD du parallélogramme
ABDC elt à chacun de fes cotez AB , AC , correfpondans
fur leurs directions. Ce qu’il falloit 4 0 , démontrer.

Part. Y. Puifque ( Hyp.) le poids K elt à chacune des
puilfances P , R , comme la diagonale AD du parallélo-
gramme ABDC, prife fur la direction XK prolongée de
ce poids , elt à chacun de fes cotez AB , AC , pris auffi.
fur les directions prolongées AP , AR , de ces deux puif-
fances , par le concours , Sf dans le plan defquelles dire-
ctions palfe ( Hyp. ) celle du poids K à travers leur angle
PAR ; l’on aura ici P. K : : AB. AD. Et K. R : : AD. AC.
Donc ( en raifon ordonnée ) P. R : : AB. AC. Par confe-
quent ( Lem. 3 . Corol, 1 . nomb. 1 . z. ) les puiffances P ,R ,
doivent tirer le poids K de A vers D fuviant AD direction

N

<j S' N O U V EL LE

( Hyp- ) prolongée KX de ce poids dans le plan de leurs
cordes, & d’une force contraire à la fie&ne, laquelle for-
ce contraire foit à chacune de ces. deux puiftances P , R. r .
comme cette diagonale AD du parallélogramme ABDC
eft à chacun, de lès cotez AB , AC , qui leur repondent. -
Mais la force de ce poids, ou fa pefanteur cil avi/ü ( Hyp. )
en cette même raifon à chacune de ces deux puiffa uccs.
Donc la pefanteur de ce poids K eft ici directement con-
traire & égale à la force refultante du concours, d’action
des puiftances P, R , contre lui Par confequent ( Ax. 3 .
é* Coroi. \.du pr'mc. gcner. ) ce poids doit, ici demeurer en
équilibre avec fes deux puiftances. Ce çfaii falloit ^. dé-
montrer.

Autrement. Si le poids Iv ne faifoit pas ainfi équilibre
avec les puiftances P , il, foit en fa place tel autre poids
Z qu’on voudra , qui appliqué fuivant fa direction Ax;
contre les puiftances P, Pv , dirigées comme ci-deflus , fafle
équilibre avec elles. La part. 3. fait, voir que ce nou-
veau, poids- Z feroit alors à chacune de ces puiftances P,
R , comme la diagonale AD du parallélogramme ABDC
eft à chacun de lès cotez correlpondans AB , ÂC , fur
leurs directions , c’eft-à-dire ( Hyp. ) comme le poids K eft
à chacune dé ces. deux, mêmes puiftances. P , R 3 & par
confequent que ce poids K feroit égal à l’autre Z fubfti-
tué en fa place fuivant la direction. Donc ( Ax. z.) ce
poids K feroit pareillement équilibre ici avec les deux
mêmes ptiillances P , R. Ce .cpuil falloit encore 5 0 ,. dé-
montrer.

Part. Y I. Puifque les, cotez AB , AC, du parallélo-
gramme ABDC , font ici ( Hyp. ) entr’eux comme les
puiftances P, R , fur' les directions defquelles ils le trou-
vent , la force refultante du concours de ces deux pnif- ■
Pinces fera ici ( Lem. 3 . Coroi. 5 . ) de A vers D fuivant
ÂD,.& à chacune . d’elles- comme la diagonale AD de ce
parallélogramme BC , eft à chacun de fes cotez AB, AC S ,
eorrefpondans fur les directions de ces deux puiftances.
P 3 R , c’eft-à-dire ( Hyp. ) comme le poids K eft à chacune

"M E C A K I Q^XT e;

belles 3 & confequemment ce poids K fera ici égal à cet-
te force refultante du concours d’action de ces deux
puilfances P , R , contre lui. Donc la direction de cette
force . venant d’être trouvée de A vers D fuivant AD ,
& celle du poids K étant ( Hyp. ) de D vers A fuivant la
même DA 3 ce poids & cette force , c’eft-à-dire , ce poids
& les deux puifiances P , R , du concours desquelles cet-
te force refaite , demeureront ici ( Ax. 3 . & Corot. 1 . die
princ. gêner. ) en équilibre entr eux. Ce yuil falloit 6°. dé-
' montrer „

Corollaire I.

En -cas d’équilibre la part. -3. de ce Théoreme-ci don-
, aant P. K : : AB. AD. Et K. R : : AD. AC. l'on aura ici
( en rai fon ordonnée ) P. R : : AB. AC. comme dans la
-, part. 4. c’eft-à-dire , . les puilfances P , R , entr’elles en,
raifon des cotez AB , AC, qui leur répondent fur leurs
, directions dans le parallélogramme ABDG Par confe-
quent ft d’un point quelconque L de fa diagonale AD
prolongée, on mène LM, LN , perpendiculaires fur les di-
rections AP , AR , de ces deux puilfances P , R 3 ces mê-
mes puilfances feront aulîi entr’elles. ( Lem. 8. ) en raifon
-réciproque de ces perpendiculaires : c’eft-à-dire, P. R : :
LN. LM. Ce qui donnant PxLMamAxLN , on voit qu’en
cas d 'équilibre entre les puilfances P , R , & le* poids K ,
les produits de, ces deux puilfances P, R, par les perpen-
diculaires LM , LN , menée de quelque point L que ce
foit de la direction du poids K., font toujours alors égaux
entr eux.

: C O R O L L A I R E I L

Mais en prenant AL pour le fnus total , on fçàit ( Déf
5. Corol. 1.) que ces perpendiculaires LN,LM, font les
fnus des angles LAN, LAM. Donc aulfi*( Corol.i.') les
puilfances P , R , font pareillement ici en raifon' recipro-
, que des fnus des angles LAM , LAN , que leurs directions
. AP, AR , y font avec .celle. AD du poids K 3 &.par com*

ioo Nouvelle:

l'equent ( Dcf «>. Corol. i.) ces mêmes puifanees P, R,
y font aulïï entr 'elles en raifon réciproque des linus des
angles PAX , RAX , complemens chacun de chacun de
ces deux-là à deux droits > c’eft-à-dire, que P elt ici à R,
comme le linus de l’angle LAN au finus de l’angle LAMj
ou P à R , comme le linus de l’angle RAX au> finus de
l’angle PAX.

Corollaire 1 1 L

Si pour nous exprimer plus aifément , on fuppofe une
troifiéme puiffance appellée K à la place du poids de ce
nom , laquelle fuivant la direction KX ou AD de ce

{ >oids , faite comme lui équilibre avec les deux P ,, R , qui
e foûtiennent 5 on trouvera par le Lem. 8. comme dans le
Corol. 1 . que ces trois puilfances P, R , K , prifes à volon-
té deux à deux, font toujours entr’elies en raifon récipro-
que des perpendiculaires menées d’un point quelconque
de la direétion de la troifiéme fur les leurs j c’eit-à-dire.,
en raifon réciproque des diftances de leurs directions à
quelque point que ce foit de celle de la troifiéme de ces
puilfances j & confequcmment ( comme dans le Corol. a.)
que deux de ces trois puilfances prifes ainli à volonté,
font toujours entr’elies en raifon réciproque des linus
des angles que leurs directions, font avec celle de la troi-
iiéme puilfance.

On ne trace point ici les perpendiculaires mentionnées dans
le precedent Corol. 3 .de peur dé embrouiller les Figures par la
multiplicité des lignes , il efl aifé de les imaginer fur celles
du Lem. 8.

Corollaire IV.

De plus puifque ( Corol. 1.) en ce cas d’équilibre P. R : :
AB. AC. Et R. K : : AC. AD. les trois puilfances P, R „K,
y leront toujours entr’elies en railon des lignes AB, ,AC,
AD , ou ( à caufe de BD— AC ) en raifon des cotez AB,
BD , A D , du triangle ABD ; & confequemment aulïï
toujours entr’elies ( Lem. 8 , Corot a. ) en railon des f nus

M E C A N I QJLT E. tfo I

des anglesADB , DAB , DBA , ou ( Déf. 9. Corot z. ) des
Anus des angles DAR , DAP , PAR. , ou bien auffi ( Lem.
S. Corol. 5.) des Anus des angles RAX , PAX , PAR,
eomplemens chacun de chacun de ceux-là à deux droits;
c’elt-à-dire ,.que ces trois puiffances P , R , K , feront tou-
jours ici entr’elles. en railbn des Anus des angles RAX,
PAX, PAR , que leurs directions prolongées traverfe-
roienc , ou traversent en effet.

C o r o r. L a 1 R e V.

Doit loti' voit que de ces trois puiffances P, R ,-K ,
fuppofées en équilibre entr’elles , de quelque maniéré
qu’on les prenne , & quelques angles que leurs directions
faifent entr’elles 5 chacune fera toujours à chacune des
deux autres , comme le Anus de l’aiïgle que font entré-
es lies les. cordes ou directions de ces deux autres puiffan-
ces , fera à chacun des Anus des angles que ces directions
réciproquement prifes font avec la Aenne , qui .(■ part.*-.)
fe trouve toujours dans le concours de ces deux-là , 8e
dans leur plan : par exemple ,K fera à P , , comme le Anus
de l’angle PAR au Anus de l’angle RAX , ou R AD 3-K
fera à R , comme le Anus du même angle PAR au Anus
de l’angle PAX ou P AD * & conformément au Corol. .2 .
1 ? fera à R,. comme le Anus de l’angle RAX ou R AD,
au Anus de l’angle PAX. ou P AD.

Corollaire VI-

Si l’on imagine prefentement un autre triangle ILM
de trois cotez LM , LI , MI , perpendiculaires en M , N>,
O y. aux trois directions ou cordons prolongez AP , A R ,
AX , de ces trois puiffances, P, R, K j le Corol. 8- du
Lem. 8. fait voir que ces trois cotez LM , LI,MI, du
triangle ILM , feront entr’eux comme les Anus des an-
gles RAX, PAX , PAR , que traverferoient , ou q ue.tr a-
vérfent en effet les directions prolongées , aufque-lles iis
font ( Hyp. ) perpendiculaires. Donc ( Corol. 4. ) ces trois
cotez LM , LI, MI, de. ce nouveau triangle ILM , feront

10 2. -'N O U V E L L E

auffi entr’eux comme les trois puiffances P , R , K’ , aqx
directions -defquelles ils font perpendiculaires. Par cou-
fequent en ce cas d'équilibre,

i°. Chacune de ces trois puifiances P, R , K-, doit tou:4
jours être plus petite que la Pomme des deux autres.

z°. Lorîque l’angle PAR devient infiniment aigu,
c’effc-à-dire ( Lem. 6 . Corol. x . ) lorîque les directions PG ,
RH , des puiffances P , R , fe trouvent parallèles entre -
elles , & confequemment auffi ( Lem. 6 . Corol. x . ) paral-
lèles à la direction AXcle la puilfanceK, les angles PAD,
RAD , le trouvant auffi pour lors infiniment aigus 3 alors
le complément MLI ( à deux droits) de l’angle PAR , le
_ trouvant {'Corot. Déf i i . ) infiniment obtus, c’eft-à-dire
[Déf. n.) ML, LI , en ligne droite , & confequemment
la droite MI confondue avec elles, & égale a leur Pom-
me i la puiffanee K doit auffi pour lors être égale à la loin-
me des deux autres puiffances- P , R, toujours entr’elles,
comme LM eft à LL

3 °. Si l’angle PAR devenait infiniment obtus , alors
fon complément MLI à deux droits fe trouvant {Déf. n.
Corol. ) infiniment aigu 5 & confequemment ( Lem. 6 .
Corol 3 . ) LM, LI , confondues enfemble, fans que MI,
toujours ( Hyf.) perpendiculaire à AX prolongée, puilfe
fe confondre avec elles 3 l'on aura pour lors MI~o , &
( Lem. 6 - Corol. 3. ) LM— LLainfi la puijffian.ce K fera
.pareillement alors tout-à- fait anéantie ou nulle , & les
deux autres puiffances P, R , égales. entr elles.

4 0 . Donc quelles que foient deux puifiances P, R, appli-
quées aux extrêmitez d’une corde parfaitement flexible,
& quelque petite que puilfe être la pefanteur de cette
corde , ou du poids K luppofé au lieu de la pefanteur de
cette même corde , & de ctiredionqui faffe un angle avec
celles des puiffances 3 jamais ces deux puiffances P, R ,ne
.pourront bander cette corde en ligne droite, à moins
. qu’elles ne foient infinies ..par rapport à la pefanteur de
cette corde , ou au poids K fiippofe à la place de. cette pe-
fauteur -, fi ion fuppofe cette corde n’en point avoir s

IVÏ E C A H ï QjJ B. I03'

comme on l’a fuppofé julqu’içi -, puifque pour la bander
eti ligne droite , cette pêfanteur , ou ce poids K. doit être
nul ( nomb'. 3 ■ ) par rapport aux puilfahces P , R , qui ap-
pliquées l’une contre l’autre , la banderoient ainfi.

Corollaire. Y IL

Il fuit pareillement des Corol. 4. h. que fi Ion fait fé- ;
parement un- triangle qui aitfes trois cotez parallèles ouf
perpendiculaires aux directions des trois puiliances P , R,
K, chacun à chacune de ces directions 3 ces trois cotez
de ce nouveau triangle feront encore entr’eux en raifort
de ce s trois puiliances P , R. , K , aux directions • desquel-
les ils feront ( Hyp. ) tous trois parallèles ou perpendicu- '
Mires chacun à chacune 3 puiique ce nouveau triangle
fera pour lors femblable à celui A BD du Corol. 4. ou à
celui MLI du Corol. 6. félon que les trois cotez feront ■
parallèles ou perpendiculaires aux trois directions AP,
ÂR, AX, 'des trois puiifances P, R , K , proportionnelles
( Corol. 4» 6 ••)• aux trois cotez correfpondans de chacun de -
ces deux-ci ABD , MLL ■

Corollaire VI IL -

Puifqu’cn cas d’équilibre entre les puiifances P , R , K 3 - «
ces trois puiifances font entr 'elles ( Corol. 4. 6. y.') comme
lès cotez AB , BD , AD , .du triangle ABD du Corol. 4..
& comme les correlpoudans de chacun clés triangles des '
Corol. 6. 7. il eft vi finie, que puifque chaque cote d’un
triangle eft toujours plus' petit que la femme des deux:
autres, de quelque maniéré qu’on prenne ces trois puif-
iances , chacune d’elle fera au fil toujours plus petite que
la femme clés deux autres , tant que leurs directions fe- "
ront angles cntr’ellcs , ainfi qu’on l’a déjà vu dans Le
nomb. r . du Corol. 6 -

Corollaire IX. •

£11 ce cas d’équilibre non feulement chacune des trois -
puiliances P , K , K , efb toujours moindre ( Corel. S „• ) que

•ïo4 Nouvelle

la fomme des deux autres , tant que leurs directions font
des angles finis quelconques entr elles , mais encore d’au-
tant moindre ( quoiqu’en raifon differente ) que l’angle
compris entre les directions de ces deux autres puiffan-
ces , fera plus grand: par exemple , la puiffance K fera
d’autant moindre que la fomme des deux autres P,R,
que l’angle PAR. compris entre leurs directions 5 fera
plus grand j puifqu’alors la diagonale AD du parallélo-
gramme ABDC en fera d’autant moindre ( quoiqu’en
raifon differente ) par rapport à fes cotez AB , AC j Sc
que {fart. 3 . ) en ce ca.s d’équilibre la puiffance K eft
toujours à chacune des deux auprès P , R , comme cette
diagonale AD eff à chacun de fes cotez correfpondans
AB , AC. La même chofe fe trouvera de même de cha-
cune des puiffances , P, R., en faifant auffî un parallélo-
gramme qui ait fa diagonale fur la direftion de cette
puiffance , fes cotez Pur les directions de l’autre , & de
la puiffance K,. Ain fi il eff également vrai de ces trois
puiffances P, R , K , que chacune d’elle eff d’autant moin-
dre ( quoiqu’en raifon differente } que l’angle compris en-
tre les directions des deux autres eft plus grand.

[Cela fuit encore du Corol. 6. du Lem. 8 . & du prece-
dent Cor al. 4. Puifque .( Lem. .8- Corol. 6. ) plus l’angle
total , par exemple , PAR fera grand , plus le rapport de
fou films à chacun des finus des deux angles partiaux
DAR, DAP , fera petit 5 Sc que fuivant le précèdent Co-r
rol. 4. la puiffance K eft toujours ici àchacune des puif-
fances P j R, comme le finus de cet angle total PAR .à
chacun des finus des deux partiaux DAR , DAP. Donc
la puiffance K fera toujours ici d’autant moindre que la
fomme P— f-R des deux autres P , R , que l’angle PAR
fera plus .grand. On trouvera de même .en prolongeant
,!es directions PA , RA , de ces deux puiffances-ci 5 à traf
vers les angles RAX , PAX , que la puiffance P lera d’am
tant moindre que la fomme K—pR des deux autres , que
l’angle RAX fera plus grands Se que R fera d’autant moin-
dre que K-pP, que l’angle PAX fera jiuffi plus grand,

COROLLAIRE

Corollaire X.

Mais fi l’angle que font entr’elles les directions pro-
longeas PG , RH , des puiffances P, R. , étoit infiniment
aigu , & confequemment aufîl les angles PAD , R AD ,
c’eft-à-dire ( Lem. 6 . CoroL i . ) fi ces deux directions
étoient parallèles entr’elles , & ces deux puiffances diri-
gées en même fens directement contraire à celui de la
troifiéme K en équilibre ( Hyp. ) avec elles, le fînus de
l’angle PAR fe trouvant alors ( Lem. 7.) feul égal à la
■femme des fînus des deux autres angles partiaux PAD ,
R AD , la p'uiffance K ou le poids de ce nom remis à fa
place ., fe rrouveroit auffi pour lors ( Corol. 4.) feul égal
à la fournie des deux autres puiffances P , R , prifes en-
femble , ainfî qu’on l’a déjà vu dans le 110111b. 2 . du Corol.
6 . Et en tout autre cas d’équilibre, ce poids ou cette
autre puiffance K feroit moindre ( Corol. 6 . nomb. 1 . &
Corol. 8. ) que cette fournie des deux autres .puiffances
P, R.

Cela fe prouve encore par la part. 1. du Lem. 9. la-
quelle fait voir que lorfque l’angle PAR fe trouve infi-
niment aigu , la diagonale AD du parallélogramme BC
fe trouve égale à la Pomme des cotez AB , AC, de ce pa-
rallélogramme. Mais la part. 3 . du prefent Th. 1 . fait
-voir aufîl que le poids K en équilibre ( Hyp. ) avec les puif-
fances P , R, eft toujours à chacune d’elles comme cette
diagonale AD efl: à chacun de ces cotez, AB, AC. Donc
en ce cas-ci d’équilibre , & d’angle PAR infiniment aigu,
■ou ( Lem. 6 . Corol. 1 . ) de dir.edions parallèles entr’elles,
.le poids K doit être feul égal à la fournie des puiffances
P, R 5 & en tout autre cas d’équilibre moindre ( Corol. 6 .
momb. 1 . & Corol. S. ) que cette fournie.

Ainfî en general en cas d’équilibre entre deux puiffan-
ces & un poids qu’elles foutiennent enfemble avec des
cordes feulement fuivant des diredions parallèles à la
fienne , & toutes deux en même fens diredement con-
Æraire au fien , leur fomme doit toûjours être égale à la

10 6 N O U V E L L E

feule pefanteur de ce poids -, & en tout autre cas d’équi-
libre encore ( Corol. 6.nomb. i . & Corol. 8. ) toû jours plus
grande.

Corollaire XL-

Au contraire dans le cas où l’angle PAR. feroit infini-
ment obtus , c’eft-à-dire ( Def il.) où les directions PG,
RH , des puiffances P , R , feroient en ligne droite , & ces
deux puiflances directement contraires entr’elles. .

i°. Si cette direction commune ne faifoit qu’un angle,
infiniment petit avec la verticale du poids K, en forte
quelle fut aufîi verticale , ëc ( part. i.. z. ) confondue avec
celle-là ; alors le finus de l’angle total PAR fe trouvant
( Lem. j. Corol. z.) égal à la différence des finus des an-
gles partiaux PAD , RAD , le poids K feroit auffî égal à
la différence des puiflances P,R , fuppofées en équilibre
avec lui. "

Cela fuit encore de l’Ax. 4. en ce qu’alors ce poids d’ac-
cord avec une de ces deux puiflances n’en faifant plus
qu’une avec elle , directement oppofée à l’autre , cette au-
tre puiflançe feroit ( Ax. 4. ) égale à la fomme faite delà
première, & de ce poids 5 & par confequent ce poids K
feroit encore alors égal à la différence de ces deux puif-
fances P , R.

2 0 . Mais Aies directions de ces deux puiflances rendues
en ligne droite ( Déf 1 1. ) par l’angle infiniment obtus
PAR, font toujours des angles finis PAD, RAD , avec
celle du poids K fuppofé en équilibre avec ces deux puif-
fances P , R > alors le finus de l’angle infiniment obtus
PAR fe trouvant infiniment petit, & confequemment
nul par rapport: aux finus des deux autres angles PAD ,
RAD , fuppofez finis , le poids K fe trouveroit aufîi pour
lors ( Corol. 4. ) nul par rapport aux deux puiffances P ,
R , lefquelles agiffent alors, feulement l’une contre l’autre
conformément aunomb. 3. du Corol. 6. Ainfi tant qu’il
relie un poids K entre ces deux puiflances P, R, attaché à
-leurs cordes, ces deux cordes prolongées doivent. toû-

"M E C A N I QJÜ E„ I oy

; jours faire entr’elles quelqu’angle fini PAR que ce foit ,
tant quelles en feront de finis avec la diredion de ce
poids K.

Corollaire XII.

De-là on voit qu’il n’y a point de forces ou de puiflan-
ces imaginables, quelque grandes qu’on les conçoive,
qui, appliquées aux extrémités d’une corde parfaitement
flexible, la puiflent tellement bander , quelle devienne
parfaitement droite,, pour peu de pefanteur qu’on iup-
pofeà cette corde, ou fi elle n’en avoit aucune ( ainfi
qu’on l’a fuppofé jufqu’ici, & qu’on le fup’pofera tou-
jours dans la fuite ) quelque petit poids qu’on lui fuppo-
fe applique' entre ces deux puiflances ; puifque quelque
prodigieufes qu’on les imagine ( à moins qu’elles ne foient
Infiniment grandes par rapport à la pefanteur de la cor-
de , ou du poids qui lui feroit applique' , fi elle n’en avoir
aucune ) elles auront toujours quelques rapports à la pe-
santeur de cette corde , ou au poids qui feroit appliqué
entre ces deux puiflances, fi elle n’en avoit aucune j &
par confequent cette corde fe courbera toujours , ainfi
qu’on l’a déjà vu dans le nombre 4. du Corol. 6 . Et cela
parce que fi cette corde devenoit droite , les deux puif-
lances qui la banderoient ainfi, n’agiroient plus du tout
contre fan poids , mais' feulement l’une contre' l’autre:
raifonaflez à la portée du vulgaire, pour diflîper feule
toute la furprife où il eft de voir qu’une corde avec la-
quellé plufieurs chevaux traînent contre le courant d’une
riviere un ou plufieurs bateaux chargez , ne fe trouve
jamais en ligne droite.

Corollaire X I IL

Si l’on imagine prefentement de B en C une fécondé
diagonale du parallélogramme ABDC , ileft manifefte
( Déf 13. ) que le point T où cette fécondé diagonale
rencontrera la première AD , fera le centre principal
M’équilibre des puiflances P ,,R 3 & qu’ainfl ( conformée

ro & N'oirtE Et e

meneau Lem. 1 1.) AD fera double de la dîftance AT'
de ce centre T au point A de concours des directions
de ces deux puilfances. Mais en cas d’équilibre entre le,
poids K & ces deux puilfances P , R , ce poids elt tou-
jours ( fart. 3 . 4. ) à chacune d’elles comme AD eh à
chacune de leurs proportionnelles AB , AC. Donc aulîi
en ce cas d’équilibre ce même poids K fera toujours a
chacune de ces deux puilfances P , R , comme deux fois
la diltance AT de leur centre principal T d’équilibre au>
concours A de leurs directions -, effc à chacune de leurs
mêmes proportionnelles AB , AC.

Voila tout autant de Corollaires refultans des -part. 3. 4,
de ce Théoreme-ci , en voici qui refultent pareillement de fes
parties 5. 6 . réciproques à celles-là, fans avoir encore aucun -
égard à la pef auteur des cordes ...

Corollaire XI Vf

Il fuit aulîi des part. 5. 6 . de ce Théoreme-ci que II la
direction du poids K elt fuivant la diftance AT du cen-
tre principal T d’équilibre des puilfances P , R , au con-
cours A de leurs directions 3 èc que ce poids foit à cha-
cune de ces deux puilfances comme ixAT à chacune de
leurs proportionnelles AB , AC 3 il y aura équilibre entre-,
ce poids & ces deux puilfances. Car le centre principal
T d’équilibre de ces deux puilfanees P, R , étant ( Béf-
3. 3. ) le milieu de la ligne imaginée par les extrêmitez
B , C , de leurs proportionnelles AB , AC, il fera aulîi le-
milieu ■ de la diagonale AD du parallélogramme A BDC
fait de ces deux proportionnelles 3 & confequemment.
AT fera fur AD, Se AD— 2 x AT. Donc fuivant l’hypo-
thefe qu’on vient défaire , la direction du poids K fera
fuivant AD 3 & ce poids à chacune des puilfances P , R ,
comme cette diagonale AD du parallélogramme ABDG
elt à chacun de fes cotez AB , AC , correfpondans. Par
èonfequent ( part. 5 . 6 .) dans cette hypothefe il y aura
équilibre entre ce poids K, & ces deux puilfances P:, R-

) ..

M E C A N- I' QJJ E.’ rop)

Corollaire XV.-

Il fuit pareillement des part. 5 .6 . de ce Théoreme-ci, .
que fi le poids Keftà- chacune des puiflances P , R ,
comme le finus de l’angle PAR à chacun des finus des
angles R AX., PAX, ou ( Déf. 9. Corol. 2. ) RAD , PAD >
elles le foûtiendront en cet état , 8c feront équilibre avec
lui. Car ce poids K fe trouvant alors à ces puiflances P,
R , comme le finus de l’angle PAR aux finus des angles
RAD , PAD j ou i Déf 9. Corol, . 2. ) comme le finus de
l’angle DBA du triangle ABD 3 aux finus. de fes deux
autres angles BDA , BAD , doit être aulfi pour lors
(Lem. 8. Corol. 2.) à ces mêmes puiflances , comme le
coté AD de ce triangle à fes deuxautres cotez AB , BD } -,
c’efl-à-dire, comme la diagonale AD du parallélogram-
me. ABD C, prife fur la direction de ce poids K, eltàfes
cotez AB , AC , pris aufli lui* les directions de ces puif-
fances P , R. Par confequent ( part. 5.. 6. ) ce poids doit
alors faire équilibre avec elles-

Corollaire XV I. ■

D’ou il fuie qu’il n y a point de puiflance R fi petite ,
qui à. l’aide feulement d’une corde PAK , attachée par un
bout à un crochet -P , ne puifife foutenir quelque grand
poids K que- ce foit ( attaché à l’autre bout de cette eor-
de ) hors fa pofition libre PF , quelqu’angle que la dire-
étion de cette puiflance fafle avec cette pofition libre PF,
que je fuppofe, à 1 ordinaire , toujours parallèle à la di-
rection de ce poids , & confequemment verticale.

Pour le voir foit BC la direction qu’on veut donner à 5
la puiflance R , laquelle BC fafle tel angle PBC qu’011
voudra avec la' verticale PF , ou ( Hyp. ) avec la direction
du poids K , & fur laquelle BC foit prife B A à BP dans la
raifon fuppofée de cette puiflance R à ce poids K : je dis :
que cette puiflance R , appliquée fuivant fa direction .j
BC à la corde en A , y retiendra le poids K en équilibre -
avec elle. Qir fi l’on imagine une parallèle DC à PA , la-

F 1

f

2i-o 'Nouvelle

quelle rencontre en D , C , les directions prolongées AK,
B A , de ce poids K & de cette puilTance R 5 l’on aura AC.
AD : : AB. BP [Hÿp.) : : R. K. Et confequemment [Lçm. 8.
Corol. z. ) cette puilTance fera à ce poids K , comme le li-
nus de l’angle D ou DAP au finus de l’angle DCA 3 c’eit-
à-dire ( Béf. 9. Corol. z. ) comme le finus de l’angle PAK
au linus de l’angle PAC. Donc la réliltance du crochet
P faifant (Ax. 2.) la fonction d’une troiliéme puilTance
qui leur feroit comme le linus de l’angle KAC aux linus
des angles PAC, PAK j le poids K fera ajnli foutenu en A
( Corol. 15.) par la puihance R , quelque foie le rapport
fini d’elle à lui.

Cela fui f encore des Corol. 1 1 . 12. non feulement dans la
pre fente hypothefe, des directions des graves toujours parallè-
les entr elles ; mais auffi quand même elles fe rencontreraient
quelque part , par exemple ,au centre de la Terre , par ou PF
pajjâts puifque fans cela la cordée PAK de la fufpenfion du
poids IC , demeurerait en ligne droite PF malgré lapuifjance
R. Ce qui ,fmvant les Corol. 11.12. feroit impojf ble.

Corollaire X VI I.

Donc il 11’y a point de force R , quelque petite qu’on
l’imagine , &C quelque foit l’angle de fa direction avec
celle d’un poids fufpendu à une corde 5 laquelle , quel-
que grand qu’on le fuppofe , 11e foie capable de le faire
fortir de la verticale PF , fui vaut laquelle [F>éf 9. çjr
Le?n. 3 . Corol. 3 . ) ce poids fe dirigerait : & cela jufqu’à
ce que les finus des angles PAC . PAK , foient entr’eux
.en raifon de ce poids K à cette puiffance R.

Corollaire XVIII.

Et parce que ce mouvement efl impoffible , à moins
que ce poids ne monte de même que le point A de la
. corde , de la hauteur du linus verfe EIE de l’angle APE
; fait par la partie AP de la corde avec la verticale AE. S
Tuppqfee parallèle à la direction du poids j il fuir évident

MIe c A N I Q^U K 311

nient qu’il n’y a point de force , quelque petite qu’on >
l’imagine , qui ne foit capable de faire monter à cette
hauteur quelque grand poids que ce foit , à l’aide feule-
ment d’une corde attachée à quelque point fixe.

Voila pour les directions des graves parallèles entr elles s
niais fi elles concourent en quelque endroit du monde , le poids
K doit monter dune plus grande hauteur que AT , f ce con-
cours cft du côté de F y f? d’une moindre , s’il efl du côté de
T : & ce d’autant plus ou moins grande ( quoiqu’on raifon
differente ) que l’angle de concours de la direction du poids K
retenu en fl , & de la verticale F F , feroit plus grand. Fout
cela efl clair aux moindres Géomètres , même par le feul Liv-,
i .des Elemcns d’ Euclide : c eft pourquoi nous ne nous y anê~
ferons pas davantage.

Corollaire XIX»-

ta conftrucdion du triangle MLI demeurant ici la Fig. fC
ïnême que dans le CôroL G. ce Corol. 6. joint au Corol-
.faire 5 . qui le précédé , fait aufli voir que fi le poids K
.& les puiflances P , R , font entr’eux comme les cotez
MI , ML , LI , de ce triangle , perpendiculaires ( Hyp. )
en O , M , N , aux directions AD , AP , AR , de ce poids ^

& de ces deux ptiiffances j ce poids doit demeurer en équi-
libre avec elles. Car le Corol. 2. duLem. 8 . failant voir
que les trois cotez MI, ML, LI,d.u triangle MLI , font-
entr’eux comme les fmus des angles PAR,DAR,DAP,
dont le premier eft vifiblement le complément ( à deux ■
droits ) de MLI , & les deux autres égaux a LIM , LMI ,
chacun à chacun 5 l’on aura pour lors le poids K aux
puiflances P , R , comme le fmus de l’angle PAR efl: au
fmus des angles DAR , DAP. Or en ce cas ( Corol. 1 5 .)
ce poids K demeurer oit en équilibre avec ces deux puif-
fances P , R. Donc il y doit aufli demeurer , lorfque 'lui •

& elles font entr’eux comme les cotez MI , ML , LI ,
du triangle MLI, perpendiculaires! Hyp.) à leurs dire-
ctions AD , AP , AR. •

ï 1 ï

f

N O U V £ L L £
Corollaire XX.

Il fuit encore du Corol. i 5. joint au Corol. 2 . de la
Défi. 5) . que £ au lieu du poids K on mettoit quelque
■nouvelle puiffance , appellée auffi K,. laquelle fût aux
deux puiflances P., R , comme le finus de l’angle PAR
aux finus des angles R AX, FAX ; en forte que ces trois
puiflances K , P„R , fuflfent entr 'elles comme les finus
dès trois angles PAR,RAX,PAX, au travers defquels
leurs directions ou cordes prolongées pafferoient j elles
-demeureroient en équilibre entr 'elles , de maniéré qu’au-
cune d’elles ne l’emporteroit fur aucune des deux autres

Corollaire XXL

On voit de-là & des précedens Corol. 1 4. 1 5 . 1 6 . 1 7»
18. ip. que fans rien changer à l’inelinaifon des cordes
PG, RH , par rapport à AX, une infinité d’autres puif-
fances mifes en la place des précédentes P, R , K, pour-
ront demeurer en équilibre entr’elles trois à trois , pourvu
qu’ainfi prifes trois à trois , .elles fioient entr’elles comme
ces trois premières.

C O R O L L A I R E XXII.

On peut auffi. en changeant l’inclinaifon de ces cor-
des ou directions coiffer ver l’équilibre entr’elles de ces
puiflances P , P..,, K,, dans quatre positions differentes de
ces mêmes cordes , ou dans trois variations differentes des
.angles qu’elles font entr’elles , pourvu que ces trois puif-
fances faffent échange entr’elles , jufq.u a ce que chacune
/d’elles fie trouve fucceffivement appliquée .à .chacune de
,ces cordes dans deux .fituations differentes des deux au-
tres. Pour voir tout, cela., il n’y a,qua s’imaginer que
-iorfque deux puiflances, par exemple, P , R, dans la Fig.
.54. font échange de leurs cordes, il fe fait en même
tems une échange des angles que ces ‘mêmes cordes fai-
fioient auparavant avec celle de lapuiffance K, qui n’en
change point alors, fans qu’il arrive aucun changement

M E C AN I (VU E, ï T 5

a l’angle PAR que ces deux cordes-là faifoient entr’el-
les : de cette maniéré l’on aura deux des cas dont il eft
ici que ft ion. On en trouvera encore deux en concevant
de même l’échange d’angles qui fe fera de même dans
réchange des cordes' de P & de K , fans toucher à celle
de R 3 & encore deux pour l’échange de celles de K , R.
C’eih ainfi qu-e l’on auroit fix polirions differentes des
cordes des puiffances P , R , K , fans que ces trois puif-
fances ceffaffent d’être en équilibre entr’elles , h cen’eft
que la première do ces pofitions, dans laquelle ces puif-
fances étoient ( Hyp. ) d’abord en équilibre entr’elles , fe
trouve ici repetée trois fois 3 fçavoir une avec chacune
des trois autres pofitions 3 ce qui en fournit trois fois deux.
Ainfi iln’y en a que quatre en tout où l’équilibre le puiffe
eonferver entre les trois puiffances fuppofées dans l’é-
change de cordes Se d’angles dont il s’agit ici,

Corollaire XXIII.

-

Mais tant que chacune de ces trois puiffances P , R , K,
demeure appliquée à la même corde ou branche de cor-
de , l'on ne peut -en changer la direction , c’eft-à-dire ,
rinclinaifon de ces cordes, ou leurs angles, fiais rompre
l’équilibre fuppofé entre ces puiffances 3 puifqu’il n’elt pas
poflîble de trouver feulement deux fituations d’aucune
de leurs cordes , dans lefquelles les finus des trois angles
PAR, RAX , PAX , ayent les mêmes rapports entr’eux,
ni confequemment les mêmes rapports que ceux des
puiffances K , P , R 5 rapports cependant neceffaires
( Cor. y.) entre ces trois finus pour queces trois puiffan-
ces foient en -équilibre entr’elles.

Corollaire XXIV.

C’eft ce qui fait qu’autant de fois que l’angle PAR
compris entre les cordes ou directions des puiflances P,
R, variera, il faudra tout autant de poids differens pour
faire équilibre avec ces deux mêmes puiffances. En-effet
plus cet angle fera grand, plus .le poids K - 5 qu’elles au-«

j

l

/

314 Nouvelle

ront à foûtenir, devra ( Corol. 5?. ) être petit par rapport
à elles ( quoiqu'on raifon differente ) pour faire équilibre
avec elles : de forte qu’on peut faire cet angle PAR fi
obtus que ces deux puiffances P , R , demeurant toujours
les mêmes , foùtiendront enfemble en équilibre un poids
K fi petit qu’on voudra, pourvu ( Corol. 6. nomb. 1. &
Corol. 8. J que la fournie faite de fa pefanteur & de cha-
cune de ces deux puiffances , foit plus grande que l’autre
feule , èc lui moindre que ces deux enfemble. Ain fi cela
fe trouvant toujours tant que ces deux puiffances font
égales entr’elles , & ce poids moindre que leur femme >
ce poids K peut alors diminuer à l’infini , & cependant
par l’augmentation de l’angle PAR faire toujours équi-
libre avec ces deux puiffances P , R , quelque grandes
qu’on les fuppofe. Mais fi au contraire la pefanteur de
ce poids fe trouvoit feule plus grande que la fortune de
ces deux puiffances , le nomb. 1. du Corel. 6. fie le Co-
rol. 8 . font voir qu’elles ne pouroient alors le foutenir en
équilibre , quelqu’angle PAR que les directions de ces
deux puiffances fiflent entr’elles : & fi ce poids étoit feul
égal à leur fournie , il faudrait pour cela ( Corol. 6. nomb.
z.& Corol. 10.) que l’angle PAR fut infiniment petit j &
confequemment ( Lem. 6. Corol. 2 . 3 . dr fart. 1 . ) que ces
deux puiffances agiffent alors en même tems contre ce
poids fuivant des directions toutes deux parallèles à la
tienne , ou confondues toutes deux avec elle. D’où l’on
voit ( Corol. G. nomb. 1. 2. 3.) que depuis l’égalité de ce
poids avec la fournie de ces deux puiffances , jufqu’à fe
trouver infiniment petit par rapport à elles , il pourra
toujours fiiire équilibre avec elles , fi elles font égales
entr’elles.

Coro l laireXXY.

C’eft ce qui peut arriver en changeant la direction de
l’une St de l’autre de ces deux puiffances P , R : mais à
ne changer qu’une de ces directions,

I °. Si ces deux “puiffances font égales , ou fi étant iné-

M E C A N I ctju E r ï 5

gales entr’elles , il s’en trouve une qui ait fa direction ho~
rifontale, -comme dans la Fig. 5 3. il eît clair qu’en ne
changeant la direction que d’une de ces deux puilfances
P, R , on changer oit aufli le rapport des Ihiusdes angles
que leurs cordes faifoient avec la direction du poids , ou
fi ce rapport fe trouvoit encore le même , comme il peut
arriver lorfque ces deux puilfances font égalés entr’elles,
leurs directions feroient alors en ligne droite : ainlî ces
deux puilfances P , R , ne pourraient plus ( Corol. 5.. &
ï 1 . ) foûtenir le poids K , avec lequel on les fuppofoit en
équilibre avant ce changement, ni aucune autre puilfan-
ce de même direction que lui.

i°. Au contraire fi ces deux puilfances P , R , font iné-
gales , & quelles n’ayent aucune de leurs cordes ou dire-
ctions .qui foit horizontale! au lieu du poids K, avec le-
quel on les fuppofe en équilibre , on pourra encore leur
en faire foûtenir un autre , pourvu que des directions de
ces deux puilfances on change tellement celle qui ver: le
haut fait le plus grand angle avec celle du poids K fuppofé
en équilibre avec elles , qu’on luienfalfe faire un autre
avec celle-ci , lequel foie le complément de celui-là à
'deux droits. Car les linus des angles que les cordes ou dire-
ctions de ces deux puilfances P, R, font avec celle du poids
K après un tel changement, étant encore ( Déf g. Corol,
a . ) les mêmes qu’auparavant j ces deux mêmes puilïan-
cesP,R, pourront encore ( Corol. 15.) foûtenir ici un
autre poids au lieu de K , auquel nouveau poids elles fe-
ront comme ces mêmes linus réciproquement pris, au
linus de l’angle que leurs cordes ou directions y fqront
entr’elles j c’elt-à-dire , un nouveau poids qui fera (Cor. y)
à celui K qu’elles foûtenoient auparavant , comme ce
dernier linus à celui de l’angle qu’elles faifoient alors
entr’elles : mais aulîi par une raifon toute contraire en
tout autre changement d’une des directions de ces deux
puilfances P , R , ces deux puilfances ne pourront-plus rien
foûtenir tant que les deux autres directions demeureront
les mêmes qu’ auparavant.

i 1 6 Nc : ‘j vm î

La raifon gour laquelle on vient de demander (i îomb. 2. j
que ce changement Je fifi dans celle des directions. de s guidan-
ces , qui fait le. glus grand angle vers le haut avec celle du goids
qu’elles foutiennent '> cefi que fi on fai fait un tel changement
à l’autre de ces deux directions , l’angle qu elles feraient en-
tr elles , fe tournerait alors en de fous j ce qui déterminerait
(Leni. 3. part, v.) l’action de ces deux gui fiances à féconder
la gefanteur du goids glûtôt qu’à le foûtenir.

S c h a l 1 1.

I. V oilà bien des maniérés de reconnoître les rapports
de trois puilfances fuppofées en équilibre entr 'elles avec
des cordes feulement ; & réciproquement qu’avec de
tels rapports, elles doivent toujours demeurer ainfi en
équilibre entr’elles. Quant, à l’impoffibilité de cet équi-
libre ,

1 °. Les part. 1 . 2.. faifant voir que lorfqu’il fe trouve
entre ces trois puilfances , leurs, directions font toujours
toutes . trois en. même plan par un même point > ou pa^
ralleles entr’elles ,, & que chacune de ces trois puilfances
fe trouve toujours alors fuivant la direction de la force
refultante du concours des deux autres : il fuit que l’é-
quilibre ferait impoffible entr’elles , s’il y manquait quel-
qu’une.de ces chofes 5 puifqu’encas d’équilibre (gart. 1 . z .)
il n’y en manquerait aucune.

z°. Les part. 3 . 4. font voir auffique quand il n’y man-
queroit rien de tout cela , cet équilibre, ne manqueroit pas
cL’être encore impoffible , L les trois puilfances n’étoient
pas entr’elles comme la diagonale & les cotez du paral-
lélogramme qui les eût fur leurs directions. 5. & confe-
quemment auffi h elles n’étoient pas entr’elles comme
les lînus des angles marquez dans les Cocol. de ces part.
3.. 4. puifque fuivant ces mêmes part. 3 . 4. & leurs Co-
rollaires ces trois puilfances auroient toujours ces rap-
ports entr’elles. en cas d’équilibre,

IL II elt à remarquer en ce cas d’équilibre , que. lî
dam point quelconque de la direction de. celle qu’on

r i

, *

M 5 C. A X I Q*tT 2 . I M'7

Voudra des trois puiflances P ,K,R , on mene des per-
pendiculaires fur les directions des deux autres 5 les-
produits faits de ces deux^ autres puiflances multipliées
chacune par celle de ces perpendiculaires ,» qui- le fera à
fa direction , feront toû jours égaux entr’eux. Par exem-
pie , li d’un point quelconque L de la direction AD de la
puiflance ou poids K, on conçoit encore ( comme dans le
Corol. 1 . ) LM y LN , perpendiculaires aux directions
AP, AK , des puiflances P,. K, fuppofées en équilibre
avec celle-là 5 l’on aura toujours PxLM— RxLN 3 puif-
que ce cas d’équilibre donne toujours ( Cor. 1 P. R : : LN.
LM : : AB. AC (Lew. 9.) On démontrera de même que le
produit des puiflances K , R, multipliées parles perpendi-
culaires menées de tel point M qu’011 voudra de-la direction
AP de la puiflance P furies leurs jferont égaux entr’eux. La
même chofe fe démontrera aufll Ile-même des produits faits
des puiflances P, K , par les perpendiculaires menées d’un
point quelconque de. la direction AR de la puiflance R
fur les leurs.

Tei ejt jufqu ici le fondement de tout ce qui fe- peut dire des
poids foâtenus avec des cordes Jeulement , ou des puifances
appliquées les unes contre les autres h des cordes feulement s
Fondement confiftant dans le feul Th. 1 . dont on vient de voir
la fécondité. En voici l’appliéation a quelques autres plus
complique f fur le même fujet. *

THE O RL ME IL-

Les Figures demeurant ici les * mêmes que dans le precedent
Th. 1 . ce que les puiffances F , R , fuppofées en équilibre avec
le poids IC , ont de force ou d action verticale pour ou contre
ce poids fuivant fa direction KX , ejl toujours ( h parler le
langage de la Dcf. 1 5 „ ) en raifon de leur fub limite & , fi elles
tirent toutes deux de bas en haut , où en raifon de" la fub limité
de l’une a la profondeur de l’ autre , fi l’une tire de bas en-
haut l’autre de haut en bas.

Piip

c:

<*■

t

s

J

1 1 8 Nouvelle

Démonstration.

Le parallélogramme ABDC ayant , comme dans la
part. 3 . du Th. i . fa diagonale AD fur la direction pro-
longée XK du poids K, K fes cotez AB , AC, fur les cor-
des ou directions AP, A R. , des puiflances P, R, fuppo-
fées en équilibre avec ce poids par le moyen de ces cor-
des i foient des angles B , C , du parallélogramme les per-
pendiculaires BE , CF , fur fa diagonale AD prolongée
où befoin fera.

Cela fait , foient appellées E , F , les forces verticales
•employées félon la part, z . du Lem. 3 . par les puiflances
pour ou contre le poids K fuivant fa direction XK. Cet-
te même part. 2 . du Lem. 3 . fait voir que E , F : ; AE. AF.
Mais félon la Déf. 16. AE, AF, font les fublimitez des
puiflances P , R , dans toutes les Figures ici fuppofées ,
excepté dans la Fig. 5 3.. où AE eA nulle, & dans la Fig.
54. où AF eA la profondeur de la puiflance R , R la
feule AE fublimité de la puiflance P. Donc ,en ce cas
d’équilibre entre le poids K & ces deux puiflances P , R ,
les forces verticales E , F , de ces deux puiflances pour ou
.contre ce poids font toujours entr’elles en railon de leurs
fublimitez AE , AF , fl -ces puiflances tirent toutes deux
de bas en haut , comme dans les Fig. 52.53.55.. 5 6 . ou
enraifonde la fublimité AE de l’une P , à la profondeur
AF de l’autre R , fl la première de ces deux puilfances
P , R , tire de bas en haut , & la fécondé de haut en bas ,
comme dans la Fig. 54. Ce quü falloit démontrer.

La direction honjontale AP de la puifiance P dans la Fig.
.5 3 . pouvant être également pnfe pour infiniment peu élevée,
ou pour infiniment peu ab b ai fiée par rapport a A , on la peut
ajouter au cas de la Fig. 5 4. comme en la vient dé ajouter à
celui des Fig. 52. 5 5 . 5 6. la nullité de A E dans cette Fig,

5 3 . l’y rendant également Jub limité ou profondeur nulle,

■

Corollaire I.

On yoit dc-là, en prolongeant CF jufqu’à la rencontre

M E-C AN I E. I I S)

de AP prolongée en Q_, qu’en ce cas d’équilibre les '
forces verticales E, F , des puiilances P, Pc , pour on con-
tre le poids K fuivant fa direction KX nu XD , fout au (il
toujours entr elles en raifon réciproque des tangentes
des angles P AD , R AD , que les directions de ces puil-
fance-s font avec celle de ce poids. Car venant de trou-
ver ( Lem. 3. z.)E. F:: AE. AF. Et les triangles

( confir. ) femblables QAF , BAE , CDF , donnant AE. AF
: : AB. AQ(. le parallélogramme ABDC ayant AB=DC)

::DC. AQjy GF. FQ^ l’on aura pareillement ici E. F : :

CF. FQDMais en prenant AE pour le rayon , la Déf. 10.
avec fon Corol. fait voir que CFjFQ^, font les tangen-
tes des angles CAF , QAF , qui font les mêmes que R AD,

PAD. Donc les forces verticales E,F, des puiffances P ,

R , pour ou contre le poids K fuivant fa direction KX ,
ou XD , font toujours ici entr elles comme les tangentes
des angles R AD , PAD , c’eft-à-dire , en raifon récipro-
que des tangentes des angles PAD , R AD , que les cor-
des ou directions de ces deux puiilances P , R , font avec
la direction du poids K, ainli qu’on le vient d’avancer.

Corollaire II.

Dans les Fig. 51. 5 ^ . 5 6 . où les puiilances P , R , tirent Ai
toutes deux de bas en Faut , les parties du poids K , ou de s 5 ’ ’
fapefanteur, foùtenues dans ces Figures par ces puiffan-
ces P P R , étant égales enpefanteur ( Lem. 3 . Corol. nomb.

3 . ) aux forces verticales E , F , directement contraires à
ces pefanteurs partiales & en équilibre avec elles.

i°. Il fuit encore du prefent Tù. 2. que ces parties du
poids K , ainfi foùtenues chacune par chacune des puif-
fances P, R , en vertu de ces efforts verticaux E , F , font
toujours alors entr’elles comme les fublimitez AE , AF ,
de ces deux puiffances 5 A confequemment atilH comme
les parties AE , ED de la diagonale AD , ou comme fes
parties DF , FA : puifque les triangles égaux & fembla-
bles ■ AFC , DEB , de même que AEB , DFC , rendent
AF— ED , ôc AE— DF. D’où l’on voit que chacune des

c

J-

■ii o Nouvelle

perpendiculaires BE , CF , menées des extrémités B , C ,
des proportionnelles AB , AC, des puidances P , R , Fur
la diagonale AD du parallélogramme ABDC, divifera
toujours cette diagonale AD en raifon des parties du
poids K foûtenues par les puidances 'P ,, R , ; fuppofées en
équilibre avec lui , eu en raifon des efforts verticaux que
.ces deux puidances font chacune contre lui.

2°. Il fuit, du même Corol. i. que-cès mêmes parties
: du poids K foutenues chacune par chacune des puidances
P, R , en équilibre ( Hyp. ) avec lui, font auflî toujours
entr elles en raifon réciproque des tangentes des angles
PAD,RAD, que les cordes ou directions de ces deux
puidances P, R font avec celle de ce poids.

Corol l a i e e II L

De plus de ce que les pefanteurs des parties du poids
K foutenues par chacune des puidances P ,R , font ( Lem.
3. Corol. x.-pomb. 3 . ) égales aux forces verticales E, F,
directement contraires à ces pefanteurs partiales , & en
.équilibre avec elles jdl fuit quela-puiffance , par -exemple,
P fera à la partie qu’elle foûtient de ce poids ou de fa pe-
fanteur : : P. E f Lem. 3 . part. 1 . ) : : AB. AE. c’eft-à-dire
( Déf- y.. -Corot.. 1 . ) comme le dnus total au dntts de l’an-
gle ABE de fa direction AP avec l’horifontale BE. O11
trouvera de meme que la pu-idanceR eft à la partie
qu’elle foûtient de ce même poids K ou de fa pefanteur
.U AC. AF. c’eft-à-dire encore , comme le dnus total au
dnus de l’angle ACF de fa direction AR avec l’horifon-
tale-CF. D’ou l’on voit cjue chacune de ces deux puidan-
ces P , R , fuppofées en équilibre avec le poids K , eft tou-
jours alors à.-ce qu’elle foûtient pour fa part de la pefan-
teur de ce poids , comme le dnus total eft au dnus de
d’angle que la direction de -cette puiffance fait avec l’ho-
jrifontale.

•C o -e. oitAin I y,

f

-Si ion appelle prefentement Y , Z , les parties du

\

. #

JYÎ E C A N ï QJCJ E. îll

...poids K , oli de fa pefanteur , foucenue chacune par cha-
cune des puiflances P, R , en forte que Y— f-Z— K , l’on
aura ( Corol. 3 . ) P. Y : : AB. AE. lenomb. 1 . du Corol. 2.
donnera de plus AE. AF ; : Y. Z. & confequemment AE.
AE-+AF : : Y. YH-Z: : Y. K.ouY.K:: AE. AE— f AF.
Donc en raifon ordonnée ( entre cette derniere Analogie
& la première ) P. K: : AB. AE — f-AF. On trouvera de
meme R. K : : AC. AE— {-AF. Mais les triangles ( confir. )
fernblables BAE , CDF , ayant ABtrtDC , ont auffi DF
^AE. Donc P. K n AB. DF-+AF : : AB. AD. Et R. K: ;
AC.DF-+AF : : AC. AD.

Corollaire V.

Si Fangle PAR compris entre les directions des puif-
fances P,R,étoit droit, & qu’ainfi le parallélogramme
AB.DC fût reétangle , par exemple , dans la Fig. 52. les
angles ( Hyp. ) droits en E , rendant alors les trois trian-
gles ABD,AEB, BED,. fernblables entr eux , l’on auroit
pour lors AD. AB : : AB. AE.'Et AD. BD : : BD. DE. D’ou

refulteroit AEt=c A —^ 5 -

DE o,u AF:

BD*BD ACxAC

""~ÂD — AD 5

de-làAE. AF:: ABxAB. ACxAC. Or fuivant les noms
du Corol. 4.1e nomb. 1. du Corol. z. donne en general
Y. Z : : AE. AF. Donc l’on auroit ici Y. Z : : ABxAB.
ACxAC. c’eft-à-dire., que dans la prefente hypothefe de
l’angle PAR droit , les parties Y , Z , que les puiflances
P, R, foûtiendroient du poids K en équilibre avec elles,
feroient toujours entr’eUes comme les quarrez des pro-
portionnelles AB , AC , de. ces puiflances P , R.

Corollaire VI.

» >

Voilà ( Corol. z. 3 . 4. 5. ) pour le cas où les puiflances F i c. 543
P , R , tirent toutes deux de bas en haut , contre le poids
K. en équilibre ( Hyp. ) avec elles. Mais fi une d’elles , com-
me R dans la Fig. 54. tire de haut en bas en faveur de
ce poids , & l’autre P encore de bas en haut : alors la for-
,ce verticale F de la puiflanceR, fe joignant à la pefaa*

T Z Z N O b V E L L : E

{ v teur du poids en fa faveur fuivant une même direction,:
AX, contre la feule force verticale E de la pu i fan ce P,
qui par fon aétion en fens contraire fuivant cette même
direction , les foûtient feule toutes deux en équilibres
cette force verticale E, qui foûtient ainfi feule ces deux-
là réunies contr’elle en fens directement contraire au
fien , doit ( Lem. 3 . Corol. 2.. nomb. 3 .) en égaler la fomme,
& être E=E"— f-K , ou E — E— K. Mais le p relent Th. 2,..
donnant E. F : : AE. AF. donne confequemment E. E' — -F
v: AE. AE — AF. Donc E. K : : AE. AE- — AF. Mais la paru-
1 . du Lem. 3 . donne P. E : : AB. AE. Donc ( en raifon or-
donnée ) P. K :: AB. AE- — -AF. on trouvera de même R.
K : : AC. AE- — -AF. Mais les triangles ( eonjir. ) fernbla-
bles BAE , CDF, ayant AB— DC, ont auffi AE— DF.
Donc P. K • : AB. DF*— -AF : : AB. AD. Et R. K :.: AC. DF
—*AF : : ÀC. AD..

Corollaire. VIL

T l a. 52. Les Corol. 4. 6 . donnant P.. K : : AB. AD. Et R. K : r.

54 - 55- î '* AC. AD. dans tous les cas imaginables d’équilibre entre
deux puilTances P , R., avec des cordes feulement s cha-
cune des. puilfances P , R , fera toujours au poids K en
- équilibre ( Hyp.) avec elles , comme chacun des cotez
AB , AC, du parallélogramme ABDC , pris fur leurs di-
rections , fera à la diagonale AD de ce parallélogramme,
prife fur la direction de ce poids, ainfi qu’on l'a" déjà vu
dans les part. 3 . 4. du Th. 1 . Et de-là fuit encore tout ce
qu’on a. tiré des Corollaires de ces part. 3 ,4. du Th. 1 .

Corollaire VIII.

Donc, puifque ( Corol. 4. ) AD=AEH~AF , lorfque les
puilfances P, R , tirent toutes deux, de bas en haut con-
tre le poids K ,. comme dans les Fig. 52.. 5 3 . 5 5 . 5 6.

( Corol. 6 . ) AD— AE — AF , lorlqu’une de ces puilfances ,
«omnie P dans la Fig. 54. tire de bas en haut contre ce
poids , & l’autre R de haut en bas en fa faveur j ces deux.
puilTances, P R. feront ( Corol, 7. ) à ce. poids K , comme

Me c ani qtt e. ï x f

leurs proportionnelles AB , AC , à la fomme AE-+AF de
leurs fublimitez dans le premier cas , & comme leurs
proportionnelles à la différence AE — AF , dont la fubli-
jnicé de l’une furpaffe la profondeur de l’autre dans le fé-
cond.

Corollaire IX.

Si les cordes GP , FIEL , des puiffances P, R , étoient
parallèles entr elles , 6e con le quemmen t auiïi ( Theor. i „
■part, i . ) toutes deux parallèles à la direction XD du poids
JC en équilibre ( Hyp , ) avec elles j leurs fublimitez AE ,
AF , dans les Fig. 52. 5 5 . 5 6„. où la fublimité AE de P,
Se la profondeur AF de R dans la Fig. 5 4. fe confondant
alors avec leurs proportionnelles AB, AC.

i°. Le poids K feroit ( Corol. 8.) à chacune de ces
deux puiflances P , R , comme la fomme ou la diffé-
rence de leurs proportionnelles feroit à chacune de ces
.mêmes proportionnelles correspondantes : fçavoir , com-
me la fomme AB — FAC , lorfque ces puiffances tirent tou-
tes deux de bas en haut j & comme la différence AB — >
.AC , lorfqu’une d’elles tire de bas en haut , 6e l’autre de
haut en bas. D’où il fuit que dans ce cas de directions
parallèles de deux puiffances , 6e d’un poids en équilibre
.avec elles , ce poids fera toujours égal à la fomme ou à
la différence de ces deux puiffances, ainfi qu’on l’a déjà
,vû dans le Corol. 1 1 .

2 0 . Lorfque ces puiffances P , R , tirent toutes deux de
'bas en haut , les parties du poids K , quelles foùtiennent
.chacune pour fa part , font entr elles ( Corol. x.nomb. 1 . )
•comme les proportionnelles de ces puiflances 3 & chacune
de pefanteur égale ( Corol. 4. ) à chacune de ces puilfan-
ces. Ce qui fuit encore immédiatement de l’Ax. 4.

Voilà ( Corol. 2 . 3 . 4. 5 . 6 . 7. 8. 5). ) pour ce qui concerne
tous les cas dans le j quels les puijjances P , R , tirent toutes deux
de bas en haut , ou une de bas en haut., & l'autre de haut en bast
-tvoici présentement pour le cas où une de ces puijjances tire debas
dnhaut & /’ 'autre h on fontalemenL

I

î 24

■ brw

J ) '

N O XJ V*! L L î
Corollaire X.

S s «• 53- Lorfqu’une des deux puiffances , comme R. dans la Fig;.

5-3 •• tire de bas err haut contre le poids K, pendant que
l’autre P tire horifontalement , c’eft-à-dire ( L>éf. 14.4
perpendiculairement à la direction XD de ce poids fup~
pôle en équilibre avec ces deux puiffances 3

î-°. Ce cas rendant AE— o , en. ce que la; perpendi-
culaire EE fur la diagonale AD tomberoit alors en A , 1 a
puiffance P n’auroit point ici de force verticale E , ni
pour ni contre le poids K fuivant là direction KX. Cela
fuit auffi.de ce que le Corol. 1. donnant en general E.
F : : CF. FQ^ le cas prefent , qui rend FQJnfinie , & con-
confequemment FC nulle par rapport à elle , rendroit
auffi E nulle par rapport àF, c’eit-à-dire,-E— o, laforce
verticale F de la puifiance R étant finie.

2 0 . Cela étant , la puiifance P ne foûtiendroit ici rien
f Lem. 3. Corol. z.. nomb.-i.) de la pefanteur du poids K:
elle n’y lerviroit qu’à foûtenir l’effort laorifontal { Lem.
3. Corol. z.nomb.i. z.) de la- puifiance R, auquel cette
puiifance P directement oppofée , & en équilibre avec lui,
feroit ( Lem. 3.. Corol. 2 . nomb. 3 . ) égale.

, 3 -0 - L’effort vertical F de la puifiance R , qui doit ici
tirer de bas en haut , y foûtiendroit donc feul la pefan-
teur dtr poids K 3 & confeq uemment ( Lem. 3. Corol. z\
nomb. 3 . ) il lui feroit égal. Ce qui fuit auffi de ce que là
part. 1 . du Lem. 3 . donnant F. R : : AF. AC. Et le Corol
d. donnant R. K: : AC. AD. Ion auroit ici ( en raifon or-
donnée ) F. K : r AF. AD. de forte que la- confiruction
donnant ici AF— AD, l’on y- auroit auffi 'F— K, ainfi qu’on
devient de voir.

4°. Ayant ici AF— AD , les puiffances- P, R, y feront
au poids K ( Corol. S . ) comme leurs proportionnelles AB,

AC , a la fublimité AF de la fécondé R de ces deux puif-
iances.. r ‘

S C H O L I E.

X. Des deux forces , l’une verticale ,& l’autre horifon- r ' ie -s 1 - 53 "
taie, dont elt composée ( Lem. %■. Corol. 2. ) loblique de 54- 55- J 6 "
chacune des puilfances P, R , voilà j.ufqu’ici l’ufage de la
première , c’elb-à-dire, de- la force verticale de chacune
de ces deux- puilfances ,. lequel ufage eon fille en ce que
cette force verticale ell employée toute entière- contre ou
pour le poids. K fui vaut fa direclion , félon que la puiff
lance qui l’employe-, tire de bas en haut ,-ou de haut en:
bas i de forte que les forces horjfontales fuivant AS , AVy
des puilfances P, R , ne faifant ni pour ni contre la pe-
fanteur du poids K ,,tout ce qui reite d’aclion à ces deux
puilfances pour foutenir ce poids-,. confille dans la fomme
ou dans la différence de leurs forces verticales fuivant
AE , AF , félon que ces memes puillances obliques tirent
toutes deux de bas en haut , ou l’une de bas en haut plus -
fort que l’autre de haut en bas: fie comme cette fonime
ou 'différence de forces-verticales ell ( Déf j 4.., ) direéle-^
ment oppoféeàla pefanteur du -poids K, l’égalité de cet-
te pefanteur du poids K avec cette fomme de forces ver-
ticales des puilfances P,. R 3 dans le premier cas , ou avec
la différence de ces memes forces verticales dans le fe~-
cond , doit mettre ( Ax. 3.) ce -poids- K en équilibre avec
cesdeux puillances P ,,R j <k réciproquement s’ily a équi-
libre entre lui & elle , l’une ou l’autre de- ces deux éga-
litez doit ( Ax. 4.} s’y trouver.- Tel eft l’ufage qu’on vient*
de voir des forces verticales fuivant- AE, AF , des puif-
fancesP, R, dans la démonllration du prefentTh. 2. 65
da-ns fes Corollaires.

I L Pour ce- qui ell des forces horifdntales de ces nid-
mes puilfances P,R,fi dans le plan PAR de leurs dire- '
fiions , par leur concours A , on fait SV horifontale y -
c’eft-à-dire [Déf. 14. ) perpendiculaire à la direélioïi XI>
du poids K, laquelle horilontale foit rencontrée en S , V y
par BS , CV , parallèles à cette direclion XD j on verra;-
fainffque dans la démonllration de la part. 3 .du Lem, yrp

vF ï s., $8.
éS‘

J ï

X c

.11 6 N S ' U VE L L E

.que les forces horifontaies fuivant AS , AV, des puifian-
ces obliques P , R, font directement oppofées ôe égales
entr 'elles : de forte que n’ayant rien ni pour ni con-
tre le poids K, ne tendant ni à le faire defçendre, ni à le
faire monter tout leur emploi & tout leur ufage eft de
s’empêcher mutuellement par leur égalité & leur directe
contrariété de le mouvoir à droit ni à gauçhe , ainh qu’on
vient de voir ( art. i .) que l’égalité 6 c l’oppofition directe
de la pefanteur de ce poids avec la fommeouavec la dif-
férence des forces verticales de ces memes puiflances
obliques P ,R , empêche ce poids de monter ni defçendre,
C’eft par ce double empêchement d’aller ni à droit ni à
gauche, de monter ni defçendre , que fe fait le repos. &
le parfait équilibre de ce poids K avec ces deux pu fian-
ces P , R.

Defi niti o n X V XJ.

Si d’un angle quelconque E d’un triangle rectiligne
auffi quelconque BEC, fur le milieu H de Ion côté oppo-
féBC,on mene dans la Fig. 5,8. une ligne droite EH,
laquelle foit divilée de maniéré que EA foit double de
AF 1 3 ce point A s’appelle d’ordinaire le centre de gravité
de ce triangle. Et h dans la Fig, 5 5. la droite FA menée
du fommet F d’une pyramide BECF à ce centre de gra-
vité A de fa baie BEC , eh divilée en G , de maniéré qu,e
FG foit triple de AG.j cepoint G s’appelle ordinairement
auffi le centre de gravité de cette pyramide.

. Nous parlerons ici le même langage 5 fans cependant nous
mettre encore en peine fi la propriété qu on attribue d ces deux
points A,G , d’être tels (Dé F. 14. ) qu’en quelque fituation
gué le triangle BEC feul , J oit appuyé fur le premier A de ces
points , <jr la pyramide BEC fi jur le féconde,, ces deux fi-
gures y demeureront toujours en équilibre chacune par la feule
pefanteur uniforme dans toutes fes parties d’autres propriétés
de ces points A, G ,par rapport d cette Sctiion-ci , nous 1 enga-
gent à en parler , (fi confefuemment d leur do?.mr des noms ,
jç.epxrld en valent bien d’autres

THEOREME'III.

f: Si trois puiffances P , R , K , appliquées à des cordes feu- F
liment, font en équilibre- entr elles , leurs directions ou cordes
PB R C , K-E , prolongées , fe rencontreront' dans le centre de
aravité d'un triangle rectiligne , par les trois angles duquel
elles paieront.

II. Ces cordes oit directions prolongées auront leurs parties
cornprifes entre ce centre de gravité & ces angles , en raijonde
ses mêmes puiffances.

III. Réciproquement trois pui(fances P, R, IC, étant ap-"
pliquées a trois cordes AP , AR , AIC, quj pafent parles ■ trois
angles B , C , E , d’un triangle rectiligne quelconque BE C , au
centre A de gravité duquel foit le nœud qui retient ces trois
cordes attachées enfemble y ces trois puifjances P , R , K, fe
Soutiendront mutuellement en équilibre en cet état ( de leurs
cordes ) fi elles font entr elles comme les dijlances AB , AC
AE , de ce centre A, aux angles B , C , E , par oit l'on fuppofe '
que leurs directions pajjent.

D EM O N S TR AT I O N,

Part, I. Puifque ( Hyp. ) les trois puiffances P , R. , Kj
font ici en équilibre entr’elles fui vaut des directions dif-'
ferentes , la part, i „ du. Th. t, fait voir que. leurs cordes
PB , RC , KE , feront en même plan, &. que prolongées
elles s’y rencontreront toutes trois en un même point
quelconque A. Cela étant, fur une d’elles , par exemple;
kir KA prolongée foit prife AD à volonté, fur laquelle ,
comme diagonale, foit fait le parallélogramme ABDC,
dont les cotez AB, AC , forent fur les deux -autres dire-
ctions AP , AR. Cela fait , fi l’on prend AE— AD fui*
AK , & qu-on mene les droites BC , BE , CE , dont la pre-
mière BC , rencontre AD en H -, l’on aura rx AH— AD
( confir. ) — AE. Donc ( Déf. r y. ) le point A eft le centre
de gravité du triangle BEC. Par confequent les d'ire-
ftions ou cordes prolongées PB , R.C > KE , fe rencontre--
iront toutes trois dans le centre de gravité A d’un triangle '

•ï 2 S

rectiligne BEC, par les angles B ,C , E , duquel elles paie-
ront. Ce qu’il falloit i° . démontrer.

Part. JI. En ce cas d’e'quilibre entre les trois puiffan-
.. tes P, R , K , la part. 3 . du Th. -1 . fait voir qu’ elles font
entr’elles comme les lignes AB , AC, AD. Mais ( conjlr.)
AE—AD. Donc ces trois puilfances P JL , K , font aulfî
entr’elles comme les parties AB , AC, AE, de leurs dire-
ctions , comprifes entre le point A ( part. 1 . ) centre de
gravité du triangle BEC, & les angles B,C,E, de c-e
. triangle , par lefquelles ces directions paient : c’eft-à-dire ,
comme les diftances de ce centre de gravité A à ces an-
gles B , C , E. Ce. qu il. falloit 1°. démontrer.

Part. IIJ. Sur KA .prolongée versDfoit prife AD~

AE , laquelle rencontre en H le côté BC du triangle fup-
pofé BEC. Le point A étant ( Hyp. ) le centre de gravité
de ce triangle , l’on aura ( Téf 1 6.) BHttzHC, &; AH:=n

•j-AE \ conflr. ) AD , & confequemment AfJ“HJÇb

Donc en menant les droites BD , DC , le quadrilatère
ABDC fera un parallélogramme qui aura fa diagonale
AD à fes cotez AB , AC, comme AE eft à ces mêmes co-
tez. Mais ( Hyp. ) AE elf ici à ces cotez AB, AC, comme
la puilfance K eft aux puilfances P, R. Donc ce parallé-
logramme ABDC aura pareillement ici fa diagonale AD
à fes cotez AB , AC , en raifon de la puilfance K aux deux
autres P , R. Donc ( Th. 1 .part. 5 . ) ces trois puilfances K,

P, R , feront ici en équilibre entr’elles. Ce qu’il falloit 3 0 »
démontrer »■

C O R O L L A I R Eo

Cett;e part. 3 . jointe au Corol. 4. du Th. 1 . fait voir en
Géométrie que les diftances AB , AC, AE , du centre de
gravité A d’un triangle rectiiigne quelconque BEC à fes
angles B , C , E, font toujours entr’elles comme les linus
des angles EAC, EAB,BÀC, que prolongées elles tra-
verferoient : puifque trois puilfances P , R , K , en raifon
Lie 'ces trois diftances AB , AC, AE , & appliquées cha-
< " .cuits

N /r t

M e c a n ï qjuve. 1.25

cime contre les deux autres fui vaut ces lignes , feroient
toujours ( fart. 3 . ) en équilibre entr’elles 5 & qu’en ce
cas d’équilibre entre ces trois puiffances P, R , K, elles fe-
roient aullî toujours entr’elles {Th. 1. Corol. 4. ) comme
■des finus de ces mêmes angles EAC , EAB, BAC, que
leurs directions ou cordes prolongées traverferoient.

^ Voilà .jufquici four trois ..puiffances en équilibre avec des
■■ cordes feulement , ou four des poids ainfi foütenus chacun far
.deux puiffances. Voici prefentement pour ceux qui le feroient
par quelque nombre de puiffances quelconques qu’on 'voudra,

■fr de dire étions auffi quelconques : le Th. 1 . en va encore être le
fondement , ainfi qu’il l’a déjà été des deux qui le fuivent.

THEOREME IV..

I. Tant de puiffances P , R ,. S , frc. qu on voudra , £ 1
dirigées u volonté dans tels plans qu on voudra auffi, foute- 6u
nant en équilibre un poids quelconque K avec des cordes feule-
: ment attachées enfemble par un nœud commun A (la meme chofe
fe dira de chacun des. nœuds des cordes, qui en ont.plufieurs
...de chacun defquels partent plufieurs cordons , ou branches de
..corde ) auquel ce poids K efi fufpendu: -l’effort refultant du con-
cours de toutes ces puiffances. contre ce poids ainfi en équili-
bre avec elles , fera toujours fuivant la direction ICA de ce
même poids en fens dmétement contraire , ér égal à fa pefan-
. teur.

IL "Ce poids IC ainfi en équilibre avec toutes ces puiffances
R , S , &'c. fera toujours k chacune d’elles en rai f on
de la diagonale du dernier des parallélogrammes faits comme
dans le Corol. 1 . du Lem. 10. efi dans le Lem. 11. d chacune
des proportionnelles AB., AC, AT, AF, efic. de ces mêmes
puiffances..

III. Ce même poids -IC en -équilibre avec toutes ces puiff an-
tes P , , R, S, (fie. fera auffi toujours alors a chacune

d’elles comme' le produit de leur nombre ( quel qu’il foit ) par
'la difiance de leur centre -< principal d’ équilibre au nœud com-
mun A de toutes leurs cordes , efi a chacune des proportionnelles
AB, AC., .AF , AF, .jcrc.de ces mêmes puiffances.

K

rr

13a Nouvelle

I V . Réciproquement fi le poids K ejl a chacune de ces puif-
fances P , R , S , &c. en quelqu'une des raifons marquées
dans les part. 2. y. çfr quil fit directement contraire à l'effort
refultant de leur concours ; il fera en équilibre avec elles.

DemûNST KA.TI ON,

Part. I. Les nomb. r. z. 3 .. du Corol. 2. du Lem. 3 ,
font voir quepuifque ( Hyp. ) il y a ici équilibre entre le
poids K & l’effort refultant du concours des puilî an ces
P j Q_, R , S , &c. contre lui i cet effort doit être dire-
ctement contraire & égal à la pefanteur de ce poids Ce
qu il fallait r°.. démontrer.

Part. I L Soient ( comme dans le CoroL 1. du Lem.
10. & dans le Lem. ri. ) les parallélogrammes ABHC ,
AHGE, AGDF , &c. le premier ABCH, fait de deux,
quelconques AB AC , des proportionnelles aux puiffan-
ces fuppofées 3 le fécond AHGE ,,fait de la diagonale AH
de celui-ci , èc d une troifiéme AE quelconque de ces pro-
portionnelles j le troifiéme AGDF , fait de la diagonale
AG de ce fécond parallélogramme , d’une quatrième
âufiï quelconque AF de ces mêmes proportionnelles y êc
ainfi de fuite en quelque nombre qu’elles foient. Je dis
donc que la diagonale du dernier de ces parallélogram-
mes , par exemple AD, s’il n’y en a que trois, ou que
quatre puiflances avec le poids ,. comme ici' pour ne pas
accabler l’ëfprit par la multitude des lignes , fera tou-
jours à chacune des proportionnelles AB , AC , AE, AF,
des puiffan ces P , Q^_, R , S ..comme le poids K à chacune
de ces puiflances fuppofées en équilibre avec lui.

Car ( Lem. 3,. Corol. 1 o ■) l’effort refultant du concours
de toutes ces ptiiffhnces P , Qg, R , S , fe fait de A vers D,
fuivant cette derniere diagonale AD , & eft à chacune de
toutes ces puiflances comme cette derniere diagonale AD
eft à chacune de leurs proportionnelles AB , AC , AE *
AF. Or ( part. 1 . ) dans l’éc; uilibre fuppofé entre le poids
K & ces puiflances P , Q^, R, S, cet effort refultant de
leur concours de A vers D fuivant AD , eff airedement

Mec a n î q^ü b, î jj

.•Contraire Sc égal à la pefanteur de ce, poids. Donc en ce
cas d’équilibre non feulement cette derniere diagonale
AD eft toujours en ligne droite avec la direction AK de
•ce poids i mais encore ce poids K elt auflî toujours à cha-
cune des puilTances P , Q , R , S , comme cette derniere
diagonale AD eft à chacune de leurs proportionnelles
AB , AC , AE , AE. La même chofe fe trouvera de
même pour tout autre nombre de puiffances ainli en
.équilibre avec quelque poids que ce foit. Donc en gene-
ral un poids ainli en équilibre avec tant de puiffances
qu’on voudra par le moyen de plufieurs cordons ifliis
d’un feul nœud , fera toujours à chacune de ces puiffan-
ces comme la diagonale du dernier des parallélogrammes
faits comme ci-dëffus , fera à chacune de leurs propor-
tionnelles. Ce quilfalloit i°. démontrer.

Part. II I. Soient encore fur les cordes ou directions f i
AP, AQ^, AR , AS j &c. des puiffances P, Q^, R , S, &c. fi 3 ’
en équilibre ( Hyp. ) avec le poids K , leurs proportion-
nelles AB , AC , AEj AF , &cu Par les extrêmitez B , C,
de deux quelconques AB., AC, d’entr elles foit la droite
BC, du milieu G de laquelle foit menée GE à l’extrémi-
té E d’une troifiéme quelconque AE de ces proportion-
nelles , laquelle GE foit divifée en H, de maniéré qu’on
,ait FIE. FIG : : 2. 1.. De ce point FI à l’extrémité F de la
proportionnelle AF foit auffi menée FIF , laquelle foit
pareillement divifée en L , de maniéré qu’on ait LF. LH : :
3.1. Et ainli de fuite fuivant les Corol. 2 . 3.4. du Lem.

1 1 . s’il y avoit ici plus de quatre puiffances avec le poids.

Le Corol. 5. du même Lemme 1 1.. fait voir que l’effort
xefultant du concours des quatre puiffances P, Q_, R 8
S, fera ici de A vers L fuivant AL, &: à chacune de ces
;puilfances comme 4X AL eft à chacune de leurs propor-
tionnelles AB , AC , AE 3 AE. Donc -cet effort devant
Atre ici ( part. 1 . ) directement contraire & égal à la pe-
.fanteur du poids K ( Hyp. ) en équilibre avec lui , ce poids
K fera pareillement ici à chacune des puiffances P , ?

R , S j comme qxAL eit à chacune de leurs proportion**

neiles AB , AC , AE, AF. Or ( Déf. 13.) L eft le centra
principal d’équilibre de ces quatre puiffances P, Q_, R „
S. Donc le poids K ici (Hyp.) en équilibre avec elles,
doit non feulement y avoir fa direction K A fuivant AL>
mais encore y être à chacune de ces puiffances P,

R., S, comme le produit q.xAL de leur nomb. 4. par la
diltance AL de leur centre principal L d’équilibre au
nœud commun A de toutes leurs cordes , eft à chacune,
des proportionnelles AB , AC, AE, AF , de. ces quatre
puiffances.

Les Corol.2... 3.4. 5 . du Lem. 1 1. qui- pour -le cas de
quatre puiffances en équilibre avec un poids donnent ce
rapport de4xAL à leurs proportionnelles ,. donneroient
de même le rapport de »xAL aux proportionnelles de tel.
nombre n de puiffances qu’on voudroit ainfî en équilibre
avec un poids, ôe ce poids dirigé fuivant AL-, fi L étoit
le centre principal d’équilibre de toutes ces puiffances,.
Donc en general , quelque foit. le -nombre de puiffances
dirigées à volonté dans quelque nombre de plans que ce
foit , lefquelles foûtiennent toutes .enfemble en. équilibre,
un poids Kaufîi quelconque avec des cordes feulement,
qui partent toutes d’un même nœud commun A j ce poids
ain fi en équilibre avec toutes ces puiifances, non feule-
ment aura fa direction .fui vant la ligner menée de ce point
A au centre principal d équilibré de. toutes ces puiffan-
ces 5 mais encore il fera toujours alors à chacune d’elles
comme le produit de leur nombre par la diftancedu
nœud A à leur centre principal d’équilibre, fera à, cha-
cune de. leurs proportionnelles.. Ce qu’il falloit 3 °. ié-
montrer.

<?©. Part. I V. Le poids K étant- ici fuppofé aux puiffances
6 3 - P, Q^, R > S , &c. appliquées comme ci-deffus en celle
qu’on voudra des raflons marquées dans les part. 1.. 3 .il
leur fera ( Lem. 3. CoroL 10. & Lem. 1 1. .Corot.. 5.) en
même raifon que l’effort refultant de leur concours corn
tre lui j & par confequent ce poids fera égal à cet effort..
Donc ce même, poids K étant auffi { ) directement

Micaîti î 3 y

contraire à ce même effort , il doit ( Ax. 3 . ) demeurer
en équilibre avec lui ; c’eft-à-dire , avec les puiffânees P,
Q , R , S , Sec. du concours defqtielles cet effort réfulteV
Ce cjiftl faliok 4 0 . démontrer.

G-O R O L L A I R E I.

La part. 2 . démontrée en fe fervant de parallélogram-
mes , fe prouve encore par la part. 3 . fans en faire aucun*
g i réciproquement cette paru 3.. démontréeLans parallé-
logrammes , fe prouve âum par ceux de là part. 2.- Car,

1 °. Le poids K étant en équilibre comme dans le com-
nlencement des démonftrations de ces part. 2. 3. avec «à-
les quatre puiffânees P , Q^,. R S , feulement fi l’on ■
prend ADtrr^xAL-fur AL prolongée dans les Fig. 6 2.

6 y. cette AD fera ( Lem. 1 1 . ) la diagonale du dernier
des parallélogrammes qui auraient été faits en A ( com-
me dans la démonftration de la part. 2. ) des •proportion-
nèlles AB AG , AE ,.AF , de ces quatre- puiffânees P , Qj>

R", S. Donc f divan t la démon dration de la part. 3 . cette
derniere diagonale AD fera encore • ici non feulement eiï- :
ligne droite avec la direction AK du poids K j mais auffi'
à, chacune de ces proportionnelles AB, AC, AE, AF , -

dés puiffânees P, , R , S , comme ce poids eft à cha-
cune de ces puiffânees. On le déduira encore de même
des Cor ol. 2. 3.4, 5. du Lem. II. pour tout autre nom-
bre de puiffânees quelconques dirigées à volonté, &fup-
poiées ainfi en- équilibre avec le poids K. Donc encore
en général un poids quelcônque ainfi fout ènu eh équi-
libre par tant de puiffânees auffi quelconques- qu’on-
voudra, de directions pareillement quelconques qui ren-
contrent toutes celle du poids en un même nœud ou
point A, fera toujours alors à chacune de ces puiffânees,
comme la diagonale du dernier des parallélogrammes!
qui feraient Laits en A de la même maniéré que dans là
démonftration de la part. 2. ferait à chacune des ’pro-
poi'tionnelles de eus mêmes puiffânees. Ce qui' eft cette-

m

■f ï e.

ffo.

î 3 4 ;N o u v e l l -e

parc. 2. elle-même qu’il falloir ici démontrer parla part.
■3 . fans faire aucun parallélogramme.

2 0 . Le poids K étant encore en équilibre comme cl-
delfus,avec les quatre punfinces P, Q^_, Rj S, fi loti
pren.l AL~^ AD dans les Figures 60. 61. don refaite
fax AL— :AD j le point L ainfi pris fur la derniere di 1 go-
male AD , fera ( Def 1 t. }le centre principal d’équilibre
.de ces quatre puilfances 5 & confequemment AL fera la
diitance de ce centre au nœu 1 ou concours A de leurs
.quatre directions avec celle du poids. Or ( part. 2 . ) ce
:poids K ainfi en équilibre avec ces quatre puiffances P^,
Qj R. , S .., elt à chacune d’elles comme cette derniere
.diagonale AD elt à chacune de leurs proportionnelles
AB, AC, A E, AF. Donc ce poids K fera auifi pour lors
à chacune de ces puiffances P , Cfa, R , S , comme 4XAL
( produit de leur nombre 4. par la du cance AL de leur
.centre principal d’équilibre au point A de concours de
leurs directions j fera a chacune de leurs proportionnelles
AB , AC , AE , AF. On le trouvera de même pour tout
autre nombre de puilfances ain 'î en équilibre avec quel-
que poids que cefoit. Donc en general ce poids ainfi en
équilibre avec toutes ces .puilfances quelconques , & de
directions quelconques qui rencontrent -toutes celle de
.ce poids en un même nœud ou point A , fera toujours
à chacune de ces puilfances, comme le produit de leur
nombre par la diftance de ce point A à leur .centre prin-
cipal d’équilibre „ fera à -chacune de leurs proportion-
nelles. Ce qui elt la partie 3 , qu’il falloir ici démontrer
par la part. 4. .en y employant des parallélogrammes.

C O R O -L L AI RE IL

fil fuit de la part. 4. que tant de puilfances données
.qu’on voudra , appliquées à autant de cordes retenues
çnfemble par un feul nœud commun, peuvent demeu-
rer en équilibre entr’clles fuivant une infinité de dire-
ffions differentes pour toutes &c pour chacune , excepté
iojrfqu’ii n’y pn.a que trois pu «faux fculemgnt.

t \ ,

w ' i .L»

M E C A N ï QJLT E„ î 3 5

Car en prenant le poids K pour une puiflance égale Fig
à fa p efanteur , afinde faire fervir ici les Fig. 60 . 61. la
part. 4. fait voir eue quelque l’oit le nombre des puiifan-
ces données P , C>__, R., S , 8cc. appliquées à autant de
cordes attachées enfemble par un leul nœud commun A j
toutes ces puilfances feront toujours en équilibre entre--
elles tant qu’une d’elles fera à toutes les autres comme-
la diagonale du dernier des parallélogrammes faits (aiiilî-
que dans la démonllration de la part. %■. ) de leurs pro--
portionnelles fera à ces mêmes proportionnelles , & qu’elle
fera dirigée fuivant cette diagonale à contre-fens de
l’imprellion relultante de toutes ces autres pii-Man ces, "
Or pour peu d’attention qu’011 fade à la démonllration-
de la part. a. on verra- que cela peut arriver dans une
infinité de directions differentes de toutes cés puilfanees ,

& de chacune d’èll s : voici comment.

De toutes ces puilfances données P , Q^, R,, S
moins deux quelconques S, K,, loient les directions AP,.
AQ_, A R , 8cc. telles qu’on voudra , 8c dans quels plans -
on- voudra, avec les proportionnelles AB , AC, AE, &c 3
des puilfances P ,- Q^_, R , &c. qu’on delline à ces- dire---
étions. De deux? quelconques AB , AC , de ces propor-
tionnelles foit fait le parallélogramme BACH j de fa d.ia~ -
gonale AH 8c d’une troifiéme quelconque AE de ces -
mêmes proportionnelles , foit fait enfuice le parallélo-
gramme H AEG y 8c toujours de même jufqu’à la demie- •
re inclufi vement des - puilfances qu’on vient de diriger à
volonté , laquelle foit ici R. Sur la diagonale AG duder-
nier de ces. parallélogrammes foit dans tel plan qu’011
voudra qui paile par elle , un triangle ADG dont- les -
deux cotez. GD , AD , foient chacun a-AB, comme cha-
cune des deux puilfances S, K ,/efe rvées pour les der-
nières, eii à la puiflance P„ Soiçnt enfin la puiflance S di-
rigée fuivant. AS parallèle à GD y 8c la puiflance K fui--
vant DA prolongée vers. K.

Ci la fait , il fuit de la part. 4. que toutes ces puilfances
P 3 Q^, R ?! S j.Rj ainfl dirigées font en. équilibre- entre.-

. m

iyê Nouvelle

elles -, puifque h l’on ra'ene DF parallèle à AG, Sc qûl
. rencontre AS en F, cette conltruétion donnera la puif-
fance K dirigée fuivant DA , effc à chacune des autres P,
Q^j, R , S , comme cette diagonale AD du dernier. A GDF
, des parallélogrammes ici faits, eft à chacune de leurs
proportionnelles AB, AC, AE,AF. Ce nombre arbitrai-
re de puilTan ces données - fait voir qu’il en fera de même
de tout autre nombre de puilïatices quelconques aufli
.données. Donc les directions de celles-là ayant vétéprifes
arbitrairement, à la referve de deux qu’on voit devoir
varier avec elles > ces mêmes puilfances P, Q__, R,S, ! K 5
peuvent ainfi. faire équilibré entr 'e lles fuivant une infi-
' jttité de directions differentes pour toutes- èc pour chacu-
ne d’elles. Leur nombre auflî arbitraire fait- pareillement
voir qu’il en fera de même de tout autre nombre de puif-
fances données quelconques, pourvu ( Schol. du Th. i . )
qu’il nefoit pas moindre que quatre.

Il ejl k ‘remarquer que la difpofition defdireciions arbitrai-
, res doit ici être telle que la pénultième diagonale AG J oit moin-
dre que la fomme des proportionnelles GD , AD , des deux
puifjances rejlantes S , K,& affef grande pour faire avec
1 . chacune de ces deux _ dernieres proportionnelles une fomme plus
grande que l'autre de ces memes proportionnelles: autrement
le triangle AGD feroit impoffible , fr confequemment aujji
ï équilibre , a /’ établijjement duquel il vient de nous conduire.
Alais cela n empêche pas que les puiffances données F , Jp^,
-R , S ,, K , nepüifjent être encore en équilibre -entr elles fuivant
une infinité de directions differentes , ainfi que dans le prece-
dent Corol.,%. Puifquune infinité de directions arbitraires des
fuiffances P , Jp^, R , peuvent rendre A G , telle qu 'on ait a
fia fois AG <; GD-\-AD \ AG — \-GDp> AD , & AG— {-AD

GD , en une infinité de rapports diffe-rens j n y ayant pour
.cela qu à ouvrir plus ou moins les .angles que ces directions ar-
bitraires feront entr elles ,■ ou a n appliquer fuivant ces -dire-
:Bions que des puiffances dont la fomme foit plus grande que
4a différence .des deux refervées pour les dernieres , ou enfin k
faire ( fi- l’onveut ) ■ lesdeux enfemble. Il en fera de même Je

1 V,

r V

Mec a s n i cqu e . i 3 7

tel autr e' nombre de pm flanc es quelconques qu on voudra , plus
grand que trois.

G O IOLLAUE III.

Ce qu’on vient de voir de la part. 4. dans lepre'cedent
Corol. z. fur les Fig.6'0. 61. par la voye des parallélo-
grammes qu’on , a tenue dans la démonliration de la part.

1 . fe peut encore déduire de cette même part. 4. fur les
Fig. 6 z. 63. fans parallélogrammes , en lui vaut la voye
qu’on a renue dans la démonliration de la part. 3 .

Car fi après avoir encore conduit à volonté dans des Fis. 613 '
plans quelconques les direction AP , AQ__, AR , &c. de 6i ‘
toutes les puilfances données P , CH. R, S , K, &c. à la
referve de celles AS, AK , de deux quelconques S, K,
de ces puilfances , &c avoir pris fur. ces direftions arbi-
traires AP , AÇf__, AR, &c. depuis leur concours A , des
parties AB , AC , AH., &c. proportionnelles aux puilfan-
cesP , Q__, R , &c. qu’on leur delline j l’oit menée par les
extrêmitez B , C , de deux quelconques' AB , AC , de ces
proportionnelles , la droite BC ; du milieu G de cette li-
gne foit enfuite menée à l’extrémité E d’une troifiéme
quelconque AE de c-es mêmes proportionnelles , une le-
conde droite GE, laquelle foit -divifée en Fi, de manière
qu’on ait EH. HG:: z. 1. De ce point H à l’extrémité
d’une quatrième quelconque de ces proportionnelles foit
menée de même une troifiéme droite , laquelle foit divi- ,
fée en deux parties telles que celle du côté de cette qua-
trième proportionnelle foit à l’autre du côté de G: : 3. 1.
ainfi que dans la démonliration .de la part. 3. conformé-
ment aux Corol. z. 3.4. duLem. 1 1. quelque nombre
de puilfances données quelconques qu’on fuppofe juf-
qu’à la derniere de celles qu’011 aura dirigées à volonté ,
laquelle eft ici R. En-fuite fui vaut le Lem. .1 4. foieut du
point A menées dans quelque plan que ce foit , les lignes

AF— |xAB , AL— . px— -, de maniéré que la droite HF

menée de H à l’extrémité F de ces deux-là foit divifeeen

S

ï 3 8 .N o a v i l l é

L par la fécondé AL ,en parties FL, LH, telles- quon
ait FL. LH:: 3.1. Ce qui effc facile par le Lem. 14.,
Après cela foient dirigées fuivant. AF , & fui vaut LA
prolongée vers K., les deux puilTances S , K , refervées ci-
aelTus pour les. dernieres. .

Il elt vifible que cette confiruftion donnera non feu-
lement AB , AC, AE, AF, qxAL , en raifon des puif-
lances P , Q_, R , S , K , dirigeas.' fuivant ces lignes 5 mais
encore B G— GC,avec EH..HG:: 2. 1. Et FL. LH:: 3.
1. ainft que dans la de'nionftration de la part.. 3 . Donc
( part. 4. ) toutes ces puilTances feront ici en équilibre
entr elles: de plus les directions arbitraires de toutes , ex-
cepté des deux dernieres S , K , dont les directions doivent
varier avec celles-là , font , voir auffi que cet : équilibre
peut arriver avec une infinité de directions differentes
de ces mêmes puilTances. Il en fera de même de tel au-
tre nombre de puilTances données quelconques qu’on
voudra, pourvû ( Schol. du Th. r. ) qu’il 11e foit pas moin-
dre que quatre, le nombre & le rapport de celles-ci en-
tr’elles étant pareillement arbitraire jufques-là.

Si Ton prend m pour cet autre nombre de puilTances
données auffi quelconques plus grand d’une unité que
celui n des nomb. 1. 2. du Corol. 4. du Lem. 1 1 . & en-
core S , K , pour les deux dernieres refervées comme ci-
defifus j le nomb. 2. du Corol. 4. du Lem. 1 1 . fait voir

qu’il faudrok alors AL-

en L , de maniéré qu’on eût FL. LH : : ^—-2. 1. Ce qui
dans l’exemple précèdent de cinq puilTances , donneroit

p x , & divifer la ligne HF;

ALm.fx

P 5-1

•2.^1

ainfî

pX— , &; FL.. LH : : p-
qu’on les y vient de faire.

Si l on\ fait ici la remarque qu on a faite a la fn du Corol.
1. on •verra derechef que s'il y a des dire citons fuivant lef-
quelles les puifjances propofêës ne demeureraient pas en équi-
libre entr elles , il ne laijjë pasd'y en avoir encore une infinité
fuivant le f quelle s ces mêmes puifjances y demeureraient^

% v ■

* f' v,

M E C A N I QfU & I 35

C O R. O L L A I R E I V.

La part. 4. du prefent Th. 4. donne encore le réci-
proque des deux précéderas Corol. 2 . 3., fçavoir, quêtant
de puiffances quelconques qu’on voudra au-deffus de-
rrois , fucœffi veinent appliquées à autant de cordes atta-
chées enfemble par un jeul nœud commun., & de dire-
ctions données à volonté ., peuvent être entr’elles dans
une infinité de rapports différons , & cependant faire tou-
jours équilibre lui vaut ces mêmes directions , pourvu
(Lem.. 17. Carol. % .) que ces directions foient répandues en
plus d’un demi-cercle ou * d’une demi-fphere , dont le
nœud commun de ces cordons foit le centre , & que
pour le cas de quatre cordons leurs directions données
foient toutes en même plan : tous les autres cas de plus
de quatre -cordons les auront en tels plans qu’on voudra,
ainfi qu’on le verra dans le Prob. de la Seêt. I X. avec
les précautions qu’il faut prendre pour trouver ce dont
il s’agit ici , lesquelles nous y engageroient à une trop
grande digrefîion : c’eft pour cela que nous n’y allons
parler que de directions données quelconques en même
plan au deffus de trois,, & répandues en plus d’un demi-
cercle , foient donc , par exemple , dans les .Fig. 6 c. 61. F ?©;
en même plan , & répandues en plus d’un demi-cercle 6u
les directions données AP, AQ^_, Alt, AS , AK, fui vaut
lefquelles les cinq puiffances P., Q^_, R , S , K , foient en
équilibre -entr’elles 5. la part. 4. fait voir , dis-je, qu’une
infinité d’autres puiffances cinq .à cinq peuvent encore-
être fucccflivement en équilibre entr’elles fuivant ces
memes directions , quoique ces nouvelles puiffances d.e
■chaque , fois, cinq , Foient entr’elles dans des rapports tout
différons de ceux de ■celles-là.., & de toute autre fols cinq,:

Pour le voir, fur une quelconque des directions don-
nées., par exemple , fur KA prolongée vers D, fait prif©

AD .à volonté , & de même AF à volonté fur telle autre
AS qtfon voudra de ces dlreêtions données ; doit le pa-
rallélogramme AFDG , dont AD foie la diagonale 3 d®

Sàj

"h

c

même ayant pris AE.à volonté fur une troifiéme quel-
conque ÀR de ces, directions ,- foit achevé le parallélo-
gramme AEGH j dont AG foit la. diagonale . Enfin ( puis-
qu’il n’y a ici que cinq diredions données ) fur les deux
autres diredions AP r A-Q__, foient menées les droites
HB , HC ,. qui leur foient réciproquement parallèles , &
qui avec elles fafient le parallélogramme BACH, dont
AH foit la diagonale.

Cela fait, la part. 2.. fait voir que filon applique aux
directions données AP , AQ^ , AR , AS , AK , autant de
puifiances P, Q___, R, S , K, qui foient . entr elles comme
AB, AC, AE,- AF, AD 5 toutes ces puifiances ainfi diri-
gées feront en équilibre, entr ’elles. Donc toutes ces pro-
portionnelles (.hors AG ,. AB , qui doivent varier avec les
autres ) étant arbitraires dans la conftrudion preceden-
te 5 toutes les puifiances P ,,Q^, R ,S, K , le font auffi r
hors les deux premières. P „Q, qui doivent varier avec
les autres. Donc une infinité de puifiances cinq a cinq,,
de rapports tout differens , peuvent faire fucceflivement
équilibre entr’elles fuivant les mêmes cinq diredions
données AP, AQ_, AR.,. AS , AK 3 êc ainfi detout'autre
nombre de diredions données , & confequemment auffi
de puifiances fucceflivement requifes , excepté s’il n’y en
avoit que trois 5 car le Th. 1. fait voir que s’il n’y avoir
que trois diredions , ou que trois cordes de diredions.
données , le. rapport des trois puifiances requifes pour fai-
re équilibre entr’èlles fuivant ces trois diredions , feroit
auffi donné, & confequemment invariable.

C O R O L: L A I R E V„.

La même chofe que: dans le précèdent Corol. 4. fe
peut encore déduire de la, part. 4. fans faire, aucun pa-
ir î c. si. rallelogramme. Pour cela fur. une. quelconque des. cinq
tf 3 ' diredions données AP , AQ^_, A R , AS , AK , par exem-
ple , fur KA prolongée du. côté A,, foit prife ÂL à vo-
lonté,, & encore AE , AF , à volonté fur deux autres quel-
conques AS , AR des quatre diredions reliantes ; foit la

M e c a il i O;or e. 14 r

Éghite FL prolongée vers H de maniéré qu’011 ait FL.
flL : : 3 • 1 • n’y ayant ici ( Hyp. ) que cinq directions don-
nées : 1 e nomb. 1. duCorol. 4. du Lèm. n, auquel il y
auroit ici une puilTance à ajouter oppofée à l’imprelfiom
refultante du concours, de toutes les autres , fait voir
que s’il y en avoit ici tel autre qu’on voudra, fait de
l’ unité ajoutée au nombre quelconque n de toutes cel-
les-là , il y faudrait EL. LH : : m- — -z . 1 . Puifque le nom-
bre de toutes ces puilTances enfemble étant m—,n — {-1..
donne m — < z~n — • 1 . Après cela menez EH prolongée
vers G, de maniéré que vous ayez EH. HG : : z. 1 . Enfin.'
par le point G menez ( Lem. l 3 . ) la droite BC telle que ce-
point G la divife en deux, parties égales..

Cela fait , la part. 4. 'du prefent Th. 4. fait voir que fv
l’on applique aux directions données AP , AQ^_, AR ,
AS , AK , , qui foient èntr elles comme AB , AC , AE , AF,
4 xAL. y toutes ces puiflances feront en équilibre entre-
elles. Donc toutes ces proportionnelles AB , AC , AË,-
AF, 4XAL (hors AB, AC , qui doivent varier avec les^
autres ) étant arbitraires dans la conftruCtion précédente, ,
toutes les puilTances P , Q^_, R, S 1 , K, le font aufli,hors
les deux, premières P , Q_, qui doivent varier avec lès
autres. Donc une infinité de puilTances cinq à cinq , de-
rapports tout; differens , peuvent fucceflivement faire;
équilibre entr’elles fuivant les mêmes cinq directions^
données. au deflus de trois, &: confequemment auflî de:
puilTances fucceflivement requifes., ainfi qu’on l’a déjà vit:
dans le précèdent Corol. 4.

Corollaire VL

Les quatre derniers Corollaires z . 3. 4. 5. font voir
que non feulement tant de puilTances données qû’on vou-
dra au deflus de trois , appliquées à autant de cordes at-
tachées enfemble par un nœud commun , peuvent de-
meurer en équilibre entr’elles fuivant une. infinité de di-
rections differentes pour toutes de pour chacune , mais:;
encore, que. fi les directions de ces cordes font données-:

' r*Y'

5 41 N Cfd V Ef. L E

répandues en plus d’un demi-cercle ou d’une demi-
fphere , dont ce nœud commun foit , le centre : les pui£.
lances qui y feront Yucceffivement appliquées, peuvent
être entr’elies en une infinité de rapports différons., & ce-
pendant faire toujours équilibre entr’elies fuivant ces
mêmes directions , excepté lorfqu'ibn’y en a que quatre
en plus d’une demi-fpfiere : le premier fe voit dans les
; Corol. z. 3 . le fécond dans les Corol. 4. 5,.= de forte que
: iuivant ces quatre Corollaires tant de puiiTances données
qu’on voudra au delTus de trois , peuvent faire équilibre
! entr’elies fuivant autant de directions variées à l’infini 4
êe réciproquement tant de directions qu’on, voudra étant
données répandues en plus d’un demi-cercle ou d’une
demi-fpfiere , autant de puiiTances de rapports - variez à
l’infini , peuvent faire équilibre entr’elies Iuivant ces me-,
mes directions , excepté lorfqu’il n’y en a que quatre en
plus d’une demi-fpfiere , de rapport des puiiTances étant
invariable en ce cas, ainfi qu’on le verra dans lcProbl.p,
de la Section I.

C O R O L L A 1 R E V 1 1.

S’il n’y a que trois puiiTances P , Q_, R. , qui rëfiitent au
poids K avec trois. cor des feulement AP, AÇf_, AR , di-
rigées à volonté fuivant differens plans , du nœud corn-
; .mun A de ces cordes auquel elt aulîx attachée , celle du
poids K , foient prifes fur elles- des parties AB , AC, AE ,
proportionnelles à ces trois puiiTances P, Cf_, R, qui leur
font appliquées j de ces trois proportionnelles AB, AC.,
A E, comme cotez, foit fait le parallélépipède B.A CFDHEG,
avec fa diagonale AD.

i°. Il fuit de la part. i,. de ce Tfiéoreme-ci , que fi le
poids K demeure aiiifi en équilibre avec les trois puiiTan-
ces P , Q^, R ; , lÈéffort refuitant du concours de ces trois
puiiTances fera toujours fuivant la direction KA de ce
poids en fens contraire ,& égal à fa pefanteur. JVIais le
parallélogramme ABPC étant ( Hyp.) fait de deux AB ,
A C, des ..trois proportionnelles Ab ? AC,, AE j.Sc leparafi

IV,

. “C \

M E C A N I QJJ E* 143

lèlog ranime AEDF fait enfuite ( Hyf. ) de la diagonale AF
de celui-là , .& de la troifiéme proportionnelle AE j cet
effort refultant du concours des trois puiffances P, Q^,
R, contre le poids K, doit fe faire ( Lem. 3 . Corol. 1 o. ) de
A versD fuivant la diagonale AD de ce dernier parallélo-
gramme & tout à la fois du parallelepipede BACFDHEG ,
doit ( en cas d’équilibre entre le poids K &; les trois puif-
fances P, Q^, R., ) être en ligne droite avec la direction
AK du poids K, c’eft-à-dire, qu’alors cette diredion KA
prolongée doit paffer par l’angle D de ce parallelepipede.

2 0 . Il fuit aullî de la part. 2 . de ce Théoreme-ci, qu’en
ce cas d’équilibre entre le poids K & les trois puiffances
P , Q_, R , ce poids doit être à chacune de ces puiffances,
comme la diagonale AD du parallelepipede B ACFDEIEG
eff à chacun de fes trois cotez AB , AC , AE , pris ( Hyp. )
fur les diredions de ces trois puiffances 5 puifque l’effort
refultant de leur concours contre ce poids , lui ( wmb. 1 . )
eff égal , & eff ( Lem, 3 . Corol. 10. ) en cette raifon à cha-
cune de ces trois puiffances.

3 °. Il fuit réciproquement de la part. 3 . de ce Théore-
me-ci , que ff la diagonale AD du dernier des deux pa-
rallélogrammes ABFC , AFDE , ou du parallelepipede
BACFDHEG , eff en ligne droite avec la diredion AK
du poids K , c’eft-à-dire , fi cette diredion KA prolongée
paffe par l’angle D de ce parallelepipede , ôc que ce poids
foit à chacune de ces trois puiffances P , Q_ , R , comme
la diagonale AD de ce même paralleftpipede eff à cha-
cun de fes trois cotez AB , AC , AE , pris fur leurs di-
redions 5 ces trois puiffances foûtiendront enfemble ce
poids en équilibre avec elles : puifque ( nomb . r. ) l’effort
refultant de leur concours contre ce poids , lui fera dire-’
dement contraire ôc égal.

C or ollaireVI IL

Les trois puiffances P,Q^_, R, tirant encore contre le
poids K comme dans le précèdent Corol. 7. avec des di-
redions. quelconques dans des plans differens , fur le (quel-

■

ri-

244 N 0 U V É L L E

les depuis le point A de leur concours , foient encore pri-
fles AB , AC , AE , AD , proportionnelles à ces puiflance,s
P, Q^_, R & à.ce poids K. - *

1 °. En cas d’équilibre entr’elles .& lui , fa dire&ion
paflera par le centre de gravité de la bafe BCE d’une py-
ramide triangulaire BCED , qui aura fes quatre angles
B , C, E , D -, aux extrêmitez des proportionnelles AB.,
AC , AE , AD , de ces trois puiflances P , Q__ , R., & du
-poids K. Car fi l’on mene la droite EF par le milieu F de
BC , .le Corol. 5 . du.Lem. .1 i.fait voir que l’efFort ré-
sultant du concours de ces trois puiflances P , Q_, R,
doit fe faire fui vaut une ligne AG, qui divife EF en G
de maniéré qu’elle .rende EG. GF:: x. 1. c’efli-à-dire
( Déf 1 7. ) .en un point G, qui foit le centre de gravité
de la bafe BCE de la pyramideBGED, Mais en cas d’équi-
libre entre le poids K .& les trois puiflances P,, Q^_, R , la
direction AK de ce poids ., doit êtr.e ( part. .1, ) en ligne
droite avec la direction AG de l’effort refultant du con-
cours de ces mêmes puiflances. Donc cette direction KA
•ou DA prolongée du poids K., doit alors auflî pafler par
■le centre de gravi- é G de la Bafe BCE de la pyramide
BCED , & confequemment auflî {Dcf. 17.) par le centre
de gravité de cette pyramide elle-même.

i°. En ce cas d’équilibre le nœud ou point commun A
des quatre cordes ou directions AP , AQf_, AR , AK , des
puiflances P , Q^_, R, & du poids K, fera dans le centre
de gravité de cette pyramide BCED. Car la part. 3 . fait
^voir qu’en ce cas d’équilibre entre le poids K & les puif-
lances P , Çf_, R , ce poids eft à chacune d’elles comme
3 xAG efl: à chacune de leurs proportionnelles Alf, AC,
AE. Mais( Hyp. ) ce poids eli auflî à chacune de ces puif-
fances , comme AD eft à chacune de ces mêmes propor-
tionnelles correfpondantes,. Donc en ce cas d’équilibre
l'on aura AD'~3 xAG ; & confequemment la droite DG
fera divilée en A de maniéré qu’on aura AD. AG : : 3.1.
Donc cette droite paflant auflî pour lors ( nomb. 1 . ) par
k .centre de gravité delà bafg BEC de la pyramide BECD,

le

I, \ . .

i ' ’y‘ ' \

M I C Ai I QJJ E. l-4f

: 1 e point À fera alors ( Défi . 7.) le centre de gravité d©
cette pyramide elle-même.

3 0 . Réciproquement fi le nœud ou point commun A
des cordes ou directions des puilfances P, Q^, R, & du
poids K , eft le centre de gravité de cette pyramide
BECD 5 fie que ces trois puilfances & ce poids l'oient en-
tr’eux comme les diltances AB, AC, AE, AD, de. ce
centre A aux angles B , C , E , D , de cette pyramide 5 ces
puilfances P , R , & ce poids K , dirigées fuivant ces

lignes , feront en équilibre entr’eux. Car fi A elt le centre
de gravité de la pyramide BCED , l’on aura ( Déf. 17. )
non feulement AD. AG : : 3.1. mais encore EG. GF.: : 2 .
l. Et BF— FC. Ce qui fait voir que non feulement on
aura ici AD~3xAG 5 mais encore que G y fera {Déf.
î 3 . ) le centre principal d’équilibre des puilfances P , Q_,
R , entr’elles. Or ( Hyp. ) le poids K eli à chacune de ces
puilfances P, Q^, R, comme AD ell à -chacune de leurs
proportionnelles AB, AC, AE. Donc ce poids ell aulfi à
chacune de ces trois puilfances comme 3 xAG à chacu-
ne de ces mêmes proportionnelles correfpondantes. Donc
fa direction AK ou AD étant ici ( Hyp. ) en ligne droite
avec AG , & G étant le centre principal d’équilibre de
ces trois puifiances P , , R , entr’elles , ce poids K

doit ici (part. 4. ) demeurer en équilibre avec elles.

Cela fe peut encore démontrer indépendemment de
la part. 4. Car puifque l’hypotliefe donne ici EG. GF : :
z. i. & BF~FC , avec AB, AC , AE , proportionnelles
aux trois puifiances P , R , agiflantes fuivant ces li-
gnes ; l’effort réfultant de leur concours , fera {Lem. 1 1 .
Corol. 5 . ) de A vers G fuivant AG , & à chacune d’elles
comme 3XAG à chacune de leurs proportionnelles cor-
refpondant es. Mais le poids K ell: aulfi ( Hyp . ) à chacu-
ne dè leurs trois puilfances P , Qj R , comme AD ell: à
chacune de ces mêmes proportionnelles AB , AC , AE j
de plus l’hypothefe vient de donner AD— 3 x AG.
Donc ce poids elFici égal à l’effort fuivant AG , reful-
Æant du concours des trois puilfances P , , R , Donc la.

r*ï

146 Nlufmi

direction AK ou AD de ce poids étant ici ( Hyp. ) en IL
gue droite avec la direction AG de cet effort en fens
contraire 5 ce poids K doit ici ( ax. 4. ) demeurer en équi-
libre avec cet effort, c’eft-à-dire , avec les trois puiffan*.
ces P , Q, R j du concours d’aClion defquelles cet effort
refaite.

4 0 . Réciproquement encore fl trois puiffances quel-
conques P , Q^, R , & un poids K aufli quelconque ,
font équilibre entr’eux fui vaut autant de cordes ou di-
rections AP , AQ^, AR, AK, qui du centre A de gra-
vité de quelque pyramide triangulaire BCED que ce
foit , paffent par les quatre angles B, C,E,D, de cette
pyramide j ces trois puiffances P Q__, R , & ce poids K
feront entr’eux comme les diftances correfpondantes de
ce centre A à ces quatre angles. Car fi cela né toit pas, .
foit ( filon veut) le poids K aux puiffances P , Q^_, R,
comme AD à AL, ÂM, AN, quels que foient ces rap-
ports. Le nomb.. ï . fait voir que dans le cas prefent d’é-
quilibre entre ce poids & ces trois puiffances, le nœud
ou concours A de leurs cordes ou directions , fe trouve-
roit au centre de gravité d’une pyramide triangulaire ,
qui auroit fes quatre angles ou lés quatre pointes aux
extrêmitez D , L , M > N , de ces quatre proportionnel-
les. Mais on fuppofe ici ce nœud ou concours A des
cordes ou directions des puiffances P , Q , R , & du poids
K , au centre de gravité de la pyramide BCED. Donc
ces deux pyramides auroient le même centre de gravité
A , & la même pointe D 5 ce que la Déf. 1 7 . fait voir aux
moindres Géomètres être impoflible. Par confequent dans
la. prefente hypotliefe d’équilibre entre les trois puiffan-
ees P , Q^, R , & le poids K , fuivant des directions qui
du centre de gravite A de la pyramide BCED paffent par
les quatre angles de cette pyramide > il eft pareillement
impoflible que ces trois puiffances P, Q_^, R, & ce poids.
K , ne foient pas entr’eux comme les diftances correfpon-
danres AB AC , AE , AD, de ce centre à ces angles*.

: *47

t V

k-'r

'T'E c A N I 0.Ü e;
Corollaire IX.

'Les Corol. z. 3,. 7. font voir en Ge'ométrie qu’il peut y *
avoir une infinité, de parallelepipedes , dont les trois co-
tez contigus & la diagonale qui part du concours ou de
l’angle foiide fait des trois plans qui paffent par ces trois
cotez , feraient les mêmes dans tous. Car les puiffances F 1 a, S4
P j Q__, R, K, fuppofées en raifon des grandeurs données
.AB , AC, AE, AD, pouvant avoir une infinité de di-
rections differentes AP, AQ^, AR, AK , en differens
plans, & cependant ( Corol. 2.3.) faire toujours équili-
bre entr’elles fur le point A concours ou nœud de ces
directions ou de ces cordes , fur lefquelles font données
les proportionnelles AB , AC , AE , AD j trois quelcon-
ques AB , AC, AE., de ces quatre proportionnelles pour-
raient être les cotez d’une infinité de parallelepipedes
BACFDGEH differens félon la variété infinie des angles
quelles feraient alors entr’elles autour du point A dans
differens plans de forte qu’alors la puiffance K ferait
aux trois autres P , Q^, R , comme la quatrième pro-
portionnelle AD ferait à ces trois cotez AB, AC, AE ,
de chacun de tous ces parallelepipedes. Mais cette puif-
fance K 1 er oit auflî pour lors ( Corol. 7. nomb. z.) à ces
trois autres P, Q^, R, comme la diagonale qui pafferoit
par l’angle A de chacun de tous ces parallelepipedes,
ferait à ces trois cotez AB , AC , AE , les mêmes pour
tous. Donc la diagonale par A feroit dans tous égale à
AD j & confequemment ils auraient tous la même dia-
gonale & les mêmes cotez parce point A. Ce qu’on voit
de la proportionnelle AD par rapport aux trois autres
AB, AC,AE, fe démontrera de même de chacune de
celles-ci par rapport à celle-là &; aux deux autres. Donc
:il peut effectivement y avoir une infinité de parallelepi-
pedes., dont les trois cotez contigus, &. la diagonale qui
paffe par leur concours ou angle foiide, feraient les mê-
mes dans tous., quelle que foit celle de ces quatre lignes

: î 4& N o u v

données , qu’on veuille en être la diagonale communs
qui pafle par le concours des trois autres. .

. Corollaire X.

Les Corol. z. 3. 8. font voir de même en Géométrie
qu’il peut auffi y avoir une infinité de pyramides, triangu-
laires differentes , qui ayent toutes les mêmes diftances
de leurs quatre angles à leur centre de gravité , quelles
que foient ces quatre diftances données. Car les quatre
' 6 i’ puiffances P , Q^_ > R. , K , fuppofées en raifon de AB , AC,
AE , AD , pouvant avoir une infinité de directions diffe-
rentes, & cependant ( Corol. 2 . 3 .) faire toujours équili-
bre entr 'elles j c’eft-à-dire , leurs quatre cordes ou dire-
ctions AP, AQ^ , AR , AK , pouvant faire entr 'elles une
infinité d’angles differens en differens plans autour de
leur nœud ou point commun A , fans cependant empê-
cher ces quatre puiffances P , Q^, R , K , de faire équi-
libre entr’elles -, leurs mêmes proportionnelles AB , AC,
AE , AD , prifes fur ces directions depuis ce point A ,
alors fixe & immobile , pourraient alors fe terminer aux
quatre angles de chacune d’une infinité de pyramides
BCEû differentes félon la variété infinie de ces angles
autour de ce point A. Ainfi il pourrait y avoir une in-
finité de. telles, pyramides dont chacune aurait alors ces
quatre proportionnelles, de longueurs données , pour di-
ftances des quatre angles à ce. point A.. Mais ( Corol. 8.
nomb. z . ) ce point A ferait auffi pour lors le centre de
gravité de chacune de toutes ces. pyramides. Donc il
peut y avoir une infinité de pyramides triangulaires dif-
ferentes , lefquelles ayent cependant toutes les mêmes
diftances AB , AC , AE , AD , de leurs quatre angles à.
leur centre de gravité.

S c h o l 1 E„.

A l’occafion des deux derniers Corol. y. 10. voici
prefentement comment la Géomètre feule prouve enco-
re ce que la Mécanique vient d’y donner. Voici.,, dis-je,

r

Ê L L

MEC A N I QJJ E 1 4.9-'

comment on peut cou (traire une infinité de parallélépi-
pèdes , qui ayent tous lès mêmes cotez contigus avec la
même diagonale menée par le concours de ces cotez 3
Si une infinité de pyramides triangulaires , .qui ayent
toutes lés. mêmes diitances de leurs quatre angles à leur '
centre dé gravité.

I; Pour conltruire une infinité de parallélépipèdes dif-
férais , dont les trois cotez contigus, & la diagonale me-
née par leur point de concours ou angle foiide , foient
cependant les mêmes dans tous , par exemple , égaux
dans chacun d’eux tous à quatre lignes données de gran-
deur V ,X, Y , Z, doit un angle reétiligne quelconque Fi
BAC, dont les cotez BA, AC >. foient pris égaux à deux 6fi -
quelcon pies V ,X, de ces quatre lignes données 3 après
en avoir fait le parallélogramme BACF , foit fur la dia-
gonale AF , dans un autre plan quelconque un triangle
ADF , dont les cotez F D , AD , foient égaux aux deux
autres Y , Z , de ces mêmes lignes données 3 foient enfin
achevez les parallélogrammes AFDE , EACG , DFCG,
DFBH.

Cela fait , il eft vifible que Ion aura un parallélépipè-
de BACFDGEPi , dont les trois cotez contigus AB , AC,
AE , .feront égaux aux trois lignes données Y , X, Y , Si
la diagonale AD égale à la quatrième Z de ces mêmes
lignes données. Où voit dé plus que la variabilité infinie
de fon angle arbitraire BAC , & confeq u emmént aufil
de fts autres angles , le peut varier à l’infini , fans en va-
rier les cotez AB , AC , AE , ni la diagonale AD , c’eft-a- -
dire, ces quatre lignes y demeurant toujours égales aux
quatre données V , X , Y , Z , chacune à chacune. Donc
on peut ainfi faire une infinité de parallelepipedes diffé-
rais qui auront tous les mêmes cotez contigus , & la mê-
me diagonale menée par le concours de ces cotez 5 St mê-
me ces quatre lignes égales dans tout à quatre données -
quelconques.

1 1 . Pour conftruire aufiî une infinité de pyramides
triangulaires differentes, dont les diitances de leur cem>-

T :i J

ï 50 K O U V E L L E

tre de gravité à leurs quatre angles , foient neanmoins
les mêmes dans toutes , par exemple,, égales dans toutes
ces pyramides à quatre lignes quelconques données V ,,
a- 66. X , Y , Z j foit encore à volonté un angle rectiligne
quelconque BAC , dont les ..cotez BA, AC, foient pris
égaux à deux quelconques V , X , des quatre lignes don-
nées s après ,en avoir fait encore le parallélogramme
B ACF ., foit encore auffi fur fa diagonale AF dans un au-
tre plan quelconque le triangle ADF , dont les cotez
FD , AD , foient égaux aux deux autres Y , Z , de ces
quatre dignes données ; enfin après avoir achevé le pa-
rallélogramme AFDE , loir prife A.K— AD fur fa diagona-
le DA prolongée dmcoté de K.

Cette con llruction , fuivant laquelle on voit que la py-
ramide triangulaire BCEK, dont les quatre angles feront
en B j C , E , K., aura les quatre lignes. AB, .AC, AE, AK,
égaies aux quatre données V,X , Y , Z ., donne aulïî A
pour le centre de gravité de cette pyramide. Car h l’on
mene la droite BC , & par fon milieu Fd encore une au-
tre droite EH , laquelle rencontre en G la diagonale AD;
les triangles DGE, ADH , que le parallélogramme AFDE
rend femblafles, donneront EG. GH; ; DE, AH : : AF,
AH : : % . 1 . Donc ayant déjà ( Hyj>. ) BH— .CH , le point G
fera ( Déf 16.) le centre de gravité de la bafe BCE de la
pyramide BÇEK ; & con.fequemment ( Déf, 17. ) le cen-
tre de gravité de cette pyramide elle-même , fera dans la
droite G K, Or les triangles ( conflr. ) femblables DGE ,
ADH, donnent auffi DG. AG: : DE. AH: : AF, AH: :
.2. 1, Et ( eneompofant ) AD. AG : : 3 , 1, Mais ( conflr . )
,AK—AD. Donc auffi AK, AG:: 3.1. Par confequent
.ayant déjà G pour le centre de gravité de la bafe BCE
de la pyramine BCEK , le point A fera auffi ( Déf 17.)
;le centre de gravité de cette pyramide elle-même. Donc
les diftances A.B , AÇ , AE , AK , de ce point A aux qua-
tre angles B , C, E,K , de cette pyramide ayant déjà écé
trouvées égales aux quatre lignes données V , X, Y, Z;
les diffiances de fon centre de gravité à ces quatre au»

C? \ \

C 4

t -*'• ' >,

Me c a n' i qju e. 1 5 1? ? '

criés > feront égales à ces mêmes lignes- données chacune
à chacune. Or il elt manifefte que la variabilité infinie
de l’angle arbitraire BAC , laquelle ( conjtr. ) doit en pro-
duire de pareilles dans tous les angles qu’on voit autour
du point A , fans rien changer aux-diftances AB, AC,

AE , AK de lui aux quatre angles de la pyramide BCEK,
doit autll varier cette pyramide à l’infini, fans rien chan-
ger aux: diftances de lès angles B , C , E ,K , à fou centre
A de gravité. Donc on peut airîfi faire une infinité de
pyramides triangulaires ,. qui auront toutes les mêmes di-
fiances de leur centre de gravité à leurs quatre angles,

& ces diltances toujours égales à quatre lignes données
quelconques , chacune à chacune.-

III. Il-elt vrai que pour les conftrucKons précédentes

[art. 1.2.) il faut que la diagonale AF fe trouve tou- 66 ‘ 67 ~'
jours moindre que la fonime des lignes FD , AE, c’eif-à-
dire , moindre queFD— f-AD , ou ( confir. ) Y— F Z j autre-
ment le triangle ADF fer oit impofljble , & confequem-
ment auflî les parallelepipedes & les pyramides des art.

I . 2. Mais cela n’empêche pas qu’il n’en refie encore une
infinité de pofîîbles 5 l’accroilfement continuel de l’angle
arbitraire BAC pouvant diminuer à l’infini cette diago-
nale AF julqu’à la rendre plus petite en une infinité de
rapports que FD— FAD , à moins que la différence de
AB , AC , ne fut égale ou plus grande que cette fonirne :
auquel cas il n’y auroit qu’à prendre ces cotez AB , AC,
de l’angle initial arbitraire BAC, égaux aux deux moin-
dres des quatre lignes données 5 ou plutôt il n’v auroit
qu’à les prendre toujours ain fi , êc alors les paraiielepipe- -
des & les pyramides des art.. 1.2. feront toujours pofîl-
bles & differens à. l’infini félon la variabilité infinie de
cet angle arbitraire BAC , laquelle pourra rendre AF-
toujours plus petite à l’infini que FD—fAD égale ( Hyp.)
à la fomme des deux plus grandes des quatre lignes don- -
nées.

IV. Pour la même raifon fi les puiflances P, Q^, R, Fl
S, K , ôcc, appliquées aux cordes AF, AQ, , A R ,.AS , AK é h

/ T

1 5-1 Nouvelle

êec. dans les Fig. 60. 61. du prefeiït Th. 4. etoientdon-
nées en raifon des parties quelconques .AB, AC , AE„,
AF, AD, &c. .de- ces. cor des, & qu’il s’agit de les diriger
de maniéré à mettre toutes ces piiilFànces en équilibre
entr’elles : quoiqu’on y pût réullir en prenant au ha-
sard AB., AC, pour en faire le premier parallélogram-
me BACH 5 enfuite AE. encore au hazard pour en faire
avec Ai. le fécond parallélogramme H AEG j ôc ainfi
des autres : il feroit cependant plus fur , & même il le
feroit toujours de commencer par les moindres de ces
proportionnelles données, & défaire leurs angles entre-
, elles au point A , alfez grands ( plus ils le feront , tant
mieux ) pour rendre .la penuldéme diagonale moindre
que la fomme des deux plus grandes proportionnelles re-
fervées pour être l’une diagonale , 6e l’autre un des co-
ïtez du dernier des parallélogrammes .précedens , lequel
doit avoir cette pénultième diagonale pour fon autre
côté. Par exemple , fuppofé que les précédentes propor-
tionnelles données AB , AC , AE , ÂF, AD , Sec. foient
ici rangées de manière que les hiqiiidres y précèdent par
tout les plus grandes , il faudrait prendre les deux pre-
mières , c’e h- à-dire ( Hyp. ) les deux moindres AB,, ÂC,
pour en faire le premier parallélogramme BACH 5 de fa
diagonale AH, 8c de la troiféme proportionnelle AE
faire le fécond HAEG 5 de fa diagonale AG , & de la
quatrième proportionnelle fairele troiféme j & ainfî de
fuite jufqu’à l’antepenùltiéme proportionnelle in.cluf ve-
inent , laquelle foit ici AE. De cet.te maniéré la pénul-
tième diagonale AG fera toujours moindre que la fom-
me AF — J- AD des deux plus grandes & dernier es des
.cinq proportionnelles ici données , à moins qu’on n’eût
pris les angles BAC, HAE, trop petits : auquel cas il n’y
a qu’à les augmenter , & faire enfuite les parallélogram-
mes précédais , pour rendre cette pénultième diagonale
AG moindre que la fomme des deux dernieres propor-
tionnelles reliantes AF , AD , ou GD , AD , en prenant

dkn

GD— "AF 5 defquellcs GD > AD, ôc de la pénultième

;§°

! \

'S ■*!

M Ë C À N I Q_U E. ï-55 ,

üronale AG , on pourra toujours alors faire le triangle
ADG 5 & confequemment aufli le dernier parallélogram-
me A GDF , qui aura AG, AF pour cotez, & AD pour
.diagonale : ce qui étant, la part. 4. du prefent Th. 4.
fait voir que les puilTances-données P .., R , S , K , fe-
ront en équilibre entr’elies en les dirigeant ainfi fuivant
AB, AC, AE , AF, DA , au lieu que fi la pénultième
.diagonale AG étoit égale ou moindre que la fomme des
deux dernieres proportionnelles AT , DA , le triangle
ADG feroit impoflible , aufli-bien que le dernier parallé-
logramme A GDF j & par confequent ( part. 2 . Th, 4. )
l’équilibre entre les puiflances données feroit pareille-
ment impoflible fuivant les directions qu’elles. auraient
alors.

V. Pour appliquer aux Fig. 6 2 . 6 3 . ce qu’on voit des
Fig. 6 o. 61. dans le précèdent art. 4. il faut confiderer * 3 ’
dans la part. 4. du prefent Th. 4. que pour mettre en
équilibre dans les Fig. 62. 6 3 . les puifiances données P,

QA R. , Su, K, dont les proportionnelles foient AB , AC,

AE, AF, AD j il faut (.en commençant par les premiè-
res ) que G foit le milieu de BC 5 que GE doit divifée en
H de maniéré qu’on ait EH. HG : : 2.1. Que HE foit di-
vifée 'en L , de maniéré qu’on ait FL. LH : : 3 . 1 . Tout
cela en forte qu’il en refulte 4X.AL à AB , AC, AE, AF,
comme la puiflance K efi aux autres P , Q^_, R , S ,

.& diriger enfuite la puiflance K fuivant LA prolongée
vers K, & les autres P, Q^_, R , S , fuivant AP, AQ^_,

AR , AS. Donc la puiflfance K étant ( Hyp. ) à celles-là P ,

Q__, R, S , comme AD efi; à .AB, AC , AE, AE 3 il faut
pour cet équilibre 4X AL— AD , laquelle en ligne droite
avec KA , foit ( Corol. 1 .) diagonale par A du dernier
des parallélogrammes faits dans le précèdent art. 4. Et
confequemment pour cet équilibre il faut que AL , di-
fiance (.Déf 13. ) du nœud A au centre principal d’é-
quilibre entre les quatre puiflances P , , R , S , foit ici

;!e quart de cette derniere diagonale, & que la puiflance
A foit fuivant leur direction commune à contr.e-fens de

V.

V

j ^4 Nouvelle

ce qu’elles font enfemble d’effort fui vaut cette direction,
La part. 4. du prefent Th. 4. fait voir qu’en general fui-
yant le Corol 4. nomb. z. du Leur. 1 1. fl m étoit le
nombre quelconque de ces puiflances données , cette
diftance du nœud A au centre principal d’équilibre de
toutes , moins une > devroit être égale à la derniere dia-
gonale divifée par m - — 1 , pour pouvoir être toutes en
équilibre entr’elles autour de ce nœud commun A de
leurs cordes 5 & eonfequemment dans le cas prefent de
cinq puiflances , pour leur équilibre entr’elles la diltan-
ce AL doit être égale à la derniere diagonale divifée
par 5*— 'i , c’eft-à-dire , par 4 , ainfl qu’on le vient de
dire. Donc pour mettre ici en équilibre entr’elles tant de
puiflances données qu’on voudra fans faire aucun pa-
rallélogramme , il y faut obferver tout ce qu’on a mar-
qué dans l’art. 4. pour les y mettre par le moyen des pa-
rallélogrammes ; c’eft-à-dire , que pour mettre plus prom-
tement & fûrement en équilibre les puiflances. données-
P? Q » R. j S , K, &c. fans faire aucun parallélogramme,
il faut commencer ( comme dans l'art. 4. ) par les moin-
dres d’elles , ou par les moindres de leurs proportionnel-
les AB , AC , AE , AF , &c. qu’il faut diriger toutes , hors
la plus grande refervée pour la derniere , de maniéré,
qu’elles faflent des angles allez grands entr’elles pour
arriver fûrement à l’équilibre requis.

Par exemple, fl dans l’ordre qu’on les voit ici , les.
moindres font les premières , en forte que les plus gran-
des y foient par tout après les moindres , il faut com-
mencer par un angle allez grand ABC fait des deux
premières AB , AC ,. & divifer également en G la bafs
BC j de ce point G par l’extrémité E de la troifiéme pro-
portionnelle AE, mener la droite GE, qu’il faut divifer
en H* de maniéré qu’on ait- EELHG : : z.. 1. De ce point
H par l’extrémité F de la quatrième proportionnelle A F,,
mener la droite HF, laquelle doit être divifée en L,.dè
maniéré qu’on ait FL. LH : : 3 .. r. Et ainfl de fuite fui-
vaut le Corol. i„.duLem. 1 1. comme dans la., démonftra^

% ■'

0

Mecinï o.tr E. 1 5 5

vâofl de la part. 3. du prefent Th. 4. jufqu’à la plus
grande exclulivement de ces proportionnelles ou puif-
. lances , refervée pour la derniere » laquelle foit ici K.

Après cela il faut diriger toutes les puilfances P , Q^,R,

S , fuivant leurs proportionnelles AB , AC , AE , AF *
ainli placées , & la plus grande K referve'e pour la der-
nière , fuivant LA , dihance du nœud commun A de
leurs cordes au dernier point L de divilîon , lequel fera
( Déf 13.) le centre principal d’équilibre de toutes les
puilfances P , Q^, R 5 S , hors de la derniere K : alors
4 xAL fe trouvant à AB., AC , AE , AF , comme la
puillance K dirigée fuivant LA , eh aux autres puilfan-
ces P, Q^.j R., S, dirigées fuivant AP, AQ^, AR, ASî
la part. 4. du prefent Th. 4. fait voir que toutes ces
puilfances ainli dirigées feront alors -en équilibre entre-
elles 3 & ainli de quelqu’autre nombre m de puilfances
données que ce foit, dirigées de maniéré que le produit
•de m * — 1 par la dihance du nœud commun A de leurs
-cordes au centre principal d’équilibre de toutes ces puif-
iances , moins une , foit à .chacune des proportionnelles
-de celles-là , comme cette exceptée eh à chacune d’elles,

THEOREME Y,

La confirucHon demeurant la même que dans les démon- f i ^
ff, rations des part. 1. 3. du precedent Th. 4. fi les cordes AP, «9*
Ajép_, A R , AS -, (fie. avaient chacune plufieurs branches ,

, chacune de ces branches encore plusieurs autres , (fi ainfi juf-
qu a tant de branches qu on -voudra de chacune d'elles s qu'au
dieu d'être tirées par les pui fiance s P , Jfi, R, S , é"c. com-
me dans ce Th. 4. leurs dernieres branches /’ étoient toutes par
■> autant d'autres puijj’ances , en quelque nombre qu elles fuffent :

Tout le contenu du précèdent Th. 4, en feroit encore vrai >

.ff -avoir ,

I. Jfiuen cas d'équilibre de toutes ces puiffances avec le
qpoids K j l'effort rejultant de leur concours d' action contre lui s
finit toujours fuivant la direction K ri de ce poids en fins con~
traire <fi égala fa pe fauteur,

•Vÿ

t J"

r<

T 5 £ Nouvelle

I L fiue ce poids j K ainfi fou tenu pay toutes ces puijj dru
tes en équilibre avec lui, ferait aufii toujours h chacune dl el-
le s comme la diagonale du dernier des parallélogrammes faits
en A comme dans la démonjira tion r . de la part. z. du Th. 4,
feroit a chacune des proportionnelles de ces mêmes puiffanceSi.

III. fine dans cet équilibre du poids K avec toutes ces puifi
fances , fi l’on appelle m le nombre des cordes ( quel qu’il foit)
dont A ejl le nœud communs ce poids K fera auffi toujours à
chacune de ces puiffances , comme le produit de m 1 — 1 par la
di (tance de ce nœud A à leur centre principal d’ équilibre , fera
h chacune de. leurs proportionnelles ...

I V. Réciproquement que fi ce poids ejl a ces pui fiance s en
celle quon voudra des deux ras fins ici marquées dans les
part, z . 3 • df qu’il fioit directement contraire a l’effort refultant
de leurs concours , il fiera en équilibre avec elles.

Démons t:r a t ion.

Part. Il Cette part. 1. fe démontrera de même que
la part. 1 . duTh. 4. les nomb. 1 . 2. 3 . du Corol. z. du
Lem. 3 . faifant pareillement voir ici qu’en cas d’équilibre
entre le poids K & 1 ’efFort refultant du concours de tour
ce qu’il peut y avoir ici de- puiffances qui lui foient ap-
pliquées à l’extrémité d’âutant dé brandies de cordes j cet
effort doit être directement' contraire à ce poids -, Se égal
à fa pefanteur. Ce qu’il fialloit 1 G .démontrer.
s. es. Part. IL Sila corde, par exemple AP, avoir plu fleurs
branches PX , P Y ,.PZ , &cc. iffues d’un même nœud P r
aufquelles fuffent appliquées autant de puiffances X , Y,
Z-, &c qui fuffent entr’elles comme les parties PO , PT ,
P.V , Sec. de ces branches , prifes depuis leur nœud coin-
mun P j que de deux quelconques PT , PV , de ces pro-
portionnelles on . fît le. parallélogramme- TV 5 qui de fa-
diagonale PM , & d’une troifiéme auffi quelconque PO'
de ces proportionnelles , on fît le parallélogramme MO j
que de- fa diagonale PN , & d’une quatrième encore quel-
conque de. ces mêmes proportionnelles , on fît de même
'an autre parallélogramme ,. &, . ainfi jufqu’à la dernier e.

M e c a n i qjj t . ï 57'

He Corol. i o. du Lem. 3 . fait voir que l’effort refultant du
eoncours des puiffances X , Y , Z , &c. qui répondent à •
toutes ces proportionnelles PO ,PT , PV , ôec. doit être à
chacune de ces puiffances comme la diagonale du demie»
des parallélogrammes précédons eft à chacune de ces
proportionnelles correfpondantes, De forte que s’il n’y a
( comme' ici ) que trois puiffances X, Y , Z , quiagiffenn
enfemble fur le nœud P , l’effort refultant de leur con-
cours fur ce nœud fuivant la diagonale PN , eft à cha~*
oune d’elles comme cette diagonale PN- eft- à chacune
de leurs proportionnelles PO, PT, PV. Donc la corde-
AP tirée par cet effort fuivant cette direction PN , laquel-
le fera ( part. 1 . ) en ligne droite avec elle , fera ainft tirée*
par le concours des puiffances X, Y , Z , comme ( firme,,
gener. ) par une feule puiffance P , dirigée- fuivant AP , & •
égale à cet effort refultant du concours de celles-là , c’eft-
à-dire, par une puiffance P, ainft dirigée , laquelle ( en !
prenant AB~PN ) feroic à ces. puiffances X , Y , Z 7 com-
me AB à leurs proportionnelles PO , PT, PV'. Donc auff -•
l’effort en A , refultant du concours des puiflances X , Y,
Z , Q^_, K ., S y fera ici le. même , & fuivant la même di-
rection , que celui qui y refultèroit du concours des puif- ■
fances P , Q^, R, S. Or en prenant AC , AE , AF, à' AB , -
comme les puiffances Q^_, R , S , font à la puiffance P , &,
en faifant.enfuite les parallélogrammes qu’on voit en A 5
comme dans la démon ft ration de la part. 2. du Th. 4,
Le Corol. 1 o ... du Lem. 3 . fait voir que l’effort refultant :•
du concours de ces puiffances P , Q^, R , S , feroic non >
feulement lùivant la diagonale AD du dernier AFDG de
ces parallélogrammes ainft faits en A s mais encore à cha- -
cune de ces mêmes, puiffances P , R , S , comme cet-

te derniere- diagonale AD à chacune de leurs proportion-
nelles AB , .AIL AE , AF, Donc l’effort en A , refultant ■
du concours des puiflances X , Y , Z , , R S , .eft auffi -

fuivant AD, 6e à chacune des puiffances P, Q__, R. , S 5 -
comme AD eft à AB , AC , AE , AF. Mais on vient de :
voir que P eft àX, Y , Z , comme AB eft à PO , PT,PV, ■

V-üj

-s 58 Nouvelle

Donc l’effort A refultant du concours des pùiffances X ;î
Y , Z, Q^_, R , ; S , eft non feulement de A vers D fui-
vant AD 5 mais encore à chacune de ces puillances com-
me cette diagonale AD du dernier AFDGdes parallélo-
grammes faits en A , eft à chacune de leurs proportion-
nelles PO, PT, PV, AC, .AE, AE. Or. la parc. 1. fait
voir qu’en cas d’équilibre entre ; le poids K.& toutes ces
puiftances , l’effort refultant de leur concours lui eft di-
rectement contraire & égal. Donc le poids K eft auffi
pour lors à chacune de ces puiftances X , Y , Z , Q^_, R,,
;S , comme la derniere AD des diagonales en , A , eft à cha-
.-cune de leurs proportionnelles PO , PT., PV , AC , AE.,
.AF.

On démontrera de la même maniéré quelque nombre
, de branches qu’on fuppofe auffi aux cordes ACftj. AR, 5
,AS , que le poids K en • équilibre' avec les puiftances ap-
pliquées aux extrémité?, de ce.s branches ,, au lieu des
•puiftances Q_, R, S , & avec celles des branches de la
icorde AP , au lieu de la puiftance P : que ce poids K
. ( dis-je ) en cas d’équilibre avec les puiftances ainfî appli-
quées aux extrêmitez de toutes ces cordes ou branches
,.de cordes , fera à chacune de ces puiftances , comme la
derniere AD des diagonales en A fera à chacune de leurs
proportionnelles. On démontrera de même , quelque
nombre de cordes qui partent du nœud A , quelque
«nombre de branches quelles ayent .chacune , quelques
branches qu’ayent encore celles-ci , & ainft jufqü’à tant
..de cordes qu’on voudra faire partir du noeud. A p & juf-
qu’àtant de branches qu’011 leur .voudra fuppofer à cha-
cune 5 que le poids K en équilibre avec toutes, les puiffan-
ues appliquées aux extrêmitez de toutes ces branches i5
fera toujours à chacune de ces puiftances , comme la dia-
gonale du dernier des parallélogrammes tfcs en A , ainft
.que dans la démonftration 3. . de la part, a . du Th. 4. fera
à chacune de leurs proportionnelles prîtes depuis les der-
niers nœuds fur les directions ou branches de cordes dp
gps ppiftances,» Cequilfalloit i°, démontrer,.

I

M E C A N I QJJ Eo - 15 5»

Part. III. La corde AP ayant encore pluff eurs bran- Fig, <s$-
dïes PX -, P Y , PZ , &c. iffues d’un même nœud P , auf-
quelles foient appliquées autant de puiffances X , Y, Z,

&c. qui foient entr’elles-comme les parties PO, PT, P Y,

&c. de ces branches prifes depuis leur nœud commun Pj
foit par les ex.tr êmltez T, V , de deux. quelconques PT,
PV,deces proportionnelles , 1 a droite TV j de Ion milieu
M par l’extrémité O d’une troisième PO de ces mêmes
proportionnelles , foit menée MO, laquelle foie divifée en
N de maniéré qu’on ait ON. NM : : 2. 1. Et ainff de fuite
ftiivant les Corol. 2- 3:. 4. du Lem. n. s’il y a voit ici plus •
de trois puiffances , ou plus de trois branches à la corde
AP. Le Corol. 5. de ce même Lemme 1-1. fait voir que
l’effort refultant du concours de ces trois puiffances X 5
Y y Z, fera ici de P vers N > & à chacune de ces puiffan-
ces comme 3 xfN eftà chacune de leurs proportionnel-
les PO , PT , P V . Donc la corde AP tirée de cet effort
ftiivant PN , qui fera ( part, 1 . ) en ligne droite avec elle 3
fera ainff tirée par le concours des puiffances X , Y , Z y
comme {princip. gener.) par une feule P dirigée fuivant
AP, & égale à l’effort refultant du concours de ces trois-
| là , c’eft-à-dire, par une feule puâffmce P ainff dirigée 3
: laquelle ( en prenant. AB— 3'xPN ) feroit à celles-là X 5 -
Y, Z , comme AB à leurs proportionnelles POjPTj.PV.

Donc auff l’effort en A , refultant du concours des puif- .
fances X , Y , Z , Q^, R , S ,. fera ici le même & fuivant
la même direction que celui qui y refulteroit du concours
des puiffances P , Q , R , S. Or prenant AC, AE , AE à ■

AB , comme Q^_, R , S , font à P j & en menant ( ainff. 1
que dans la démonftration de l’a part. 3 . du Th. 4.. ) par
les extrèniitez des proportionnelles AB,AC,AE,AF 3
premièrement la droite CB 5 fecondement de fon milieu
G la droite GE , laquelle foit divifée en H de maniéré,
qu’on ait EH; HG : : 2. r. En menant enfin HE divifée en 5
Lde maniéré qu’on ait FL. LH: : 3-. T. Le Corol. y. du 1
Lem. i l . fait voir que l’effort refultant du concours des
puiffances P , R, 5 , feroit non feulement fuivant AL r o

' ilëo W 'O U VE L L E

-mais encore à chacune de ces quatre puiffances , comme
4 xAL eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AQ,
ÀE , AF. Donc l’effort en A , reiultant du concours des
dix puiffances X , Y , Z , Q^_, R. , S , eft auffi fuivant AL,
!& à chacune des puiffancesP , Q^, R , S , comme 4XAL
.eft à AB , AC , AE , AF. Mais on vient de voir que P eft
A X, Y , Zi, comme AB eft à PO, PT, PY. Donc l’effort
en A , refui tant du concours des puiffances X, Y, Z.,
Q_, R , S , eff non feulement de A vers L fuivant AL
diftance ( Def 1 .3 . ) du nœud A au. centre principal L
d'équilibre de ces dix puiffances mais encore à chacune
d’elles , comme qxALeft à chacune de leurs proportion-
nelles PO , PT , TV., AC, AT, AF. .Or .la part. 1 . fait voir
qu’en .cas d’équilibre entre le poids K & toutes ces puif-
. lances, l’effort refultant de leur concours lui eft non feu-
lement directement contraire , mais encore égal. Donc ce
poids K. eft auffi pour dors a chacune de ces puiffances
X, Y , Z, Q^, R , S , comme 4XAL eft à chacune de
leurs proportionnelles PO , PT , PV , AC, AE , AF.

On démontrera de meme , quelque nombre m de cor-
des qui partent du nœud A , quelque nombre de bran-
ches qu’elles ayent chacune » quelques branches qu’ayent
encore celles-ci, & ainfî jufqu’à tant de branches qu’011
.voudra 5 que de poids K en équilibre avec toutes les puif-
-fances appliquées aux extrê miter de toutes. ces branches
chacune à chacune , fera toujours à chacune de ces
puiffances , comme le produit de m *— a par la diftance du
nœud  à leur centre principal d’équilibre eft à chacu-
ne de leurs proportionnelles. .Ce qu’il fallait §°. dé*
montrer.

Æx®. 4%. Part. I Y. Le poids K étant ainft fuppofé auxpuiffan*
A/x ces X , Y , Z, Q_, R , S , &c. appliquées .comme ci-
deffus en celles qu’on voudra des raifons marquées dans
•les part, x , 3 . il fera à ces puiffances ( .Coroi 10. du Lem. 3 .

Corol. 5 .du Lem. 1 1 . ) en même .raifon que l’effort ré-
sultant de leur concours d’action contre lui j 5 e par con-
séquent .ce

poids fera ici. égal a.cçt effort. Donc ,c.e meme

M: E "C A N S QJJ E. ï 6 I

poids K étant déplus ( Hyf.) directement contraire à ce
même effort, il doit ( Ax. 3 . ) demeurer en équilibre avec
lui , c’eft-à-dire , avec les puiffances X , Y , Z , Q^, R , S ,
&c. du concours defquelles cet. effort refulte. Ce quil fal-
loit 4 0 . démontrer.

C O R O LL A X R. E.

Quelque nombre de noeuds & de franches qu’ayent
i ici les cordes des Fig. 68.65). chacun de ces noeuds avec
les branches qui en naiffent pouvant être regardé com-
me celui des Fig. 60. 6; 1 . 6 1 . 6 3 .Avec ; les fiennes 3 il eft
.yifible que ce qu’on a conclu du Th. 4. par rapport aux
puiffances appliquées aux branches de celui-ci , fe peut
aulîi conclure du prefentTh. 5 . par rapport aux puiuan-
ces appliquées aux branches de chacun des nœuds des
Fig- 6 8. 65). quelque nombre de nœuds êc de branches à
chacun d’eux , qu’il y puiffe avoir. Donc,

i°. Tant.de puiffances données qu’on voudra ( en pre-
nant le poids K pour une ) appliquées À autant de bran-
ches de cordes, iffues de tant de nœuds qu’on voudra,
peuvent demeurer en équilibre entr’elles fuivant une in-
finité de directions differentes pour toutes & pour cha-
cune., pourvu qu’il y ait plus de trois branches à chaque
nœud. Cela fe prouvera.. comme les Corollaires z. 3. du
Théorème. 4,

2 0 . Réciproquement tant de ;; puiffarices qu’on, voudra,
appliquées encore à autant de branches de cordes , iffues
d’autant de nœuds qu’on voudra , peuvent changer de
-rapports en une infinité de maniérés , & cependant faire
toujours équilibre entr’elles fuivant les mêmes directions,
y étant fucceffivement appliquées, pourvu qu’il y ait en-
core plus de trois branches à chaque nœud. Cela le prou-
vera comme les Corol. 4. 5 . du Th. 4.

3 °. En cas d’équilibre , .chacun des nœuds où il n’y au-
roit que quatre branches répandues en plus d'une demi-
fphere,, fera toujours à un angle de parallelepipede , fui-
vant les trois cotez <k la diagonale duquel les quatre

0 -y r >■

A

7 6 Z N OU VF. L Er F

brandies de ce noeud feront dirigées j & les quatre puif-
fances qui y feront appliquées , feront , alors entr’elles
comme ces trois cotez & cette diagonale de parallelepi-
pede. Cela fe prouvera comme le nomb. 2. du Corel, y,
du Th. 4.

4 0 . Si ces quatre puiifances font ainfi dirigées, & en.
ce rapport entr’elles il y aura équilibre auffi entr’elles. .
Tout cela fe prouvera comme le nomb. .3 ..du Corol. 7. .
du Th. 4.

5 °. Chacun des noeuds où il n’y auroit encore que q na-
rre branches répandues en plus d’une demi-fphere -, fera
au centre de gravité d’une pyramide triangulaire , par
les quatre angles de laquelle ces quatre branches palfe- -
ront , en cas d’équilibre j ôc les puiifances qui y fe-
ront appliquées , feront alors entr’elles comme les milan

ces correlpondantes de ce centre de . gravité aux quatre
angles de la pyramide ; c’eft-à-dire , que ces puiflances
feront alors entr’elles comme les parties de leurs dire-
ctions ou de leurs cordes , comprilès entre ce centre &
chacun de ces angles. Cela fe prouvera, comme le nomb. .
z . du Corol. 8 . du Th. 4.

6°. Réciproquement h les quatre puiifances de cha-
que nœud , ainlî dirigées par le centre de gravité &;
par les quatre angles d’une telle pyramide, font entre- -
elles en ces rapports 5 elles feront aulîi pour lors équili-
bre entr’elles. Cela fe prouvera comme le nomb. 3 , du
Corol. 8,. du. Th. 4.

S c h o l 1 F. -

S’il fe trouvoit ici des nœuds de cordes, lefquels n’euf-
fe-nt que trois branches , le Th. 3 . part. 1. 2 . fait voir
qu’en cas d’équilibre entre les puiflances qui y feroient
appliquées , ce nœud feroit dans le centre de gravité
d’un triangle reétiligne > parles trois angles, duquel les
directions de ces trois puiifances pafler oient ; & de plus
que ces trois puiifances. feroient: alors entr’elles comme
les parties de leurs cordes ou directions ,comprifes entre

I

'M Ë C A NI QJJ E. ïé$

te centre 5 C chacun de ces angles , c’eft-à-dire , comme
les diftances de ce centre de gravité à chacun de ces
angles correfpondans.

Le Th. 3 . part. 3 . fait réciproquement voir que fi les
trois puiflances de chacun de 1 ces noeuds font dirigées
par le centre de gravité & par lés trois angles d’un trian-
gle rectiligne quelconque s que de plus elles foient entre-
- elles comme les diftances de ce centre à chacun de ces
angles correlpon dans j elles feront alors en équilibre en-
tr elles.

Pour des nœuds à deux branches feulement , le nom b,

.1. du Corol. z. du Lem. 3 . fait voir qu’il n’y en peut
avoir., & que ce qu’on prendrait pour deux branches,
fe dirigeroit bien-tôt en une j c’eft-à-dire , qu’elles fe
mettraient bien-tôt en ligne droite par l'action des deux
puiflances qui y feraient appliquées feules l’une contre
l’autre.

THEOREME Y 1 .

Soit encore le poids.lC foutcnu en équilibre partant de puif- ; ï 1 «-7®-
fonces P , , R , S , T, &c. qu on ‘voudra , appliquées k 7U

..autant de cordes AP , AJp^ , AR , AS , AT, &c. attachées
enfemble par un. même nœud A ,ér dirigées fuivant quel-
ques plans que ce foient : je dis prcjentcment que ce poids ainfi
en équilibre avec toutes ces puijjances , fera toujours a cha-
cune d'elles comme la fornrne de leurs fublimitez,,, moins celle
de leurs profondeurs ,, c ejl-k-dire , comme l'excès dont la pre-
mière de ces deux fommes furpafje la fécondé , ejl à chacune.

. des proportionnelles de ces mêmes puifances.

D H M O .N S T K .A T I O N.

Depuis le nœud commun A des cordes AP . A CR, AR, 110.7».
AS , AT, &c. foient fur ces mêmes cordes autant de
parties AB , AC , AE, AP, AM &c. proportionnelles
aux puiflances P , Q^_, R , S , T , &c. qui leur font ap-
pliquées -j des extrêmitez B, C,E, F-, M-, <Ac. de ces pro-
portionnelles foient menées autant de lignes Bb ,Gc,Ee s

Xij

1^4' N'OÜTELbr

F/,M») &G; perpendiculaires en b, £>e,f, ?n, &c. fujv
la direction AK du poids K prolongée de part & d’autre. -
On voit luivant la Déf.-i 6. que Ac , Ae , A/, font- ici les,
fublimitez. des puilfances Q^_, R , S, qui tirent de bas en
haut, & que Ab, Am-, y font les profondeurs des puif-
fances P, T, qui y tirent de haut en bas. Je disdoncque
le poids K en équilibre ( Hyp ) avec les puilfances P , Q^,
R, S , T, &c. eft à chacune’ d’elles comme A c — pAc—p
Af—’Ab' — Am+ , &c. cit a chacune de leurs proportion--
nelles AB , AC , AE , AF , AM , &c. •

Pour le voir , foit le parallélogramme BACH fait de
deux quelconques AB , AC , de ces proportionnelles j de fa
diagonale AH, & d’une troiftéme- quelconque AE de ces
mêmes proportionnelles foit enfuite le parallélogramme
H AEG j de fa diagonale AG , & d’une quatrième propor-
tionnelle AF, foit auffi le parallélogramme GAFD de fa dia-
gonale AD j & d’une cinquième proportionnelle AM , foit
pareillement le parallélogramme DAMN , de fa diagonale
AN, & d’une fixiéme proportionnelle, foit encore un autre-
parallélogramme , & toujours dé même jufqu’a la der-
nière inclufi vement - des proportionnelles aux puilfances
fuppofées en équilibre avec le poids K , laquelle étant
ici AM , la derniere des diagonales y -fera AN. Par con-
fequent ( Th. y.- part. i. z. ) non feulement cette derniere
diagonale AN fera ici en ligne droite- avec la direction
AK de ce poids , mais- encore ce poids K y fera a cha-
cune des puilfances P,Q^_, R , S , T, fuppofées en équi-
libre avec lui, comme cette derniere diagonale AN eft
à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE , AF,
AM.

Cela étant ainfi , des points H , G, D , des parallélo-
grammes précedens , hors" du dernier, foient encore Wh,
G g, D d, perpendiculaires en h , g, d, fur la- direction AK
du poids K, prolongée de part & d’autre. Le Lem. 10.
donne , i°. Aha=Àb—Ac. z°. Ag-=.Ac—Ah{ mmb. i.)
rr:Ar- — A b~-{-Ac. 3 °. A d~Ag A/ ( nomb . z . } ~Ae - — ■>
A^— FAt—f-A/. 4 0 , AN^A.d~— A m { mmb. 3 . ) 'z~.Ac< — Ab

Megan TqAj e. • . ré- y . >

r-+A/— A m . Et en continuant toujours ainfi juf-
qu à la deiniére diagonale inclufivement , telle qu’elt id
AN-, laquelle fe trouve toujours ( Th. 4. fart. 1.) dans
la direction prolongée K A du poids K' en équilibre avec '•
les puiffances fuppofées j on trouvera toujours cette der-
nière diagonale m A e- — -A b — J- A c-^Af—A mÀ &c. ce qui
fë voit auflî tout d’un coup par le Corol. 3 . du Lem. 10, -
Or le TE. 4. part. 2. fait voir qu’en ce cas d’équilibre
le poids K eft toujours à chacune des puiffances P, Q^,

R , S , T , &e. qui l’y foûtiennent-., comme cette dernier e'’
diagonale eft à chacune de leurs proportionnelles AB y -
AC , AE , AF , AM , &e. Donc ce' poids K eft atilli tou-
jours alors à chacune de ces puiffances P, Q^, R , S , T ,

&c. comme A#- — J-Ac-ff-A/— Ab - — A Sce.eft à cha-

cune de- leurs proportionnelles AB , AC, AE , AF , AM ,

&c. c’eft-à-dire ( Déf. 1 6. ) comme la fomme de leurs
fublimitez A c , Ae , A/, &c. moins la fomme de leurs pro-
fondeurs Ab , Am y &c.ou comme l’excès- dont la premiè-
re de ces deux fommes furpaffe la fécondé, eft à chacu--
ne de ces mêmes proportionnelles. Ce qu il falloit deman-s-
trer.

Au T R E De MO N S T R A T I O K, -

Soient encore les lignes AB , AC , AE , AF , AM , &c, f s ©.ÿff !
proportionnelles aüx puiffances P, Q^_, R , S , T , &c.-
fuppofées en équilibre avec le poids K fuivant ces dire-
ctions. Des.ext-rêmitez B , C, E ,F ,M , &c. de ces pro- j
partionnelles -loient encore auffiB^ , Ce , Et , Tf. r Mm , &c„>
perpendiculaires en b y c, e \ m , &c, fur la direction A K
de ce poids , prolongée de part & d’autre. Soient de plus ■
appellées b , c , e m , &c. les forces verticales employées 1
félon le Lem. 3 . part. 1 . par les puiffancesP , Q^_, R , S , <

T, &c. pour ou contre le poids K fuivant fa direction. ;

Am ou Ad,

1 66

;N o ü V E L L E

b. P : : A b. AB.

I

Çela pofé, le Lem. 3 . part/ 1. donnera ^ R.

c. Qj : Ac. AC.

'.R : : Ae. AE.

^ m.T: Am. AM.
, 8iç.

Donc les puiflances P, Q^_, R, S , T, Sec. étant (Hyp.)
t entr’elles comme AB , AC , AE , AF , AM , &c. leurs for-
ces verticales b. 3 c ,e ,f 3 m., Sec. pour ou contre le poids
.K, font auilî entr’elles comme Ab , Ac , Ae, A/, A®, Seç.
Par confequent l’on aura ici c — \-c~~\-f — b — , Sec.

■ b : : A.c-— IrAe — f-AjA— A^-A/V? 4^ Sec. Ab- Mais on
vient de voir b. P : : Ab. AB. Jüonc auflî ( en rai-
: fon ordonnée ( c — |-e— f-/-— A — -m+, Sic. P * : A^ H-Ae—f
Af-Ab—-Am+ , Sec. AB. Or les efforts verticaux c ,e ,f 3
, &c. clés puilfances Q^_, R , S , Sec. étant ici de bas en haut
, directement contraires au poids K , Se aux efforts verti-
caux b , m. Sec. de haut en bas, que les puiflances P, T,
Sec. y font directement contre ceux-là en faveur de ce
poids -, l’équilibre, ici fuppofé exige ( Ax. 4 . ) c — \-c — hf~h
,Sec— K — j-Sec. Et .conféquemment

Slc~K. Donc K. P : : Ac — \-Ae-^-\~Af-^Ab — A m±_
Sec. AB. Mais ( Hyp. ) P eft à Q^, R , S , T , Sec. comme
AB eft a AC , AE , AF , AM., Sec. Doncaufli ( en raifon
ordonnée ), ce poids K eft à chacune de toutes les puiflan-
ces P , Q^_, R , S , T , Sec. fuppofées en équilibre avec lui ,
.comme Ac-H-Ae~^Af—-Ab—-Am+ , Sec. eft à chacune
de leurs proportionnelles AB , AC ,AE , AF, AM, Sec.
Or ( Béf. i 6. ) Ac, Ae, A f , font les fublimitez des puif-
fances , R, S , qui tirent de bas en haut j & Ab., Am,
font les profondeurs des puiflances P, T, qui tirent au
. contraire de haut en bas. Donc enfin le poids K en équi-
libre avec elles Se avec l.es antres , c’eft- à-dire , avectou-
;tes les puiflances P , Ç)_, R , S , T., Sec- eft toujours alors
.à chacune d’elles , comme la.fomme de leurs iublimkcz..

M e C AK I QJJ E. ï'6j "

moins la fomme de leurs profondeurs , ou comme l’excès -
de la première de ces deux fommes fur la fécondé , eff à
chacune des proportionnelles AB , AC , AE, AF , AM ,
gec. de ces mêmes puiflances. Ce qu’il falloit encore dé- '
montrer . ■

C O R O L L A IRE I.

Puifqüe fuivant la première des deux démbnfirations f
précédentes, & fuivant le Corol, 3 . du Lem. 10. tant 7 *
que le poids K elt en équilibre ( comme ci-delfus ) avec
les puilfances P , Q_, R , S , T , &c. la fomme de leurs
fûblimitez , moins la fomme de leurs profondeurs > eft
toujours égale à la diagonale du dernier des parallélo-
grammes faits de leurs proportionnelles comme dans la
démonstration 1. & comme dans la démonstration delà
part. 1. du Th. 4. Il fuit réciproquement de là part. 4. de -'
ce Th. 4. qu’il y aura toujours équilibre entre ce poids
& ces puilfances, tant que la fomme de leurs fûblimitez,
moins celle de leurs profondeurs , prifes les unes les
autres fur fa direction, .fer a égale à cette derniere diago-
nale prife aulfi fur la direction de ce poids. •

»C O R O L L A I R E I L

Puifquef Bémonfir. 1. ) les efforts verticaux c, e, f t de$-
puilfances fublimes Q__, R. , S , fontentr’eux comme les
fûblimitez Ac , Ae , A/, de ces puilfances j & que ( Bé-
monfir. i. ) leur fomme c — \-e — elt égale à la Somme '
f~-f ?»— f-K des verticaux directement contraires b , m y -
des puiflances profondes P , T , & du poids K, tant que
ce poids elt en équilibre avec toutes ces puiüances : il fuit
nianifeftement que les portions de b-j~m’—\-K que les 1
puilfances fublimes C> , R , S , portent chacune alors •
pour fa part, font entr’eiles comme les fûblimitez Ac : ;
Ae , A f, de ces mêmes puilfances.

C O R O L L A I E E 1 1 L

Par lamêmeraifon fi toutes les puilfamces P,Q,R,S ? •
T , &c. étoient fublimes , c’eft-à-dire ( B éf, : 16 . ) fi elles

K : ï6î N O U Y E. L L E

tiroieht toutes de bas en haut contre le poids K en 'équi-
libré avec elles , en forte que leurs forces verticales b , c t
e ,/, m , &c. fuffent toutes de bas en haut directement
. contraires à ce poids, & que confequemment (JD ef i o
Ab , A c, Ae , Af, Am , Sec. fuiTent autant de fublimitez
de ces puiffances 5 ce que chacune d’elles porteroit ou
foûtiendroit de ce poids, ferait alors comme chacune de
xes mêmes fublimitez.

Corollaire IV.

tSi «.. 7Ü Si de toutes ces puiffances il n’en reftoit que deux R , S,
f 3 ‘ qui feules foutinffent enfemble le poids K en équilibre

.avec, elles , comme dans les Fig. 7 1 • 7 3 • il fuit des deux
.derniers Corol. .2 . 3 . conformément aux Coroh 2.. .5 . 6.
du Th. -2.

73 ï .-1°, Que fi une de ces deux puiffances , par exemple R,

droit le poids K de haut en bas , & l’autre S de bas en
.haut, comme dans la Fig. 73 . ce poids feroit (. Corol. 2.)
A chacune de ces pu-ilTanG.es R , S . comme l’excès Af—Aî
de la fublimité Af de la fécondé S fur la profondeur Ae
de la première R , feroit à chacune des proportionnelles
AE , A F , de ces mêmes puiffances R , S , conformément
au Corol.- 6 . du Th. 2 .

2 0 . Qu’alors l’effort -vertical /de bas- en haut de la
-puiffance fublime S , feroit feul égal à K — \-e femme du
.poids -K. & de l’effort vertical e de la puiffance profonde
,R : de forte que la puiffance fublime S- foûtiendroit alors
.feule le poids : K augmenté de l’effort vertical e que la
-puiffance profonde R fait de haut en bas en faveur de ce
poids , conformément, encore au Corollaire 6 . du Théo-
renie 2 .

4? 5.5-72. -3°. Mais.fi les puiffances R, ;f,étoientfubiimes toutes

deux domine dans la Fig. 72. c’eft-à-dire ( Def j 6 . )• fi
elles tiroient toutes deux de bas en haut contre le poids
K en équilibre ( Hyp.) avec elles 5 les précedens Corol. 2.
>3 - font auffi voir que ce poids feroit alors à chacune de
ces puiffances R , . S , comme la .femme A r^-f-A/ de leurs

fublimitez

)

M e c a n i qjcj e.' 16 y

fublîmitez Ae,Af, fer oie. à chacune de leurs proportion-
nelles AE , AF , conformément au Corol. 5 . du Th. 2
4 0 . Ces précedens Corol. 2. 3. font voir auffi que la
partie du poids K foûtenue parla puiffance R , ferait alors
àfon autre partie foûtenue par la puiffance S , comme la
fublimité Ae de la première de ces deux puiffances ferait
à la fublimité A/de la fécondé, conformément au Corol.
2. nomb. I. du Th. 2.

Ilejl manifefi.e que tous les autres Corollaires du Th. z.-&
ce. Théorème lui-même pourraient être ainfi déduits du prece-
dent Corol. 3 . Auffi ce Th. 1 . /é efl -il quun cas particulier du
prefent Th. 6 . d’ ou re fuite ce Corol. 4.

C O K O L L A I R E V.

Pour faciliter le calcul de tout ceci , foient pris a pour F 1 g.
le finus total , Se p,q,r,f,t, Sec. pour les lînus des an-
gles AB£ , AC c , AE<r , AF f , AM m , Sec. complemens
{ chacun à un droit ) des aigus que font les directions des
puiffances P , C/_, R , S , T , Sec. avec celle du poids K
[Hyp. ) en équilibre avec elles.

X

î

AB.A£— i xAB

tes angles (Hyp.) droits en h,c,
e ,f,m, Sec. donneront

V>

a. g-.: AC. A^JxAC
a. r : : AE. Ae~- x AE

fa

a./:: AF. A/~£xAE
a. t: : AM. Km~- x AM

A

Sec.

D’oû refulte A c — E Ar—j-A f > — > A h — A m +_ Sec — ,

g x A CH- r x A E — E /x A F —p x A B —tx. AM + Sec.

a

mais fuivant le prefentTh. 6. le poids K <ici en équilibre
(Hyp .) avec les puiffances P,Q , R, S, T, Sec. y eff à chacune
d’elles comme A c -—E A e — E A/ — Ab - — A w+,ôec. effàcha-

tyo Nouvelle

cune de leurs proportionnelles AB > AC , AE, AF, -&M y
&e. Donc ce poids K y doit pareillement être à cha-
cune de ces puHTances P ,. Q^_, R , S v T , &c. comme*.

g x AC— 4 - r x AE- — f- [y A F' — • p x A B - — £ x A M jj; Sec;

a

eft à chacune de leurs mêmes propor tiônnelîêsAB, AC, AE,
AF, AM, SeCo.Et conlequemmentauffi comme yxAC—p
rxAE — h/xAF — yxAB — ?xAM + Sec eft a chacun des
produits <zxAB ,æxAC, <zxAE,æx AF, a *. AM , &c. faits,
du finùs total par chacune dejeurs proportionnelles. D’où
l’on voit que n’y ayant, ici que des proportionnelles de
puiftances données , avec des h nu s d’angles donnez , il.
fera aifé d’en conclure par le calcul la valeur requifa
du poids. ainli en équili bre avec ces puiftances. -

THEOREME. VII.

Ii®. 74; De quelque maniéré qui un poids [oit [oûtenu avec" des cor-
des par quelque nombre de puiffances que ce fois , appliquées
aux branches de tant de nœuds qu on voudra dirigées Sui-
vant quelques plans que ce [oient s- chacune de ces puijjances
ejl toujours, a ce poids, en rai [on compo[ée dé autant d’autres-
rai[ons qu’il y a de nœuds entre cette puijjance éf ce poids
[c avoir, à chaque nœud ,.de la raifon qui ejl entre la propor-
tionnelle h la force dont ce nœud ejl tiré [uivant la corde qui'
lui donne communication avec cette puijjance ,,, (J la [omme'
des jublimitez, , moins celle des prof ondeurs ,de toutes les for-
ces dont les branches dans lef quelle s ce même nœud [e divife,,
font tirées [uivant [a direction contre la réfojlance qui leur
vient par la corde de communication de lui au poids [uppojé
en équilibre- avec toutes, les puijjances qui lui font ainji appli-
quées-

DeMOI.S T R.A'T I O N.

Si* le poids K dont la corde A A fe cuvife en tant de bran-
ches AZ , AX , A Y ,. A <p , qu’on voudra, dont celles qu’on,
voudra: aullî , fe diviient encore en plufieurs branches.

)

Me CANI QJJ E 17 I

,$c celles qu’on voudra encore de celles-ci en plufieurs
.autres de la maniéré qu on voit ici j & toujours de même
jufqu’aulfi loin qu’on voudra. Commencez au premier
nœud A à marquer fur les branches AZ , AX , A Y, A <P t
&c. des parties AM, AN, AP, A9 , &c. qui foienr entre
.elles comme les forces avec lefquelles ces cordes font ti-
rées .chacune fui vaut fa direction. Faites-en autant fur
les branches dans lefquelles celles-ci fe fubdivifentj &
toujours de même jufqu’aux dernieres aufquelles les
puilfances C., E , D , B, F , G , H , I , T , , &c. font appli-

quées . Après cela des extrêmitez de toutes ces propor-
tionnelles foient marquées ( Def. 1 , 6 .) les fublimitez &
des profondeurs deioûtes ces forces.

Cela fait , je dis qu’.en cas d’équilibre entre toutes ces
forces ou puilfances & le poids K ., chacune d’elles , par
exemple., la puiifance D fera toujours alors à ce poids K
en raifon compofée d’autant d’autres r aifons telles qu’el-
les font énoncées dans ce Théoreme-ci., qu’il y a de nœuds
.entre cette puiifance & ce poids.

Car, i°. la puiifance D étant ( Hyp. ) à la puiifance E,
comme OS à O V, elle eft aulîi { Th. 6. ) à la force dont
le nœud O leur rélifte fuivant OZ , comme OS àlafom-
®e de leurs fublimitez O/ & Ou , c’eft-à-dire •. : OS.
Dj-A-Qu. . 2 °. Cette même réfiftance ou force du nœud
O fuivant ZO ., étant aulîi ( Hyp. ) aux puilfances C , B ,
comme ZR à ZL & ZQ_, elle eft de même ( Th. 6.) i la
réfiftance que leur fait le nœud Z fuivant ZA , comme
ZR. à la fournie des fublimitez Zr & Zy moins la profon-
deur Z / , c’eft-à-dire : : ZR. Z r — pZy — Z/. 3 °. Enfin la
valeur de cette réfiftance fuivant ZA , étant encore
.aux .forces dont le nœud A eft ciré fuivant AX , A Y ,
A(p, &c. comme AM à AN, AP, A0 , &c. elle eft aulîi
( Th. 6- ) au poids K comme AM à la fonune des fubli-
■mitez Am j An , &c. moins celle des profondeurs A A , A p,
&c. c’elt-à-dire.: : AM. A m — pA n > — A A- — A p. Donc en
multipliant par ordre ces trois rangées de proportionnel-
les *ia puiifance D fe trouvera .être au poids F, comme

17* Nouvelle - -

le produit des trois antecedens OS , ZR , AM , au pro—
doit de leurs trois confequens O/ — \~Ou , Zr— -f-Zy — >Z
A»? — \-An^Ap — A A : c’eft-à-dire en raifort compolée des,
trois raifons de OS à O/— f-O^ , de ZR à Zr — }-Z y — Z/,
& de AM à Am—\-An—^Ap - — A A qu’on voit telle que le
Théorème les annonce. Or il n’y a en effet que trois,
nœuds O , Z , & A , entre cette puidance D & ce poids K.
Donc cette puidance eft ici à ce poids en radon- compo-
fée d’autant d’autres raifons telles que ce Théorème- ci
les annonce, .qu’il y a de nœuds entre cette puidance D 8c
ce poids EL

On démontrera de même que la puidance C ed à ce
poids K en raifon compolée de ZL à Zr — f-Zy — Z / , & de
AM à Am — b A n - — A/ — Ah. On trouvera encore de mê-
me que la puidance F eft à ce même poids K en raifon
compofée deXjS àX^ — |-X/, & de AN à Am— \-Aw — Ap
— Ah 5 & aind de toutes les autres puidances , en quel-
que nombre qu’elles foient , de quelque maniéré, & à
quelque nombre de nœuds qu’elles foient appliquées.

Donc en general.,, de quelque maniéré qu’un poids foit
foûtenu avec des cordes par quelque nombre de puidan-
ces que ce foit , appliquées a tant de nœuds qu’on vou-
dra , chacune d’elles ed: toujours à ce poids en raifon com-
pofée d’autanE d’autres telles que ce Théoreme-ci les an-
nonce , qu’il y a de nœuds entre cette puidance & ce poids.,
€e qu’il falloit démontrer,,.

Corollaire I.

On voit qu’en prenant ZR égale à O/^—KM , avec ZL
& ZQjà ZR en même proportion qu’elles font ici 5 de
plus AM égale à ZQH- Zr — Z/,. avec AN, AP , A0, &c.
audî à AM en même proportion qu’elles font ici : la puif-
fance D fera an poids K , comme OS à À m—\-An-—Ch—
Cp + &Ç- c’eft-à-dire comme fa proportionnelle à. la fom-
me des fu blindiez moins celle des profondeurs des. forces
avec lefquelles les branches du premier nœud A font ti-
rées chacune fulvant fa direction. Il en faut penfer au-

»

M E GA N 1 QJJ E,- ij.y

tant de toutes les autres puiflances appliquées- au poids K,,
jfoit de près , foitde loin.

Corollaire IL

Lorfqu’un' poids -attaché à une- corde qui a plusieurs ;
noeuds , par chacun defquels , entre toutes les branches
qui en naiffent, il n’y en a qu’une qui fe fubdivife en
d’autres branches : lors, dis-je, que le poids K attaché à
une telle corde , eft foùtenu par pluiieurs puiflances Y ,
X,S,R., V ,. Z, &c. tellement appliquées aux dernieres
de ces branches que tous les. noeuds F , .E , G ,..&c. d’où
elles- n aident , fe trouvent dans la ligne de direction de ce
poids j chacune de ces puiflances , en quelque nombre
quelles foient , eft toujours à ce poids comme la propor-
tionnelle, de cette même puiffanceà la fomme des fubli-
mitez moins celle des profondeurs de- tout ce -qu’il y en a
d’appliquées à ce même poids.- Car il l’on prend fur les
branches-de chaque nœud des parties OF , El , CB , CA , -
EH , FK , FN , EM ,. &c. proportionnelles aux forces avec
lefquelles chacune de ces branches eft tirée ■ fuivant fa
direction , & que des extrémité z de ces mêmes parties on
marque ( Défi 6.) leurs fublimitez avec leurs profon-
deurs 5 on trouvera , i°. que les proportionnelles FN ,
EM., &c. qui le trouvent dans la ligne de direction du
poids K font égales aux fublimitez FN, EM, Sec. des
forces avec, lefquelles ces proportionnelles font tirées
fuivant leur direction , c’efh-à-dire , fuivant celle du
poids. 2 °. On trouvera encore que cha«unede ces mê-
mes, proportionnelles., par exemple, FN eft auffi toujours
égale à la fomme des fublimitez moins celle des profon-
deurs des. forces ou des puiflances appliquées au nœud
E qui eft immédiatement au delfus du' nœud F depuis le—'
quel cette proportionnelle a été prife : puifque ( Hyp. )
cette même proportionnelle , & ( Th. 6 . ) cette différence,
des fournies font à la proportionnelle El de la puiffance X,
comme la force dont le nœud E elt tiré fuivant la corde.
EF 7 eft. à cette même puilfance. Pour la même raifon

F i ®.
76 .

1 74 Nouvel ■% ■%

EM eh égale à la fomme des fublimitez moins -celle des
profondeurs des forces ou des puiifanees appliquées au
nœud C - qui eft immédiatement au delfus, de Ej & ainfi
des autres proportionnelles qui fe .trouvent dans la di-
rection du poids K. De-Jà on verra que chacune des fu-
..blimitez ,FN , EM , &ç. des forces qui fui vent la direction
de ce poids j eft toujours égale à: la fomme des lublimitez
moins celle des profondeurs des forces ou des puiifanees
au nœud qui elt immédiatement au delfus de celui de-
puis lequel. elle fe prend, par exemple,, au delfus de F
pour FN , au delfus de E pour EM, &,c. D’ouil fuit que
la fublimité FN, qui fe prend depuis le plus bas F de tous
-ces nœuds ., elt égale à la fomme des fublimfez moins
.celle des profondeurs de toutes les puiifanees X, V,S ,
R , &c. appliquées ,à tous les autres nœuds E , C , &ç. Or
on vient de voir dans le précèdent Corel. !.. quechacuue
de toutes les puiifanees qui foûtiennent le poids K, par
.exemple jS ,, oa Y, eftà : çe poids comme fa proportion-
nelle CB , ou OF , de cette puilfan.ee elt à la fomme des
fublimitez .moins .celle des profondeurs des forces avec
le fcjuelles toutes les branches du plus bas nœud F -font
.tirées chacun fuivant fa direction contre ce poids K 5
...c’elt-à-dire , à, la lomme. faite de fa fublimitéFN , de delà
fomme des fublimitez moins les profondeurs des puilfan-
.ces Y , Z, &c.. immédiatement, appliquées au nœud f.
.Donc chacune des puiifanees Y , JX, S , R , V , Z,..&ç»
elt ici au poids K , comme la proportionnelle de cette
puilfance elt à la fomme des fublimitez moins celle des
profondeurs de tout ce qu’il yen a d’appliquées .à cerne-
me poids.

// efl ici a .remarquer que Us proport tonnelle s FN , FM,
&ç, dirigées fuivant la dire cri on du poids K, ne le font d'au-
cune des puifjances ici fuppofées , mais de forces en ce feus re >
fichantes du concours de ces puijjançes : par exemple , F N ri ex-
prime aucune de ces puijfances , elle ,riec prime que la force ou
l’effort fuivant FE , refultant du, concours dé action de tout et
ppd il y a d,e puiffançes R , F, X „ S , f?)c. au .de (Jus de E»

)

Megan r qjj e. i yy,

wem EM n exprime que la force ou l’effort fuivant EC ,
re fui tant du concours dt action de tout ce qu’il a de puiffance s
ji, S\érc. au dejfus de E ; & ainfi de tout ce qu’il pourrait y,
avoir d’autres proportionnelles dirigées fuivant la direction
du poids. K.

€ O r K> OLE A I B. E I I I.

Puifquê fuivant lè precedent Corol. %■. chacune des ■
pui/Tances ici fuppo/ées en équilibre avec le poids K , y
e/l à ce poids comme la proportionnelle de cette pui/Tance
à la femme des fubli mitez moins celle des profondeurs dé-
tour ce qu’il y en a d’appliquées à ce même poids j lafom-
me de toutes ces puidauces doit être ici à cé poids -, comme
la fournie de leurs proportionnelles à la fournie de leurs fu- -
blimitez- moins celle de leurs profondeurs : de forte que
s’il n’y en a voit que deux d’appliquées à chaque nœud y
dont d’une tirât à droit & l’autre à gauche que tou-
tes celles de chaque coté fu/Tenc- égales entr elles , avec"-
des.direétions parallèles entr’elles , la' fomme (Fig. 7 5 . )
des fublimitez par exemple , Fo^+Fivou E/-H-EF , ou -
Gb~\~Ca -, &c. des deux. pui/Tances appliquées auquel
que ce foit des nœuds F ,E , C, &c. ou bien là différen-
ce (Fig,. 76 . 1 de la fublimité de l’une à la profondeur de
l’autre par exemple , FF — Fo, ou EF — E/ , ou Cf ,

&c. étant alors la même pour tous ces nœuds , au fîi-bien
que les proportionnelles de ces* pui/Tances 5 la fomme de
toutes ces mêmes pui/Tances feroit alors au poids K com- - s
mêla fomme des proportionnelles de deux d’entr’elles 5
appliquées à un même nœud y quel -qu’il foit , e/l à la
fomme ( Fig. 75.) des fublimitez de ces deux pui/Tances r
ou à la différence ( Fig. 7 6 . ) dont la fublimité de l’une
furpa/Te la profondeur de l’autre.

C O R O L £ A I R E I Y.

Ce qui fait enfin voir que fi tontes les pui/Tances Y, FY-«3 Tjsï
X , S , R , V , Z , &c. étoient égales entr’elles , & que tou-
tes ieursdireélions fiiTent- vers le haut avec celle du poids Kl-

<

;î-7^ N O U V E L L E •

.des angles égaux auffi entr eux , leur fomme feroit alors
à ce poids ( Fig. 75.) comme une de leurs proportionnel-
les à une de leurs fublimitez , l’une & l’autre prife à .vo-
lonté : c’eft-à-dire., comme leiinus total au lin us du com-
plément de celui qu’on voudra de ces mêmes angles.

Corollaire V.

•Ei s. 77. Ce Tliéoreme-ci .fait encore voir que dans l’hypotefe

des lignes de direction de tous les points du corps AD,
.concourantes au centre E delà Terre, de quelque ma-
niéré que ce poids ioit foûtenu par tant de puilTances F ,
_G , FJ , I , K, L , M , N , Sec. qu’011 voudra avec des cor-
des qui lui foient appliquées en tant de points A , B., C,
.D, &c. qu’on voudra auffi j chacune de ces.puiffances fera
toujours à ce poids , comme chacune de leurs proportion-
nelles à la fomme des fublimitez, des forces avec îefquel-
les ces points A ., B,, C , D , &c. feront tire-z fuivant les li-
gnes AE, BE, CE, DE,, &ç. par le concours d’action des
puiffances qui -y font appliquées : des fublimitez, dis-je,
déterminées comme dans le Corol. j . Car il eit clair que
ce poids agit contre toutes ces puilTances de même que
feroit une force qui lui feroit égale , fi AE,, BE„ CE, DE ,
&:c. étoient autant de cordes attachées enfemble par un
nœud commun E auquel cette force fut appliquée fui-
vant. la direction ZE du centre de gravité de ce poids.
Or en ce cas les points A ,-B , C 3 D , &c. étant comme
Autant de nœuds aufquels font appliquées , .chacune fui-
vant fa direétion , les puiffances F , G , Fiji, K, L., M,
N , ôcc. fi.l’on prend depuis E fur' chacune de ; s lignes AE ,
BE , CE , DE , &c. une partie E g., E f s Ec ,Eb , Sec. égale
à la fomme des fublimitez moins celle des profondeurs
des puiffances appliquées à chacun des points A ,B„, C ,
D, Sec. On trouvera [Cor, 1.) gue chacune de toutes ces
puiffances F , G , FJ , I , K , l L , M , N , Sec. feroit alors à la
force qu’oii fuppofe en E égale au poids AD , comme
chacune de leurs proportionnelles DO , CP , BÇX. , DX,
Aff 3 CV , BT, AS 7 Sec. à .la femme des fublimitez E/ ,

p

M £ C A N I Q^U E» Ï.77

3^,E^,E^,&c. des Forces dont les noeuds A,B,C,D,
&c. feroient alors tirez , chacun fui vaut la lig e qui le
joint r a vec le point E. Donc chacune de ces mêmes puif-
fances eft auffi au poids AD , comme chacune de leurs
proportionnelles à la fomme de telles fublimitez des for-
ces avec lefquelles les points A, B , C , D , &c. font tirez
fuivant les lignes. AE, BE , CE , DE , &c. par le concours
d’action des puilfances qui y font appliquées-

Si les forces avec lefquelles les differens points A , B , C ,
J) , &c. du corps AD , font tire f fuivant des lignes, qui con-
courent au centre de la Terre ( auquel on fuppofe que tous (es
■points tendent ).par le concours d’ dation des puiffances qui lui
jont appliquées , avaient quelque profondeur: On trouverait de
même que chacune de toutes cespuifances fuppofées en équi-
libre avec ce poids AD lui feroit en raifon de la proportion-
nelle de cette puifance à la fomme de telles fublimitez, moins
celle des profondeurs de ces mêmes forces: mais ce cas étant
mpojjible , pu: f qu’il faudroit pour cela que ce poids comprit
pour le moins plus .du quart de la circonférence de la Terre. t
en n’a pas crû qu’il fût neceffaire de l’exprimer ici.

C O R. O ,L L A I -R E V L

On voit prefentement que dans l’hypothefe ordinaire ,
où l’on regarde les directions AE , BE , CE , DE , ôte.
comme parallèles entr 'elles , chacune des fublimitez El ,
Ee,E d , E a , &c. déterminées fur ZE par chacune des
proportionnelles Eg , E/„ Ec,E£ , &c. qu’on vient (Cor. y)
de pren dre égales à la lomme des fublimitez moins celle
.des profondeurs des puiffances appliquées à chacun des
points A , B j C j D , &c. étant alors égales à ces mêmes
proportionnelles j chacune des puiflances ainfi appliquées
à ce poids , fçavoir, F, G,, H, I , K, L,M,N, &c. efl:
toujours en -ce cas à ce même poids AD , comme cha-
îcune de leurs proportionnelles à la fomme de toutes
leurs fublimitez moins .celle de toutes leurs profondeurs.

Z

i.7 § Nouvel l e

Corollaire V 11 .-

D’ohil fuit que dans la même hypothefe des directions
des graves parallèles entr’elles, la femme de toutes ces
puiiiànces eft à ce poids comme la fomrne de leurs pro-
portionnelles elt à la fomrne de leurs fublimitez moins
celle de leurs profondeurs : de forte que s’il n’y . en a voit
que deux d’appliquées à chaque point de ce corps AD,.,
dont l’une tirât à droit , & l’autre à gauche 5 & que tou-
tes celles de chaque côté fulfent égales entr’elles, & avec
des directions qui fiffent avec celle du point auquel elles,
font appliquées, des angles de chaque côté égaux entre-
eux: la foraine ( Fig. 77. ) des fublimitez , par exemple,
A r — 1-A/, ou By — FB^ , ou Cf — |-C«, ou Do— f-üx , &c.
des deux puilfances appliquées à celui qu’011 voudra des
nœuds A , B , C , D , &c. ou bien ( Fig. 78. ) la différence
de la fublimité de l’une à la profondeur de l’autre, par
exemple, A r — A /, ou B y — Br, ou Cf — O, ouDc — D.r,
&c. étant alors la même pour tous ces points , aufli-bien
que les proportionnelles de ces puilfances ; la fomrne de
toutes ces puilfances feroit alors au poids AD, comme la
fonime des proportionnelles de deux d’ entr’elles appli-
quées à u-n même point , quel qu’il foit , eft à la foraine
( Fig. 77. )de leurs fublimitez , ou ( Fig. 78.,) à la diffé-
rence qui eft entre la fublimité de l’une & la profondeur
de l’autre.

Corollaire Y III.

Ce qui fait enfin- voir que li toutes les puilfances F , G,.
H , I , K , L , M , N , ècc. étoient égales entr’elles , & que
toutes leurs directions fiffent vers le haut avec celles des
’ points ou elles, font appliquées , des angles égaux, entre-
eux 5 la fomme de toutes- ces puiflanees feroit alors au
poids AD (Fig. 77.) comme une de leurs proportion-
nelles à une de leurs fublimitez, de quelque maniéré qu’on
les prenne: c’eft-à~dire, comme le linus total au lînusdu
complément de celui qu’on voudra de ces mêmes angles.

11 , 9 .

M È C A H ï Q..U 11
THEOREME VI IL

'Quelques foientles directions des corps pcfans ,fi deux poids F i e. 7$!
quelconques K, L , font Jufpendus à deux points aufifi quel-
conques C ,D , d'une corde lâche parfaitement flexible AC DB t
attachée par les deux bouts à deux clous ou crochets A , B ;

quonfaffe deux parallélogrammes DCME , CD NF , qui
.agent C% pour coté commun , & dont les diagonales CE „

T) F ,foient fur les directions ICC , LD , de ces deux poids pro-
longe f de ce côté-lâ.

I. Ces deux poids K , L , en ce cas d’équilibre , feront entre-
jeux comme ces diagonales correfpondantes CE , DF.

II. Réciproquement fi ces deux poids K , L , font entr eux
en rai fonde ces deux diagonales CE , DF ils demeureront en
équilibre entr eux dans la pofition donnée AÇDB de la corde.

Démonstration.

Part. I. Le Th. ï. fait voir qu’en cas d’équilibre le
poids Keftà la force dont la partie CD de la corde eft
tirée de C vers D : : CE. CD. Et que la force dont cette
même partie CD de la corde eft tirée de D vers C , eft
au poids L: : CD. CE. Mais ces forces avec lesquelles
cette même partie CD de la corde eft tirée en même tems
de C vers D , & de D vers C , font ( Ax. 4. ) égales en-
tr’elles en ce cas d’équilibre. Donc ( en railon ordonnée)
le poids K eft, ici au poids L , comme CE eft à CF. Ce qu’il
falloir 1 °. démontrer .

Part. II. Les deux poids donnez K, L, devant le
mettre tôt ou tard en équilibre entr’ eux , à caufe des
réfiftances invincibles ( Hyp. ) des crochets A , B 5 fi pour
cela la pofition de la corde ACB devoir être autre que la
donnée ACDB , cette pofition donnée ne pouvant chan-
ger que par l’augmentation d’un de fes deux angles
ACD , CDB , & par la diminution de l’autre , les directions
des poids demeurant ( Hyp. ) toujours les mêmes , fans fai-
Te augmenter une des deux diagonales CE, DF , & fans
faire diminuer l'autre j c’eft-à-dire , fans fane changer le

'î8o Nouvelle

rapport que ces deux diagonales ont entr’eiîes dans h.
poiition donnée ACDB de cette corde > les deux poids.
K, L., fuppofées en raifon de ces- deux diagonales , pour-
roient être en équilibre entr’eux fans, y être eir ec rap-
port : ce que la part, r . fait voir être impollîble. Donc il
eit pareillement impoffible qu’ils ne demeurent pas en
é quilibre entr’éux dans la poiition donnée ACDB de la
corde ACB. Ce qu'il falloit i°. démontrer . ^

CûiOELA IRE L ,

Si prefentement on fûppofe à L’ordinaire que les dire-
ctions EK , FL , de ces deux poids K , L , foient parallèles
entr’elles 8c qu’on prolonge BD , AC , jufqu a leur ren- #
contre en G , H > les nouveaux parallélogrammes DECH>
CFDG , qui en refulteront , rendant DH— CE , 8c
CG— DF j la part. 1 . qui' vient de donner K. L : : CE. DF.
pour toutes fortes de directions des poids K , L, donnera
pareillement K.L::DH.CG. pour ces paralleles-ci. j:.8c
eonfequemme nt Kx CG=L xDH .

COROLLAIR E_ FL

Réciproquement fi les deux poids K , L , de directions
CK , DL , parallèles l’une à l’autre , font entr’eux comme
DEL , CG j la part. 2 . fait voir qu’ils, demeureront en équi-
libre dans la poiition donnée ACDB delà corde ACB:
pnifque DH— CE , & CG=DF , les rendraient entr’eux
comme les, diagonales correfpondantes CE DF.

C O R O L LA IR E II L

Il fiiitdu Corol. r: que dans cette fiypothefe des dire-
ctions parallèles entr’elles , les prolongemens CH,DG S
^des parties de corde AC BD , compris entre les dire-
ctions des poids K, L y doivent fe divifer mutuellement
en Qnn raifon réciproque de ces poids entéquilibre (Hyp-)
entr’eux 5 c’eit-à-dire de maniéré quelles rendent QjHL
QCq: K.L::QD. QG. Et qu’au contraire les parallèles
DE, CF .v à, ces prolongemens CH , DG, 8c compriles en-

Mec a n i qjj e. i &r;

tre les mêmes directions des poids K, L ,.fedivifent mu-
tuellement en P en raifon directe de ces poids ; c’efi-i-dire
de maniéré quelles rendent EP. PD : : K. L : : CP. PF. Car
le parallelifme fuppofé de ces -directions EK , FL , des
poids K , L , rendant les triangles CQG , HQD , fembla-
Fles entr eux, de même les triangles CPE , FPD , Ion au-
ra ici QH. QC : : QD. QG : : DFi. CG { Corol. I . ) : : K. L.-
Et EP. PD : : CP. PF : ; CE. DF (Th.. 8 : K. L. aiûfi qu’on

le vient de- dire. ■

C b R o L L A I R e I V.

Soient prefentement tant de poids quelconques K , L ÿ
M,N, &c. qu’on voudra ,..fufpendus à autant de peints
auffi quelconques C , D , E,F,&c. de La corde lâche 6c
parfaitement flexible ACDB entre fes deux points- d’atta-
che A , B. Si après avoir prolongé de CK vers FN , cha-
cun des cotez AC , CD , DE , 6cc. du polygone ACDEFB
que les poids font faire à cette- corde , -jufquala rencon-
tre en H , Q^, S , &c. des directions ( Hyp.- J parallèles en-
tr 'elles DL , EM, FN, &c. immédiatement Suivantes des
poids L , M , N , 6cc. On prolonge de même de FN vers
CK, les cotez BF , FE, ED, &cc. j-ufqu’à la rencontre en
R , P, G , & c. des directions auffi ( Hyp. ) parallèles entre-
elles EM >. DL , CK , 6cc. des poids M , L , K > &c„ -

fK.L: :DH. CG.

Alors le Corol. i . donnant

■ L. M .- -. E'Q^DP. -
jM.N:: FS. ER.

Uon aura enmult.
par ordre

f'K. N : rDHxEQxFS.-CGxDPxElLo
L. N: : EQxFS.DPxER.

. K . M : : DHxEQ. CGxDP. -

Et toujours de même , quelque nombre de poids quel-
conques de directions parallèles entr’elles , qu’on luppofe-
ainh fufpendus à autant de points auffi quelconques d’une
corde lâche 6c parfaitement flexible , attachée par les exr*'

IL iij. ,

Fïg.

F ï :C-
Sz. 83-

ï § 2 'N O U V J L L E

trêmitez à deux clous ou crochets > telle qu’on fuppôfe

ici ACDEFB.

THEOREME IX

j - I. La corde lâche &' parfaitement flexible A CL B du pré-
84. cedent Th. 8. demeurant attachée par les deux bouts aux
■deux clous ou crochets A , B , forent encore deux puiflances
quelconques IC, L, dirigées comme l'on moudra, appliquées h
.deux points aujfl quelconques C , D , de cette corde entre ces
.deux clous, ou crochets A , B. D'un point S pris d volonté dans
: le plan du polygone A CDB, que ces deux puiflances avec ces
deux clous font faire d cette corde , foient Se , Si . , S&, per-
pendiculaires en.e, £, g , aux trois cotez, prolonge f AC, CD,
DB de, ce polygone t de plus a ..une- des directions des deux puif
flances K , L . par exemple, k la direction C IC de la puiflance
K ,f oit faite B F perpendiculaire en k , & rencontrée en E , F,
par Se., SÎ, S g, prolongées jufqu k elle '> enfin du point F foit
F G perpendiculaire en 1 k la direction D L de l’autre puifl an-
■ce L (fl. qui rencontre S g en G.

Cela fait, je dis qu en cas d équilibre la puiflance K fera
k la puiflance L , comme EF efl k FG > c efi-k-dire , K. L
EF. FG.

1 1 . Réciproquement la corde ACDB étant donnée de pofl-
Sion , c efl- k- dire , le polygone qu elle forme étant donné ,, fi
dl un point S pris k volonté dans le plan de ce polygone ACDB,
on fait S E , S F., FG , perpendiculaires en.e, f, g, k fescôtez
AC., CD , D B prolonge f, & de rapports .quelconques en-
■tr elles 1 deux puiflances IC., L , dirigées fuivant CK, DL ,
perpendiculaires aux bafes EF , FG , des deux triangles ES F.,
FS G , (fl entr ell
ACDB dans cette
-sn.tr elles,

D EMO-N S T R A T ION.

es comme ces bajes , retiendront la corde
pofition .donnée , y demeurant en équilibre

r t. L Dans le cas d’équilibre que cette part. >i . fup-
, les deux forces dont chacun des cordons AC s CIA

o

V

M e c à n t o.ü E» 183'.

DB > eft tiré directement en fens contraires , foient ap-
pellées e chacune des deux forces dont le cordon AC
eit tiré de A vers C,& s de C vers A 3 /, chacune des deux -
dont le cordon CD eft tiré de C vers D , & de D vers C »
g , chacune des deux dont le cordon DB eft tiré de D vers
B ,&:de B vers D.

Cela pofé, puifque ( conjlr. ) les trois cotez SE,EF,SF,
du triangle ESF font ici perpendiculaires aux directions
( prolongées s’il eft neceflaire ) CA , CK , CD , des trois
forces c,K,/i ces trois cotez doivent être ici entr’eux
(. Théorème 1 . Corollaire 7; ) comme ces trois forces. De
même puifque ( conjlr.) les trois cotez SR, FG , CS, »
du triangle FSG , font pareillement ici perpendicu-
laires aux directions DC , DL , DB , des trois for cesf D
L , g 3 ces trois cotez doivent être auffi entr’eux comme
ces trois forces. Donc K. f : : EF. FS. Et f L : : FS. FG. •
Donc auffi ( en raifon ordonnée ,) K. L : : EF. FG. Ce opfifci
falloir 1 °. démontrer.

Part. II. Premièrement , puifque les clous ou cro-
chets A , B, font ( Hyp. ) chacun d’une réhftance invin- -
cible, il eit manifefte que les puiffances K, L', gardant :
toujours les mêmes directions CK,DL, doivent fe mettre
tôt ou tard en équilibre entr’elles dans quelque poxition
de la corde A CB . Secondement , pour voir que cette po- -
fttion ne peut être autre que l’a donnée ACD B , il faut
confiderer qu’aucun des deux angles ACD , CDB-, ne
peut ici augmenter ni diminuer, à moins que l’autre an -
contraire ne diminue ou augmente en même tems. Mais fi
l’angle, par exemple, ACD augmentoit, la direction CK de- -
meurant ( Hyp. / la même, fon complément ESF ( à deux
droits) diminueroit 3 les collateraux ACK ,DCK , dimi- -
nueroient auffi , la direction CK demeurant ( Hyp. ) la.
même 3 au contraire leurs complemens ( à deux droits )
SEF , SFE , augmenteroient l’un & l’autre : de forte qu’a- -
lors le rapport de EF à FS , diminueroit. Au contraire l’an- -
gleCDB, qui diminueroit alors, ferait augmenter fon eom- -
plement FSG à deux droits , auffi-bien que fes collaïc- -

;î:84 Nouvelle

raux'CDL , BDL , la direction DL demeurant ( 'Hyp\)
la même, & diminuer leurs eomplemens SFG , S GF, à
deux droits : de forte qu’alors le rapport de S F à F G di-
minueroit auffi.

Donc en cas de changement des angles A CD., CDB„
les rapports de EF à FS , &c. FS à FG diminueroient tous
deux ) & confequemment le rapport de EF à FG dimi-
nueroit auffi. Donc les puiiTances K , L , fuppofées entre-
elles dans ce dernier rapport , feroient alors en équilibre
fans être entr’elles comme EF à FG 5 ce que la part. 1.
Fait voir être impoffible. Donc il eft impoffible auffi que
ces deux puiiTances K ,Lj dirigées fuivant-CK, DL , per-
pendiculaires ( Hjjp. ) à EF , FG , & • entr’elles ( Hyp. ) com-
me ces lignes EF , FG, ne demeurent pas en équilibre
entr’elles dans la pohtion donnée ACDB de -la corde
ACB. Ce yu il falloir z°. àémoMrtr.»

Corollaire T.

;F i.G. Stf. 'Soient prefentement tant de puiiTances quelconques
& 7 -M- K , L , M , N ,.ôc.c- qu’on voudra , appliquées fuivant tel-

les directions ÇK.,DL , PM , QN , &c. qu’on voudra auffi,
à autant de points quel conques C,D, P, Çh_, êcc. de la
corde lâche ôc parfaitement flexible ACDB attachée par
les deux bouts à deux clous ou crochets A , B , & en
•équilibré entr’elles. D’un point S pris à volonté fur le plan
du polygone ACDPQB que ces puiiTances font former
( Th. i l CoroL 1 a. ) à cette cor de, fuient fur tous les co-
rtex AC, CD , DP, PQ_ , QB> &c* dece polygone autant de
perpendiculaires Se , Sf, Sg , S h , S r, tkç. qui- les rencon-
trent ( prolongez ounon -) en autant de points e ,f,g , h , r,
.Sec. Après cela fur une quelconque CK des directions
des puiiTances K , L , M , N , &c. foit menée une per-
pendiculaire EF qui la rencontre en : k , & qui rencontre
auffi en E , F , les droites Se , Sf, prolongées jufqu a elle,
3 o s’il eft necelTaire. Du point -F loit FG perpendiculaire en
;l à la direction DE de la puiffance fuivante L , & qui
ppcre Sg£n Q. De ee point G fort auffi-GH perpen-
diculaire

M.ecanï qjj e i g 5

cüculaire en m à la direction PM de la puilfahce fui vante
M, & qui rencontre S h prolongée en H. De ce point H
foie pareillement HR. perpendiculaire en n à la direction
QN de la puiiTance fui vante N , & qui rencontre Sr
prolongée en R. j &: toujours de même , quelque nombre
de puilfances quelconques qu’il puilfe y avoir ici en équi-
libre ainfi entr’elles.

Cela fait, il fuit de la part. i. du prefent Th. 9. qu’en
cas d’équilibre entre toutes ces puilïances K , L , M,, N,
&c. elles feront entr 'elles comme les lignes correfpondan-
tes EF , FG , GH HR;, &c. perpendiculaires ( Hyp. ) à
leurs directions. Car l’équilibre fuppofé rendant ici le
point P immobile comme s’il étoit fixe ainfi que le point
A , la part, i . du prefent Th. 9. fait voir que K. L : :EF,
FG. Le meme équilibre rendant pareillement les points
C , immobiles comme s’ils étoient fixes , cette part. 1 „
du prefent Th. 9. donnera de même L. M : : FG, GH.
Parla mêmeraifon elle donnera pareillement M. N : : GH.
HR. Et toujours de même , quelque nombre de puilfances
quelconques dirigées à volonté , qu’on fuppofe ici ,en
équilibré entr’elles.

Donc

fK. L

L.M:

: EF. FG.

: FG. GH.

CM.N::GH.HR.

&c.

Par confisquent ( en .raifon ordonnée ) toutes ces puif-
fances K , L , M,, N, &c. feront ici. entr’elles comme les
dignes correfpondantes EF , FG , GH ,HR , &c. perpen-
diculaires à. leurs directions, Ce cpti il falloit démontrer-

Corollaire II.

"Toutes ces .'lignes EF-, FG, GH , HR., &c. étant ici F 1 «.
{ conftï. ) perpendiculaires en F, l , m , n , &c. .aux dire-
ctions CK, DL , PM, QN-, &c. de toutes les pu ill an < es
K,L,M ,JN T &c. chacune A chacune silelt manifeftç

.A a

■ ' No'U'TELIF

que fi ces directions font toutes parallèles entfelîes
nomme dans la 1-ig. 8 8*. toutes leurs perpendiculaires
EF , FG , GH ., HR. ,..&c,.ne feront alors enfemble qu’une
feule & même’ ligne droite QI,dè laquelle elles feront
autant de parties. Donc ( Corol. ir. ) les puiüances K ,L ,
M , N-,, &c„-fuppofées en équilibre entr’ëlles , feront auffi
pour lors entr’eiics comme les parties correi pondantes EF,
F G , GH , RR., &c„ de la droite 01 perpendiculaire à
toutes leurs, directions. -D’où l’on voit dans la Fig. 8 8 . que
des poids K, L , M , N', &c„ de directions parallèles en-
tr’elîes , & ainfi en équilibre entr’eux .,. fer oient auffi en-
t-r’eux comme ces parties correfpondantes EF , FG , GH ,
HR , &c, de la droite 01 perpendiculaire à leurs dire- -
ilions,

G O - R O" Lt, A’ I PC E I ï ï.

Le réciproque des. deux précedens Corol. i . -r.-fedé--
$7° S8< montrera comme la part-., z. de ce Théoreme-ci : fça»
voir, que la corde ACDPQB étant. donnée de pofition,
c’eft-à-dire , le polygone quelconque qu’elle forme, étant:
donné, fi d’un point pris à volonté fur le plan de ce po-
lygone , on mène SE , ; SE , SG , SH , SR. , &c. perpendicu-
laires en e,f,g,h,r, &c„ à fes- cotez AC , CD , DP ,
PQ^, QB , &c. &. de ' rapports quelconques entf’élles ; fi
l’on applique aux angles C , D , P , ■ ,. . &c,de ce poly-

gone , fuivant des directions CK , DL , PM , QN , &C..
perpendiculaires aux bafes.f prolongées ou non.) EF, F G ,
GH , HR .,. Aie. des triangles ËSF , ES G , GSH , HSR , &c.
autant de puiffancesK., L,.M-, N, &c. lefquelles foient
entr’elles comme ces bafes , toutes ces puifTanees retien-
dront enfemble la corde ACB dans la pofition donnée
ACDPQB , y demeurant en- équilibre entr’elles.

Car premièrement les clous ou crochets A , B , étant:
chacun ( Hyp.) a une réfiftance invincible, il elF manifelte
que toutes ces puiflances doivent tôt ou tard fe mettre:
en équilibre entr’èlles; dans quelque pofition de la corde
ÂCB. Secondement ùcette pofition ne peut être autre que--

M E C A N 1 QJJ El. î-gy

la donnée ACDPQB j puifque fi quelqu’un de fe§ an-’
gles , par exemple , A CD , augmentait ou diminuoic , un
raifonnement femblable à celui de la démon ftration de la
part, x . fera voir que quelqu’un des autres angles du po-
lygone donné , diminueroit ou augmenterait , & peut-être
plufieurs : mais tin nous fiuffit pour faire voir qu’alors les
perpendiculaires EF r3 FG 3 GH , HH ôcc. aux directions
données des puiffiinces K , L, M , N, &c. ne feraient plus
enraifon de ces puifîances j & qu’ainfi ces mêmes puif-
fances pourraient ici faire équilibre entr’elles , fans être
en raifon de ces lignes j ce qui eft impoffible par le Co-
rol. i • Donc il eft pareillement Impoffible que ces puifi*
fances, telles qu’on les vient de fuppofer , ne demeurent
pas en équilibre entr’elles dans la pofition donnée ACDPQB
delà corde ACB. Ce cjii il fallait démontrer,.

■Corollaire IV.

Il fuitde-là en particulier danslaFig. 8 8. que despoids Fi
N, &c. de directions parallèles entr’elles , ap-
pliqués aux angles C 3 D , P , Q^, &c. d’un polygone
quelconque ACDPQB formé par une corde ACB de
po fit ion donnée, & entr’eux comme les parties EF, FG,
GH, HR, &c. marquées fur une droite G1 perpendicu-
laire aux directions de ces poids , par les droites SË , SF ,
SG, SH, SR , &c. menées d’un point S pris à volonté fur
le plan de ce polygone , perpendiculairement en e ,/, g,*
h ,r, &cç. à fes cotez AC, CD, OP, PQ^, QB , &c. pro-
longez ou non : il fuit , dis-je , du précèdent Corol. 3.. que
tous ces poids retiendront enfemble cette corde ACB dans
.cette polition donnée 'ACDPQB en équilibre entr’eux 9
ou qu’ilsla lui donneraient 3 ft elle ne l’aveit pas.

C o RO l x A ï R e V.

Donc fie polygone était d’une infinité de cotez ,c’eft-
.a-dire, fi la corde ACB forme it une courbe quekxnaque
donnée ACDIQB, dont les tangentes fullent confequem-
anent les. cotez infiniment petits prolongez AC , CD, DPs

A a ij

rS S N O U V F. L L E-

PQ_, QB , Sic. de [ce polygone infinilatere jr- que d'un
point quelconque S pris à volonté fur le plan de ce poly-
gone ou de cette courbe ACDPQB on fuppofat des per-
pendiculaires SE , SF, SG , SH j SR r Scc. à toutes ces tan-
gentes en e ,f,g, h, r,ficc. fie qui rencontraffent en autant
de points E,F,G, H, R , fiée, une droite quelconqueOI per-
pendiculaire ên k,l , ,»,fiec.à des directions CK,DL,PM,
QN,&c. parallèles entr’elles de poids K, L, M , N-, fiée, fuf.
pendus aux angles ou points C , D , P , Q, fiée. de
concours des tangentes contiguës de la courbe donnée
ACDPQB , fie que ces poids fuflent entr’eux comme les
parties correfpondantes EF, FG , GH , HR , fiée, de la
droite OI : if fuit, dis- je du -précèdent Corol. 4.. que ces

{ )oids en cette raifon , fie ainfi appliqués à la corde ACB,
a retiendroient enfemble dans la courbure donnés
ACDPQB , ou la. lui donneroient fi elle ne l’avoit pas..

Corollaire Y L

fi®, 2$- Gela étant , fi la po fit ion. donnée de la corde ACB
étoit , par exemple , un arc. quelconque de cercle
ACDPQB r égal ou moindre que le quart de cette cour-
be, dont S fut le centre, fie A le. plus bas de tous les
points , auquelelle fût attachée comme en B dans un plan
vertical , fit touchée par i’horifontale AI on OI 5 qu’aux
extrêmitez C r -D,JP,.Q, &c. de fes parties égales infini-
ment petites AC , CD ,DP , ; PQ^_, fit c. de cer arc ( qui re-
gardé comme un. polygone infinilatere régulier , ait fes
points pour fes angles., fit fes petites parties pour fes co-
tez ) fJjfîent fufpendus autant de poids K ,.L , M , N , ôte.
de directions, toutes perpendiculaires en k , b,m , n ,..fitc.
à la tangente horifontalè OI , fit qui fuflent. entr’eux
comme lés parties EF , FG , GH , HR , 8 :c. marquées fur
cette tangente par lès recantesSE, SE , SG , SH , SR, ôte
perpendiculaires, aux. milieux: > , h , r, &e. deséle-

mens égaux AC ,..GD ,DP ,I J Q^, QB. , Sec., de l’arc cir-
culaire donné ACDPQB r fi tout cela ( dis-je ) étoit ainfi,
il fuit du précèdent Corol. 5. que. ces poids K ,L

M&C A N I QJJ1.

£ic. ainfffeiï raifon des différences EF , FG ,GH ,HR > ôec„
des tangentes AE, AF , AG , AH , AR , &c. des arcs cir-
culaires Ae,Af, Ag,Ak, Ar,&c. retiendr oient- eniemble la
corde AGB dans la po fi tibia ou cour bure circulaire don-
née ACDPQB j ou la lui donneroient fi elle ne l’avoit pas-»

G'o R G- L l a i & i. Y ER

Toutes chofes demeurant les mêmes que dans tous les Fig. g*--
Corollaires précedens, ces fix. Corollaires faifant voir qy,e S/ *
pour que les puiffanées K , L , M , N ,.&c. quelques dire-
ctions qu’elles ayent , retiennent enfenable la corde ACB
dans la courbure quelconque donnée ACDPQB ou
qu’ils la lui donnent E elle ne l’a pas 3 il faut que ceS
puiffances K , L ; M , N , &e. foient entr -elles -comme les
lignes EF, FG, GH , HR Sec, perpendiculaires à leurs--
directions terminées par des -perpendiculaires menées '
d’un même point quelconque S , pris fur le plan de cette
courbure ou polygone ACDPQB ,-à fes cotez AC,. CD 3
DP , I Q^, QB , Sec., lefqiiels prolongez ‘ fo trouvent -tan- -
gentes de la courbe, en laquelle ce polygone le réduit ,
lorfqu’il devient infinilatere , aux angles ou concours G ,

D , P, QJ &c. defquels cotez, pris deux à deux contigus,
ces puiffances font appliquées : il fuit- necêffairement de

tous ces Corol. 1 . 2 . 3..' 4. 5.6. qu’alors — > ~ 5 ~~ > ~y y ’

&c. doivent être autant de fractions confiantes égales ■
entr’elles 3 & réciproquement que lorfqu’el les 'feront tel-
les. , les. puiffances. K L >. Al ,. N , &c. ailifî appliquées
doivent demeurer en. équilibre entr’elles , & retenir la
corde ACB dans la courbure qm aura donné les numé-
rateurs de ces fractions enraifon de ces puiffances , ou lui
donner cette .cour bure fi elle» ne l’a pas.

Corollaire VIII

Donc conformément aux Corol. 2. -4. ,-5. 6 . îorfque les"?? s. m
directions CK, DL, PM , QN , Sic. des poids K, L , M-, Ss ‘

.N, &.c, font parallèles entr’elles, comme dans les Fig.

; î 5)0 .; N O Ü V ELLE

8 8. g c> . les perpendiculaires EF 3 EG, GH , HR , J&c. à
ces directions , ne faifant alors qu’une feule & même li-
gne droit, e OI perpendiculaire à toutes- ces naemes dire-
ctions 3 il faut 3 pour que, ces poids retiennent la corde
ACB dans la courbure donnée ACDPQB non feule»

ment [ Corot. 7. ) que. les , .tractions — 5 j- > ^ , &Ç,

foi en t confiantes toutes égales, entr 'elles , mais encore
que leurs numérateurs EF , FG , GH , HR ôçc. (bien t au-
tant de parties d’une même ligne droite OI perpendicu-
laire aux directions de . çes poids , marquées fur elle par
. des perpendiculaires menées d’un même point quelcon-
que S ; aux cotez du poLygone ou aux tangentes de la
..courbe ACDPQB que la corde doit former par l'action
, de, ces poids appliquez- chacun au-concours de deux tan-
gentes contiguës c’eft-à-dire .3 aux angles du polygone
qui dégénéré, en cette courbe. Réciproquement lorfque
ces fractions feront telles , les poids K , L , M , N, &c,
,ainfi fufpendus aux angles ou concours C , D , P, Q_,
,&c. des cotez ou tangentes contiguës de ce polygone ou
de cette courbe ACDPQB , doivent ( Corot. 7. ) demeu-
rer en équilibre- entr’eux , & retenir la corde AC.B dans
cette courbure 5 ou la lui donner. Il elle ne l’a pas.

THEOREME X.

I. Deux put flanc es quelconques K , ,L , dirigées ,'à 'volonté .
& appliquées en deux points quelconques C , D , d’une corde
lâche & parfaitement -flexible ACDB , attachée par les deux
bouts u deux clous ou crochets A , B , demeurant encore en équi-
libre enpr elles comme dans les Th. 8. p. d’un point quelcon-
que S foient faites SE ,SE, SG , parallèles aux trois cotez
AC CD , DB , du polygone ACDB que ces puiflances font
faire u cette corde .t & d’un point F pris aufji k-fuolonté fur
S F , foient menées FE , F G , parallèles aux direcîtons ,C/Ç
DE , des puijfqnces K , L flufqu a ce que ces. deux lignes ren-
contrent SE ,SG .en E , ( 7 . Cela fait , je dis qu.en çe.cas à’ fl

Nouvelle Mécanique,

-

O

3VÏ E C A N L QJL7 E. - ï'ÿ'tr

qUilibre les puiffances K , L , feront mtr elles comme EF s
’È'G , pejl-k-dire , K. L : : EF. FG . -

II. Réciproquement la corde ACER étant donnée- de pof“ '
ùon c efl-k-dire , le polygone qu elle forme étant donné ,Ji
d’un point S pris k volonté , on fait SE , S F , S G , parallèle
aux trois côte'f AG , CD , DS , de ce polygone '> & que d’un
point F pris aujjl k volonté fur SF , on mene deux droites •'
quelconques FE, F G , qui rencontrent SE , S G en E , G : deux
puijfances K , L , qui feroient entr elles tomme ces deux lignes -
FE , FG , ér qui auroitnt leurs directions CK , DL , paral-
lèles k ces mêmes lignes , chacune k chacune , retiendront la
corde A CD B dans cette pofition donnée-, y demeurant en équi-
libre entr elles. ■ •

D e m o n s t : k a t i- o n«

Part. DS oient encore appeliez r,/, g, comme dans
la ciémonilrat. de la part. r . du Th. 5». les forces dont les ’
cordons AC, CD , D B, dont ici tirez chacun également
en fens directement contraires. Le triangle LSI 7 ayant ici
( conflr . ) les trois cotez SE, EF, SF , parallèles aux dire-''
étions CA d CK,. CD , des trois forces <?, K [Myp. ) en
équilibre entr 'elles j ces trois cotez du triangle ESE-fe-'

Font ici entr 'eux ( Th. T. C oroh y’.) comme ces trois forc-
ées. De même le triangle SFG ayant pareillement {conflr.)
les trois cotez SF-, F G , GS , parallèles aux directions DG, - s
DL , DB , des trois forces/, !, , ces trois cotez du trian-

gle SFG feront auffi entr'eux ( Th. 1. Corol. f.) comme "
ces trois forcés. Donc K./: : EEs FS. Et / IL : ES. FG. Par
confequent ( en raifon ordonnée ) K. L : : EF. FG. Ce qui if-
fallait i°. démontrer.

Part. II. Cette féconde fe démontrera cémme la fé- '
vende du Théorème 5? .

C O RO L L AI R E IF

Soient prefentement taint de puiffiances. K , L . , M-, N Pi e.

Ac.. qu’on voudra appliquées fuivane telles, dhectiôns
GK , DL ,-PM , QNf 3 quon voudra- auffi ,A autant- de-

S3‘

V„

1 5» x Nouvelle

•points quelconques C, D , P, Q^, Sec. de la cordeTâche
Se parfaitement flexible ACB,Se en équilibre entr J elles.
D’un point quelconque S Foient -menées -SE , SF , SH , SR.,
&c. parallèles aux cotez AC, CD , DP , PQ^ , QB , &c.
•chacune à chacun , du polygone ACDPQB que ces
puiflances K, L ,M , N, &c. font former ( Th -' i • Cor. 1 1 .)
à cette corde ACB. Soient aufli RF ,FG ,,GH ,HK , &c.
parallèles aux directions. CK, DL, PM , QN ,&c. de ces
'mêmes puiflances , Se qui rencontrent SE , SF , SG , SH,
SR , Sec. en E , F , G , Fl , R , Sec.

Cela faif, il fuit delà part, i . du prëfent-Th. i q. qu’en
cecas dlequilibre entre toutes ces puiflances K , L , M , N,
...Sec. elles Feront entr’elles comme les lignes EF ,-FG , GH,
: 1 1 R , Sec. parallèles, à leurs direclions. Car l’équibre fup-
pofé rendant ici le point D immobile comme s’ilétoit fixe,
•ainfl queie point'A ,1a part. -r. duprefent Th. io. don-
•ne K.'LrtEF. FG.de même équilibre rendant pareille-
•nient les points C , P , immobiles -comme s’ils étoient fixes,
-cette part. i. du prefent Théor; io. donnera de même
IL. M : : F G. GH. Par la même raifon elle donnera aufli
M. N : : GH. HA. Et toujours de même , quelque nombre
.aie puiflances quelconques dirigées à volonté qu’on puifle
luppofer ainfl en équilibre entr’elles.

Donc

K. L;: EF.FG.
I,.M::.FG-GPi
M.N : : GH. HR

ü&c.

Par confequent ( en raifon ordonnée ) toutes ces puif--
fances K , L , M , N , &ç. feront ici entr’elles comme les
lignes correspondantes EF , FG, GH , HR , &c. parallè-
les àleurs directions.

C O R O L L A I R E fl L

Toutes ces lignes EF , 'EG, GH, HR , S le. étant ici
conjïr .') parallèles aux direclions CK, DL ,PM , QN , Scc.
de tomes les puiflances K, L,M-, N, .Sec., chacune à-cha-

ÿ-cime,]

' ; ’■

M e c a n ï qjlt e„ 1555

xanc j il efl manifelte que il toutes ces directions font pa-
rallèles entr 'elles , toutes leurs parallèles EF , FG , GH,

HR > &c. ne feront alors enfemble qu’une feule Se même
ligne droite OI, de laquelle elles feront "autant de par-
ties. Donc ( CoroL 1 . ) les puiffances K , L , M , N , Sec.
fuppofées en équilibre entr’elles , feront aufli pour lors
entr’elles comme les parties correfpondantes EF , FG,
GH,HR,&:c. de .cette ligne droite OI parallèle à toutes
Se à chacune de leurs directions. D’où l’on voit dans la
Fig. 9 3 • que < ^ es p°ùis K , L , M , N , 8ec. de diredions pa-
rallèles entr’elles, Se ainfî en équilibre entr 'eux , feraient
auiïï entr eux comme ces parties correfpondantes EF ,
FG,GH,HR, Sec. de la droite OI parallèle à leurs di-
redions»

Corollaire II I.

Le réciproque des deux précédons Corel, i. 2. fuit de Fl *■ 5,1,3
la part. 2. du prefent Th. r o. Se le démontrera comme S3 ’
le Corol. 3. du Th. 5». fçavoir, que la corde ACB étant
donnée de poiition ACDPQB , c’eft-à-dire , le polygone
quelconque qu’elle forme s étant donné 5 fi d’un point
quelconque S on niene .SE,, SF, SG -, SH, SR , Sec. pa-
rallèles à fes cotez AC, CD, DP,PQ_, QB, Sec. Se de '
rapports quelconques entr’elles 5 fi- l’on applique enfuit©
aux angles C , D,P, Q , Sec. de ce polygone, fuiyant
des directions CIC,DL,PM, QN, Sec. parallèles aux ba-
fes EF , FG , GH^HR , Sec. des triangles ESF , FSG,GSH,

HSR , Sec. autant de puifiances K , L , M , N , Sec. lefquel-
les foient entr’elles comme ces bafesj toutes ces puiiîânces
retiendront ..enfemble la corde ACB dans! a pofition don-
née ACDPQB, en équilibre entr’elles j ou elles la lui don-
neraient, fi elle ne l’a voient pas. Cela, dis-je , fe démon-'
tirera comme le-Corol. du Th. 9,

Corollaire I V d

. Il fuit en particulier dans la Fig 9 3 . que des poids K , F 1 b.

, Sec. de diredions parallèles entr’elles, appli-

B b

ï t >4 Nouvel l i

quées aux angles C , D , P , Q^, &ç. d’un polygone quel-
conque ACDPQB formé par une corde ACB de pofi-
rion donnée , & entr’eux comme les parties EF-, FG,
GH , HR, & c». marquées fur une droite OI parallèle aux
directionsde ces poids., par les droites SE , SF , SG , SH ,
SR, &c, menées d’un point quelconque S parallèles aux
cotez AC , CD , DP , PQ^, QB, Scc. de ce polygone: il
fuit, dis-je , du précèdent Corol. 3. que tous ces poids
retiendront enfemble la corde ACB dans la polition don-
née ACDPQB enéquilibreentr’euxjouqii’ilslaluidon-
neroient 5P1 elle ne l’avoit pas.

Corollaire. Y.

Donc il ce polygone étoit d’une infinité de cotez , c’efE
à-dire, fi la cor de ACB formait une courbe quelconque
ACDPQB , dont les tangentes fuiTent confequemment
les cotez infiniment petits prolongez AC , CD , DP , PQj
QB , Sec., de ce polygone infînilatere > que d’un point
quelconque S on fuppolat des parallèles SE , SF , SG,
SH, SR, &c„ à toutes ces tangentes, & qui rencontraf-
fent en autant de points E, F , G , H , R , &c. une ligne
• droite quelconque OI , pa rallele aux directions CR , DL,
PM, QN-, &e. des poids K , L , M, N, &c. fufpendus
aux angles ou points C , D , P , Q^, &c-. de concours des
tangentes contiguës delà courbe données ACDPQB , &
que ces poids fuilent entr’eux comme les parties torrefi-
pondantes EF , FG, GH , HR &c. de la droite OI : il
fuit , dis-je , du precedent Corol. 4. que ces. poids en
cette railon , & appliqués à la corde ACB , la retien-
droient enfemble dans la courbure donnée , ou la lui don-
jaeroient, fi elle ne l’a voit pas.

■ - ' - • ‘ . f - -- - \ -

Corollaire VE

D ’où I 011 voit que fi. les points •( infiniment proches lés*
mis des autres) C, D , P, CL, &c, de cette corde ACB,
jufqu’ici regardée comme lans pefanteur , avoient effe-
âùvement des pefanteurs. de directions parallèles entre-

s, /' "-vy

M E C A N I QJJ E. ï 9 5

'elles , R en raifon des parties EF , FG, GH, HR., Re-
marquées comme dans le Corol. 5. fur la droite 01 pa-
rallèle à toutes ces directions 3 cette corde ( Hyjj. ) parfai-
tement flexible ACB prendroit d’elle-même la courbure
donnée ACDPÇXB.

C O R O L L A IRE VIL

Toutes chofes demeurant les mêmes que dans tous les
Corollaires précedens , ces fix Corollaires faifant voir que
pour que les puiflances K , L , M,N , Rc. quelques dire-
ctions qu’elles ayent , retiennent enfemble la corde ACB
dans une courbure quelconque donnée ACDPQB , il faut
que ces puiflances K , L , M,N > Rc. foient entr 'elles
, comme les lignes EF , FG , GH , HR , :Rc. parallèles à
leurs directions , & terminées par des parallèles menées
d’un même point quelconque S , aux cotez AC , CD,
DP,PQ^_, QB , Rc.de ce polygone , lefquels prolongez
: font tangentes de la courbe en laquelle il fe réduit quand
; il devient infïniiatere. , aux angles ou concours C , D ,
P,Q_, Rc. defquels cotez, pris deux à deux contigus,

, ces puiflances K , L , M , N , Rc. font appliquées : il liait ,

dis-je , des Corol. 1 . ,z . 3 .4, 5 .6. qu’alors S* G J ^ :,î |p î ’

Rc. doivent être autant de fradtions confiantes toutes
régales entr elles 3 R. réciproquement que lorfqu’elles fe-
ront telles , les puiflances K , L , M , N , Rc. âinfî appli-
quées doivent demeurer en équilibre cntr’elles., R rete-
nir enfemble la corde, ACB dans. la courbure ACDPQB
, qui aura donné les. numérateurs de ces. fractions , ou. lui
rfloimer. cette courbure , fl elle ne l’avoit pas.

■ C O R O L L A i R E VI I I.

Donc conformément aux' Corol. 2. . 4. -5 . 6 lorfqne les
diredlions CK , DL , PM, S QN , Rc. des poids K , L , M ,

. N , Rc, font parallèles,: entr elles , comme dans la Fig. 9 3 .
lies parallèles EF ,. FG , GH, HR,, Rç. à ces directions,,
ne faifant plus alors qu’une feule R, même ligne droite

ErG.^iâ

93 -

Fie.

Jt)6 N o U V 1 E L L E

OI parallèle â ces mêmes directions j il faut pour que ces
poids retiennent la corde ACB dans la courbure donnée
ACDPQR , non feulement ( Corel. 7. ) que les fraélions

X 3 T’ ’ 5 ’ ^ c ‘ ^ ent confiantes Sctoutes égales en-

tr’elies , mais encore que leurs numérateurs EF , FG,
GH , H if , ôcc. foient autant de parties marquées fur une .
même ligne droite OI parallèle, aux directions' de :ces
poids j par des parallèles menées d’un même point S aux
cotez du polygone , ou aux tangentes de la courbe.
ACDPQB que la corde, doit former t réciproquement
lorfque ces fraélions feront telles , les poids K > L , M , N, .
Sec. ai'nii fufpendus aux angles ou concours C,D , P,Q^,
&c. des cotez ou tangentes contiguës de ce polygone ou
de cette courbure ACDPQB ? doivent demeurer en équi-
libre entr’eux , & retenir la Jorde ACB dans cette cour-
bure donnée , ou la lui donner, ii elle ne l’a pas.

Lorfqu on a parlé ci -de fus de courbures quelconques
ACD P Jpf! ^ données ou non f de la corde ACB -, il: efl vifible
qu on n’y a compris que des courbures telles que des puiflances
o.udes poids qui lui feroient appliquez y lui pourraient donner »
& confequemment toutes convexes du coté vers lequel tendent
ou-les puijfances qui la tirent en même fens

THEOREME XL .

Soit encore une corde lâche parfaitement flexible A CDP JpB*
attachée par f es extrêmitez a deux, clous ou crochets A , B ,
laquelle / oit tirée en C , D , P , £M, (fc.. par tant depuiflan-
ces K , L , M, iV, &c..qu.on voudra -, en équilibre en.tr elles
fluivant des directions quelconques EK, PL , GM , H N , frc,.
je dis qu’en ce cas dé équilib re ta réflflance d'u clou A fera tou-
jours à celle du. clou B j comme le produit des fltms des angles
faits du côté de B par ces directions avec la corde AC DP JpB,
fera; au produit des flnus de ce qu elles font d’autres, angles
■avec cette corde du cote de. A

M E C A N I QJJ Eî-

Démonstration.

£-> 2 '

Soient e\f,g y &c. les forces de tendons dont les par-
ties intermediaires CD , DP , PÇC_, &c. de la corde font-
tirées fuivant leurs longueurs par le concours des puif-
fances K , L , M , N , &c. foient auffi A. , B , les ré fi fiances- ■
que leur font les clous de ces noms. Soit enfin /la cara-
deriflique ou la marque des finus des angles que les di-
rections des puiffances font avec la corde quelles cour— -
bent en polygone quelconque ACDPQB.

fA.er-./Em/ECA.

, r , f , , \e.f:: /FDP./FDG-

Cela pofe,le Cor. i . du Th. - 2 . 'donne ^ , yGPQ/CxPD

V &c.

Donc ( en multipliant par ordre ) A. B : : /ECDx/FDPx
/GPQx/HQBx &c. /EC Ax/FDCx/ GPDx/HQPx
Ce qu il fallait démontrer . ■

Corollaire L

Il fuit de-làque -files directions EK , FL , GM, HN,&Ci
des puiffances K , L , M ,N, &c.: divifent chacune en
deux également chacun des angles ACD , CDP , DPÇ/_.
PQB ,• ècc. de 1a- corde ,-au travers- defquels ces directions
patent j cette corde fera bandée partout d’éga-le force
dans toute fa longueur ACDPQB 3 de les réfi fiances A*
B , des clous de ces noms , feront égales enor elles 3 c’efl-
à-dire , qu’alors on- aura A—ec=f--g—'3^=,dcc. Car cette
égalité d’angles en chacun des points C, D ,P, Q_, ren-
dant /ECD— /ECA , /EDP=/1DC ,/GPQ^/GPD*
/H QB~/H QP j rendra auffi ( fuivant- les premier es ana-
logies. de la démonflration précédente ) K—e^ e~f^f~g^
^=:B , Sec. Et par confequent A^re— fz=g~V>~dcc. ainfi
«pilon le vient de dire. •

B b aj. .

; î U. 9 jï

. V"'" *

©

. ï£.8 ^Nouvelle

C O R O L L A IRE IL

Si au contraire les directions EK , FL , GM , HN , &ç„
des pu Elances K , L , M , N , &c. font toutes parallèles en-
tr.’elles 5 les réiiltances A, B, des clous de ces noms, fe-
ront en rai l’on réciproque des finus des angles ËCA
HQB , que leurs cordons feront avec les directions EK ,
.HN, des puilfances K , N, qui leur font plus voi fines 3
c’eft-à-dire , qu f alors on aura A. B : : /HQB. /EGA. Puif.
que ce parallelifme rendant fÊCD— /FDÇj/FDPtrr/GPD,
jGPQt=;/HQP , &c. l’analogie conclue dans la démon-
stration precedente , doit fe réduire ici à A. B:: /HQB.
TE CA. ' • -

'JHLOREME XII

Soit encore la corde lâche & .parfaitement flexible ACP B
attachée par fes extrémités k deux clous ou crochets A, B,
& bandée en polygone quelconque A CD P par tant & tel-
les puiffançes IC, L , M , N , efic, qu on voudra , appliquées
fuivant telles dire étions CIC , DL , PM, , ffic. qu on
voudra aujjî , aux angles ou points C , D , F , firc. de la
_ corde queces puiffançes^ en équilibre entr elles difpofent ainfi
en polygone AC DP jpB, Soient R , S ,T, &c. les points ou
les côtes prolonges PD , JgP , BJêff, &c. de ce polygone ren-
contrent fon premier côté AC, prolongé. Soient E le point ou les
directions ,KC , LD , prolongées fe rencontrent ; F celui ou RE B
\MP , prolongées fe rencontrent aufll ; G , un pareil point de
rencontre entr elles de S F , NJff , prolongées de même , (fie.

. Cela pofé , je fis ,

L ' Jfue fi N ejl ( comme ici ) la demi ere.de s puiffançes fup -
pofées , la droite GT fera leur direction commune , c e fi- k- dire
( DéfÇy. ) la direction de l s effort refultant du concours de tou*
, tes ces puiffances K , L , M , N , contre les clous A , B.

1 I. Jgue cet effort commun fera aux réfifiqnces de c es clous
A,B, comme lè finus de f angle total ATB aux finus des an*
files partiaux GTB , GTA .

»

M je xta k rojj V' xÿty

Ü EMO NS T R AT I O N. "

PAÎT-’L-Les Corot.- iy. & zô. du Lem. 3. font voir
cjne l’effort réfultant du concours des puiffances K,L,
elt dirigé luivant ER ou FR i que le réfultant du con-
cours de celui-ci &: de là puiffance M , eff dirigé fuivant ~
FS ou GS j que le réfultant de celui-ci de la puiffance
N elt dirige fuivant GT j & toujours de même. Donc
s’il n’y a ( comme ici ) que les quatre puiiTances K , L , M }

N 3 l’effort réfultant de leur concours total d’action con- '
trie les clous A , B , aura fa 'direction fuivant GT. Ce q uil : :
fallait I Q ‘. démontrer v - _ „

Part. IL Donc toutes ces' püiffancés K ne ;

font enfemble contrôles clous A , B , que comme une
feule égale à l’effort réfultant de leur concours , laquelle
appliquée 'en T fuivant la' direction GT de cet effort , à ! -
11 11e corde ATB , feroit loutenuc : par ces deux clous A, B . *
Or f Th. 1 .'Ce roi. 4.) cette nouvelle puillanee fuivant G T, ’
feroit alors aux réiîftances de ces mêmes clous A y B , com- "
me le linus de l’angle ATB aux fuius des' angles G TB ’
GTA. Donc l’effort réfultant du concours d’action de
toutes ïea puiffances K", L , M , N , eontrè les clous' ’
A 3 B , elt ici aux rélîltances de ces clous 3 comme le linus '
de l’angle total ATB elt aux linus des angles partiaux ~
GTB 3 GT A- Ce qu.il fallait i°. démontrer .

C or oïl A i re D’-
Donc en' général (part, i. i.) fi l’on prolonge le pre-'-'
inier AC, le dernier BQ , des cotez du polygone funicu-
laire fuppofé ACDPQB , jufqu’à ce qu’ils fe rencontrent’
en quelque point T , & qu’on divife leur angle ATB en 5
deux autres GTA , GTB 5 dont les linus foient en raifon
réciproque des rélîltances des clous A , B , trouvées dans
lè Th. 1 1 . c’elt-à-dire , en deux. autres angles GTA3GTB3 '
tels que le linus partial GTB foir au linus de l’autre par-
tial GTA y comme la réfiltanèe du clou A elt à celle dix ;
©iouBila droite GT quidivifera ainli l’angle total ATR,: '

\fT ' »

2.00 N O CT V ET. L ’S

fera la direction de l’effort réfui tant du concours des
puillànces K , L , M , N , lequel effort (Th. i . Cor. 4. ) fera
I chacune de ces réfiltances des clous A, B, commeie finus
de cet angle total à- chacun des finus des angles partiaux
GTB , GTA : de forte que fi Ton appelle A , B, ces réfi-
. fiances des clous de ces noms , qu’on prenne / pour la
marque des finus , l’un -aura -toujours ici- A. B : : /GTB,
/GTA. Donc ,

i°. Les réfiflances A , B , desclous ou crochets, de ces
. noms étant trouvées fui vaut Je Th. 1 1 . fi depuis T fur
leurs directions TA , TB, on prend TV. TX : : A. B. &
que de ces cotez TV, TX, on faffe le parallélogramme
TVXG , l’on aura fa diagonale GT pour la direction
commune de toutes les pui Tances K >■ L , M., N » c’efl-à-
i dire.. , de la force réfultante de leur concours : puis on
<aura pour lors A. B : :T-V. TX ( Lemme 8. Corol. 2 . ) ::
/TGV. /GTA : : /GTB. /GTA. Ce que Je nomb. 2 .. du
Corol. i.duLem. 3 . fait auffi voir.

2°. Réciproquement la direction commune -GT des
r puiffances .K , L , M , N , c’eft-à-dire , de la force ( que
•j’appelle T ) réfultante de leur concours., étant trouvée
•fui vaut le-prefent Th. *1 2.. le parallélogramme TVGX
d’une diagonale GT prife à volonté , fur. cette direction
commune , &: des cotez TV., TX., placez fur les dire-
ctions T A, TB, -des réfillan ces A, B, donnera de même
( Lem. 3 .'Corol. 1 .nomb. 2. ) VT , GT ,XT, en raifon de
A , T , B > & confequemnient A. B : : T V . TX ( nomb. .2 . )

M. Bernoulli a trouve la precedente direction commune GT
$ une autre maniéré dans f on Elfay de la Manœuvre des
: V aiffeaux , chap. 1 prop. 3. ou il l'appelle Direction
moyenne.

C G R O L l -AU R E I -L

:©n -vient de voir dans le Corol. 1. du Th. ri. que
Jorfque les directions EK, TL , FM , GN des puiffances
S.i M j . N ,î divifent -chacune en deux parties .égales

chacun

» ■

f '

’M E C A N' I QJLJE. iOÏ y

.chacun des angles ACD, CDP , DPQ^_, PQB , quelles
traverfent j les réfiftances des clous A, B , Pont égales
entr’ell es. Donc alors ( Corol. i . j la direction GT de
l’effort résultant du concours de toutes ces puiffan ces ,
bivife également en deux l’angle ATB compris entre les
directions prolongées AC , BC/_, de ces réfiftances -, 5 c
cet effort commun eff à chacune de ces deux ré fi dan-
ces , comme le ffnus de- l’angle ATB eff au ffnus de la
-moitié de. cet angle.

Corollaire III.

Le Corol. 2. du Th. 1 1 . fait voir auffi que lorfque les E
directions EK , EL 5 FM , GN , des puiffances K , L , M ,

N, font toutes parallèles entr elles , le ffnus de l’angle
:GQB eff au ffnus de l’angle EGA , comme la réffftance
du clou A eff à celle du clou B , c’eft-à-dire , en prenant
encore A & B pour les noms de ce s réffftances , & f pour
la marque des ffnus 5 qu’alors A. B : : /GQB./ECA. Or
en general (.Corol. 1. ) la .direction GT de l’effort réful-
tant de toutes ces puiffances K , L , M., N , quelques di-
rections qu’elles ayent , doit toujours divifer l’angle ATB
£ en deux autres GTA , GTB , tels qu’on aie toujours A. B
-4 : /GTB./GTA. Donc.en ce cas-ci de directions EK., EL,

.FM , GN , toutes parallèles entr’elles , l’on aura toujours
/GQB. /ECA : : /GTB. /GTA. Ce qui fait voir qu’en ce
-cas-ci la direction GT de l’effort refukant du concours
des puiffances K, L , M , N , de telles directions , doit tou-
jours être parallèle à ces mêmes directions , conformé-
ment au Corol. 1. du Lem. 6 . qui le pouvoit auffi dé-
montrer.

ü O R 0 ,L L A I R E I V.

..Imaginons prefentement que le précèdent polygo- Eig.^sï
ne funiculaire devienne inffnilatere , 5 c dégénéré ainff
en une courbe ACD B , .comme dans la. Figure pd.
par l’action dune infinité de puiffances appliquées à
tous les points de cette corde , ou par les pefan-

2 :0 2 N O U V E L L E'

teurs particulières quelconques de. toutes fes parties;,
foientauffi imaginées aux points A , B , de fufpenfion
deux tangentes AT , BT , de cette courbe ACDB , lefquel-
les fe rencontrent en quelque point T. Cela pôle,
i°. Si les preffions ou tractions de cette corde ACDB
font toutes perpendiculaires à fa courbure , le Corel, z,
fera voir que la ligne GT , qui divifera en deux égale-
ment l’angle ATB compris entre ceS deux touchantes
AT, BT, fera la direction de l’effort réfultant de tout
ce qu’il a de forces qui courbent ainfi cette corde* .

2 0 . Si les preffions ou traCtions font toutes parallèles
entr elles , telles qu’on fuppofe d’ordinaire toutes cel-
les qui réfulteroient à cette corde ADCB de l’action fur
elle des: differentes pefanteurs de toutes fes parties 5 leCo-
rol. 3 . fait auffi voir que la ligne GT parallèle à toutes ces
directions , feroit la direction de l’effort réfultant du con-
cours de toutes ces pefanteurs. particulières , ou d’autres,
forces quelconques qui , comme ces pefanteurs agiroient
fur cette corde ACDB fuivant des directions toutes pa-
rallèles à celles-là.

THEOREME XI J L

Mi a: . S oit le precedent polygone funiculaire quelconque AC DP Jj)&

formé par L action de tant de puifjances K, L, M, é"c- "quon
voudra , appliquées aux fommets C , D , P , fj'c. de fes angles
fuivant des directions EK, EL , EM , (jrc. le j quelles faffent
pnfentement toutes dé un même côté , par exemple , vers A ,
avec les côtefadjacens AC , CD , DF , PJp^, &c:des angles
quelconques ACE , CDE , DPF , FJ^G , &c. tous égaux en-
tr eux , & dont les immédiatement vo fines fe rencontrent deux
a deux en E , F , &c.fi l’on appelle e , f , g , &c. les forces dont
les parties CD, DP, PJÎf, &c. de la corde polygone A C DF JpB
font bandées ou tirées chacune fuivant fa longueur s l'on aura

par tout ici ces puifjanc.es
Scc.

‘M E C A H' I OJJ E„

ï'OiCÂ

D E M O N S T R ATI O N.

♦

’Puifque les angles ACE , COE-, DPF ÿ PQG , Sec. font
( Hyp. ) tous égaux entr’eux , il eft manifefte que fi l'on
prolonge AC , CD , DP , PQ_, &c. vers R. , S , T , V,8ec.
fon aura les angles D CR— DEC , PDS- PFD , QPT=r
QGP , Sec. Cela étant , Se les cotez d’un triangle reéli-
; ligne quelconque étant toujours entr’eux (Lem. F. Cor. z.)
comme les finus des angles qui leur font oppofez ,

Le Corol. 4. du Th. 1 . donnera par tout ici

K. e : : /ACD./ACE : :/dC R-./cDE : : /ced./cd ^ : CD. CE.

L. f: :/CDP./cDE : : /pDS. /dp F : :/pFD./dpF : : DP. FD.

M. £: : /dpq./fp.D: :/qpt./gqp: : foc, p./gqp : : pck_GP.

Sec.

.fXCD T ./XDP
■FD 5

Defquelles Analogies réfultent K-

CE

M-

Û.P

7 Sec. CV <^ph7 falloit démontrer.
■ Corollaire L

On voit de-là que fi les cotez CD , DP , PQr> 8ec. du
polygone funiculaire ACDPQB étaient en raifon réci-
proque des forces e , /, ^ , &c. dont ils font tirez cha-
îcun fuivant fa longueur par de concours .des puiifances
K , L , M, Sec. Cette hypothefe rendant par tout e x CD
/xDPur^xPQ^vSvC. de grandeur confiante , laquelle

doit prife pour l’unité,, rendroit K— — , L— — , M—

&c. oelt-à-dire , que les puiifances K , L , M , Sec. fe-
raient alors en raifon réciproque des lignes CE,FD,GP 5
•&e. qui.leur répondent.

•Ce ij

,/

NO U VE LL £•

G -O- IL- O E- L'AIR- E- I L

»,

1 1 « • iee. Si' prefentemènt on fuppofè que le precedent polygone -
funiculaire devienne infinitilatere , c’eftà-dire , une cour-:
be quelconque APB par l’action d’une infinité de puif-
fances qui lui foient appliquées en tous fes points fui-
vant des directions toutes perpendiculaires à fa cour-
bure, defquelles unefoit ( fi l’on veut ) celle GM de la
puilfance M perpendiculaire en P à la courbure de cette*
corde APB , laquelle perpendiculaire GM foit rencon-
trée -en G par une autre QG perpendiculaire aufiî à cet-
te courbe en l’autre extrémité QMe fon élément ou de
fa partie infiniment petite PQ^ la perpendicularité de
ces deux droites GP , GQ__, à la courbe APB en deux
points P, Q , infiniment proches i’nn de l’autre , .leur fiai-
fant faire avec cette courbe des. angles droits GPD,GQP,
& confequemment égaux entr’eux d’un même côté , fi
l’on prend encore g pour la force dont ce petit côté PQ^
du prefent polygone infinitilatere APB , elt tiré fuivant
fa longueur par l’aâtion de tout ce qu’il -y a ici de puiflan-
ces qui donnent cette forme à cette corde j la démonftra-

tîon précédente donnera ici la puilfance M~ — & :

GP

ainfi de toutes les autres puifiances , dans lefquelles va-
leurs le Corol. i. du Tb. i r.-faifant voir que la force g
fera par tout la même : de forte que la longueur des éle-
mensP , Q__, ne faifant rien à cette forcer , fi on les* prend
aufiî par tout les mêmes , c’efi-à-dire , tous égaux entre-
eux ou conftans,& que le produit gxPQ^ainfi rendu con-
fiant , y foit pris pour l’unité , l’on y aura ces puilTances

M— é™ j &îc. c’eft-à-dire , que les puilTances. M , &c. fe-

ront alors par. tout entr’elles en raifon réciproque de-
leqrs GP , &c. appeliez vulgairement rayons ofculateur.s

G

' i \

<1 *

Mec a N" ï ' Qjj E", ■ zo 'p

de la courbe quelconque APB aux points P, &c. où ces
puilfances lui font appliquées fuivant ces directions per-
pendiculaires à -fa courbure. •

G O R O L L A I R E II I -

Soient préfentement deux cordes APB , ERF , courbées
encore à volonté par l’action d’une infinité de puilfances
qui agilfent toutes perpendiculairement fur elles en tous
leurs points , de maniéré que pour peu qu’on augmentât
les appliques M > T , en P , R > fuivant les rayons ofcula-
teurs GP, HR, de ces courbes , elles cafleroient ces cor-
des en ces points ou élemens PQ_ , RS , dont les plus gran-
des forces ou réfiftanees poffibles foieiït^, h , avec lef-
quelles ces puilfances M , T , foient en équilibre, ôc com-
me à la veille de les- furmonter. En ce cas le precedent

Corol. a. -donnera M“ c — — q T— X R -~ : de forte que

y*

Fisriosfi
1 0 1»

l’on aura ici

■ {fXPOXT

l Q -

GP

GP
hx R SX M

RSXM PQXT
GP

HR

GPXM HRXT

d’où- refaite g. h-,":

c’eft-a-dire 3 que -les plus
HR GP PQ^_ rs 1 r

grandes forces ou réfiftanees poffibles g , h , des cordes’
APB , ERF , en P , R , feront ici en raifon des fraétions

correfpondarités —

GPXM HRXT

, ou ( en prenant PQ=pR$

pq_ RS

dont la grandeur n’y fait qu’autant que les for ces M, T, •
font répandues le l<5ng de ces élemens , comme feraient
celles de liqueurs qui les. prelferoient perpendiculaire- ~
ment dans toute leur longueur ) comme les produits
GPxM , HRxT. De Forte que s’il ne falloit ici que de3 ’
puilfances égales M , T, pour faire ain fi équilibre avec
les plus grandes réfiftanees poffibles ^ , h , de ees cordes ’
en P, R, ces plus grandes réfiftanees ou forc.es g , h , en 1
ces points , feraient alors comme les rayons olcnlateuré *
G'P j HR , de ces.courbesen ces mêmes points. -

G g .11}

I

% O 6

K. O U V E L - L E

CorollaireIV.

Si présentement on confidere les courbes A PB , ERP ,
comme des anneaux ou parties d’anneaux differens d’un
tuyau , ou de tuyaux differens ce baSes quelconques ,
coupez horiSontalement, & les puiffances M , T , comme
des efforts de liqueurs quelconques contenues dans ces
.tuyaux , lesquelles le preffent de dedans en dehors per-
ependicuïairement en leurs élemens PQ^_, RS , avec des
. forces en équilibre avec les plus grandes réliftances pof-
Sibles g , des anneaux ou tuyaux à être rompus en ces
endroits , de maniéré que pour peu que ces efforts M , T,
y augmentaient , ils.y creveroient ces anneaux ou tuyaux;
..tout cela ( dis- je ) ainli conlideré , le Corol. .3. fait voir
que les plus grandes réliftances polftblesg , h , de ces
. anneaux APB , ERF,y feroient entr’elles. comme les fra-

; étions correspondantes

G PXM HRXT

RS

J c’eft-à-dire. 3< g'.A::

iG PXM HRXT

JP O

RS

, Ainft ^expérience , & même le raisonne-

ment Seul faiSant voir que les efforts de^liqueurs contre
quoi que ce Soit , font toujours . comme les produits de
.leurs pelanteurs Spécifiques par leurs hauteurs au deffus
des bafes ou . Surfaces qu’elles preffent , & par ces bafes j
& confequemment que Si l’on prend, p , *jt , pour les pe-
Santeurs Spécifiques des liqueurs contenues dans les
tuyaux dont APB , ERF, Sont les anneaux ou parties
d’anneaux, & A .2,pour les hauteurs que ces ligueurs y doi-
vent avoir au deffus dePQ,RS,pour y faire équilibre avec
les plus grandes réliftances poifthles g , h , de. ces anneaux
ou tuyaux à être rompus en ces .endroits., pour des hau-
teurs ,( dis-je ) telles que pour peu qu’on les augmentât.,
ces liqueurs y creveroient ces tuyaux ; l’on y aura
Mt=ffpxPQ^, & TrriSsrxRS , pour les efforts perpendi-
/Culaires M , T , Sur les élemens PQ, RS , des anneaux
.ASB , ERF , en équilibre avec les plus grandes réliftances

M'E C A N ï CVU Ei 207

g',h , que ces anneaux y puilfent faire pour n’y point
crever : la fubflitution de ces valeurs de M , T, dans
l’Analogie precedente , la changera ici en g. h : : G t'xbp^
HRx/ 3 sr. c’eff-à-dire , que les plus grandes forces ouré-
fdtances poffibles g , h, de ces anneaux APB, ERF, ou
de leurs tuyaux , pour - n’être point rompus en PQ^,RS,
par l’effort M ,T,de's liqueurs qui tendent perpendicu-
lairement à les y crever qui les y creveroient en effet
( pîyp. ) pour peu qu’on les augmentât, feront ici entr’el--
les comme les produits Gl? xbp , HRxiS®' , des rayons ofcu-
lateurs GP , HR. , de ces anneaux APB , ERF , en ces en-
droits, multipliez par les hauteurs b , j 3 , & par lespefan-
teurs fpecifiques p , & , des liqueurs qui les y preffent per-
pendiculairement : de forte que,

i°. Si ces liqueurs font de mêmes pefanteurs fpecifîe'es -
p,nr , comme de l’eau qui feroit de la même dans les
tuyaux dont les courbes APB , ERF , feraient des anneaux
ou des parties d’anneaux 5 Ion y aura g. h : : GPxA HRx/ 3 .
c’eft-à-dire, que les plus grandes forces ou re'fi fiances pof-
fibles g,h, de ces anneaux pour ne point crever enFQf*
RS , y feraient comme les produits de leurs rayons ofcu-
lateurs GP , HR , en ces endroits , multipliez par les hau-
teiirs b,{Z, des liqueurs qui les y preffent perpendiculai-
rement , 8 e qui les y creveroient ( Hyp. ) pour peu que ces >
hauteurs de liqueurs au delfus des endroits y iuffent aug- -
mentez.

2°. Si de plus 011 veut que ces hauteurs b, 0 , foient
égalés entr’elles, c’efl-à-dire , fi Ion veut ici b— S outre
p— 7 t 5 ces plus grandes forces ou réfilfances g , h , des
tuyaux , ou de leurs anneaux APB ’, ERF , pour ne point :
crever en PQ^_> RS, feront entr’elles comme les rayons *
©fculateùrs GP , HR , de ces anneaux en ces endroits.

3 °. Si l’on veut que ces tuyaux foient à l’ordinaire cîr- -
cnlaires , R remplis d’eau-, comme font les tuyaux de con-
duite des fontaines 3. leurs plus grandes forces où réfiflan- -
ces poffibles g , h , pour ne point crever en PQ__>, RS , y fe- - .
rcmt comme les produits des hauteurs £ , j 3 , de l’eau dans -

V

. * i .
r

©

%ol -N’O U1 V E' L L'-E

ces tuyaux au deiïus de. leurs anneaux APB , ERF „ mul-
tipliées par les rayons de ces anneaux circulaires. De for-
te que fi. les plus grandes hauteurs b , (l , d’eau que ces
plus grandes forces ou réfiltances poffibles^ , h , puITent
i’outenir.fans que. les tuyaux çrevafïent PQ , RS , étoient
égales i ces plus grandes farces ou réfillancesg , h , en cet
endroit , y leroient eii raifon des rayons ou des diamètres
des anneaux circulaires APB , ERF, de ces tuyaux.

On voit afj'ez, ..que les courbes AP B, ERF pouvant être
également prifes pour des .anneaux .en dijferens endroits d'un
meme -tuyau , ou de dijferens tuyaux > tout le precedent. C or. y .
-convient également aux dijferens anneaux dé un meme ou de
différent tuyaux , de quelque nature ou grandeur de bafes qu’ils

C O R O L L ,A 1 R E V.

On appelle tu vaux de forces ou de réfiftances c p; h , par
tout égales, lorfque les plus grandes hauteurs £,/3, d’eau
-qu’ils puilfent foütenir fans crever., font par tout égales
£ntr 'elles aux endroits PQ_, RS, ou ils creveroient(#)p.)
pour peu qu’on augmentât ces hauteurs. Or le nomb. i .
du precedent Corol. 4 . fait voir qu’en ce cas. ces plus
grandes forces ou réfilf ances poffiblesg , h , de ces tuyaux,
pour ne pas crever, en aucun des. endroits PÇf_, RS, font
entr’elles comme les. rayons ofculateurs GP , HR , en ces
endroits de leurs feefions horifontales APB , ERF. Donc
des tuyaux font de ré fi (Rinces égales par tout pour ne fe
point crever , lorfque, leurs plus grandes -forces ou ré£U
Rances poffibles.^ , h , ; y font par tout en raifon des rayons
ofculateurs de leurs fections horifontales aux endroits
de ces plus grandes rchlfanecs. Or il ell vifible qu’en
fait de, tuyaux de même matière les plus grandes forces
ou réfiftances pc.ffibles à ne point crever , .y font comme
la multiplicité de leurs fibres , ■ ce it-à-dire, comme les
épaiffeurs de leurs anneaux de hauteurs égales. Donc
pour que ces tuyaux de même matière foieut par tout
. & ,jSJ.iti:’eux de ; même (force, pu .rcfîlhuice à .être .crevez

(oient

.1

M E C A N I QJLT E-, 2 0.5

par des liqueurs homogènes, il faut que leurs épaiffeurs
foient par tout en rai(on des rayons ofculateurs en ces
endroits de leurs ferions hôrifontales 5 &; confequem-
. ment que leurs epaiiTeurs y foient comme leurs diamè-
tres en ces endroits , lorfqu ils font circulaires.

S G H O L I E.

On voit allez de quelle utilité les deux derniers 'Corol-
laires 4. 5. font pour juger delà force des tuyaux dans
la conduite des eaux -. ils pourroient me mener plus loin
fur cette matière , à laquelle la liailon des confequen-
ces m’a infenliblement conduit j mais n’étant pas de mon
fujet, je ne m’arrêterai mi qu’à faire remarquer que le
Corollaire z. d’où ces deux-là me font venus par la mé-
diation du Corollaire 3 . pourroit encore fe démontrer
immédiatement fans le fecours du prefent Théorème 13 .
qui l’a donné.

Car fi outre l’élement ou petit côté PQjdu polygone
infïnilatere APB de la Fig. 1 00. on y enconlidere encore
ma autre DP prolongé vers T en tangente DT ou PT de
eette courbe, êeque GP, GQ^, perpendiculaires ( Hyp. )
à ces deux petits cotez PQ__ 3 DP ,, y rendent les angles
-GQP=:GPD, 8e PGQ=QPTj le point Pie trouvant ici
itiré par la puiffance M contre les réfi (tances de ces deux
petits cotez, comme avec.trois cordons PM, PQ_, PD,,
Je Corol. 4. du Th..i . fera voir que la puiüance M y doit
être.àla réfiflance g de petit côté ou cordon PQ^, com-
bine le (inus de l’angle total DPQjiu (inus du partial GPDj
.'c’e(t-à-dire ,en prenant encore ici / pour la marque des (i
41.US M.^:: /DPQ^/GID : :/QPT./GQP : : /PGQJGQP

•i [Lent. 8. Corol. a. ) :: PQ^GP. Ce qui donne -qy~-

C&.le refte.comme dans le Corol. -z.

Fig

S E C TI O N ni.

DES POULIES ET DE S: M OEJELE s:

Soit que le centre de ces Poulies demeure fixe 3 ouquon
lefiuppofie mobile , & pour toutes les dire fiions pojfln
blés des puijjances ou des poids qui y fieront appli ■*

De finition X V II L -

Fisï ioi. T A Poulie eft une Machine compofée d’une Roue
103. 104. j ; j MBNG , traverfée par fon centre A d’1111 Eilîeu ap-
pelle G ou jon , on Tourillon ,, autour duquel elle eft mobile
parle moyen d’une corde PMBNR , appuyée fur fa cir-
conférence ou fur fon épaifleur : elle eft prefque toujours
encliâffée ou retenue par le moyen de fon Effieu dans une
fente ou replis d’une piece de bois ou dé fer AB , appellée
C happe ou Echarpe , que cet Effieu ( que nous regarderons
à l’ordinaire comme une ligne) traverfe auffi.

L’affemblage de plufieurs Roues ou Poulies ain fi en-
châflees dans plufteurs fentes ou replis d’une même piece
de bois ou de fer , & mobiles ( chacune fur fon centre )
par une . feule & même corde , qui en paflant de l’une à
l’autre , s’appuye fur toutes , s’appelle Moufle.

Soit qu’une même corde embrafle une ou plufieurs
Poulies , fes parties touchantes de chaque Poulie , feront
dans la fuite appeïlées fimplement touchantes de cette
Poulie , ou même cordes touchantes de cette Poulie, comme
ii elles étaient autant de cordes differentes ; & les points
où ces Poulies feront touchées par ces parties de cordes,
feront fimplement appeliez leurs points £ attouchement. -
Ces Poulies feront enfin appeïlées fixes ou mobiles , fé-
lon que leurs centres, ou goujons le feront. Les Mondes

IlCÂNI Q_U E i I I

feront auifi appellées fixes ou mobiles , félon qu’elles fe-
ront attachées à des points fixes , ou qu’elles pourront s’en
approcher ou s’en éloigner.

Définition XIX.

La droite MN menée par les points M , N, d’attou-
chement de la circonférence du Cercle ou de la Poulie
MBNC, & comprife entr’eux , s’appelle d’ordinaire Corde
ou Soutendante , de chacun des arcs MBN , MCN > mais
nous ne l’appellerons dans la fuite que Soutendante de b arc
.ÆfÆiV'embrafle.par la corde PMBNR , pour diltinguer
cette droite MN de /cette corde PMBNR , ou fimplement
; Soutendante -, fçavoir celle qui paflera. par les points-d’at-
touchement de la Poulie.

THEOREME XIV.

Pondamental de la prefente Section. 3 ..

Sérient trois puiffances quelconques D , P , R, dont la pre-
mière D [oit . appliquée au centre mobile A d’une Poulie Fre
MB NC Juivant une direction quelconque AD , ér les deux
autres P-, R.., aux extrêmitez, d’une corde F MBN R appuyée
fur cette Poulie.

I. S’ il y a équilibre entre ces trois puiffances D , P, R ,ainfi
. appliquées., quelqu angle MHN que faffent entr elles les par-
ties prolongées PM ,RN , de -cette corde , c efi- a- dire , les di-
rections .P M , RN, des .deux puijfances P , R > la direction
AD de la.troifiéme puiffance D paffera toujours par le point
H de leur concours h travers Je leur angle -MH N , Jr fera

: dans un même plan avec elles.

I I. En ce cas d’ équilibre cette puiffance D fera toujours k
■ chacune des deux autres P , R , comme le finus de cet angle

MH R fera au finus de fa moitié.

III. En ce même cas d’ équilibre,, fi du centre A de la Poulie
ipar les points M , N.,, ou elle efi touchée par les parties PM,
;RN,de la corde P MB RN, on mène les rayons AM ,AN,
.avec la foutendante ..MN , le poids ou la puiffance D fera aujfi

Ddij

ii2 Nouvelle"

d chacune' des fui flanc es P , R , comme cette foutendante MM
de l’arc MB N enveloppé par la corde P MB N R , eft a chacun
de fes rayons AM , AN.

I V . Reciproquementpar rapport à la part, i.fila direction
AD de la puiflance D pafle par le concours H & a travers
l’angle MH N des directions prolongées PM, R N, des puijf an-
tes P , R , & q îie cet te puiflance D foit h chacune de ces deux-
ci , comme le Jinus de l’angle MHN compris entre leurs dire-
ctions prolongées , fera au [mus de fa moitié s. ces trois puiffan-
ces en ce rapport , & ainfi appliquées , feront ici en équilibre
entr elles.

V. Réciproquement auffi par rapport- a la part. y . fi la dire-
ction de la puiflance D paffe encore dans le plan & pur le con-
cours H des dire étions prolongées PM, R N , des puiflances P »
R , & que cette puiffance D (oit prefentement k chacune de ces
deux-ci comme la foutenddnte MN de l’arc MB N de la Pou-
lie MB NC , embrafl é par la corde P MBNR , eft à chacun des
rayons AM , AN , de cette Poulies ces trois puijfances en ce
rapport , & ainfi appliquées ,. feront encore ici en équilibr&en-
tr elles.

D EM'ON S T R A T. 1 ON.

Part. I. Les trois puiiïances D , P , R, étant \c\{Hyp£.
©n équilibre entr 'elles, les Corol. 13. 1 4. du Lemme 3.
font voir qu’en quelque point H que les directions pro-
longées PM , RN , de deux quelconques P , R , de ces
trois puilfances concourent entr’elles, la direction AD de
la troifiéme- puiflfance. D y doit aulîi eoncoui-ir, & être
dans un même plan avec elles. Donc en ce cas d’équili-
bre , quelqu’angle MHN que falfent entr’elles les par-
ties prolongées PM,.RN,de la corde PMBNR , c’eit-à-
dire , les dire étions PM ,.RN , des puiffanees P , R , la di-
rection AD de la troilîéme puiflance D palfera toujours
par le point H de leur concours le long de leur plan ,,
& à travers leur angle. Ce qu il falloir i°. démontrer.

P A R T. 1 1 . Sur une partie quelconque HG de la dire-
ction AD de la puidanee D , prife de H vers A dans les

M E C A N I QJJ E: XI 3.

Kg. 1021 104. & du côté oppofé dans les Fig. 103.':
105. loit le parallélogramme HEGF , dont les cotez HÉ,
HF, foient lur les directions HP, HR, des puilfances P,
R. Cela fait , lès nomb. 1 . 2,, 3 . du Corol. 2 . du Lem. 3 »
font voir que dans l’équilibre ici fuppofé entre les puif-
fances D , P , R -, la puilfance D doit être égale à la force
rélultante ( Lem. 3.. Corol. 1. nomb: 1. ) du concours des
deux autres contr’elle, & être, dirigée fuivant la même-
ligne que cette force en fens contraire ; de forte que la
puilfance D étant icr( Hyp. ) dirigée fuivant AD , la for-
ce réfultante du concours des deux autres puilfances P,
R, contre celle-là, y fera aulfi- dirigée fuivant AD , ou
fuivant HG diagonale du parallélogramme EF. Par con~
fequent cette force ou impreffion réfultante du concours'
de ces deux puilfances P, R, fera ici non feulement éga-
ie & directement oppofée à la puilfance D , mais encore
elle fera ( Lem. y. Corol. y. ) à chacune des puilfances P,
R, comme la diagonale HG du parallélogramme EF elf
à chacun de fes cotez HE, HF , qui leur répondent fur
leurs directions. Donc la puilfance D fera de même ici
à chacune-des puilfances P, R, comme cette diagonale
HG à chacun de ces cotez HE ,HF, du parallelogram- -
me EF 3 c’elt-à-dire (à caufè de HF~GE ) comme HG elf.
à HE , GE. Or dans le triangle HEG ces trois cotez H G,
HE , GE. , font ( Lem. 8.. Corol. 2.. ) comme les finus des
angles HEG , H GE , ÈHG , qui leur font oppofez*
c’eft-à-dire ( à. caufe de GE, HF , fuppofe'es parallèles •
entr 'elles ) comme les h nus des angles EHF , FHG s .
EHG , ou PHR,, RH A , PH A. Donc la puilfance D eft
pareillement ici à chacune, des puilfances P , R ,, comme
le linus de l’angle total PHR eft. à chacun des finus des
angles partiaux R HA., F HA. Mais PH ,.RH , étant ici
tangentes en M.,„N , de la Poulie MBNC , & El A palfant-
par fon centre A , les angles RHA , P.HÀ ,.y font égaux •
entr’eux , & chacun la moitié du total PHR. Donc enfin =
la puilfance D eft ici à chacune des puilfances P , R , en
équilibre ( Hyp. ) avec elle , comme le finus de l’angle

2 14 N O U V ELLE

PHR que leurs directions font entr 'elles , eff au finus de fa

moitié. Ce qui! falloitz 0 . démontrer.

C ettedémonf ration faiTvoir que les -trois puijfances D , P ,
R , font ici m équilibre fur la -Poulie MD N C , &. dans le
mime t'apport entr elles , que fi elles n étaient en équilibre
( Th. i . Corol. 4. ) qu avec . des cordes HD., HP , HR r
nouées enfemble en Hm & . dirigées comme elles font ici ,
cef-k-dire , de maniéré que les angles PHD fujfent égaux
. entr eux .comme ils le font ici > f? qu’ainfi ï équilibre des
puiffançe s.. entr elles fur des Poulies , peut fort bien paferponr
\ un cas .de /’ équilibre avec des cordes feulement ; & confequem-
ment aujji le prejent Th. 1 4. pour un (eut cas. . du Th. 1. ce
. qui fournit encore une autre démonstration que voici de la
mhne part. 2 . du prefent Th. 1 4.

Autrement. Il eft vifible que- tant que la puiffançe
D demeure a in fi en équilibre avec les puiflances P, R,
fur la Poulie ,MBNC , non feulement cette. Poulie de-
meure fans mouvement , mais encore la corde PM BNR
demeure deffus fans glifler, ni fie mouvoir .non plus que
fi elle y étoic collée ; ou pliy fiquement unie depuis M
jufq.u a N avec la partie MBN de fa circonférence ; èc les
points M , N , de cette corde aufîi fixes que fi PM , RN : ,
étoient deux cordes differentes qui y . fufi'ent.feparémenr.
attachées fuivant les. tangentes de la Poulie en ces deux
points-la : de forte qu’on peut regarder ici cette Poulie
MBNC, comme un corps qui tend vers D fuivant AD
d’une force égale à celle de la puiffançe D retenu
avec les cordes PM ,.RN, : par les puiflances P,, R, en
équilibre avec lui. Or en ce cas non feulement .fa ligne
de direction AD pafferoit {.Lem. 3 . Corol : 1 3 . t 4. ) par le
point H ou concourent ces cordes prolongées , & le - long
de leur plan j mais ; encore cette Poulie MBNC .regardée
. avec une telle impreiüon , auroit { Th. 4 .• Corol. 4, ) cette
force à chacune des puiflances P } R , qui, la retiennent .
comme le finus de l’angle MHN à chacun des finus des
angles ;-NHA 9 MHAf Donc en effet la ligne de direction.
AD ..de la force on puiffançe D, avec laquelle, la Poiili®

>

M 'e C A N I Qja' E» • 21 5

JVÏN eft uinfi tirée contre les puiflances P , R , en équili-
bre { Hyp. ) avec elle , pafle toujours par le point H , dans
lêquel leurs, cordes prolongées concourent, & le-longde
leur plan , ainfi qu’on le vient de démontrer dans la
part. 1 . mais encore en ce cas d’équilibre entre ces trois
puiflances D , P , R , la première D appliquée au centre
A de la Poulie , eft toujours à chacune des deux autres
P, R, comme le fi nus de l’angle MHN eft à chacun des
finus des angles NH A , MH A.

Or à caufe que DA -pafle ( Hyp. ) par le centre A de la
Poulie,. & par H , Se que MH , NH, en font deux tou- -
chantes en M , N 5 les deux angles NH A, MH A, font ■
chacun la moitié de l’angle MHN. Donc en la prefente
hypothefie d’équilibre entre les trois puiflances D , P , R ■
fur la Poulie MBNC , la première D , dont la direction -
AD pafle par le centre A de cette Poulie , eft toujours à
chacune des deux autres P , R , comme le finus de l’an-
gle MHN , ou PHR , que leurs directions ou Cordes pro-
longées font entr’elles, eft au finus de 4 fa moitié. Ce quil-
falloit encore 2°. démontrer.

Part. III. Puifque/ Hm - ) M ; N -, font les points ou
là Poulie efl: touchée par les parties PM , RN de la corde
PMBNR, de que dans l’équilibre ici fuppofé entre les trois •
puiflances D,P 3 R,ces parties de corde (directions des pu if- -
lances P, R ) prolongées concourent en H, fur la direction
AD perpendiculaire à la foutendante MN 5 les angles ■■
AMH ,.ANH, feront droits de même que ceux que fait la
droite MN avec AD 3 &c par confisquent Ion aura ici non
feulement l’angle MAN, complément de MHN à deux :
droits , mais encore tous les angles AMN ,-ÆHM , AHN,
ÂNM égaux entreux. Donc ( Déf y. Corol. 2. ) le finus
de l’angle MAN fera ici au finus de chacun des angles
AMN , ANM , comme le finus de l’angle MHN y efl au '
finus de chacune de fes moitié z AHM , AHN. Or en ce
cas d’équjlibre la puiflance D eft {part. z . ■) à chacune
des deux autres puiflances P , R, comme le finus de. :
l’angle MHN eft au finus - de -chacuns- de ■ fes. .moitiés ?

y

: 2. t 6 Nouvel l-e

,'AHN, ABM. Donc en ce cas d’équilibre cetce puidan-
■ce D doit auiîî être à chacune des deux autres P , R,
'comme le ïînus de l’angle MAN eft au dnus de chacun
des angles A NM , . AM N-, du triangle ifofcçlle MAN.,

. c'eft-à-dire ( LcmtS . Corol. i.) comme la foutendante MN
eft à chacun des rayons .AN , AM , de la Poulie MliNÇ.
'Ce cjtC-il falloit 3 u . démontrer.

Autrement. Puifque {conjlri) les trois cotez AM,
,AN,MN,du triangle MAN ,.font perpendiculaires aux
trois directions PH, RH, AD, (chacun àchacune ) des
trois puidances P , R , D , en équilibre (Hyp. ) entr’elles ,
& que ces trois puidances. font ici en équilibre comme
-fur un corps MBNC , auquel -elles feroient appliquées
en M, N, B 5 le CorojL 6. du Th. 1 . fait voir quelapuif-
fance D y doit être à chacune des deux autres P, R ,
comme le côté MN du triangle MAN elt à chacun de
fes deux autres cotez AN , AM , ceft-à-dire /encore com-
me la foutendante ,MN de l’arc MBN delà Poulie, en-
veloppé de la corde PMBNR , qui foutient cette Poulie
.■MBNC, eR à chacun des rayons de cette même Poulie.
,.C e cjtâ H fallait me or e 3 démontrer.

Part. I V. Puifque ( Hyp. pies trois puillances D, P, R,
appliquées comme d-dediis à la Poulie MBNC ,1e font
de maniéré que la direction AD de: la première D de ces

■ puidances , palfe par le concours H des directions PM,
-RN , prolongées des deux autres puidances P , R , le long

de leur plan , t & à travers leur angle MH-Nj que de plus
cette première püidance D eft à chacune des deux au-
tres P, R, comme le dnus de, l’angle MHN compris en-

■ tre leurs directions ou cordes prolongées , eft aji dnus de
fa moitié i & que ( la direction AD pallant par le centre
A de la Poulie fuivant fon plan , & les deux autres PM „
RN , la touchant en M , N, ) chacun des angles MH A ,
yNHA., eft la moitié de l’angle MHN : ces trois puidances

D , P, R, en action ( Hyp.) les unes contre les autres fur
lia Poulie MBNC , 'feront ici entr’elles comme les dnus
des angles MHN, NHA , MHÀ , que des directions ou
* .cordes

M E C A N I QJJ £.' 1 I J

cordes prolongées font entr’elles au point H , où elles
concourent ( Hyp. ) toutes trois enfemble. Donc (; Th. i .
Corot. .15.; cesurois puiiTances D , P, R , ainfi appliquées
à la Poulie MBNC comme à un corps tiré de ces trois
forces à la fois , doivent ici demeurer en équilibre entre-
elles. Ce quil falloit 4 0 . démontrer.

Autrement. Si quelqu’une de ces trois puiiTances
JD , P , R , par exemple , D , ne fuffifoit pas pour faire
ici équilibre avec les deux autres P, R, fuivant les di-
rections fuppofées , foit en fa place telle autre puiffan ce B
qu’on voudra , qui appliquée ( comme elle ) fuivant AD-,
y fuffife. La part. 2 . fait voir que cette puilfance B feroit
.alors à chacune des deux autres P , R , comme le lînus
de l’angle MHN eli au lînùs de fa moitié , c’eft-à-dire
( Hyp. ) comme la puilfance D ell à chacune de ces deux
puiiTances P , R 5 &c que par confequent cette puilfance
.D feroit égale à f autre B fubilituée en fa place. Donc
ayant ici [Hyp.) la même direction AD qu’elle -, cecte
-puiffance D feroit aulli ( a:c. 2. ) équilibre avec les deux
autres P , R.

Si l’ôn vouloit que ce fût une de ces deux-ci , par
•exemple, P, qui ne fuffît pas pour leur faire faire équi-
libre avec la troilîémeD , Ton n’auroit qu’à fuppoferde
même en la place de P fuivant fa direction PM quel-
qu’autrè puilfance K , qui y fuffît , & Ton trouveroit pa-
reillement que cette nouvelle puiffance K lui feroit éga-
le j & confequemment que la puilfance P , aulf-bien qu-e
K , feroit équilibre avec les deux autres R , D.

Donc les trois puiiTances D , P , R , appliquées comme
on les fuppofe ici-, à la Poulie MBNC , &entr 'elles ( Hyp. )
comme les finus de l’angle MHN & de fes moitiez , fe-
roient ici en équilibre entr’elles. Ce qtt il falloit. encore q°,
démontrer.

Part- V. Puifque ( Hyp. ) les directions prolongéesDA,
PM , RN , des puiiTances D , P , R , concourent ici tontes
•trois en H dans un même plan , & que ( Hyp. )M ,N,
font les points ou la Poulie MB.NC eft touchée par les

Ee

ai £ N ffUTEfi e -

parties PM , RN , de la corde PMBNR j Pon aura ici
( comme dans la démonfl. i. de la part. 3 .J le fi nus de l’angle
MHN au finus de chacune de fes moitiez. AHM ,. AHN ,
comme le finus de l’angle MAN eft a tr finus de chacun des
angles AMN,ANM,. du triangle MAN, c’eit-à-dire (Lem,.
8 . Corol. z.) comme la. foutendante MN eft à chacun des,
rayons AN. , AM de la Poulie MBNC > èc. confequem-
ment auiîî ( Hyp. ) comme la. puibance D eft à chacune;
des puiftances R , P. Donc ( part. 4. ) ces trois puiftances.
feront encore ici en équilibre entr elles. Ce qu’il falloir
5 G . démontrer.

Autrement. Cestrois puHTances. D, P R * étant ici
, ( Hyp. ) entr elles comme les cotez MN , AM , AN , du.
triangle MAN , perpendiculaires ( Hyp. ) à leurs, dire-
ctions AD , PM, RN , & en action les unes contre les au-
tres. fur la Poulie MBNC comme lur un corps auquel
elles feraient appliquées en B , M , N 3 le Corol. r:$>. du
Th. 1. fort; voir que ces trois puiftances D, P, R, doi-
vent encore ici demeurer en, équilibre, entr’elles. Ce qu’il
falloit encore 3 0 . démontrer.

Cette part. <ÿ. fe pourra encore (démontrer ( fi l’on ‘veut)
par un mifionnemcnt fiemblahle d celui de la fécondé, démon -
firatian de. la part. 4..

Corollaire L

La part. z. faifant voir qu’en cas d’équilibre ftir las
Poulie MBNC entre les puiftances D , P , R , la première
D appliquée au centre A de la Poulie, eft toujours, à cha-
cune des deux autres P ,R , appliquée à la- corde PMBNR
qui pafte fur cette Pouhe comme le. finus. de l’angle
MHN compris entre les directions de ces deux puiftan-
ces P , R, eft. au finus de fa moitié, fait voir que la puif-
fance D eft toujours, alors en même raifon. à chacune de
ces, deux mêmes puiftances P , R 5 & confequcmment
que ces. deux-ci font toujours alors égales entr’elles.

Cela luit auflï de la part. 3 . laquelle en ce cas d’équi-
libre donnant toujours la puillance D- à chacune des deux

MlC ANÎ QJLJ E„- il f

autres P , R , comme la foutendante MN à chacun des
rayons AM , AN, de la Poulie ABMC , donne auffi tou-
jours alors ces deux puilfances P , R.- , entr 'elles comme
ces deux rayons j & confequemment toujours alors égales
entr’elles. • , ■

Corollaire IL

De ce qu’en cas d’équilibre fur la Poulie MBNC , la
puilfance D eil toujours ( part. z. ) à chacune des puiflan-
ces P, R , comme le ünus de l’angle MHN compris entre
les directions de ces deux puilfances-ci , eft au fînus de fa
moitié' i il fuit ( comme dans le Corol. i o. du Th.'i . ) que
Jorfque ces diredions PM , R N , font parallèles entr’elles ,
confequemment auffi ( Lem. 6. Corot, i.) àladiredion
..AD de la puiffiance D , le finus de l’angle total MHN le
trouvant alors ( Lem. j. ) feul égala la fomme des finus
des deux angles partiaux MHA , NHA , moitiez de ce
total MHN j la puilfance D doit pareillement être alors
/feule égale à la lomme des deux autres P, R, confe-
, quemment ( -Corol . i . ) ..être alors double de chacune d’el-
les , ou chacune d’elles être alors moitié de celle-là.

Cela fuit auffi de la part. 3. fui vaut laquelle la puif-
fance D en équilibre avec les puilfances P, R, eft tou-
jours à chacune d’elles comme la foutendante MN de
l’arc enveloppé MBN de la Poulie cil à chacun de fes
rayons AM,, AN. Puifque ce parallelîfme entr’elles des
diredions PM, RN„ de ces deux puilfances P , R , con-
fondant cette foutendante MN avec ces deux rayons
AM , AN , alors bout à bout en ligne droite , 8e la ren-
dant ainfi pour lors. égale à leur fomme, doit auffi rendre
..alors la puilfance D égale à la fomme des deux autres P,
IR j & confequemment ( .Corol. 1 . ) être double de chacu-
ne d’elles. *

Corollaire II L

'Pour en tout autre cas,, c’eft-à-dire , tant que les dire-
jdions PM., RN., ne font point parallèles entr’elles-, ou

Ee ij

2 X 0 Nouvelle

que prolongées elles font entr’elles quelqu’angle fiai
MHN, 8e confeqpemment aufli ( part, i . ) les finis MHA,,
NHA , avec la- direction AD de la puiffance D 5 cette
troifiéme puifla-nce D eft toujours moindre ( part. 2 . ) que
leur fommc P — pK , ou que le double ( Corol. 1 . ) de cha-
cune : puifqu’aloés le finus de 1 angle total MHN eft tou-
jours moindre ( Lem. 8. Corol. 7.) que la fomme des finus
des. angles partiaux MHA , NHA.

Cela fuit aufli de la part. 3 . puifqu’alors lafoutendante-
MN de la Poulie MBNC eft toujours alors moindre que
la fomme AM^-f AN de fes rayons AM , AN j & que cette
part. 3, donne toujours alors D. P — PR : : MN.AM — pAN,

COROLLATRE I V-

En ce cas d’équilibre non feulement la ptiifTanee D eft
toujours moindre { Corol. 3.) que la fomme P — PR des
deux autres P ,R , tant que leurs directions ou cordes
ne. font point parallèles entr’elles j, mais, encore ( Corol. 1 .
d’ici hem. 8. Cor. 6.) d’autant moindre. ( quoiqu’en
raifon differente ) que L’angle MHN de ces directions ou
cordes prolongées eft pLus obtus.

La part. 3... fait voir la même, chofe en ce que plus cet.
angle MHN eft obtus , plus fon, complément MAN ( à-
deux. droits ) eft aigu 5, & confequemment plus aufli la.
foutendante. MN eit. moindre que la fomme AM— PAN
des rayons- AM , AN, de la Poulie MBNC : de forte que
cette, partie 3. donnant, toujours ici D. P — j-R : : MN.
AM: — PAN., elle y donnera toujours aufli D d’autant
moindre , que P— PR ( quoiqu’en raifon differente) que
l’angle MHN y fera pLus obtus..

C o r o. l l a i r e. Y.

Donc cet angle MHN pouvant s’ouvrir ou augmenter
de plus en plus à fin fini , jufqu’à ce queles directions ou
cordes PM, RN, des puiflances P, R, fe trouvent en li-
gne. droite 5 ces deux mêmes puiflances P, R, peuvent
faire enfemble équilibre avec mie infinité d’autres ap-

M E € AN I Q^U 1 . 2-2,1,

pliquées une à une en la place de la troifiéme puiflancé
D fuivant fa diredion AO , plus petites , & plus petites à
l’infini félon que cet angle MHN s’ouvrira de plus. en
plus.

Corollaire Y I.-

De-là & du Corol. r. on- voit que la puiflance D peut-
diminuer à l’infini, & cependant faire toujours équilibre
avec les mêmes puifTancesP, R., à mefure que l'angle-
MHN compris entre leurs directions ou cordes prolon-
gées PM , RN , deviendra plus grand 3 mais qu’en ce cas
d’équilibre cette puiflance D ne peut jamais être plus-
grande ( Corol.- 1 . d’ici ér Lem. 8 . Corot. 6. ) que la fomme
P— fR de ces deux-là 3 cette puiflance- D fera égale à
cette fomme P — PR ( Corol. z. ) lorfque les diredions PM,
RN, des puiflances P , R. , fe trouveront 'pa-ralleles en-
tr 'elles 3 & depuis cette égalité- cette puiflance D dimi-
nuera à l’infini ( Corol. -5.) à mefure que l’angle- MHN
augmentera , jufiqu’à devenir même nulle ou zéro , lorf-
que cet angle fe trouvera. infiniment obtus, c’eft-i-dire
( Dcf. 11.) lorfque les diredions PM , RN, des puiflan—
ces P, R, fuppofées toujours les mêmes ,.fe trouveront en
ligne droite.

Go R O L L A I'R E VIL

Donc en tous ces cas d’équilibre difFerens à l’infini , lès"
puiflances P, R,, étant- toû jours-f Corol. l. ) égales entre- -
elles,, & confequemment leur fomme double de chacune.
d’elles 3 il n’y en a qu’un feul oula puiflance D puiffe
être double de clxacunede ces, deux-là, fçavoir (Cor. z.ÿ-
celui où les diredions PM, RN, de ces deux puiflances-
égales P, R , font parallèles entr’elles 3 & dans tous les au-
tres ( Corol. 3 .) cettepuiflan.ee Dfera toujours plus peti-
te que le double de chacune de ces deux-là & d’autant
plus petite ( Corol. 4. que l’angle MHN fera plus ouvert,
ou plus obtus. -

Eeirj

C O R. O L L A I R E V Ü I ï.

' Prefentement fi au lieu de la puiftance ou du poids D
ç-en équilibre avec, les puilfances P, R ,, on attachoit la cor-
: de AD à quelque clou, il eft viilble que ce clou fero.it
la mêmeréfftance contre, les puilfances P,Rj que fait
.prefentement, le poids o.u la puilfance D j que la direction
de la corde Ap feroit encore ici la même qu’aupara-
vant, 6c que laréfiftance du clou y feroit égale à celle
du poids ou de la p.uilfance D„ D’où il fuit,

i°. Que lorfqu une Poulie fur laquelle deux puilfan-
ces font équilibre comme ici P , R , elt fufpendue ou rete-
nue par une corde -telle q.u’eft ici AD , cette corde le
dirige toujours, en forte ( part. s i . ) quelle divife. en deux
.également , l’angle MHN des tangentes de cette Poulie
s touchée aux points M ,.N , par les directions ou cordes
PM , RN , de ces deux puilfances.

i°. La réfîftançe ou la charge du elou auquel elt atta-
chée la,. corde AD qui. foûtien't cette Poulie MBNC con-
, tre l’action des puilfances P , R , elt à chacune d’elles
( part. 2.. ) comme le iîxius de l’angle MHN de leurs di-
xections ou cordes prolongées PM , RN ,..eft au finus de
,ia moitié, j 6c aulîî ( part. .3 . ) concilie la foutendante MN
de l’arc MBN enveloppé de la corde PMBNR , eft au
rayon AM., AN de la Poulie MBNQ

3 0 . Par confequent tant que l’angle MHN feroit fini..,
;îa charge ou la ..réfîftançe de ce clou auquel la corde
AD feroit attachée , ; feroit ( Corol. 3 . ) moindre que , 1 a
Pomme des puhlances RR., 6c moindre de plus. en plus
( Corol. 4. ) que cette. fo mine P — j-R , à mefur.e que cet
angle MHN deviendroit plus grand : mais fies directions
e ou cordes PM , RN,, de ces deux puilfances , lefquelles
prolongées .font cet angle , fe trouvent parallèles entre-
.. elles., la charge ou la rçiiftançe de ce même clou fera
égale [ Corol. 3. ) à la femme de ces deux puilfances P, R,
conlèquemment alors ( Corol. <l . .) double de chacune
.d’elles.

Corollaire IX.

Si la Poulie MBNC au lieu d’êtr e arrêtée en D , ou en
quelqu autre point de la corde AD , -qui- paiTe par fan
centre A , avoir feulement ce centre A fixe autour du-
quel elle fut mobile, les puiffances P, R , a giflant encore
fur cette Poulie de la même maniéré qu’auparavant , &
cette Poulie leur faifimt aufii encore la même réfiflance-
quelle leur faifoit lorfqu’elle étoit retenue par la corde
AD i elle doit en recevoir encore la même impreffion ,
& fuivant la même direction AD qu ? auparavant j ainfi
l’effort commun des puifiances P,. If, fur cette Poulie
MBNC , ne tend encore qu’à la mouvoir fuivant DA
avec la même force commune dont elles tiroient aupara- -
vant contre le poids ou la puiffance D , ou contre le clou
qu’on vient de fuppofer ( Cor. 8 .) en la place de ce poids
onde cette puiffance D. Donc la charge de cette-PouIie
MBNC > lorfque le centre A en- efl fixe , ou la réfiflance
de fon goujon fixe A ,, amour duquel feulement elle efb
rnobile , eft toujours ( part. z. ) à chacune des puiffances
P , R > ( en équilibre fur cette Poulie , & au concours-
d’action defqjxelles fon goujon fixe A- réfille ) comme le-
finus de l’angle MHN compris entre leurs directions ou '
cordes prolongées PM ,RN>. eft an finus de fa moitié
ou (part. 3.) comme la foutendante MN eft air rayon
AM ou AN de cette Poulie MBNC ; & eonfequemment
auffi ( Corol. y . ) cette charge ou réfiflance de ce goujon-
fixe A , efl toujours moindre que la fomme de ces deux'
puiffances P, R , excepté dans le cas de leurs directions
parallèles entr’elles ,.dans lequel cette charge de la Pou-
lie MBNC efl toujours ( Corol. z. ) égale à la .fomme de ces-
deux. puiffances P , R , 5 e eonfequemment- { Corol. 1. ) dou-
ble de chacune d’elles..

C O R O L L A I R E. X,. /

De -là & du Corol. 5 . il fuit que plus l’angle MHN-
compris entre les parties de la. corde PM , RI\’ ,prolon-

■11-4 N O U - V E , L L E

gées du côté de H , fera grand , moins «fera grande la
charge de la Poulie MBNC, ou de fon centre A, foit
. que ce centre en foit fixe , ou. qu’il foit mobile : de forte
que- cet angle MHN peut devenir lî obtus que la Poulie
MBNC ou fon centre- A ne fera chargé que li peu qu’on
-voudra des puiflances. P, R i jufques-là même que cette
-Poulie pourrait être foûtenue contre- ces deux puiflances
par une troifiéme JD . .indéfiniment petite , c’eft-à-dire.,
-moindre que quelque poids donné que ce foit : il ne faut
pour cela ( Corol. 4. ) qu’ouvrir l’angle MHN compris
-entre les directions des parties de corde PM ,RN, juf-
qu a ce qu’enfîn fon finus foit à celui de fa moitié , ou la
i’outendante MN au rayon, AM de la Poulie., en moindre
-raifon que le poids donné n’eft à chacune -des puifîan-
-ces P, R.

C O R. O L U A I r. b XL

Au contraire on peut rendre cet angle MHN li aigu
.que la puilfance ou le poids D applique au centre A de
la Poulie MBNC, , ou quelqu’autre- en fa place , devra
vôtre plus grand que chacune des puiflances P,, R , pour
-faire équilibre avec elles. Mais ; ce poids ne peut pas ainfî
augmenter à l’infini ; ..car ne pouvant jamais ( Corol..- 6 .)
.être plus-grand que iorfque cet angle MHN ou PHR
-eft infiniment aigu , c’eft-à-dire ( Lent. 6 . Corol. 1 . ) lorf*
queles parties PM ,.RN , de corde -font parallèles entre-
belles j &Je linus de cet angle MHN , n’étant encore alors
.( Corol. 4. ) que double du finus de fa .moitié , la fou-
rendante MN feulement double alors du rayon AM de
la Poulie, ce poids ne peut être tout au plus { Corol. 1. )
-que double de chacune des puiflances P , R.

COROLLAI R JE, XI L

Ce qui fait ..encore voir, comme dans .le Corol. 7. que
fur une infinité de cas differens où cet équilibre peut ar-
river , il n’y en a qu’un feul dans lequel le poids ou la
'puiflançe D puiffe ( Corol. .14. ) .être double de chacune

.des

M E C A N i OJJ E 2 2 5

des puilïances F,R j & que dans tops les autres il elt
, toujours f Corot, io.) moindre que double, &L moindre à
l’infini que chacune d’elles.

Tous ceux qui (e mêlent de Mécanique , fçavent affez que
jufqu au Projet de celle-ci , donné en 1687. dans lequel ceci
j'ut ainfl démontré on regardait ordinairement comme gene-
rale , & comme ab J dûment vraye cette proportion : Qu’un
poids attaché ou i'ufpendu au centre mobile d’une Pou-
lie, & en équilibre avec une puiflance appliquée à une
des extrêmitez d’une corde , laquelle embraflant cette
Poulie , auroit fon autre extrémité retenue par quelque
clou , ou autrement , feroit double de cette puiflance.
Cependant on voit par ce dernier Corol. I z..& par le Corel.

• 7. que fur une infinité de cas dijferens ou cet équilibre peut
. arriver , cette propofition n ejl vraye que dans un feul, qui. e fl
lorfque les parties de la corde , qui touchent .cette Poulie
l'ont parallèles entr elles , çfl qu elle ejl faufe ■ dans tous les
autres. Il ejl vrai que dans la démenferation qu'en donnent
les Auteurs qui Vont avancée , ils fuppofent tous que ces par-
ties de corde touchent cette Poulie aux extrêmitez dl un même
.diamètre & c on f e quemment qu elles font parallèles entr elles»
mais, outre quilefl rare qu elles le f oient „ ces Auteurs n ayant
■point fait cette re friction dans leur propofition , ils la regar-
dent dans la fuite comme generale , & V appliquent indiffé-
remment à. toutes les machines on l’on fe fert de Poulies , fans
avoir égard dla fituation de leurs cordes , que plufleurs même
dirigent indifféremment-, Jans rien changer au rapport refai-
sant du feul parallelifme de ces directions -dans cette propofl-
tion, entre les poids & la puiflance quilsy fuppofent en équi-
libre entr eux , comme Ci cette variété des directions n en de-
voit -apporter aucune .dans ce rapport : ce-qui a jette ces Au-
teurs dans des méprifes confiâerablcs , comme on le verra par
de Corol. 17. de ce Théoreme-ci , par les Corol. 1.2. 3 . des
Th. 17. 18. dans les réflexions qui fuivront ce Corol. 1 7.
du prefentTh. 14.. & le Scholie -du Th. 18.

M. Wallis ef le feul que je fçache avoir reconnu cet in-
convénient, avant 1 6 -8 7 • que. j’en avertis- dans le Projet de

“ JFf

üi N'OU V'E L'L E'

cette Mécanique-ci , fans ff avoir , ou fans me fouvenir alors*
qu’il l’eût effectivement reconnu. Je l’aperçois tout pre fente-
ment dans les Scholies des propoftiôns z , 3 .du-chap. 8 . de
la part. 3 . de fa Mécanique J mais il ny remedie pas : il fe
contente de dire dans le premier de ces deux Scholies , que l’on .
y pourra remedier par ce qu’il a dit de l’obliquité des mou-*
vemens dans le chap. z . & puis dans l’ autre Scholie il traite-
set inconvénient de leger , quoiqu’il ny ait rien deleger pour
un Géomètre , fur tout pour un au (Ji grand Géomètre' qu’il l’é - i
toit , & que cet inconvénient puiffe même aller jufqu a faire
prendre un poids pour double d’une puijfance par rapport à la ?
quelle il feroit Ji petit qu’onvoudroit , & cependant toujours
en équilibre avec -elle ,ainfi qu’on le vient de voir dans les Cor»
y.iz.

Au refie cette remarque , a laquelle nous a engagé la juftice
due h M. Wallis , pour avoir le premier ( que je fçache ) apr
perçu cette difficulté, ne doit faire penfer autre chofe de lui,
par rapport à elle , finon que la facilité qu’il croyoit a réfour
dre le lui a fait négliger , quoiqu’il en foit de cette facilité a rer
foudre cette difficulté par le principe deM. Wallis , ceux pour
qui ceci ejl écrit , feront peut-être bien aifes de la voir[ comme
ici ) réfolue par le nôtre . .

Corollaire XIIL

Il fuit des part. 2.4. de ce Théoreme-ci , que û les
parties de corde PM , RN , despuiffances P , R , lors-
qu'elles foutiennent la puiffance D , ne font pas paralle*-
les entr elles ,. ces deux mêmes puiffances. P, R , pourront
foûtenir la même- troifiémeD par le moyen d'une même
Poulie MB NC , dans deux fituations differentes de leurs
cordes PM , RN., parce que ces deux cordons prolon-
gez peuvent faire des angles égaux en Hde part 6c d’aur
tre de la: Poulie MBNC,ou de fon centre A, entr'elles
& avec la direffion. AI>de ce centre, ou-de cette Pou-
lie, foit en s’écartant l’une de l’autre , comme, dans les
Eig. 102. 104. foit en s'approchant , comme dans les Fig,
2-0.3:. 105. par confequent [part. 2.4. ) les mêmes puii-

M Ei C A N: I QJCJ-E'. 21 J

.Tancés P , R', qui dans l’une de ces deux fituations
de leurs parties de corde , font capables ’ de foûtenir la
puiffance ou le poids D , le pourront encore foûtenir dans
l’autre.

.La même chofe fuit auffi des part. .3. 3, parce qu’en
ce cas des directions PM , RN , non parallèles, entr 'elles,
des puiffances P, R., ces directions peuvent en deux 11 -
ttiations differentes toucher la même Poulie MBNC aux
extrêmitez de deux fautendantes MN égales entr’elles ,
l’une au deffus du centre A , comme dansd.es. Fig. ioz.
1.05. & l’autre au deffus , comme dans les Fig. 103.
1 X 3 4- les deux puiffances P, R., qui foutiendroient la
troiiiéme D dans une de ces deux fituations de leurs
cordons PM , RN, , la foutiendroient auffi ( fart. 3 . y. )
dans l’autre.

.C o r o l l a ire X I V.

. Mais fi les directions ou cordons PM , RN , des puif-
rfances P, R , en équilibre ( Hyp. ) avec la puiffance D,
font parallèles entr’elles 5 ces deux puiffances P, R , ne
pourront (part.- 2 ..3.. ), foûtenir 1 a troifémeD qu’en cette
feule fituation de leurs cordons ou parties de corde.,
parce qu’il n’eft pas poffible (« Corol . 7. ) de donner à ces
cordons d’autre f tuation , dans laquelle la puiffance ou
le poids D foit double de, chacune des puifiànces P , R,
comme il. l’eft ( Corol. _z. ) dans celle-ci.

:.C O R O L L A I R £ . X V.

Il fuit encore de la part: 2. de; ce Théoreme-ci que
le poids D en équilibre avec la puiffance R par le moyen
de pl u fieurs Poulies mobiles, dont A , B ., C, Ne. font les
centres feparez & appliquez comme on. les voit dans la
Fig. 1.06.. Il fuit., dis-je , encore de. la part, z.du pre-
fent Th. 14. que ce poids D ainf en équilibre avec la
puiffance R , elt toujours à cette puiffance comme le pro-
duit des ff nus des an
u

; ,&c. que. font ( lorfq

gles .totaux MHN, PKQ^, XL Y ,
’on les. prolonge ) les. parties dont les

F Fij

%:i 8 N O- U y E L L E

cordes EK , FO , GR , 5ec. touchent toutes ces Poulies’, .
eft au produit des fin-us des moitiez de chacun de ces an-
gles. Car ( part, z.) la réfiftance de la Poulie A ou du. ;
poids D , eft à la réfiftance de la Poulie B , comme le
finus de l’angle MHN eft au finus de fa moitié 5 de mê-
me ( part, z.) la réfiftance de la Poulie B eft à celle de
la Poulie C, comme le finus de l’angle PKQ^eft au finus
de fa moitié j de même-encore {part. z.. ) la réfiftance de
la Poulie C eft à celle de la puiflance R , comme le finus
de l’angle XL Y. eft.au finusde fa moitié; 5e toujours de
même , quelque nombre de Poulies mobiles qu’011 fup-
pofe ici avant que d’arriver à la puiffance R. Donc, en
multipliant par ordre les termes de toutes ces analogies ,
l’on aura ici le poids D à la puiflance R , comme le pro-
duit des finus des angles totaux MHN , PKQ^, XL Y,
&ic. ou EHK , FKC , GLR &c. eft au produit des finus
des moitiez de ces anHes.

O

Cor o l l aire XVI.

Toutes chofes demeurant les mêmes que dans le pre-
cedent G'orol. 15.fi l’on ajoute aux Poulies mobiles les
fou tendantes & les rayons qu'on leur voit ici par les
points où elles font touchées par les cordes qui les fou-
tiennent , ainfi que dans la part. 3 . la réfiftance de la.
Poulie A , ou du poids D , fera ici {part. 3./ à la réfi-
ftance de la. Poulie B : : MN. AM. De même ( part. 3 . ) la
réfiftance de la Poulie B fera ici à celle de la Poulie C::
PQ^BP. De même encore {part. 3 . ) la réfiftance de la
Poulie Cfera à celle de la puiflance R : : XY. CX. Et tou-
jours de même , quelque nombre de Poulies mobiles
qu’on fuppofe ici depuis le poids- Djufqu’à la puiflance
R. Donc , en multipliant par ordre les termes de toutes
ces Analogies, l’on aura ici D. R : rAdNxPQxXY. AMx
BPxCX. C’eft-à-dire, que le poids D fera toù jours ici à
la puiflance R , comme le produit des foutendantes des
arcs des Poulies „ embraflez par les, cordes qui les foù-
tiennent fera au produit de leurs, rayons,,..

M'e C a- N 1 QJJ ‘E; ■
Corollaire XVII.

Srprefentemenr on fuppofe que les cordons qui tou-
chent ces Poulies, font tous' deux -à deux parallèles en-
jeux fur chacune d’elles , cette Jhypothefe rendant
{'Lem. é.Corol. i.) les angles MHN,PKQ^_, XLY, &c„
infiniment aigus, leurs finus feront alors ( Lem. 7. ) dou-
bles de ceux de leurs moitiez 5 ou ( ce qui revient au
même ) les foutendantes MN, PCf , XY , &c. des arcs :
enveloppez par les cordes qui les foûtiennent , palfant
alors toutes par les centres A , B , C , &c. de ces arcs ou
des Poulies , feront auïïi pour lors chacune double du
rayon de chaque Poulie , dont cette foutendante eft alors •
le diamètre. Ainfi ayant en general le poids Dà la puif-
fance R ( Corollaire 15. ) comme le, 'produit des il- -
nus des angles totaux MH N" , PKQ_ , XLY , &cc. au.
produit des lirais des moitiez de chacun de ces an- -
gles , ou ( Corollaire 1 6 . ) comme le produit des fouten-
dantes MN- , PCP , XY , &c. au produit des rayons

des Poulies : l’on aura ici D. R : : 1 x i x rx &c. j x 7 x f x • '

Sic : : ixixix &c. i . c’eft-à-dire , le poids D à la puif- -
fance R , comme le degré de 2 , qui auroit pour ëxpo-
fant le nombre des Poulies , feroit à l’unité : de forte qu’eu ;
prenant n pour ce nombre quelconque des Poulies, ce -
cas de parallelifme fuppofe dans toutes entre les cordons >
touehans- de chacune donneroit en general D. R : : 2» î .. -
Ce qui lignifie qu’alors le poids D feroit à la puiffarice R ,
comme le plus grand terme d’une progreffîon Géomé- -
trique double , qui en auroit autant qu’il y a de Poulies s
plus un-, feroit au premier. D’où l’on voit que tï^zy- dans
le cas de la prefente Fig. 1 o 6 . de trois Poulies , donne-
roit D. R : : 2 3 . 1 : : 8 . 1 . s’il y en avoit quatre , alors
donneroit D.R: : 2 4 . 1 : : 1 6 . 1 . s’il y en avoit cinq, alors
k==. 5 donneroit D.R:: 2 r .‘ 1 : ; 3 2 . 1 . & ainlî de -teF au-
tre nombre-» qu’on voudra de -Poulies,- -

,'£•'2-0 N-O U V E L: L E

C .0. R O L L_A. IRE X V I I L

_Ce cas ( Corol. i 7, ) de parallelifmè deux à deux de tous
les cordons couchans des Poulies employées , comme dans
la.prefente.Fig. 1 o. G . eft.le feul fur une. infinité. , dans
lequel le poids D. en. équilibre avec une puilfance R ,
puifle être à cette puiflance . corn me .le pl,us grand ternie
' djune progreffion . Géométrique double, , qui en auroit
autant qu’il y. a de poulies , plus „un , feroit au premier.
Cardans tous les. autres, cas de cordons touchant les Pou-
lies fans être parallèles deux à deux fur chacune , ce
poids D doit toujours être à .cette puiflance R en équili-
bre ( ) avec lui , en moindre rajfon ( Corol. 3 . ) que

>ce dernier, terme au . premier de cette progreffion dou-
ble , & même {Corol, 4. ) en moindre à l’infini ; parce que
les angles Mt IX , PKQ^, XL Y , &.ç. ne pouvant deve-
nir plus aigus ( Lan. C. Corol., 1 . ) que lorfque ces parties
. de, cprdes tangentes des Poulies yfont deux à deux ( fur
chaque Poulie j parallèles entrydles , lps raflons de leurs
fmus aux finus de leurs moitiez , ne peuvent jamais être
plus grandes ( Corol. 7. ) que celle de 2 à 1 . Pareillement
les {entendantes- MPI j P Cf , XY , Xc. alors diamètres de
leurs Poulies j ne pouvant-jamais-etre plus grandes qu’en
cet état j le rapport de chacune au rayon de fa Poulie ,
ne peut -être non -plus jamais plus grand que de 2 à -i.
Au contraire les angles MHN, PKQ^_, XLY , &c. pou-
vant de venir, toujours .plus grands on plus obtus à i’in-
• fl pi. } les rapports ne leurs finus aux finus de .leurs moi-
tiez, peuvent (.. Lem . 8 . Corel. G.) diminuer à l’infini j ou
( ce qui revient au même) les foutendantes MN, QP,
YX , &c. devant diminuer à m cidre que ces angles aug-
mentent ou deviennent plus obtus j le rapport de cha-
cune d’elles au rayon de fa Poulie ,, peut -auffi par ce
moyen diminuer a l’infini.

De-lkon voit ajjcz, la méprife de ceux -qui dans, cet ufage
des .L ouïtes , ont avancé comme propofition generale , que le
.poids D ell la puiflance R , .comme le plus grand terme

M’-e C A N i qjj'ê, 23 Ï.

d’une progreffion double , qui en auroit autant qu’il y a
de Poulies , plus un, eft au moindre. Ce qui lésa trompez, ,
s’efil’ufage trop étendu qu ils ont donné a la propofition rap-
portée dans la réflexion qui fuit le Corol. 1 -u de ce Théorè-
me- ci;

C O R O L1 A I R E X I X. -

Le precedent Corol. 1 7. fait déjà voir , & on le verra
encore dans la luite , que les Poulies mobiles peuvent
conliderablement épargner les forces qu’il faudroit em-
ployer pour foûtenir immédiatement , & fans aucune ma-
chine le poids qu’on foutient avec elles j puifque fuiva.nt
ce Corol. 1 7. dans le cas du paralleiifme des- cordons
touolians de chacune des trois Poulies- de la Fig. 106. il
ne faut pour foûtenir le poids D par leur moyen , qu’une
force égale à la huitième partie cle -fa pefanteur , au lieu
qu’il la faudroit ( Ax. 4.) • égale à cette pefanteur entière
pour foûtenir ce poids immédiatement & fans le fecours
d’aucune machine. Si on le vouloit foûtenir de même
avec quatre Poulies ainfi mobiles, ce- Corol. 17. fait pa-
reillement voir que dans ce cas de paralleiifme des cor-
dons touchans chacune dé routes ces Poulies, il iie-fau-
droit qu’une ptiilfance égale à la feiziéme partie- de la
pefanteur de ce poids j qu’avec cinq Pouliesdl ne fau-
droit qu’une» puifance égale à la trente-deuxième partie
défi pefanteur j & toujours moindre à l’infini, que ce
poids iuivant la progreffion- marquée dans ce Corol. 17,
àmelure quon- augmentera le nombre des Poulies: de
forte que- fi m étoit un terme d’une telle progrefiion- dou-
ble ~ 1. 2. 4. 8 .- 1 >6. .... . ,m. &c. lequel fut précédé

d’autant d’autres qu’il y auroit ici- de Poulies toutes tou-
chées par des cordons parallèles entr’eux deux à deux
pour chacune s le poids- D feroit alors à la puilfmce
R. : :m. 1,

Ce cas de paralleiifme des cordons touchans de cha-
que Poulie mobile , eft bien celui ou la puilfance eft ( O
toL 6.) la plus petite de celles qui b à l’aide de ces Poulies

r v

,'s, y i " N O U V E L I. E

peuvent faire équilibre avec ce poids 3 mais il ii’eft pas' le
feul où ce poids puifie ainfi ,.ètre fouteau par une pu if.
dis. ,107. fance moindre que lui. On le verra. Il l’on. imagine la
■ Io8, p u i flan ce R .en équilibre avec le poids D fulpendu au

.centre A, ou plutôt à la chape. AB d’une Poulie: mobile
MBNC foutenue fur une corde PMBNR, 5 dont une ex-
trémité foit attachée, à. un clou ou crochet P, & l’autre
retenue parla puiffance R : on verra , dis-je, fuivant les
part. 2. 3. du prefent Th. 14. ëc fuivant le Corol.. 6 . du
jLem 8. que depuis la fl tuât ion 011 les cordons PM ,NR.
prolongez font entr’eux un angle PHR de i.z o degsez,
jufq.u’à ce. qu’ils foient devenus parallèles entr’eux , la
puillùnce R fera toujours moindre que le poids D en
équilibre ( Hyp. ) .avec elle , & d’autant moindre ( quoi-
. qu’en raifon differente ) que cet angle. fé trouvera plus
aigu. Car le Anus de 12 0 degrez étant le même (Dcf.
, 5 ). Corol. % . ) que. .celui de fa moitié, do degrez , qui
en eft le ©omplement à 1 8 o degrez , ou.( ce qui revient
au même ) la foutendante MN étant alors égale au rayon
AM ou AN de Ja Poulie MBMC 3 les- part. .2. -3. font
voir que lorfque l’angle PHR fera de 1 .2,0 degrez , la
puiffance R fera précifémcnt égale au poids D : & parce
que plus cet angle diminuera ,, plus au contraire (, Lem.
8. Corol.;£. ) augmentera le rapport de fon finus a celui
de fa moitié, aufli-bien que Je rapport de la foutendan-
• te MN au rayon AM ou AN de la Poulie .3 & confe-
quemment plus diminuera pour lors, le rapport du finus
de la moitié de cet angle PHR au fieu, ou du rayon. AM
de la Poulie à la foutendante MN , plus auffi ( part. 2.3.)
diminuera pour lors la puiffance R par -rapport au poids
D toujours le même & toujours ( Hyp. ) en équilibre avec
elle, jufqu’à ce qü’en'fin elle n’en loit’plus que la moitié
(Corol. z.) lorfquet les. cordons PM , RN, feront devenus
parallèles . entr’eux : ce que le rapport., fur tout du rayon
AM ou AN de la Poulie à la foutendante MN de fon
.arc MBN , enveloppé de la corde PMBNR , fait voir fen-
>fi blement.

M E C A N I QJCJ E. 2 3 J

La meme chofe feroit encore fenfiblement en imagi-
nant un parallélogramme HEGF , dont la diagonale HG
foit une partie quelconque de la direction DA du poids
D prolongée depuis H vers G , & dont les cotez HE ,
HE, foient fur les directions PH , HR. Car alors on verra
que puifque le poids D doit toujours être ici ( part. 2. )
à la puiflance R , comme le finus de l'angle PHR , ou
EHF , au finus de fa moitié EHG ou HGF,tant qu’il
fera en équilibre avec elle 3 6c confequemment auffi pour
lors [Déf y. Corol. 1.) comme le finus de fon complé-
ment HFG elt au finus de HGF, c’eft-à-dire ( Lem. 8.
Coroi. 2. ) comme HG eft à HF: on verra, dis-je, alors
que le cas de l’angle PHR ou EHF de 1 20 degrez ren-
dant le triangle HFG équilatéral , & confequemment
alors HFt=:HG j la puiflance R en ce cas doit être égale
au poids D. On verra de plus que le rapport de HF à
HG diminuant -toujours ( Lem. 8 . -Corol . %.<jr 6 .) a niê-
fiire que l’angle PHR devient plus aigu , iul iaËfe deve-
nir ( Lem. 7. ér 8. Corol. z.) HF— EFG— HRlpSc con-
fequemment HF“f HG lorfque l’angle PHR fe trouve
infiniment aigu , c’eft-à-dire ( Lem. 6 . Corol. i.j lorfque
les directions PM , 'RN , font parallèles entr 'elles 5 la puifi-
fance R toujours en équilibre ( Hyp. ) avec le poids D,
doit toujours diminuer avec cet angle PHR , depuis l’é-
galité qu’on lui vient de voir avoir avec ce poids , lorf-
que cet angle étoit de 110 degrez , jufqu’à n’en valoir
plus que la moitié [ Corol. 2. ) lorfque cet angle eft deve-
nu infiniment aigu par l'arrivée ( Lem.%. Corol. 1. ) des
cordons PM , RN , à être parallèles entr’eux.

Voilà quelle efl l'utilité des Poulies mobiles pour t épargne'
des forces dans la Statique : -utilité dé autant plus grande que
plus on y employera de ces fortes de Poulies à -la fois., moins
( Corol. 1 7. ) il faudra de force pour fou tenir , & confequem-
ment auffi pour mouvoir les poids quil s agira de retenir ou
Je tranfporter dé un lieu en un autre , on le verra ■ encore da-
vantage dans la fuite . .

234. Nouvelle

C O R O L L A I R E- X X, -

Quant aux Poulies des centres fixes, il fuit du Cor ol: 1: -
qu’avec elles feules, de quelque maniéré qu’on s’enfer-
ve , il n’y aura jamais rien à gagner du côté de la force
qu’il y faut employer , c’eft-à-dire, que de- quelque ma-
niéré qu’on s’en ferve , il y faudra toujours employer au- -
tant de force- pour foûtenir un poids par leur feul moyen,
îF igï ie> qu’il en faudroit pour le foûtenir immédiatement fans -
elles , & fans aucune autre machine. Par exemple , il
faudra une même force R., quelque direction qu’on lui
donne, pour foûtenir le poids D avec la corde R AD par
le moyen de la Poulie fixe A , que pour le foûtenir im-
médiatement avec le feul cordon AD , c’eft-à-dire, la
même qu’une puifiance en A , qui foûtiendroit effective- -
ment ce poids avec le feul cordon AD j puifqu’en ce cas
d’équilibafcde part &c d’autre , l’on aüroit- ( Corol. 1 .)
Fje. net.- R— D ( Ax. 4. .J la puifiance en A~D.

De meme-quand on employeroit à la fois plu fleurs de
ces Poulies fixes AB , EP , HK , &c. placées à volonté , on
ne gagnerait encore rien du coté de la force R , qu’il
faudroit employer pour foûtenir le poids D par le moyen
de ces feules Poulies avec la corde DABEFHKR , ap-
puyée fur ou contr’elles 5 c’eft-à-dire , que cette force R ,
quelque direction qu’elle eût , devroit encore être ici éga-
le au poids D pour l’y foûtenir ainfi en équilibre , de mê-
me ( Ax. 4..) que pour le foûtenir immédiatement fans le
fecours d’aucune machine. Car en ce cas d’équilibre les
deux forces dont chacune des parties BE , EH , &c. de'
la corde, eft tirée directement en fens contraires, étant
( Ax. 4. ) égales entr 'elles , fi l’on appelle M chacune des
deux forces dont BE eft tirée de B vers. E , Sc de E vers B >
N , chacune des deux dont FH eft pareillement tirée de
F vers Fl , & de H vers F : ce cas d’équilibre donnera
( C orol. 1 . ) Pv~N=M~D , c’eft-à-dire , la puifiance R
égale ali poids D , de même ( Ax. 4. ] que fi elle le foute-

M E C A N I Q^U' E. 235

: noie immédiatement 6 c fans le fecours d’aucune ma-
. chine.

Don-c les Poulies fixes ou de centres fixes , de quelque
ï maniéré & en quelque nombre qu’on les employé , n’é-
pargnent jamais aucune force. Elles ne iaifient pourtant
pas d’être très-utiles , non feulement. en ce qu’elles fer-
vent ( comme dans la Fig. 1 10. ) à. continuer par tels
détours qu’on voudra, des mouvemens ou des efforts que
; .des embarras empêchent de pouvoir être faits en ligne
droite >. en plaçant ces Poulies ( appellée-s alors Poulies de
renvoi). a. tous les angles de ces détours-, une à. chaque
.angle 3 mais encore en ce quelles nous mettent en état
d’employer beaucoup plus de force , que nous ne pour-
rions faire fans, elles., contre le fardeau a foutenir ou à
. enlever t elles nous mettent. , dis- je , en état de tirer de
haut en bas par deffus elles, 6 c par-là de nous fecourir
de toute: la pefanteur de notre corps ; , que nous aurions
même à foutenir avec le fardeau, en le tirant ou foule-
vant directement de bas.en haut. La Poulie A de la Fig.
105?. fait, dis-je, qu’une main appliquée en IL contre le
poids D , y elt fecourue de tout le poids du -= corps de
celui qui , ainfi placé , tire contre ce poids D j au lieu

• qu’en A cette main n’auroit que fa feule force pour agir
.contre ce poids fans, le fecours de cette Poulie , ni d’au-

• eu ne autre machine. Ge fecours du poids de notre corps,

= eft ce qui nous fait ..toujours tirer plus aifément & plus
. fortement de haut en bas que de bas en haut :■ c’eft ce qui
fait qu’un fceau d’eau, par exemple, eft beaucoup plus
..aifé à tirer avec le fecours d’une . Poulie fixe , que dire-
bêtement & fans elle.

On voit, de-lù , çfi du ‘Corol. rp. que V utilité des "Poulies
confifie en ce que les , mobiles ( Corol. 1 p. ) nous épargnent des
forces & que les fixes ( Corol. 20. )-nous en facilitent l’ufa-
ge., Voici prefentement la maniéré de profiter de ces deux avatt-
t âges,. en meme tems., fc f crevant de ces deux efpeces de Pou-
dits ù la fois.

V X

'23^ N O U V E-L L E

«

Corollaire XXL

Ti «• tu. Snppofons prefentetnent le poids D en équilibre avec
ni- 113. | a p U qp ance R fur deux Poulies à la fois , donc une EGFK.
11 '' 115 foie fixe, & l’autre MBNC mobile avec le poids D fuf-
pendu à fon centre A , ou à fa chape AB 1 fo-it , dis-je,
ce poids D foutenu parla puiffance R , appliquée à une
des extrêmitez d’une corde RFKEMBNG , qui après
avoir paffé par defTusla Poulie fixe EKFG , & par deifoùs
la mobile MBNC , ait fon autre extrémité attachée au
bout G de la chape LG de la première EKFG de ces
deux Poulies , fixe en fon centre L dans les Fig. 1 1 l,
1 1 2 . ou par de-là .fa circonférence au point S de fa cha-
pe GL prolongée dans les Fig. 1 13. 114. 115 - n’ayant
de mobilité qn autour de ces points L , S,

L’équilibre fuppofé entre le poids D & la puiffanceR
fur ces deux Poulies à la fois, rendant égales ( Ax. 4. ) les
forces dont le cordon EM eft tiré directement en fens con-
traires de E vers M , & de M vers E } fi l'on appelle P
chacune de ces deux forces 5 Fl ,.le finus de l’angle MHN
compris entre les deux cordons EM , GN , prolongez ,
lefquels touchent la Poulie MBNC> & h , le finus de la
moitié de cet angle : l’on aura ( Corot,. 1 . ) R— P, & non
feulement ( part. 2 . ) P. D: : h. H. mais encore ( part, 3 ..)
P.D , AM. MN. Donc auffi pour lors R. D : : h, H. Et
R. D : : AM- MN. ainfi: qu’il arriverait ( part. 2.3.) fi la
puiiîance R étoit P. D’où l’on voit que cette puilfance R
peut avoir ici tout à la fois les. deux avantages marquez
dans les Corol. 18. 1 y. fçavoir ( à caufe de la Poulie mo-
bile MBNC ) de pouvoir être non feulement moindre
( Corot, z. ) que le poids D en équilibre ( Hyp.) avec-elle ,
mais encore d’autant moindre {Corot. 151.3 que l’angle
MPiN ou EFiG fera plus petit que de 1 2 o. degrez , quoi-
qu’en raifon differente 5 & de plus ( à caufe de la Poulie
fixe EKFG ) de coûter d’autant moins à fournir ( Cor. 20.)
que la pefanteur du corps de celui qui tire en R , y peut
beaucoup contribuer , outre qu’il peut encore fe foula-

uf w

M e c a n i o_u f.

ger par tout ce qu’il pourra ajouter d’autres poids en R.
S c HO lie.

I. lied vifible que les chapes LG doivent- fe diriger
dans le précèdent Corol. 2-0. delà maniéré qu’on les> voit
dirigées dans les Fig. iii.i 12. 11 3 . 1 1 4. 1 1 5 . Car,
ï°. dans les Fig. 1 1 1. 1 1 2, dans -lefquelles la t Poulie
EKFG elt fixe en Ion centre L, autour duquel feulement
elle eft mobile indépendamment de la chape LG, qui l’eft
feulement auffi autour de ce point fixe L j cette chape en
■ ce cas ne recevant d’impreflion que fuivant la direclion
GN du cordon attaché à fon extrémité G , il cif mani-
fefte quelle doit toujours fe diriger fuivant cette ligne
GNjen forte que NGL nefoit plus qu’une ligne droite ,
qui prolongée , auffi-bien que 2 \ 4 E , concoure avec elle
en H au débits ou au deifous de la Poulie mobile MBNC,
feionquefon diamètre lera plus grand ou plus petit que
le rayon -de la Poulie fixe EKFG : li ce diamètre ôc ce rayon
étoient égaux , il elt vihble queNL , ME, feroient paral-
lèles entr’elles , & ( Lem. 3 . Corol. 1 5 . é* Lem. 6 . Cor. 1 . )
à l.i direclion DPI du poids D.

2 0 . Dans les Fig. 1 1 3. 1 14. 1 1 5. dans lefquelles la
Poulie EKFG elt mobile non feulement autour de fon
centre L fixe dans la chape SG , mais encore avec fon
centre & cette chape, autour du point S de cette même
chape, fixe au-dela de la circonférence de cette Poulie
EKFG : fi. outre les cordons GN ,EM , prolongez vers H
jufqu a leur rencontre {part. z. ) en ce point de la- dire-
ction DPI du poids D, on prolonge de même RE, ME,
vers Q_, jufqu a leur rencontre en ce point , & qu’on
mene la droite QO par le centre L de la même Poulie
EKFG j on verra que du concours d’action des forces
( Corol. 1 . j égales dont les cordons EM , FR font tirez
par le poids D , & par la puiflance R , il en doit réfulter
( Lem. 3 . part. 4.^ Corol. 1 , ) fuivant la droite QLO , fur
la roulie EKFG , & fur fa chape SG , une imprellîon qui
les pouffe ou qui les tire fuivant LO : de forte que cette

G iij

Fig. ii
in.

F 1 g. u 3

114- 1 1 5.

(

"N O U V E'L L E

.-chape SG, tirée de plus fuivant GN par le poids D,fe
trouve ici pouffpe ou tirée tout, a la fois fuivant deux
. directions differentes LO ,. NG , qui lui doivent vifible-
ment faire prendre la polit ion qu’on lui voit dans.les Fig.
1 1 3 . 1 14. 1. 1 5. de maniéré que cette chape SG ne fera
, en ligne droite avec GN , de même que LG l’efb (nomlo, 1 .)
dans les Fig. 1 i. : i . 1 12. que lorfque les directions LO ,
NG , feront fuivant une même ligne droite , comme dans
: la Fig. 1-1 5 .

IL La force de l’impreffion fuivant LO., réftdtantc du
,concours delà force IL fuivant FR, &de ce que le poids
D en exerce fuivant EM, étant à cecte force R {fart, x.)
comme le 11 nus de l’angle RQM eft au fi nus de; fa moi-
tié , ou ( fart. 3 . ) comme la Ipiitendante EF de l’arc EKF
, de la Poulie E K F G ,e m b ta fié par la corde IGFKEMBNG,
, eft au rayon LF de cette Poulie 5 Se la force fiiivantGN
.étant ( Corol.ii . ) =P“R : l’on aura ici la force de l’im-
preflîon fuivant LO, à la.forçe fuivant GN, comme le
fi nus de l’angle RQM eft au finus de fa moitié , ou com-
me la foutendante EF . eft au rayon LF de la Poulie
EKFG. Ce qui étant connu , la SeêE 6 . ou Ja Définit,
qui s’y trouvera^, fera voir., que la chape SG eft ici un
Levier appuyé en S, marquera, dans le Corol. 2. defon
Th.- 2 .i- la fituation exaCte que. cette drape doit prendre ici
dans les Fig. 1.1 3 . 14. lavoir , que cette fituation qu’on
-:-y voit, doit être telle que, les perpendiculaires , menées
du point d’apui S fur ces directions GN, LO , prolongées ,
/oient entr 'elles comme les fi nus de l’angle RQM, & de
fa moitié font entr’eux , ou comme la foutendante EF elt
au rayon LF de, la Poulie EKFG.

r R i- M A R QJJ E.

r QuoiqueEa part. 3 . du prefent Th. .1 4. ne fafte aucu-

i.& fuivames ne mention des finus , fie que par fon moyen dans la
dufju’àuf. Théorie on puiffe y avoir le rapport du poids D /.cha-
cune des puiffances P , R , fans 4 employer de finus : ce-
pendant comme l’on en a hefoin pour connottre J.a fou-

^ O

M e c a n ï'qjje; 239

tendante MN , que cette part. 3 . y employé , il faudrait
toujours revenir aux fin us dans la Pratique & dans l’ufa-
ge de cette part. 3 . Le plus court chemin eft de s’en te-
nir tout d’un coup aux finus de là part. 2 . puifqu’iL fau-
drait plus d’ Analogies & de calcul pour pafter des finus
à la connoilfance de la foutendante MN , & enfuite de
cette connoiftance à celle du rapport cher clic , que d’al-
ler tout d’un coup des linus 1 à ce rapport , comme dans
la part. 2., D’où l’on voit que dans- la Pratique l’ufage de
cette part. 2. eft toujours préférable à celui de la part. 3,
quoiqu’à la première vue celle-ci paroifîe plus limple que
celle-là. La raifon de cette préférence fera la même pour
la fuite dans l’ufage qu’on -va faire de plulieurs Poulies
mobiles à la fois.

THEOREME XV.

Soient deux pui fiance s quelconques P , R , appliquées fui-
v'ant telles dire citons MP', N R , qu'on voudra , aux centres
mobiles M , N-, de deux Poulies féparées , (jr [ou tenue s par
le moyen d'une corde ACDLGICB , qui retenue à [es extrémi-
tés par deux clous ou crochets A ,B , s' appuyé fur une Poulie
fixe H en pa fiant de part & dé autre par dejfous les mobiles
- M , N , dans les Fig, 1 1 6 . 1 1 ~j .' ou embraffant feulement
à contre- fens ces deux Poulies mobiles M , N , fans s'appuyer
fur aucune fixe , comme dans la Fig. 1 1 8 .

I. En cas d’ équilibre entre les deux puiffances P , R , appli-
quées aux centres M , N , de ces deux Poulies mobiles , &
ainfi en action l'une contre l'autre fuivant leurs directions
quelconques MP , N R ; ces deux puiffances P , R , feront en-
té elles en raifon cornpofée de la directe des finus' des
AEL, LFB , compris entre les cordons prolonge f qui tou-
chent les Poulies mobiles , & de la réciproque des finus des -
moitiés de ces angles J c èfi-œ-dire ( en appellant E , F „ les finus-
des angles AE L , LFB i & c, £, les finus de leurs moitiés )
P.R::Ex/Fxe.

II. En ce cas d’équilibre ,fi l'onmene les fou tendantes CD, '
CIC, avec les rayons MC , MD , KG -, NIC , des Poulies mo-

angles

Fi g. H
1 17. 1 1 S

2, 2j.O N O U V E L ■ L E

bdes Ml , N , par les points C , D , G , K , ou elles font- tou-
chées par les parties A C , D L , LG , KB , de la corde
AC ’DLGKB s la puiffance P fiera auffi d la puiffance R ,-en
raifon cornpo fée de la dire cîe des foutendantes CD, GK, &
de la réciproque des -rayons MC , N G , de ces -Poulies ; c efi-d-
dire , P . R : C ZXx I$G. GKy, M C.

1 1 1 . Réciproquement fi ces deux puiffance s P , R , -font en-
tr' 'elles en celui qu.on voudra , de ces deux rapports marquez,
dans les part, i .*2. elles feront ici en équilibre-entr elles .

D IMOH.S.T R, A T I.’o.îf.

■Part. I. Outre les noms affigne-z dans l’énonce de
cette part. 1 . foit auffi appellée L chacune des réfiftan-
^ces fuivant EL , FL , de la corde ACDLGKB contre les
puiflances P, R , lefquellesréfifl;ancesene'quilibre(Ar;^.j
avec les forces directement contraires fuivant LE , LF ,

• font ( Ax. 4-.& Th.x 4. -Corol. 1 . ) égales entr’elles. Cela
pofé, la part. 2. du Th. 14. donnera -ici P. L: : E. e. Et
L. R. : -.fi F, Donc ( en multipliant par ordre,) l’équilibre
ici fuppofé y donnera toujours P. R.: : Ex/! Fxr. Ce qu’-il
falloit’ i 0 ..démontrer.

Fart. IL En ce cas d’équilibre ,fi l’on appelle encore
L chacune des réliftançcs de la corde ACDLGKB fui-
vant EL , FL , la part. 3 . du Th. 1 4. donnera P. L : : CD.
MC. Et L. R : : NG. GK. Donc ( en multipliant par or-
dre) on aura auffi pour dors P. R : -.-CDxNG. GKxMC.
Ce qu il falloit 2 °. démontrer.

Pa r t. 1 1 1 . Réciproquement par rapport aux part. 1 .2 .
f 4 a foi s , fi P. R : : Ex/. Fx^. ou P. R : : CDxNG. GKxMC.
iby aura équilibre entre les puilfances P , R. Car E quel-
qu’une des détifc , par exemple P , étoit trop grande ou
trop petite pour faire ainfi équilibre avec l’autre R , fok
une autre puiffance quelconque S , qui appliquée à la
place de P fuivant fa direction MP , Tafle effeélivement
équilibre avec R. Alors on auroit auffi ( part. 1. ) S. R:-:
Ex/Ext. Et ( part. 2. ) S. R : : CDxNG. GKxMC. Par
.confequent cette nouvelle puiffance S feroit égale à P,

' Donc

Nouvelle Æccawuj u&

Plan

Tgnve .1 . p cicj . z/j o

, G

Figure .ioJjJ \

Figure ,/ü‘b.

Figure . ioa ./
.B

Figure ./oF.

/ i Figure ■ top

M E C A N I QJJ -E 241

.Donc ( dx. 1 • ) celle-ci P feroit pareillemenc équilibre
avec R. Ce quilfalloit 3 0 . démontrer.

C O R •© L L A I RE I. .

'Il fuit delà part. 1 . que II plnfieurs puiflances PjR, S, T,
V , &c. appliquées à plufieurs Poulies mobiles L , M , N,
O, Q_, &c. féparées comme dans les Fig. 1 1 g. no.
font en équilibre entr’elles -, ces puiflances feront toutes ,
chacune à chacune , dans quelque ordre qu’on les pren-
ne, en raifon compofée de la directe des finus des an-
gles compris entre les tangentes de leurs Poulies , & de la
réciproque des fin us des moitiez de ces angles.

Car fi les finus des angles eEe >fEfgGg, btih, /K/,
&c. compris entre les cordons touchans des Poulies L »
M, N, O, Q^, &ic. font appeliez E , F , G , H , K , &c„
Et les finus des moitiez. de ces angles , appeliez e>f,gt,
J', k, &cc. la part. 1. en ce cas d’équilibre..

fP.R::E -xf Fxr.
jJL S : : Fx£. G x/.
3>ûnaerl 1S.T::G)a.H%.
, IT. V ;:Hxf.K»b.

SvC.

'P. R : : Ex/. Fxe.
P. S : : Exg. Gxe.
P. T: :Exh.Hx^.
P. Y : : Ex/’. Kxe.

.Donc ( en multipl. par ordre )

ER. S ::Fx^. Gy/l
R.T::Fxh.Hx/.

R. V : :Fx/. K x/.

S. T : : Gxh. Fïxg.
S. V : : Gxi. Kxg.

|T.V::Hx/.Kx/,.

&c.

•Ce mil falloit . démontrer .

Nouvelle

C O R O L L A I R E IL

24'2f

Les pmilances P, R,S,T, V , &c„ demeurant encore
en équilibre entr’elles ( dans les Fig. 115). 1 zo. du Co-
rol. 1. L l’on y ajoute les foutendantes & les rayons-
qu’on y voit par les points d’attouchement des Poulies
mobiles, la part. z. fera voir auffi-queces puiiTances fe-
ront toutes y chacune à chacune dans quelque ordre
qu’on les prenne enraifon compofée de la directe des fou-
rendantes des arcs de leurs Poulies embr allez par la corde
qui les foûtient toutes , & de la réciproque des rayons,
de ces Poulies.. Cette fécondé partie, dis-je.

fP.R : : cexMf. jfxLr.

Donnera “j

l

1 R. S : -ffk Ng. ggxMf.

S. T : : ggxOh.^hhxNg.

[T. V : : hkxQL-kkxOh..
Sce.

Donc ( en muhrpl. par ordre)

eexMf. jfxLr.. ■

. ■

<’<?xNg\.g£-xLr„

P. T : : eexOh. hh-xLe*

P. V : r rrxQL. kk*.hc*

R. S : :ffxNg.ggxMf
R. T : : ffxOh. hhxMf.

R. V : :ffxQk. kkxM f

S. T : : ggxOh..hhxNg.

S- V i:^g-xQC/^xNg-.

T. y : : hhxQkj.kkxOh-

&c.

Ce qu'il falloir ici démontrer .

*45

Mecani qjj e.

Corollaire III.

;Il fuit réciproquement delà part. 3 . que fi les puilfances
P , R , S , T , V , 8cc. appliquées comme dans les Corol. 1 .
æ. font entr 'elles dans celle qu’on voudra des raifons trou-
vées dans ces Corol. a. 2. c’eft-à-dire ( Corol. 1. ) chacu-
ne à chacune en raifon compofée de la directe des finus
des angles compris entre les -cordons touchans de leurs
Poulies fe'parément mobiles,, & de i’inverfe des lînus des
moitiez de ces angles 5 ou ( Corol. 1 . ) en raifon compofée
de la directe des foutendantes des arcs enveloppez de
leurs Poulies , 8c de la réciproque des rayons de ces Pou-
lies j ces puilfances feront toutes en équilibre entr elles.

-Car fuivant la part. 3 . l’on aura pour lors la puilfance P
en équilibre avec la puilfance R , celle-ci avec la puiffan-
ce S 5 cette puilfance S avec la puilfance T , la puilfance
T avec la puilfance V , Sic. Donc toutes ces puilfances
feront auffi pour lors en équilibre entr 'elles.

Corollaire IV.

Si prefentement on fuppofe dans le prefent Th. 1 5 . 8c Fia. ug.
dans les Corol. 1 . 2. qui le fuivent,, que tous les angles 117 ■ IiS -
fcompris entre les cordons touchans de chaque Poulie IIÿ> Ij18 °
féparément mobile font infiniment aigus c’eft-à-dire
( Lem. 6 . Corol. l. ) que tous -ces cordons font parallèles
.entr’eux deux à deux fur chaque Poulie mobile fans en
-excepter aucune 5 alors des puilfances P , R , luppofées
en équilibre entr’elles dansles part. ï . 2 . Fig- iié.n 7.

1 1 8. 8c les puilfances P ,R.,S , T , Y , 8cc. fuppofées de
même toutes en équilibre-.entf elles dans les Corol. 1 . 2.

Fig. 1 1-9. 1 2 o . feront toutes égales entr’elles , tant dans
les part. 1. 2. que dans les Corol. 1. 2. Car les angles
compris chacun, entre deux de ces cordons prolongez , fe
trouvant alors;, tous égaux entr’eux , 8c confequemment
auffi leurs moitiez toutes égales entr elles J tous les pro-
duits faits chacun de chacun des lions de 'chacun de ces
■angles .toçaux par le finus de la moitié de fon voifm ?

2,44 N O U V- E L' L E

marquez dans la part, i . ôc dans le Corol. i . feront alors
égaux entr’eux: De même auffi les foutendantes par les
points d’attouchement des Poulies mobiles , en devenant
alors les diamètres j les produits marquez dans .la parti
2. &: dans le Corol. 2.. feront pour lors tous égaux entre-
eux. Donc ( part. 1 . 1. Corol. 1 ., 2 . ) les deux puiflances
P, R , desparu 1. 2, Fig. n G. 117.118. &: toutes celles
P,R,S,TjV, des Corol. 1. 2.Fig. 1 15?. 1 20. fup-
pofées en équilibre entr’elles fur des Poulies mobiles tou-
chées de cordons parallèles entr’eux deux. à deux fur
chacune j, feront alors. égales entr elles.

C O R O L L A 1 R E. V,

Il fuit réciproquement delà part. 3. & dm Corol.
que h toutes ces puiflances font, ainfi égales entr’elles,
ëc appliquées à des Poulies féparément mobiles touchées
toutes par des. cordons parallèles entr’eux- deux à deux
fur chacune j toutes ces puiflances feront alors, en équi-
libre entr’elles dans chacune des Fig. 11 G. 117. 1 1 8 ,
1 15). 120. puifque fuivant le raifonnement du précè-
dent Corol.. 4, elles auront alors entr’elles dans chacune
de ces Figures les rapports exigez pour cetéquilibre par
la part. 3.. par le Corol.. 3,.

Co r o l.l ai r e Vit

Il fuit enfin- des part. 1. 2. &z des Corol. 1. 2. 4. que
fur une infinité de, cas dans, lefquels deux ou plufieurs
puiffances, peuvent faire équilibre entr’elles. fur des Potu
lies féparément mobiles comme ci-deflus , il n’y en a que
deux ou ces, puiflanc.es puiflent être toutes égales entrer-
•elles dans chacune des Figures du- précèdent CoroL 3;.
fçavoir ( part. i. & Corol. 1..) lorfjue les produits faits
chacun du finu-s de chacun des angles compris entre les
cordons touchanS' de- chaque Poulie mobile , & du finus
_de la moitié de chaque angle voifin,font tous égaux en-
tr’eux j ou { part. 2 Corol. 2. ) lorfque les produits faits
chacun de chaque fautendante.de chaque Poulie mobile.

M 5 C A N I QqU I. 14. f

&du rayon de chaque voi fine, font tous égaux entr eux':
& ( Corol . 4.) lorfque ces cordons toucha* font tous pa--
xalieles deux à deux fur chaque Poulie mobile.

■CaKOt-UTRE VIL

Il fuit réciproquement de la part. 3 . &des Corot. 3 -.-5 .
que ces deux cas du precedent Corol. 6 . font auffi les
feulsoùdes puiffançes égalés puilfent faire équilibre em
tr 'elles fur des Poulies mobiles comme ci-deflus 1 puif-
qu’iis font les feuls ( Corol. 6. ) qui puilfent rendre égaux
les produits dans les- rapports defquels ces puiffanccs
doivent être ( f art: 3 . Corol. y. 5 . ) pour faire ainfî équi-
libre entr ’ellesd.

Ces deux derniers Corollaires 6.7 .font' encore voir combien
on Je méprendrait i fi don prenait ici comme generale la propc*
fition rapportée dans la reflexion qui fuit le Corol. 1 1. du
Th. 14. & fuiva nt laquelle- ( fl elle étoit aujfl gene râlement
vraye qu-on l’a ■ énoncée ) des puiffançes égales appliquées-
commc-ci-deflus , feroient toujours en équilibre entr elles , &
réciproquement toujours égales entr elles dès qu elles feraient
ainfî en équilibre y ce que les deux derniers Corol. 6\ 7. font ce-
pendant voir n être ‘vrai que dans les deux cas quiy font mat
quez , , & faux dans tous les autres a l'infini.

S G H O L r E>

Pour ce qui eft des rélîftances des clous otr crochets;
A , B , ou bien des p alliances qu’il faudrait en leurs pla-
ces pour les luppléer , l’égale ten lion de la corde qui pafe
<fe' l’un à l’autre dè ces crochets par defeüs ou par deftus
lès Poulies fuppofées , fait afez voir que ces rélîftances
en cas d’équilibre doivent être égales entr’elles. Cela fe-
rait éncore par les part. 1. -z-. du Th. 1 4 ,- & par les parts,-
1. 2- & Corol. 1. i. du prefent Th. 1 5. Car les noms de-
meurant- rci les mêmes que dans le Corel. 1.- de ce Théo-
reme-ci , &c appellant de- plus ici A , B , lcs réftftances des.
.crochets de ces noms , ou des puilfances, qui mifes" em
leurs places , les fuppléeroient.

N OU V E L L E

£46

F,i ivs. I. L’on aura ici pour,
Ï17.118. les F.ig. 116. 117. 118.

" (Th. 14.. part. i.) A>P::é. E*

( Th. 1 5 .part.i.) P. R::Ex/Fxe,
(Th. 14.. part, z.) R. B : :F .fi

Donc ( en multipliant par ordre ) A. B::ExrxFx/
ExexJFx/: :?x* X .. c’eft-à-dire ,.A=aB. Ce qu'il fallait 1 °.dé«
montrer.

- ,, f (Th. 1 4-/’*3 •) A .P : : MC. CD.

Autrement. L ou ‘

aura auffi pour! CTh.1 5./». i-)P. 4 \

: CDxNG.GKxMC.

les mêmes Fig. \(X&.i4.p.3.)R.B:: GK. ,NG.

Donc ( en mult. par ordre ) A. B : : MCxCDxNGxGK,.
MCxCDxGKxNG : : 1. t. c’ed-à-dire encore , ArrB.
Ce qu’il fallait 1 °. démontrer .

rto;iI . II. L'on aara vz .ÇCli. i^fart.i.)
jiq. I? ' reillement ici pour les < ( Th. -i 5. Cor . 1.) P. V : : ExF. Kxe,
Fig. 1 1 p . ; J .2 o, l ( 2 -h. 1 4. fart. 2.) V-B::R. k.

Donc ( en multipliant par ordre ) A. B : : ExéxKxA
ExfxKxF : : j . -1 . c’ed-à-dire , A— B. Ce qu’il fallait z°,
démontrer.

Autrement. L’on (* ( 1 4 ' A 3 • ) A- P : : L?. ce.

aura auiïî pour less (Th. 1 j.Cor.z.) P. Y : : erxQp. K’xLe,
.mêmes Figures ( 7-/7. 1 4. p. 3 . ) V . B,: : kk. Qh.

Donc ( en multipliant par ordre ) A. B : : ’Lexeex.Qfxhk,
JLe-xêexQixkk : : ?i . 1. c’ed-à-dire encore , AesB.
falloit encore z°. démontrer.

THEOREME XVI.

ïia. n*; Si deux poids ou deux puifiances P , R , appliquées aux
e ii» 113. deux extrémité f d’une corde qui pajfe par de fus deux Poulies
fixes B ,C , en pafi'ant par défi ms une des deux Poulies mobi-
les & inégales ML N, E GF , au centre de laquelle pende. m

M E C 1 N I QJÜ E.

poids D que ces puijfances fou tiennent en équilibre avec cha-
cune de ces deux Poulies fuccejfov entent prifes à même hau-
teur de leur centre. Pour cela ,

I Ces deux put (fane es P , R, doivent être moindres en fou-
tenant ce poids D avec la grande Poulie: ML N qu'avec la
petite EGF ,,fi leurs dire Plions BM,. CN , B E , CF ^concou-
rent deux à deux en H , K y au deffous du centre commun A de
de ces deux Poulies mobiles , comme dans la Fig. r z î .

IL Au contraire ,fi les points de concours H , IÇ, des dire-
Bions BM ,CN,& BE , CF , des puijfances P & R , fe trou-
vent tous deux audejfus du centre A ,comme dans la Fig. r % z.
ces deux puijfances doivent être plus grandes en foutenant le
même poids D avec la grande Poulie ML N quavec la petite
EGF.

III. Si enfin le point de concours H des dire Bions B-AF,C N,
étoit au deffus du centre A , (fo le point de concours K des dire-
Bions BE , CF , au deffous de ce centre A, comme dans la Fig.
Xzg. les puijfances F , R ,f croient moindres ou plus grandes
en foutenant le même poids D avec la- grande Poulie ML N
qu’en le foûtenant avec la petite EGF ou égales de part &
d’autre , félon que l’angle MH N for oit plus petit ou plus grand-
que l’angle E K F , ou égal à lui

Démonstration-

En ce cas d’équilibre des puiflànces P , R , avec le poids
D fucceffivement Put chacune des Poulies mobiles LMN,
EGF , à même hauteur de leur centre A > l’on aura
( Th. impart, z. ) ce poids D à chacune des puilfanees
P,R , comme le finus de l’angle BHC ouMHN au h nus
de fa moitié fur la grande Poulie MLN & auffi comme
le finus de l’angle BKCouEKF au h nus de fa moitié fur
la petite Poulie EGF. Or le Corol. i. du Lemme S. fait
voir que plus un angle elt aigu * plus eft grande laraifon
«de fon finus au finus de fa moitié. Donc ,

Part. I. L’angle MHN étant plus aigu que l’angle EKF,
lorfqu’ils font tous deux au delfous du centre A , le poids
D fera pour dors à chacune des puillanees P , K , en plus

fie- iiîi

Fis. î £ 2a

Fi o . FiJ.

Fis. riï.

tXl- H3'

Esc. tu.

. \

% .4 8 N O U V E L L E

grande raifon, lorfqu’elles le foûtiendront avec' la petite
EGF à même hauteur de leur centre commun. A. Donc
aulîi en ce cas des concours H , K , des directions des
puiiTanc.es P , Pv , touchantes des Poulies MLN , EGF ,
tous deux au délions de leur centre commun A j ces
deux puifïances P , R. , doivent être moindres pour foû-
tenir le poids D avec la grande Poulie MLN , que pour
le foûtenir avec la petite EGF à même hauteur de leur
centre commun A. Ce qu il falloir i °. démontrer.

Fis. iu, P a K T. I L Au contraire l’angle MHN étant moins aigu

que l’angle EKF , lorsqu’ils font tous deux au delfus du
centre A , le poids D fera pour lors à chacune des puif-
fances P y R., en moindre railon , lorfqu’elles le foûtien-
dront avec la grande Poulie mobile MLN , que lorfqu’el-
des le foûtiendront avec la petite EGF .à même hauteur
de leur centre commun A.' Donc en, ce cas des points de
concours H, K, des directions des puiffances'P , R , tou-
chantes des. Poulies mobiles MLN , EGF , tous deux au
delfus de leur centre commun A s ces deuxpuilfancesP,
R., doivent être plus grandes pour foûtenir le poids D
avecia grande Poulie MLN , que pour le foûtenir avec
• la petite EGF à même hauteur de leur c entrecommun A»
Ce qui il falloir 1° .démontrer.

, fze Pae.t. III. Mais Ci des deux angles MHN , EKF , l’un

w ' e ’ j ^ ’ e'toit au déifias de ce centre, commun A & l’autre au
delfous j fçavoir , MHN au delfus , & EKF au delfous , le
contraire ne pouvant jamais arriver j le poids D feroit en
plus grande , ou en plus petite , ou en même raifon aux
puilFanees P, R., lorfqu’elles Je foûtiendroient avec la gran-
de Poulie MN L , &la petite EGF , félon que l’angle MHN
feroit plus petit , plus grand , ou égal à l’angle EKF. Donc
en ce cas de ces angles de part d’autre du centre A,,
les deux puilfancesP, R. fer ont plus, petites, plus grandes
ou les mêmes , en foutenant le poids D avec la grande Pou-
lie mobile MLN , qu’en le foûtenant avec la petite EGF,
félon que l’angle MHN fera plus grand, plus petit, ou
égal, à l’angle EKF. Ce il falloir y °. démontrer.

_'f' v ’ ' AvT&£

M JE C A. N I QJJ E. 2.4.9

Autre Démonstration.

Par les points d’attouchement M, N , E , F , des Pou- f-ig. nr.
lies mobiles MLN , EGF , Soient imaginées les fouten- Ialî Uî “
dantes MN , EF , avec les rayons AM , AN , AE, AF.,
menées de leur centre commun A. Il eft viiîblc que cha-
cundesangles MAN 5 E AF , étant le complément à deux
droits, de chacun des angles MHN, EKF , q.ui leur ré-
pondent , plus chacun de ces deux derniers angles MFIN,

EKF, fera petit , plus au contraire fera grand chacun des
deux autres MAN , EAF , qui en fera toujours le com-
plément à deux droits 5 & que plus chacun de ces deux-ci
fera grand, plus auflï fera grande la raifon de la bafe ou
foutendante MN , ou EF , au. rayon AM , ou AE , qui lui
répond. Donc plus chacun des angles MFIN , EKF , fera
petit , plus au contraire, fera, grande la raifon de la fou-
tendante MN, ou EF, au rayon AM , ou AE, qui lui ré-
pond. Or le ; cas prefent d’équilibre des puHTances P , R,

/avec le poids D fucceflîvement fur chacune des Poulies
: mobiles MLN, EGF , exige ( Th.- 1 4 .part. 3 . ) ce poids D
à : chacune de ces puilTances P , R , comme la. foutendante
MN eh au. rayon. AM. fur la plus . grande MLN de ces
deux Poulies mobiles ., & comme la foutendante EF eft
au rayon AE fur la plus -petite EGF. Doncaullien ce cas
.d’équilibre plus chacun des angles MFIN, EKF , fera pé-
rit, plus au contraire . fera grande la railon du poids D à
.chacune despuiftances P , R. Or.,

Part. I. L’angle MHN eft vifiblement plus petit que Tia.iti,
.l’angle EKF, lorfqu’ils font tous deux au delfous .du cen-
tre A. Donc, en cas des points de concours H , K , tous
deux au deflbus du centre A , le poids D fera toujours en
.plus grande raifon à chacune des puilTances P , R , I01S-
.qu elles le foutiendront avec la grande Poulie mobile
.MLN, que lorfqu’elles le Soutiendront avec la petite
.EGF , & par confequent, ces, deux puiftances P, R , doi-
vent être alors moindre fur la grande Poulie mobile
,MLN , que fur la' petite EGF, . pour les foûtenir l’une

. S

V'

â’ 5 O N O U V E L L E

après l’autre avec le même poids D à même hauteur de

leur centre commun A. Ce qu'il falloit encore i°. démark

trer.

Part II. L’angle MHN étant plus grand que l’angle
EKF , lorfqu’ils font tous: deux au deflus de ce centre A,
il fuit de même que les puiflances P , R , doivent au con-
traire être alors, plus grandes pour foûtenir le poids D
avec la grande Poulie mobile MLN , que pour le foute-
nir avec la petite EGF à même hauteur de leur' centre
commun A. Ce qu'il falloit encore i°. démontrer.

SFio. «3. Part. III. Ilfuit pareillement que lorfque les angles
MF 1 N , EKF , fe trouvent de part & d’autre du centre A, .
les deux puiflances P , R , doivent être plus petites , plus
grandes, ouïes mêmes pour foûtenir le poids D avec la
grande Poulie mobile MLN, que pour le foûtenir avec
la petite EGF a même hauteur de leur centre commun
A, félon que l’angle MFIN fera plus grand , plus petit,
ou égal à l’angle EKF. Ce qu'il fallait' encore 3 °. démontrer -,

S C H O L I E.

?i®. ut. • Il eh à remarquer que fi les directions des puiflances

an. 113. P, R, étaient ici deux à deux-paralleles entr’elles fur
chacune des Poulies mobiles. MLN , EGF , l’inégalité de
ces deux Poulies n’en apporterait plus aucune entre les
deux puiflance%P , R , de l’une, ni entre les deux de l’autre
pour foûtenir le même poids D fucceflivement fufpendu,
au centre A de chacune de ces deux Poulies mobiles j
puifque. ce parallelifme fuppofé de part & d’autre , ren-
drait auffi de part & d’autre ( Th. 14. Corol. x.) ce mê-
me poids D double de chacune de ces deux puiflances
fur chacune de ces deux Poulies mobiles. Mais il efl: vi-
fible que ce double parallélifme ferait ici impoflible, puif-
que fi BM étoit parallèle à CN , & BE à CF , les fouten-
dantes MN , EF , feraient alors diamètres égaux des Pou-
lies mobiles MLN , EGF , lefquelles confequemment fe-
raient alors égales entr’elles 3 ce qui efl: contre l’hypothe-
fe. Il ne peut donc y avoir ici de parallelifme qu’entre les

V -

t> /

r f

Me c a n i qjj e. a 5 1

-deux touchantes d’une de ces deux Poulies mobiles MLN,

EGF, , pendant que les deux touchantes de l’autre feront
quelque angle entr elles.

En ce dernier cas de deux touchantes d’une des deux
Poulies mobiles , parallèles entr’elles , pendant que les
deux touchantes de . l’autre font entr’elles quelqu’angle
..fini que ce fait, le prefent Th. i 6. fait voir que les deux
. puifiances P , R, qui. foutiendroient. le poids D avec des
directions parallèles entr’elles , ieroient moindres que les
deux autres qui. le foutiendroient avec des directions con-
courantes en quelque point que ..ce fut, & même ( Th .

'14. Corel. 7. 10.) les plus petites qui le puiient ïoûtenir.,

Ain fi. ce parallelifme pouvant egalement être entre les
. deux touchantes de la grande Poulie mobile MLN , & .
entre les deux de la petite EGF , félon l’éloignement des
Poulies fixes B , C, entr’eiles 5. chacune de ces ceux Pou-
lies mobiles MLN , EGF , peut ainfi également requérir
deux puifiances P , R , moindre que ne requeroit l’autre,»
pour être foûtenues l’une après l’autre avec un même
poids D à même hauteur de leur centre commun A.

Foilà jttfyiïici pour les- Poulie simple s fa-détachées les unes
. des autres truoici prefentement pour celles qui , attachées ensem-
ble À une chape commune parleurs centres , autour de J quels
elles font mobiles dans cette chape , font cet ajfemblage , qu on
appelle Moufle dans la Déf 1 8.

THEOREME X VIL

Soit la puiffance R en équilibre avec le poids D qu elle fou - Fr®. 1*4;
/tienne avec une Moufle mobile fa des Poulies fixes -, comme ii-S - I£Si
: dans la Fig. 1 24. ou avec deux Afoufles- , dont une foit fixe
en fafa, fa l’autre mobile , comme dans les Fig. 1 2 5. 1 2 6.
par le moyen d’une corde RS Rs.3.0 RbbNReeM , laquelle em-
b raflant toutes les Poulies qu’on voit ici , ait une de fies ex-
trémité z, retenue par la pjti fiance R , fa l’autre fixement atta-
chée en AP a un crochet dan-s la Fig. 124 . fa à la Moufle fu-
perieure dans les Fig : 125.1 16. En ce cas d'équilibre^

X . 5 2 N o U V' E L E '£

I. Ze poids D fera toujours k la puifance R , comme la font-*
me des produits faits chacun du- fi nus de l'angle compris entre
les cordons touchans de chaque P ouhemobile, multiplie par tous ‘
tes fmus dès moitié z, des autres angles pareillement compris en-
tre les cordons touchans de chacune de toutes les Poulies mo-
biles ,fera au produit fait dès fmus des moitié f de tous les an-
gles ainf compris entre les cordons touchans- de tout ce qu'il y
a ici de Poulies mobiles.

IL Le poids fera toujours k la puijjance R ,• comme la fom-
me des produits faits chacun de la foutendante de chaque Pou J
lie mobile , multipliée par les rayons de toutes les autres pa-
reillement mobiles , fera au produit des ray ons de tout ce qu’il
y a ici de ces Poulies mobiles

D E M O N S T K A T I ON-

Soient les foutendantes des Pou-"}
lies mobiles L, K , H , c’eft-a-dire , L _
de leurs arcs embralTez par la corde |
qui les foûtienr

aa .

bb ,

eet-

Kb , He;

Les rayons, de ces Poulies mobiles - La >

R AO, RBN, REM4

Les angles compris entre les tan-"
genres de chacune de ces Poulies .
menées par les extrêmitez des fou-
tendantes

Les fmus de ces angles totaux

Les fmus de leurs moitiez.

Parties du poids D foutenues par

les Poulies L , K , H ,

Force de tendon delà corde , par '
tout égale ( Th. 14^-Corol. i.. ) à la j
puilfance R

Part. I. Lon aura par tout ici ( Th. 14. part. 1 . )
X. R : : A. a. Et R. Y : : b; B.jDonc( en multipliant par or-

A,

B,

1-

a,

b,

e.

x,

Y,

Z.

R,

R,

R.

M î C A N I QJJ 1. Z 5" p

dfe)X.Ÿ : : AxA Bxæ. Et (en compofant ) X — J- Y .Y : : AyA
■=4EB xa. Bxa. Mais on vient de voir Y. R : : B. b. Donc ( en
multipliant par ordre ) X— EY. R : : A x£— EB xæ. axb. Or
( Th. 1 4- part, i . ) R. Z : : e. E. Donc ( eii multipliant pat-
ordre ) X — E Y - Z : : Axbxe—L¥ixaxe . ExbxA-Et ( en conv
pofant ) X — EY — EZ. Z : : Axbxe—LLxaxe — LLxaxb.
Lxaxb. Mais on vient de voir Z. R : : E. e. Donc ( en mul-
tipliant encore par ordre ) X— EY —EZ. R : : Axbxe
-EBxæx£=M*ExæxA axbxe. Or ( Hyp. ) Dtr:X— E Y — EZ.
Donc auffi D. R : : Axbxe— LBxaxe— EExæxA axbxe. -Et
toujours de même , quelque nombre de Poulies mobiles
qu’on puilTe ici fuppofer. Ce qu.il falloir i Q . démontrer.

P A R T. I L En ce cas d'équilibre' l’on aura auffi ( Th. 14.
part'. 3 :■ -)■ X-jR : : aa. La. Et R. Y : : K b. bb. Donc ( en mûl-
tipliant par ordre ) X. Y : : aaxKb. bbxLa. Et ( en compo-
fant ) X — EY .Y : : aaxlLb- — \-bbxLa. bbxLa. Mais on vient
devoir Y. R:: bb, K A Donc (en multipliant par ordre)

X — EY .R : : aaxLb —LbbxLa. L ax K b. Or ( Th. 1 4:. part. 3 . )

R. Z: : Lie: -ee. Donc ( en multipliant par ordre ) X— f - Ÿ .

Z : : aaxKbxHe-AbbxLaxLLe. LaxKbxee. Et ( en com-
pofant)X — EY— EZ. Z : -.aaxKbxLie — \-bbxLaxLie — EL ax
K bxee. LaxKbxee. Mais on vient de voir Z. R : : ee. He*
Donc ( en multipliant encore par ordre j X— 4- Y — EZv -
R: : aaxKbxHe—LbbxLaxHe — E^xLæxKA LaxLbxHe* -
Or ( Hyp. ) D—X^-EY — EZ. Donc D. R : : aaxKbxbïe
•=~j-bbxLaxHe—LtexLaxKb. LaxKbxHe. Et -toujours de
même, quelque nombre de Poulies mobiles- qu’on puiffe -
ieifuppofer. Ce qu il falloit z°. démontrer.

C O RO LL A I RE L

Il fuit de la part. i.qtre le poids D feroitàla puifiance
R , comme le double du nombre des Poulies mobiles eid
à l’unité, fi tous les cordons touchons de ces Poulies mo-
biles L , K , H ,. Sec. étoient parallèles entr’cux deux L
deux fur chacune. Car les angles RAO j RBN , REM ,
&e. étant alors tous ( Lem. 6 . ÇoroL 1. ) infiniment aigus-f- *

-a 5,4 Nouvelle

bc égaux entr’eux, auffi-bien que leurs moitiez 3 Ton.au-
rok pour lors ( Lem . 7.) A~ia , B— zb , E~ze, bec. Donc
la fubifitutiondes féconds termes de ces égalitez au lieu
des premiers dans la derniere analogie de la démonftra-
tion de la part. 1. donneroit ici pour ce cas de paralle-
lifme deux à deux des cordons touchans chacune de tou-
tes les Poulies mobiles, D. R: : zaxbxe*r-\*tbxaxe—\~zexaxb.
axbxe: : 1— J- 2 — J-z. i : : 6. I. C’ell-à-dire , que le poids.
D feroit alors à la puilTance R , comme le double du nom-
bre des Poulies mobiles eft à l’unité.

Corollaire II.

■ La même chofe fuit aulîî de la part. 1 . Car en ce cas de
parallelifme deux. à deux des cordons touchans chacune
de toutes les Poulies mobiles, leurs foutendan tes aa , bb ,

. ee , &c. en devenant les diamètres. , l’on aura pour lors
aa~zLa , bb'~zKb , ee~zHe , &c. Par conlequent la fub-
ftitâtion des féconds termes de ces égalitez au lieu des
premiers dans la derniere analogie de la démon ftration
de la part, x . donneroit ici pour ce cas de parallelifme
deux à deux des cordons, touchans chacune de toutes les
Poulies mobiles , D. R : : zLaxKbxHe — h^KbxLaxHe
~-j-zHexLaxKb. LaxKbxHe : : z— j-z— f-2.1 : : 6- I.c’eft-
à-dire encore , le poids D alors à la puilTance R , comme
le double du nombre des Poulies mobiles eft à l’unité ,
ainfi que dans le précèdent Corol. 1 .

Corollaire III.

Il fuit encore de la part. 1 . que plus les angles RAO ,
RBN , REM , &.c. compris entre les cordons touchans de
chacune des Poulies mobiles L , K , H , &c. feront grands,
plus fera grande la puilTance R reqüife pour faire ici
équilibre avec le poids D. Cardes fmus A, B, E, bcc. de
.ces angles totaux étant ( Lem. 8. Corol. 6. ) aux fmus de
leurs moitiez en raifon d’autant moindre que ces angles
.font plus grands 3 & ces fmus A , B , E, d’angles ao-

Mécanique. - 255"

rSitx étant tous compris dans le troifiéme terme de la der-
nière analogie de la démonftration de la part. i. au lieu :
que le quatrième terme ne comprend que les linus des
nioitiez de ces angles totaux j il fuit que ce quatrième
terme fera au troifiéme en raifon d’autant plus grande
que ces angles totaux R AO, RBN , REM, &c. feront
plus grands. Mais fuivant cette analogie, la puiftanceR,
qui foutient ici le poids D , eft à ce poids comme le qua-
trième terme eft au troifiéme. Donc cette puiffance R.
requife pour foûtenir ici le poids D , y ; doit être d’autant
plus grande (quoiqu’en raifon differente ) que les angles
R AO, RBN , REM , &c. compris entre les cordons tou-
chans de chacune des Poulies mobiles L , K , H , &c. y fe-
ront plus grands , ou ( ce qui revient au- même ) cette
puiffance R doit être d’autant- moindre que ces angles
feront plus petits. De forte que' la moindre que cette
puiffance R puiffe être pour faire équilibre ici avec le
poids D , c’eft lorfquë tous ces angles RAO , RBN, REM,
&c. feront infiniment aigus , ou ( Lem. 6 . Corol-, i.) que
les cordons touchans des Poulies mobiles , feront parallè-
les entr’eux comme dans les Corol. i . 2. A in fi fuivant
ces deux mêmes Corol. i. 2. lorfque cette puiffance R
eft au poids D , comme l’unité eft au double du nombre
de ces Poulies mobiles, c’eft alors qu’elle eft la ; moindre de
tout ce qu’il y en peut avoir ici de fucceffivement en équi- ~
libre avec ce même poids dans toutes les varietez poffi-
bles des angles compris entre les cordons touchans de
chacune des Poulies mobiles L,K,H, &c. c’eft-à-dire, •
dans toutes les pofitions poifibles des parties de la corde J
qui embraffe ces Poulies.

Corollaire IV.

La même ehofe fuit aufîî de la part. 2. Car plus les an- "
gles R AO, RBN, REM ,&c. compris entre les touchan- '
tes des Poulies mobiles L , K , H , &c. feront grands , plus > -
leurs complemens ( à deux droits ) aLa , bKb , tHe, &c. -
feront petits 3 & confequemment aufft moins fera grande

V, v
\

% 5 6 N O U V £ L LE

la raifon de leurs foutendantes aa , bb , ee > &c. aux rayons
La, Kb , He , 6ec. de ces Poulies mobiles. Donc ces fou-
tendantes étant toutes comprifes dans le troifiéme terme
de la derniere analogie de la démonftration de la part.
x . au lieu que, les rayons font feuls compris dans le qua-
trième, j la raifon du troifiéme terme au quatrième de
çette analogie , 6e eonfequemment auffi du premier D
au fécond K , fera d’autant moins grande que les angles
R. AO , RBN , RDM , êec. le feront davantage. Donc au
contraire la puiftance R , pour faire équilibre, ici avec le
poids D , doit y être d’autant . plus grande ( quoiqu’en
raifon differente ) que ces angles le feront davantage ,
ainil qu’on l’a déjà vu dans le précèdent Corol. 3 . coij-
formément aux Corol. 10. 11. du ,Th. 14. D’où il fuit
encore , comme dans le précèdent Corol. ,3 . que la plus
petite que cette puiffançe R puifte être pour foutenir ici
le poids D ., c’eft d’être à lui comme l’unité eft au double
du nombre des Poulies mobiles 5 fçavoir {Corol. 1.2.)
lorfque les parties delà corde , touchantes de ces Poulies»
font toutes parallèles, entr’elles.

S c h o L I E.

I. Il eft manifefte. que quand la puiftance R feroit ap=
pliquée en P au cordon Va , qu’elle tire ici fuivant aV
de bas en haut de la même force qu’elle tire ici fuivant
SR de haut en bas 5 le rapport de cette puiftance ou for-
ce R en P . au. poids D en équilibre ( Hyp.) aye.c elle , le-
roit encore le même que ci-deffus j puifque ( Th. 14.
■Corol. 1 . ) le cordon aP feroit alors .aufli fortement tiré
par la puiffançe R appliquée en P*, 6e agiffant de bas i ep
haut fuivant a P , que par cette même puiffançe R agiffan-
tede haut en bas fuivant SR , luppofé ( dis-je ) que cette
puiftance employât précjfémcnt ,îa même force de .part
6e d’autre contre Je poids D. Mais on voit dans le Corol.
j ç) . du Th. 1 4. qu’il eft bien plus facile d’employer cettp
quantité de force, en tirant de haut en bas, qu’en tirant
de bas en haut .3 c’eft pour cela qu’on n’exprime point

' • ici

\

M E C A N I QJCJ £, 157

ici les Figures du fécond de ces deux cas , lefquelles peu-
vent aifement être fupplées par celles du premier , qu’on
voit ici Fig. 1 24.. 1 2 5. 1 26. en imaginant ainfi la puif-
fance JR. en P , tirant de bas en haut le cordon al* de la
même force qu’elle tire en agilfant fie haut en bas fui-
vant SR.

II. On voit auffi , fuivant le prefent Th. 1 7. comment
un homme peut s’elever foi-même ( ainfi qu’on le voit
dans les Eglifes qu’011 veut nettoyer de haut en bas ) à la
hauteur d’une voûte par le moyen de deux Moufles ,
dont la fuperieure foit attachée en Q^Jà cette voûte >
puifque filon imagine que le poids D foit un panier dans
lequel foit cet homme., & que la partie SR de la corde
defcende jufqu a lui , en forte que R foit la main de cet
homme j le prefent Th. 1 7. fait voir qu’il lui faudra beau-
coup moins de force à cette main pour élever le poids
de fon corps appuyé fur le fonds du panier, que tout ce
fardeau D fait de lui & du panier , ne pefe avec toute la
corde la Moufle inferieure qui doit être enlevée avec
lui j & qu’il peut s’enlever ainfi avec d’autant moins de
peine qu’il y aura plus de Poulies employées dans les deux
Moufles dont il fe fervira pour cet effet.

Voila jufqu ici pour juger de l'avantage des Moufles dans
le cas où un des bouts de la corde qui embraffe leurs Poulies
efl fixe : fcavoir , fixement attache' h un crochet fixe , comme
.dans la Fig. 1 2 4. eu À la Moufle fuperieure qui efl auffi
toujours fixe , comme dans tes Fig. 125. 126. Voici prefen-
.tement pour le cas où cette ,corde tirée parla puiffance quifoâ-
; tient le poids , efl attachée par fon autre extrémité a. la Moufle,
jrflerieurc tou jours mobile av.ee ce poids..

THEOREME XYI.I J.

Soit encore la puiffance R en équilibre avec le poids D
gu elle foûtienne avec urne Moufle ffl des Poulies fixes , com-
me dans la Fig. 1 vp.ou avec deux Moufles , dont l'une foit
fixe en , fi- l'autre mobile , comme dans les .Fig. 1 2 R

Kk

\&fÏÏ Nouvelle-

1 z p . foit prefentement attachée h la Moufle mobile en M t
la corde MRTecRNbbR O2.2.RSR , qui retenîfe par la puif
fance R appliquée à flan autre extrémité , embrafe- encore tou-
tes les Poulies , tant fixes que mobiles , comme ort le voit dans
les Fig. -127.118. U 7. En ce cas d' équilibre ,fl d’un point
F quelconque du cordon MR- on imagine F G perpendiculaire
en G fur MG parallèle à la direction CD du poids B , •

I. Ce poids D fera toujours- d la ' puiffance R , comme la -

fomme des produits faits chacun du flnus de l’angle "compris
entre les tangentes de chaque Poulie mobile , multiplié par
tous les flnus des moitié f des angles pareillement compris en-
tre les tangentes de toutes les autres Poulies mobiles : comme
cette fomme ( dis - je ) multipliée par le flnus total ou de l’an-
gle droit MG F 3 ér augmentée du produit du flnus de l’angle
MF G par les flnus des moi fiez, dé tous les angles ainfl com-
pris entre lés tangentes dé toutes les Poulies mobiles , fera au
produit du flnus total ou de l’angle droit MGF par tous les
flnus de ces mêmes moitiez d’angles . «

II. Le poids D fera auffl- toujours alors a là puiflance R .
comme la fomme des produits faits chacun de la foutendante
de chaque Poulie mobile , multipliée par les rayons de toutes
les autres Poulies pareillement mobiles ; comme cette fomme
( dis- je encore ) multipliée par MF , & augmentée du pro-
duit de MG par les ray ons de toutes les Poulies mobiles , fera
au produit de MF par tous ces rnème-s rayons.

Démonstration.

Soient les foiîtcndantes des Poulies
mobiles L , K , H , c’eft-à-dire 3 de
leurs arcs embraffez par la corde
qui les foütienc

Les rayons de ces Poulies mobiles La , K b y H>.

Les angles compris entre les tan- "S •
genres de chacune de ces Poulies , /
mences par les extrèrnitez des fou- r R.BN , R ET:
■tendantes \

s

M e c a n i q^u e.

*5 9

/

Les finus de . ces angles
Les finus de leurs moitiez
Le finus de l’angle MF G

f

Ce finus total ou de l'angle droit MGE» G , » . -

Parties du poids D foutenues par }
de cordon MR. » & par les Poulies L , > Y , X , Y , Z,
•K, H, • 3

Force de tenfion de la corde , par }
tout égale { Th. 1 4. Corol* i . ) à la > R, R, R, R,

Part. L L’on aura {Lem. 5 . part. 1 . ) V. R : : MG. MF
( Lem. 8. Corol.% .) : : F. G. Et ( Th. I 4 .part. 2. ) R. X : :
a. A. Donc ( en multipliant par ordre ) V.X: :Fx4. GxA.
Et ( en compofant ) Y— pX. X : :Fx<z— -pGxA. GxA.
Mais on vient de voir X. R: : A. a. Donc ( en multipliant
par ordre) V-— pX. R: :Fx# — pGxA. Gxa. Or { Th*
impart, z.; R. Y : -.b. B. Donc ( en multipliant par or-
,dre ( Y — pX. Y : : Fxæx£— pGxAxA BxGxC Et ( en
compofant ( Y— pX— pY„ Y : : Fxæx£— pGxAx£— pGx
Bx«. GxBxa. Mais 011 vient de voir Y. R : : B. b. Donc
( en multipliant par ordre ) Y — pX— pY. R:: Vxaxb
H“GxAx£— pGxBx<?. Gxaxb. Or ( Th. 14. part. 2. )
R. Z : : e. E. Donc ( en multipliant ) V — pX—pY .Z : : Fx
J axbxe*—\~GxAxbxe<~-+-GxBxaxe. Gx^x^xE.Et (, en com-
pofant ) V — pX — p Y^*pZ. Z : : Txaxbxe—t-GxAxbxe

pGxBx^xf— +GxEx(*xA GxExæxA Mais on vient de
voir Z. R : : E. r. Donc ( en multipliant encore par ordre)
:V — pX— pY — pZ. R : :Fx«xÆx£«-pGxAx£xc— PG xBxæ
xe — pGxEx^xA Gxaxbxe. Or( Hyp. ) D~Y— pX— pY
H-Z. Donc D- R ■ : Fx# x£xe— p GxAx^xf-^p GxBx<?x<?

pQxExtfX^. Gx.ax.b-xe. Et .toujours de même quelque
nombre de Poulies mobiles qu’on puifle ici luppofer. £.?
ftiilfalloiti °,. démontrer.

Part. IL En ce cas d’équilibre , l’on aura .encore
{Lem. 3 .part, y .) Y«R :.:.MQ..ME Et de plus ( Th* .14,

%6o N C U V E L L E

■part. 3 ,) R. X : : La. aa. Donc ( en multipliant ) V. -X: r
MGxL^. MFxtftf.Et ( en compofant ) V —RX. X : : MGx
La — l-MFxaa. MExaa. Mais on- vient de voir X. R : : aa.
La. Donc ( en multipliant ) V — RX. R : : MGxLæ — RMF
xaa.MFxLa. Or ( Th. 14 .part. 3. ) R. Y ::K b. bb. Done-
( en multipliant ) V—RX. Y : : MGxLæxK^ — jr MFxK^x
aa\ MLxLaxbb.Lz ( en compofant, ) V—RX— R Y. -Y:-:
MGxL^xKi — LMFxKbxaa — \-MLxLaxbb: MFxL axbb.
Mais on vient de voir Y. R: : bb. K b. Donc ( en multi-
pliant par ordre ) V—RX — RY. R : : MGxLxzxK^ — RMF
xKbxaa— \-MFxLaxbb. MFxLaxKb.Or ( Th. impart. 3 .)'
R. Z:He. ee. Donc ( en multipliant ) V — RX— RY.Z:'.
MGxL^xK^xHr —R M.Fx^.bxFiexaa- — RMExLtfxf-Rx/A
MFxL^xK^xr^. Et ( en - compofa-nt ) V— f-X— 4- Y — R 2 .
Z : : MGxLÆxKf’xBir — RMF xK£xFRxææ=— RMFxLæxFE
xbb — LFAFxLaxL.bxee.MLxLaxYi.bxee. Maison vient de
voir Z. R: : ee : . Lie. Donc Ben- multipliant encore par or-
dre ) V — RX — f- Y — RZ. R r: MGxLæxK^xBR— R*YIF xKi
xHexaa — FMFxLaxHexbb — R-MExL^xKéxtf. MFxL^x
K^xFR. Or ( Hyp. ) D— V — RX— R Y — RZ. Donc D. R : :
MGxL«xKRxFi<? — RMFxKixFRx^z —R MLxLaxLiexbb
<— RMFxLæxK^x^. MFxL^xK^xFlt. Et toujours de-même
encore, quelque nombre de Poulies mobiles qu’on puifife
ici fuppofer. Ce qu’il falloit z?. démontrer ».

G O R' O L L A IRE R-

If fuit' de lapart. 1 . que E tous les cordons touchans des
Poulies mo’biles L, K, H, &c. étoient parallèles entre-
eux 5 & eonfequemment ( Lem. 6. Corel. 1 . ) à la direction
CD du poids D j ce parallelifme rendant alors A— zœ,
Btm: z b , F~ze , comme dans le Corol. -1 . du Th. 1 7. l’on
auroit ici ('en fubflituant ces valeurs de A, B, E, dans la
dernière analogie de la démonftration de cette part; 1 . )
D. R: : FxaXbxe — f • zGxaxbxe — R2G xbxaxe — pi G xexa
'xb. G xaxbxe : : F —R G G. G. De forte que fi les Poulies, tant
■fixes, que mobiles , étoient de diamètres tels , dans la Fig.

M E C A N r QJJ E. 2 .(*•£

fi 8. placées de maniéré dans la Fig. 1-17. que le cordon
MR fut auffi pour lors parallèle à la direction CD du
poids D , Se qu’il le pût être dans la Fig. 128. alors l’an-
gle MFC fe trouvant aiufi droit & égala MGF,Se con-
fequemment ayant alors fon finus F égal au total G,
donneroit D. R : : y G. G : :,j. 1. c’eft-à-dire , que le poids
Dainfi en équilibre avec la puiffance R par le moyen
de deux Moudes , Se d’une corde attachée à la Moufle
mobile , feroit alors à cette puiffimce R , comme le dou-
ble du nombre des Poulies mobiles , augmenté de l’unité,
c’eft-à-dire , comme ce double plus l’unité feroit à l’unité,
au lieu- que dans ce cas de parallelifme ce poids feroit
feulement à cette puidance ( Th. 17. Corol. r. 2. ) comme
le double du nombre des Poulies mobiles feroit à l’unité,
fi la corde étoit attachée à la Moufle, fuperieure, ou à
quelque point fixe.

Corollaire II

La même chofe fuit auffi de la part. 2 .- Car ce cas de
parallelifme des cordons touchans des Poulies mobiles
L , K , H , rendant cuïzzz 1 L a , bb- ~ 2 K b , ee'zr: 2 Jrle , comme
dans le Corol. 2 . du Th. 1 7. la fubftitution de ces valeurs
des foutendantes aa > bb , ee-, dans la dernier e analogie, de
la démonft ration de cette part., a. donneroit ici D.R ::
MGxL^xK^xH(?-qr 2 MExLæxK^xH^ — F^MFxLæxKI'X
Hr— {-2MFxLÆxK^xHr.MFxL^xK^xFlr : : MG — J-6MF.
MF. De forte que fi les Poulies , tant fixes- que mobiles,
étoient de diamètres- tels dans la F-ig. 128. & placées de
manière dans la Fig. 1 27. que le cordon MR fut auffi
pour lors parallèle à la direction CD du poids D , & qu’il -
le pût être dans: la Fig. 12 8. alors MF fe trouvant ainfl
égale à MG , donneroit D. R : : 7MF. MF 1:7.1 . ain.fi que
dans le- précèdent Corol. 1.

Corollaire F IL

Il fuit encore des part. 1.2. que plus les angles-RAO,.
RBN , RET,.&c. compris entre les touchantes des Poulies

Kkiij

V'.,

f 2 -< 3 .l N O U V E L L E

mobiles L , K , H , &c. feront grands , aufîî-bien que l’an-
gle FMG , plus la puiflance R. devra être grande ( quoi-
qu’en raifbn differente ) par rapport au poids D, pour
demeurer en équilibre avec lui , comme, ci-deffus. Cela fe
.prouvera comme les Corol. 3 .4. du Th. 1,7. D’où il fuit ,
; comme dans ces Corol. 5 . 4. du Th. 17. que plus au
contraire ces angles RAO , RBN , RET, &c. feront pe-
tits , plus.auffi la puiffance R devra être petite pour faire
équilibre ici avec, le même poids D 5 & qu’ainli la moin-
dre qu elle puifle être pour cela , c’efl lorfque tous ces
angles feront infiniment petits, c’eA-à-dirc { Lem. 6 . Co~
roi. 1.) lorfque les cordons touchans des Poulies feront
, tous parallèles, entr’eux > auquel cas les précedens Coroh
I . z. font voir que la puiflance R. feroit ici au poids D
en équilibre {Myf. ) avec elle , comme l’unité feroit au
double du nombre des Poulies mobiles , augmenté de cette
.unité. Donc la moindre que la puiflance R puifle être
ici pour faire équilibre avec le même poids 1 D , c’eA de
lui être en cette raifon , qui dans le cas prefent de trois
Poulies mobiles , feroit ( C oroL 1, z.) : : i ...7 „

C O R. O L.L AJ R E I V.

On voit de-là , drivant les Corol. 3 . 4. du Th. .17. que
Pufage qu’on fait -ici des Poulies mobiles , eA encore plus
avantageux que celui qu’pn en a fait dans ce Th. 17.
c’eA-à-dire , qu’il eA plus avantageux d’attacher à la
Moufle mobile qu’à la fixe , ou qu’à quelque crochet
fixe , le bout de la corde qui doit l’êfre à l’une ou à l’autre
de. ces deux Moufles, ou à un crochet fixe, dans l’un
.dans l’autre de ces deux ufages des Poulies. Puifqu’en cas
d’équilibre entre la puiffance R & le poids D fur ces deux
Moufles , ou fur un foutenu de Poulies fixes , la moindre
que la puiffance R puifle être par rapport à ce poids ,
lorfque le bout delà corde qui embraffe le.s Poulies, eA
attaché à la Moufle fixe , ou à un crochet fixe , c’e A ( Th°
1,7. Corol . 3 . 4. ) d’être à ce poids comme l’unité eA au
double du nombre des Poulies mobiles ; au lieu que la

M E C A N I QgÜ E. 2 6 y

moindre des puiflances R. requifes pour faire équilibre
.•avec le même poidsD , lorfque de bout de corde eft atta-
ché à la Moufle mobile , ne doit être à ce poids ( Corol. 3 . );
que comme l’unité eft au double du nombre des Poulies
mobiles, augmenté de cette unité.

S c h o l 1 e.

Il eit vi'fîble ici , comme dans Part. 1 . dû Schol. du’Th.

1 7. que quand la puiliancc R feroit appliquée en P au
cordon PA , qu elle tirât fuivant «P de bas en haut de la
même force qu’ëlle tire ici le cordon SR de haut en bas r
lé rapport de cette puifiance ou force R au poids D eu
équilibre ( Hyp. ) avec elle , feroit encore le même que ci-'
defius. Cela le prouvera’ encore: comme dans cet art. i ;
du Schol. du Th. 1 7.

On prouvera au). h de même ici que dans Part. z. de ce
Schol. du Th. 1 7. qu’un homme peut s’élever foi-même :
& i feul, par exemple, jufqu’à la voûté d’une Eglife par
le moyen de deux Moufles , au mobile defquelles la corde
qui embrafl’e les Poulies , foit attachée comme à la Moufle
fixei & le précedent Cor.q.faitvoir qu’il fera plus avanta-
geux de s’en fervir de la première manière fuppofée dans ’
le prefent Th. 1 8 .- que de la fécondé fuppofée dâns le Th.

1 7;' c’eft-à-dire, ( toutes chofeS d’ailleurs étant égales)
qu’un homme qui voudra s’élever aihfi foi-même par le
fecours de deux Moufles, n’aura pas befoin ( Corol. 4. )
d’y employer tant de force , lorfque la corde qui embraife
lés Poulies, fera attachée à la Moufle mobile , que lorf-

qu’elle le fera a la Moufle' fixe!

0 aire la méprife remarquée dam la réflexion qui fuit le
Corol. 1 fi du Th. 14 . par rapport'aux Poulies mobiles fepa~
fées, les Corol. f. z. 3. i 4. des précedens Th. 1 7 . lit. en font
voir encore, deux autres par rapport aux Poulies pintes plu*'
fleurs enfemble en Moufles mobiles , dans le [quelle s parinad -
vertence , font auffi 'tombez les Auteurs de: la proportion rap-
portée dans la reflexion qui fuit le Corol. 1 z : du Th. 14.
lui donnant encore ici un uf âge trop étendu , ont avan-

: 2c- S 4 Nouvelle

te Jans refiriélion , que dans /’ équilibre d’une pui flanc e avec
un poids J u [pendu k une .Moufle rnobile armée de plufleurs
Poulies.

i °. Si la corde qui les emb rafle eft attachée par un « bout h
une autre Moufle fixe , ou kun crochet pareillement fixe ; cet>

; te puiilance,_eft à ce poids , comme î’unité.eft au double
du nombre des Poulies de centres mobiles. C e qui fur une
infinité /de cas ne fl. vrai que dans celui ou les -cordons touch ans
des Poulies font tous parallèles entreux , (fi efi faux dans tous
les autres , ainfi que les Çorol. 1 . z . 3.4.. du Th. 17 .le font
voir.

i°. Si la corde qui embrafje les Poulies efi attachée k la
Moufle mobile.i lz puiflance.eft au poids , .comme l’unité
eft à elle-même augmentée du double du nombre des
Poulies mobiles. Ce qui fur une infinité de cas ne pourrait
encore être vrai que dans celai oit les cordons touch ans.de s Pou-
lies fer oient tous parallèles entreux , efi fer oit faux dans tous
les autres , ainfi que les Corol. 1 . 2 . 3 . 4. du précèdent Th. 1 8 .
le font pareillement voir.

jfc'-E M A RQJJ E

Sur les precedentes Scellons j. 3. touchant l’ufage de ce qui

p efi contenu.

La precedente réflexion jointe à celles qui fui vent les
Corol. u.&i 7. du Tb. 14. fait yoir .combien on eftloin
de fon compte , quand dans' l’ufage des Pou lies , on calcule
le rapport de la puiflance au poids, .comme fi les cordons
touchans de ces Poulies étoient toujours parallèles entrer
eux j & qu’on doit avoir autant d’égard aux angles que
ces cordons font entrjjbux , que fi prolongez ils étoient au-
tant de branches de corde , naiiées à .celle du poids aux
points où ils en rencontrent la direction , ainfi que dans
les Fig. .7 5 . .7 6 „ & que ce poids ne fut ici .comme là , que
foutent! avec des cordes feules & fans Poulies, Par.exem-
■ple , qu’il faut avoir autant d’égard à l’angle PAR que
font entr’eux les cordons ou .parties prolongées PM , ,RN e

Notuvelle Mécanique

Tenrwjl, pqc? ; P,j§

Fia .

ij . ta 7 ■

Mecaji.i qjcj e. z 6 5

de la corde PMNR , avec laquelle, les puifTances P , R„,
fotitiennent le poids D parle moyen de la Poulie mobile
MON dans la Fig. 13 0. que li ces puilTances le foûte-
noient fans aucune Poulie avec les feules cordes PA, RA.
nouées en A avec celle AD de ce poidsD , ainli que dans
la Fig. 131- _

II. Prefentement pour avoir ces angles, par exemple,
l’angle PAR dans la Fig. 130. dans laquelle les prolon-
gemens MA , NA , des cordons PM , RN , 11’étant qu’ima-
ginez, cet angle PAR ou MAN , n’eft pas vifible 5 il n’y
a qu’à appliquera un de ces cordons, par exemple, à
RN le côté BC d’un quart de cercle gradue BCD , au
centre B , duquel pende un petit poids H , au bout d’un
fil de foye BPI j prendre garde., lorfque ce poids H fera
en repos , par quel point F de .ce quart de cercle ce fil
pafifera : l’on aura .pour lors l’angle CBF ou ABH égal au
nombre des degrez compris dans l’arc CF , & confequem-
jnent auffi l’angle RAL., puifque les direétions LD . BH ,
parallèles ( Hyp, } entr’elles , rendent les angles alternes
LAB , HBA , égaux entr’eux. Cet angle RAL étant ainli
prouvé, l’on aura confequemment aufli l’angle PAL , qui
lui efi: égal, pitifque RA., PA , font tangentes de la Pou-
lie MON , dont L eltle centre. Donc l’on .aura auffi l’an-
gle total PAR fait de ces deux-là , 8 c double de chacun
d’eux. Par confequent le poids D étant ici ( Th. 1 4. fart.
?.. ) à chacune des puilTances P , R , en équilibre ( Hyp. )
avec lui, dans la raifondu linus de l’angle total PAR au
finus de fa moitié 5 Ton aura par ce moyen en nombres
requis dans la pratique,, le rapport de ce poids à chacu ne
de ces puilTances , ôc confequemment auffi un des trois
étant donné , chacun des deux autres fera pareillement
.connu.

Si Ton veut ce rapport fans finus, il ri’y a qti’à mener
les rayons LM , LN : , aux points d’attouchement M , N ,
avec la foutendante MN de Tare de la Poulie , embralTé
par la corde PMNR j 8 c la part. 3 . du Th. 1 4. donnera
fs rapport du poids D à chacune des puilTances P , R en

F1G.130S

131.

El G. 13®.

3.66 Nouvelle

raifon de. cette foutendante MN à chacun des rayons!
LM,LN,de la Poulie. Mais parce que pour connoître
cette foutendante MN , il faut avoir recours aux fmus des
angles trouvez ci-deflfus , le plus court &. le plus commode
dans là pratique eft de s’en tenir tout d’un coup à ces finus,
ainfi qu’on l’a déjà dit dans la Remarque qui eft dans Je
Scholie du Th. 14.

Fi «; 13 1; II I. Quant aux poids foûtenùs feulement avec des cor- -
des, comme dans la Fig. 13 1 . l’on aura , de même que
dans le precedent art. 2 . les angles RAL , PAL , dont le.
côté AL eft fur la direétion DA prolongée du poids D ,
& confequemment aüffi les angles PAR , PAD , RAD ,
que les cordes font entr’elles , en appliquant fucceffi ve-
inent le côté BC du quart de cercle gradué de l’art. 2.-
fur chacun des cordons AR , AP , des puiflances P, R,
en équilibre ( Hyp. ) avec le poids D j & en prenant gar-
de, comme dans cet art. 2, fur quel degré F,E, s’arrê-
tera le fil BH du poids H dans chacune de ces deux pofi-
tions : les angles CBE, CBE, alors connus , donneront leurs >
alternes RAL, PAL, par le moyen defquels les trois an-
gles précedens PAR , PAD , RAD , feront auffi connus
avec leurs finus que la table des finus donnera en nom-
bres. Donc le poids D étant ici ( Th. 1 . CoroL 4: ou Th. 2.
Corol. j',.) à chacune des -puiflances P , R , en équilibré
( Hyp. ) avec lui, dans la raifon du finus de l’angle PAR
au finus de chacun des angles RAD , PAD 3 l’on aura
auffi pour lors en nombres le rapport de ce poids à cha-
cune de ces deux -puiflances : de forte que ce poids étant
donné , on connaîtra pour lors chacune d’elles 3 ou une
d’elles étant donnée , on connoîtra auffi l’autre avec ce
poids.

Quelque nombre de branches qu’ait la corde avec la-
quelle un poids eft foùteuu par tant de puiflances qu’on
Voudra, & de quelque nombre de noeuds que les bran-
ches partent , les . angles qu’elles feront chacune avec
celle qui en fera comme la. tige , fe trouveront comme
ei-deflîts par le moyen du quart de- cercle CBD , dont on

Mi c a n i qjj je. 2.67

vient de fe fervir , en commençant par le noeud où pend
immédiatement le poids , c’eft-à-dire , par le nœud qui
en eftle plus voifin : En opérant ( dis-je ) comme ci-dèf-
fus, on aura tous les angles que les branches de ce nœud
feront chacune avec le fil BH du plomb H de l’in Uni-
ment CBD , & confequemment chacun des angles que
chacune de ces branches fera avec la direction du poids
quelles foùtiennent, luppofée parallèle à celle du plomb
H, ou de fonfilBH. Cet infiniment appliqué enfuite de
même fur chacune des branches dans lefquelles chacune
de ces premières fe fubdivife, donnant encore de me me
d’angle que chacune de ces fécondés branches fera avec
fon fil BH , donnera confequemment l’angle que chacu-
ne d’elles fera avec celle des premières dont elle fera la
branche , & dont cet infiniment aura déjà donné l’angle
avec la direction du poids en queftion- Ce même infini-
ment donnera pareillement les angles que ces fécondés
branches feront chacune avec chacune de celles dans
lefquelles elles fe fubdiviferont encore immédiatement j
& toujours de même dans quelque nombre de branches
■que ces troifiémes fe fubdivifent encore, & quelque loin
qu’aillent .ces fubdivifions de chaque branche. Ce qui
■étant ainfi connu , les Th. 1.2.4. 5.6.7. donneront en
nombres , par le fecours de la Table des finus , le rapport
de chaque poids à chacune des puiflances qui le foùtien-
idront ainfi enfemble avec des cordes feulement, à quel-
que nombre de branches , & fui vaut quelques directions
quelles leur foient appliquées.

I V. Dans les pratiques precedentes ( art. z. 3 . ) il faut
bien prendre garde à ce qu’on y a marqué , que pour
.qu’elles foient jufies , la direction BH du fil de l’infiru-
ment y doit être parallèle à celle du poids loutenu , foit
avec des Poulies , ou avec des cordes feulement , par les
puiflances dont on cherche les rapports avec lui 5 ce qui
jluppofe les directions des poids parallèles entr’elles : fup-
pofition cependant faufie à la rigueur 5 mais qui fenfible-
inent yraye, ne laifle pas de fuflîre dans la pratique , ou.

■xê 8 Nouvelle

l’on doit fe dontenter de l’à peu-près du but , îorfquon
n’y fçauroit atteindre. Il faut pourtant avouer que pour
pouvoir juger fi l’on eft près ou loin du but, il 'faut fçavoir
ou il eft. C’eft pour cela qu’un Géomètre y doit toujours
tendre, jùfqti’à ce qu’il l’ait enfin apperçù, afin que le
voyant il puilï'e enfuite dans la pratique en approcher le
plus près qu’il' lui fera poflible, & rendre ainfi par le fe-
cours de la théorie , la pratique la moins fautive qu’elle
puilfe être: elle l’ell toujours neceflairement quelque peu; ,
faute d’alfez d’adrelfe , & de fens affez fins dans la con-
ftruction & dans l’ufage des Inftrumens qu’on y employé;
mais elle l’effc bien davantage , quand à ce' défaut eft
joint celui de ne pas voir précifément où l’on tend. Cela
foit dit en paffant pour defabufer ceux qui effrayez des
difficultez de la théorie inventrice & directrice de la
pratique, Sd'quf pour dédommager leur vanité de l’igno-
rance qu’ils en ont , ne fe piquent que de pratiques , par
lefquelles ils croyent pouvoir arriver à des à peu-près
qu’ils ne. voyent pas: femblables en cela à des aveugles
.qui voudroient jouer a la boule, fans fçavoir même de
quel côté eft le but.

Pour lé voir ici dans le cas des direétions des poids nofl
parallèles entfellés , la théorie d’un Géomètre le condui-
ra à la connoiffance des angles compris tant entre ces di-
rections , qu entr’elles & celles des puilfances qui foûtien-
nent ces poids , les di fiances du' point de concours des
directions de ces poids, à leurs points de fufpenfion , Sc
de leurs points de fufpenfion entr’eux étant données ;
de-là par les Théorèmes précédons , à la connoiffance du
rapport cherché de chacun de ces poids à chacune des
puifiances qui les fôùtiennent avec des Poulies , ou avec
FîCi-îjtv- des cordes feulement. Par exemple , le poids D étant en-
core ici foûtenu par les puifiances P , Rt , avec des cordes
feulement , comme dans le précèdent art. 3.' fi l’on fup-
pofe que les directions de ce poids ftxfpendu en A, & du
poids H lufpendu en' B au centre du quart de cercle BCD
appliqué comme: dans cet art. 3 . au cordon AP, coucou-

Mec ane qjj e . %(>

rent en quelque point T , qui foit ( lî loi! veut ] le centre
delà Terre j les diftances AT , AB , étant données, l’an-
gle CBE ou ABT que le filet BH en repos , fera pour lors
connoître fur l’inftrument , -donnera par la Trigonomé- '
crie les autres angles BT A , BAT, du triangle ABT, &
eonfequemment auffi l’angle PAL , complément ( à deux
droits J de BAT : on trouvera de même les angles RAT,
RALj & de-là auffi l’angle PAR— PAL— {-RAL. Si les
trois diftances AT , AB , BT , étoient données , la Trigo-
nométrie donner oit encore prefque de même les angles
PAR, PAT, RAT, fans le feeours d’aucun infiniment j
&l ces trois angles étant ainfi connus , le Corel. 4. du Th.
i ; . ou le Corot. 7. du Th. 1 . donnerait enfin le rapport
cherché du poids D à chacune des puiffiances P, R, qui
le foutiennent ( Hyp. ) avec des cordes feulement. Ce rap-
port fe trouverait de même , fi ces puiffiances P , R , fou- .1
tënoient ce poids D avec la Poulie MON de la Fig. 130.
dans ce cas des directions des poids , concourantes en quel-
que point que ce fut , dont les diftances aux points de
fiffipenfion de ces poids , 5 c celles de ces points entr’eux , -■
fuflênt données.

lleft vrai que la diftance AT-au centre’TdelaTerre '
féroit ici énorme par rapport à AB , 6c la diftance BT fi
peu differente de AT , que les yeux n’y verraient que
comme fi ces diftances AT, BT', étoient parallèles en-
tr’elles ; 6e qu’ainfi dans la pratique il faudroit s’en tenir
ici a celle des précedens art. z. 3 . Mais du moins un Géo-
mètre ferait-il content de l’avoir conduite ( art. z. 3 . )
auffi près du but qu’elle peut aller , 6c de voir comment il •
l’y mènerait' julte , fi l’inftrument 6e fes yeux repondoient
à fa théorie. Outre ce contentement il aüroit encore celui *
de voir que cette maniéré de chercher ici les rapports dit- 4
poids aux puiffiances qui le foutiennent , toute impratica- -
ble que la rend le trop . grand éloignement du point de : '
concours des directions des poids entr’elles , ne laiffie pas ’
d’avoir fon utilité dans tous les cas où les angles de ces di~ '
restions entr’elles font fenfibles. Par exemple , fi au lieu ?

I./.1 Ùj ;•

V

.*•70 Nouvel l e

du poids D, c’étoit une puiffance <f , qui fut en équilibré
( comme lui ) avec les deux puifTances P , R, 5 & qui , au
lieu de tendre au centre T de la Terre comme lui , &le
poids H, eût fa direction A t f vers .tout autre point S tel
quelle rencontrât la direction prolongée BT du plomb H
.en quelque point X affez voibin pour caufer une égalité
.ou une différence fen bible & reconnoiffable entre AX,
BX : la pratique precedente devient alors utile & même J
neceffaire. en ce cas des directions concourantes du plomb
H & de la •puiflance!’. Cette pratique donnant donc en
ce cas de concours en X,les angles P Ai” , RAi* , avec leurs
. complemens PAa , RAa , comme elle auroit donné ci-
deffns les angles PAT, RAT, avec leurs complemens
PAL ,RAL , dans le cas du concours en T des directions
des.poidsD, H, A le trop grand éloignement de ce point
n’en eût empêché Tubage 3 elle donnera ici les angles PAR,

P Ai', RAT , comme elle auroit donné là PAR , R AD,

P AD. Par conbequent , buivant cette même pratique , le
Corol. 4. du Th. i.ouleCorol, 7. du Th. 2,.. donnera ici
les rapports des puiffances ^ , P , R , entr’elles , comme il
auroit donné là le rapport du poids D à chacune des puib-
bances P , R> Tout cela s’appliquera de meme aux puiffan-
ces en équilibre entr’elles bur des Poulies , Tétant alors'

( buivant tout ce qui précédé ) comme bi elles y étoienc
avec des cordes beulement. Tout cela ebfc prebentement
.trop clair pour s’y arrêter davantage.

v-Vs,-- „ _

SECTION IV.

Bu Tour y. & des autres Machines qui y ont rapport!

D E F I N I T I O N X X.

L E Tour eft une Machine faite d’une Roue ou d’un E 1 G - »32é
Tambour fermement alfembléavec un Cylindreou
Rouleau , qui l’enfile par le milieu fuivant fon axe , lequel
devient auffi pour lors celui de ce Cylindre.

Cette Machine fert à élever ou a tirer des fardeaux P
attachez au bout d’une corde qu’une puuTance R , appli-
quée à la circonférence du Tambour BB , fait filer ou en- -
tortiller autour du Cylindre CC , en faifant tourner la
Machine entière ( comme d’une piece ; autour de fon axe :

EF appuyé par fes extrêmitez E, F, dans les trous ou fur '
lès fentes de deux appuis fermes GH , GH. Les Latins ap-
pellent cette Machine Axis in peritrochioi nom emprunté
du Grec 5 Axis , c’efi: le-Cylindre ou Rouleau CC * ôe Péri - '
trochium , ce 11 : le Tambour ou la Roue BB.

Pour avoir plus aifément prife fur ce Tambour , on ••
implante dans des trous faits à fa circonférence , des bâ-
tons ou bras BD , que Pappus ( liv. 8 . ) appelle Scytalx.

Fort fou vent on fe contente d’implanter ces bâtons ou î i
bras dans le Cylindre même fans Tambour , perpendi-
culairement à fon axe , comme l’on voit dans la Fig. 134.
lôrfque ce Cylindre ou Rouleau elE horifontal , cette Ma-
chine s’appelle ordinairement Treuil ou Singe j & lorf-
qu’il eif vertical , elle s’appelle Vindas , Cabejfan , Virevau,

Guindeau , ou Guindas. Vitruve l’appelle Sucula dans la
première fituation , & Ergata dans la fécondé.

Les Tarières , les Roues ou Rouleaux a Manivelles , les '

Roues des Moulins , les Roues dentées avec Rouleaux ou Pi-
gnons, le s Crics ré fuit ans du mutuel engrenement des Roms-

c

'-Bj'jeT-ïîfr
& fuivantcs

jufqu’àH 1,

,1-7.1 N o U V E L L E

. dentées dans des Pignons , les Grues, é"c.fe rapportent 'a cet-
te Machine ,. ccjl- à-dire , au Tour, au Treiiil , ou au V indas.
Voici prefentement le rapport des forces qu’il y faut employer.

THEOREME X I X.

Fondamental de la prefente Sedtion 4.

Soit le tambour B B de la Fig. y 3 3 . exprimé ici en profil
dans les Fig. 135. 136- 137- 138 - par la roue ou le cercle
B B NB i fon cylindre ou rouleau C C , par le cercle-C MC con-
centrique à. celui-là s fit fon axe E F avec fies pôles E , F , par
le centre A de ces deux cercles: fit de même du cylindre (fi de
l’axe du Treuil ou Vindas de la Fig. 1 3 4. dans les Fig.
X 3 5>. 140. 141 .'I42,. Cela fuppofé , foient deux puififances
quelconques P , R , appliquées à chacune -de ces Machines des
Fig. 135. 13 6.13 7. 1 3 8 . I 3 9. 1 40. 1 41. 141. fui-
vant telles directions MP , N R , qu’on voudra , pofées dans
.des plans perpendiculaires à l’axe de la Machine .

L Ces deux puififances P , R , agiront enfemble fur cette
Machine , comme fi elles étoient dirigées fmvanl un même
plan perpendiculaire à l’axe de cette même Machine.

Tl. S’ il y a équilibre entre ces deux puififances P , R, ainfi
regardées comme dans un même plan CMC perpendiculaire
à l’axe de la Machine 5 quelqu angle P E R que leurs dire étions
MP ,RN , fafijent entr elles , la direétion EF de la force ré -
fultante ( princ. gener. & Lem. 3 .) de leur concours , gaffera
toujours par l’axe immobile de la Machine , ou parle centre
fixe A du cercle CMC, qui re prefente cet axe fixe.

III. En ce cas d’ équilibre , fi de cette direction EA prolon-
gée on imagine dans l’angle GE H compris entre les direétions
MP , N R pareillement prolongées des puifijances P ,R , une
partie quelconque EF depuis le fommet E de cet angle , fur
laquelle ( comme diagonale ) fait un parallélogramme G H , qui
ait fes cotez, EG , EH , fur ces directions MP , N R prolon-
gées des puififances P , R s la charge de l'axe ou centre fixe A
fie la Machine , fera toujours dirigée fuivant cette diagonale
■£F, fit à chacune de ces puififances P, R, comme cette. diago-

M E C A N î djj E. 273

ttœlc EF a chacun de ces cotez, EG , EH , qui leur repondent
fur leurs directions.

I V. Réciproquement fi la direction EF de la force refui -
tante du concours des puiffances F , R , paffe par l’axe ou cen-
tre fixe A de la Machine , il y aura équilibre entre ces puif-
fances j & la charge de cet appui A réfdtante de leur con-
cours, fera pour lors dirigée fui-vant EF a chacune de ces
deux puiffances dans la précédente rai f on ( part. 3.) de la
diagonale EF du parallélogramme GH .à chacun de fes cotez
E G, EH, qui leur répondent fur leurs directions.

V. Pareillement fi la diagonale EF prolongée du parallé-
logramme G H paffe par l’appui A , & que les puiffances P„
R , foiententr .elles comme les cotef EG ,EH , de ce parallélo-
gramme , pris fur leurs directions ■> ces deux puiffances demeu-
reront en équilibre -entr elles fur cet appui A , la charge de
cet appui , réfultante de leur concours , fera encore pour lors di-
rigée fuivant EF , & h chacune de ces deux puiffances P , R ,
-comme la diagonale EF à chacun des cotef EG , EH , qui
leur répondent dam ce parallelog ramm.e GH.

Démonstration.

Part. I. A quelque point de la fur fa ce du rouleau ex-
primé ici par le cercle CMC , que le poids ou la .puiffan-
ce P fait appliquée perpendiculairement àl’axe de ce rou-
leau, îl eft mandé lie, fuivant l’ax. 2. que cette puiflance
,P y doit agir fur ce rouleau pour le faire .tourner autour
de fon axe , comme elle feroit ici en M , fi elle y étoit ap-
pliquée dans le plan de ce cercle CMC, fui vaut une dire-
ction MP parallèle à celle qu’elle aurok-là. Donc .la puif-
ianceR étant auffi ( Hyp. ) fnivant une direction RN po-
féedans ce même plan CMC , ces deux puiffances P , R
■doivent ici agir enfemhle fur la Machine comme fi elles
y étoient dirigées toutes deux fuivant ce même plan CMC
perpendiculaire ( Hyp. ) à l’axe de cette Machine. Ce qd’il
falloit 1 °. démontrer.

Part. 1 1. Le principe general , 8e le nomb. 1 . du Co-
T®L i,„ du Leni. 3 . font voir que du concours des puiffances

.Mm

*v3 M

y'4 N o U V E L L Ë-

, R,, il doit réfulter fur la Machine ici fuppofée , une,
sroifiéme force fuivant quelque ligne EF qui paffe par le
concours E , & dans, l’angle GEH des directions de ces
deux puifiances , fuivant laquelle ligne EF , cette Machi-
ne doit être ici pouffée ou tirée , comme ii , au lieu de
l’être par ces deux puiiTances P, R , elle ne l’étoit que
par une feule force égale à la réfultante ici de leur con-
cours 5 fie que cette Machine ainfi pouifée ou tirée fuivant
cette ligne EF,fe meuvroit effectivement fuivant cette
direction, £ rien ne s’y oppofoit. Donc n'y ayant ici {Hyp.)
d’obftacle qu’en A , cette direction EF de la force ré-
fultante du concours des puiiTances P , R , doit effective-
ment paffer par cet obftacleA dans le cas d’équilibre ici
füppofé. Ce quil falloit i°. démontrer.

Part. III. L’art, 2.. du Corol. î . duLem. 3 . fait voir
que cette force fuivant EF, réfultante du concours des
puiiTances P , R , doit ici être à chacune de ces puiffan-
ces, comme la diagonale EF du parallélogramme GH eft
à chacun de fes cotez EG , EH , qui leur répondent fur
leurs directions. Mais dans le cas d’équilibre icifuppofé,
la réliftance de l’appui A , oppofée ( part. 2... ) à cette for-
ce fuivant EF, & en équilibre ( Hyf. ) avec elle , lui eft
égale par l’ax. 4. & par L’art. 3 . du Corol. 2 . du Lem. 3.
Donc ence cas d’équilibre cette réliltancê de l’appui A,
ou la charge de cet appui , c’eff-à-dire , ce qu’il reçoit ici
d’imprelfion du concours des puiiTances P , R,, fuivant EF,
doit aulfi toujours être dirigée fuivant EF , & être à cha-
cune de ces deux puiiTances P , R , comme la diagonale EF
du parallélogramme GH eft. à chacun de fes cotez EG,
EH , qui leur répondent fur leurs directions, Cequilfal*
loït 3 °. démontrer.

Part. I V. En fuppofaot prefentement , comme Ton
fait ici, que la direction EF delà force réfultante du con-
cours des puiiTances P , R , paffe par l’axe ou par le cen-
tre fixe A de la Machine fhppolée ,. le Corol. 1 . du princi-
pe general fait voir que la ré fi fiance ( Hyp. ) invincible de
cet appui A , doit l’arrêter tout court v & mettre ainfi ces

Mbcani qjj e. z 7 j

deux puilTances P , R , en équilibre entr’elles fur cet ap~

f )ui i & confequemment ( 3 . ) ne con liftant que dans
’imprelîïon fuivant EFréfultante ( Hyp. ) fur lui du con-
cours des puilTances P , R , doit auffi, pour lors être diri-
gée fuivant EF, & être à chacune de ces puilTances com-
me lai diagonale EF du parallélogramme GH elt à cha-
cun de fes cotez EG,EH , qui leur répondent fur leurs
directions. Ce qu’il, falloit 4 0 . démontrer .

Part. Vf Puifque ( Hyp. ) les puilTances P ,R , font ici
entr’elles comme les cotez EG , EH , du parallélogram-
me GH , qui leur répondent fur leurs directions , l’art. 1.
du Corol- 1 . du Lem. 3 . fait voir que l’impreffion réful-
tante de.leur concours fur la Machine , doit fe faire de
E vers F. fuivant la diagonale EF de ce parallélogramme.
Donc cette ligne EF prolongée palfant ( Hyp . ) par l’ap-
pui A , toute la force réfultante du concours de ces deux
puilïances P , R , palTera auffi par cet appui A. Par confe-
quent {part. 4.) elles feront en équilibre entr’elles fur
cet axe ou appui A , alors chargé de toute cette forcei ou
impreffion commune fuivant EF , & cette charge fera
( fart. 3 . ) non feulement ainli dirigée fuivant EF , mais
encore à chacune de ces deux puilTances P ,R , comme la
diagonale EF à chacun des cotez correfpondans EG , EEf,
du parallélogramme GH. Ce qu’il falloit 5 0 . démontrer.

C O R O L,L AI R E I,

En cas d’équilibre , la part. 3 . donnant ici le poids ou
lia puilTance P à la charge de l’appui A : : EG. EF. Et cet-
te charge à la puilTance R : : EF. EH. l’on aura ici ( en
raifon ordonnée) P. R: : EG. EH.'c’eft-à-dire , les puilTan-
ces P , R , entr’elles en raifon des cotez EG,EH , qui
leur répondent fur leurs directions dans le parallélogram-
me GH. Par confequent h d’un point quelconque A de
Ta diagonale EF prolongée., on mene AM , AN , perpen-
diculaires fur les directions MP,NR, pareillement pro-
longées de ces deux puilTances P , R , ces mêmes puinaii-
cCes feront .entr’elles [ Lem. 8. ) en raifon réciproque de

Mm ij

2j6 Nouvelle

ces perpendiculaires , c’eft-à-dire , P. R : : AN , AM; Ce
qui dans les Fig. 135.1 3 -6 . 1 3 7; 13 8. lignifie qu’en ce
cas d’équilibre le poids ou la puilfance P y eft toujours à.
la puilTance R, comme le rayon AN- de la roue ou du.
tambour BNB , à la circonférence duquel cette fécondé
puilfance R eft appliquée , eft au rayon AM du cylindre
ou du rouleau CMC, à la circonférence duquel l’autre,
puilfance P eft pareillement appliquée j c’eft-à-dire , que
ces deux puilfances P, R, en équilibre ( Hÿp. ) entr’elles ,!
y font alors entr’elles en raifou réciproque des rayons ou
des diamètres du rouleau & de la roue , aux circonféren-
ces defquelles ces- deux puilfances font appliquées,

G O R O L L A I R E IX

Mais en prenant E A dans ces quatre Fig. 13 5. 136^
137. 1 3 8. & dans les quatre autres Fig. 135». 140. 141,
142. c’eft-à-dire , dans toutes. celles de ce Théoreme-ci ,
pour le finus total : Qn fçait ( Déf f>. Corel. 1 . ) que les
perpendiculaires - AM , ÂN font- les finus des angles
AEM, AEN. Donc aufti- ( Co-rol. 1. ) les puilfances P , R ,
fuppofées en équilibre , font par tout ici entr’elles en rai-
fôn réciproque des finus des angles AEM -, AEN , que
leurs directions MP , NR , prolongées y- font avec celle
EA de la charge de laxe de la Machine , ou de l’appui A,
qui exprime cet axe j c’eft-à-dire , le poids ou la puilfance
P à la. puilfance R , comme le finus de l’angle AEN eft
au finus de l’an s;le AEM;

D

G O R O L. L- A I R E I J L

Cela fe voit encore en-. ce que la charge de l’appui À
étant en ce cas d’équilibre ( part. -3 . ) à chacune des puif-
fances P, R, comme la diagonale EF du parallelogranr-
me GH eft à chacun de fes cotez EG,EH ,.qui -leur ré-
pondent fur leurs directions ., c’eft-à-dire ( en appellant
cette charge A ) A , P,.R , en raifon des trois grandeurs
EF , EG, EH-, ou-' ( à caufe de EH=:GE ) en raifon des
trois cotez EF , EG , GF, du triangle EGF ou.( Ltm. &„

IW ï G AN ï Q_U E. 2-77;

Corol. 2.) en raifon des finus de fes angles EGF, EFG,.

FEG , oppofez à ces mêmes cotez , ou bien auffi en raifon
des finus des angles MEN , AEN, AEM , égaux à ceux-
là , ou leurs complemens à deux droits. Ce qui donne, dis-
je, encore en ce cas d’équilibre ,

i°.; Le poids ou la puilfance P à la puilfance R. , en rai-
fon du finus de l’angle AEN au fmus de AEM > ainfi que
dans le Cor ol. 2 .

2°. Et confequemment ( Déf, g . Corol . 1. ) ce poids ou
cette • puilfance P à la puilfance R , en raifon de AN à
AM , ainli que dans le Corol. 1 ,,

Corollaire IV.-

Cette raifon de AN à AM , qui peut varier dans lé Fig. i 39 :
Treuil ouïe Vindas des Fig. 139. 1,4.0. 141. 142. félon mo. i*i;-
la différence des angles que la direction RN delà puif- 1411
fance R , y peut faire avec le bras AD ou CD de cette
Machine, auquel elle eft appliquée , & félon les differen-
tes di dances AR de i’axé ou appui; A de cette même Ma-
chine au point R d’application de. cette puilfance R à ce
bras AD s le rapport des puiffances P , R , requis ( Corol. 1. •

& y.mmb. 2 . ) de AN à AM pour y faire équilibre entre-
tr’elies , y peut varier auffi, de confequemment differen--
tes puiffances R. différemment appliquées à cette Machi- -
ne , y peuvent faire équilibre fuccelïivement avec le mê-
me poids P.

Mais dans le Tour qu’expriment les Fig. 13.5. 136. Fig; i 3 f.<
13 7.13 8. le rapport de AN à AM , n’y pouvant non 1 3 . 1 3^4 -
plus changer que ces rayons de la roue & du rouleau de 1?>S ‘
cette Machine tant qu’elle demeure la même , quelques
foient d’ailleurs les directions des puiffances P , R , qui y
font ou feront appliquées : le rapport de ces puiffances
P,R,requis(C<?r. 1 .^3 . nomb. 2.)pour y faire équilibre en-
tr’elles , n’y peut jamais, varier ni changer , quelque chan-
gement qu’il arrive à leurs directions ; &' conlequemment
le même poids P appliqué au rouleau de cette Machine,
n’y peut jamais être loittenu en équilibre que par une.

Mm iij.

a 7 S Nouvelle

même puiiTance R appliquée à la roue de cette même Ma-
.chine, quelques dire&ions qu’on donne a ces deux puif-
. Tances P, R.

C O R O L LAI R E. V.

Fig. 139. Les bras CD du Treiiil ou du Vindas des Fig. 139.

540.141. X40. .141. 142. étant ( Hyp. ) perpendiculaires à Taxe

de fou rouleau, ou à la circonférence CMC,., qui repre-
fente ce rouleau, en forte que prolongez ils palTeroient
. tous par le centre A de ce cercle, lequel centre A expri-
me ici l’axe de ce rouleau j.li la puiiTance R tire ou pouffe
perpendiculairement celui de ces bras auquel elleeft ap-
pliquée ,. c’eP>à-dire , fi elle liiieft appliquée fuivant une
direction ER qui lui Toit perpendiculaire 6e dans le plan
du cercle CMC 5 alors AN perpendiculaire ( Hyp. ) à cet-
te direction ER , tombant fur AR , & Te- confondant alors
avec ce bras de Treiiil ou de Vindas , le Corol. 1 . 6e le
nomb. %, duÇorol. 3 . font voir qu’en cas d’équilibre , le
poids ou la puiiTance P fera pour lors à la puiiTance R ,
comme, la longueur du bras AR fera au rayon AM du
rouleau de cette Machine.

C O R O L L A I R E V I.

& foiraares H Elit auflî de là part. 5 . pour tous. les cas du Tour 6e du

d,u%u’àx4i Treiiil ou du Vindas, que A des puilTances P, R, y. font
entr 'elles eii raifon réciproque des lignes AM , AN , me-
nées de l’appui A perpendiculairement fur les directions
MP , NR, de ces puilTances , c’eft-à-dire , fi P. R : : AN.
AM. il y aura équilibre entre, ces mêmes puilTances P, R.
Car fi Ton imagine un parallélogramme GH d’une dia-
gonale quelconque EF prife fur la droite EA depuis le
pointée concours E des directions de ces deux puillances
dans l’angle GEH que ces direclions Pont eiitr’elles , le-
quel Toit confequemment auffi un angle de ce parallélo-
gramme GH. Le Lemme 8. donnera pour lors EG. EPI
a: AN. AM. ( Hyp. ) : : P. R. Donc la diagonale EF pro-
longée palïant ainfi ( conjlr. ) par l’appui A de la Machine,

M' E C A N l QJJ E. 2 75)

lès puifiances P , R , demeureront par tout ici ( pan. .5 . )
en équilibre entr’eiles.

G O R- O L-L A'i R E Y IP

E11 prenant ici AE pour le finus total , le Corol. de la
Dé£ 5? . -fait voir que les droites AM , AN , y. feront les
finus des angles AEM, AEN , que les directions MP,NR, ,
des puifiances P , R, y feront avec cette droite AE. Donc
( Corol. 6 i ) lorfque ces deux -puifiances P , R , feront en-
tr’elles en raifon réciproque des finus des angles compris ■
entre chacune de leurs directions , & la droite menée de
l'appui A de la Machine au concours E de ces directions
entr’ellês j ces mêmes puiOanees P , R , demeureront en-
core en équilibre fur cet axe ou appui A.

Corollaire VIII.

Il fuit pareillement de chacune des part. 4. y. que fi la
charge de l’axe ou appui A , tant du Tour que du Treüil
ou diuVindas-, réfultante du concours des puiffancesP , -
R, qui y font appliquées , e.ft: àehacune de ces deux puil-
fances , comme le finus de l’angle MEN compris entre
leurs directions prolongées MP , NR , eft au finus de cha- -
eundes angles réciproquement pris AEM, AEN , que
chacune de ces directions fait avec la droite EA menée
de leur concours E. à cet appui A s ces deux puifiances P,
R, demeureront en équilibre^ ent-r’elles fur cet appui A.
Car fi l’on imagine encore le parallélogramme GH fait
comme dans le Corol. 6 . l’on verra pour lors les finus
des angles EGF , FEG, EFG s du triangle EGF être les-
memes que ceux, des angles MEN-, AEM, AEN s & con-
fequemment ( Lem. § : . Corol. 1, ) le premier de ces finus-cî
être à chacun des deux autres , comme le coté EF- de ce
triangle EGF eft à chacun de fes deux autres cotez GF ,
EG-, c’eft-à-dire ( à eau lé de ËH= GF ) comme la dia-
gonale EF du parallélogramme GH eft à chacun de fes
cotez EH , EG. Mais on fuppofe ici la -charge de l’axe ou
de. l’appui A , réfultante du concours des puifiances P, R,

2 C S o Nouvel l e

être à chacune de ces puiflances , comme le finus de l'an-
gle MEN eft à 'chacun des fi nus des angles AEN , AEM.
Donc auffi la charge fuppofée de l’appui A , eft ici à cha-
cune de ces puiflancesP, R , comme la diagonale EF du
parallélogramme GH eft à chacun de fes cotez EG,EH,
qui leur répondent fur leurs direction^. Par confequent
ces deux puiflances P , R. , feront ici entr’elles comme ces
mêmes cotez EG , EEI 5 ( pnnc. gener. Cor. 1. ) la force

réfultante de leur concours fera non feulement égale à
cette charge , mais encore dirigée fuivant EF qui pafie
,( Hyp . ) par l’appui A. Donc enfin (fart. 4. 5. ) il y aura
ici équilibre entre ces deux puiflancesP, EL, ainfi qu’on
jle vient d’avancer.

C O OR O L L A I R E IX.

Puifqu’en cas d’équilibre dans toutes les Machines de
,ce Théoreme-ci, la charge de l’axe ou. de l’appui A qui
reprefente cet axe , réfukante du concours d'action des
puiflancesP ,-R, fur lui, eft-tou jours {part. 3. ) à.chacune
de ces puiflances P, R., comme 4 a diagonale EF du pa-
rallélogramme GH ,-eft à chacun de fes cotez EG , EH *
qui leur répondent fur leurs directions : le Lem. 9. fait
■voir que lorfque l’angle MEN , que font.entr’elles les di-
rections MP, NR, de ces deux puiflances , eft .infiniment
aigu,.c’efl>à-dire-( Lem. 6. Corol. 1 . ; lorfque. ces deux di-
restions font parallele-s entr’elles 5 cette charge de l’appui
A , eft: toujours égale Ma fomme P-f— R , de ces deux puif-
Eances , tant qu’elles agiflent en même fens , ou feulement
égale à leur différence P — R, -tant qu’elles agiflent en fens
contraires. Les Corol. 1 • 1. de ce Lem. 9 . font pareille-
ment voir que dans l’un & l’autre de.ces deux cas cette
.charge de l’appui A eft toujours alors dirigée parallèle-
ment aux directions de ces deux puiflances P , R jfça-
voir, vers le même coté qu’elles dans le premier .cas , ôt
•y ers le côté de la -plus for te d’entr 'elles dans le fécond.
■Car

Mec ani q_u e 281

Lorique Pangle MEN . c ff ...infiniment aigu, celui fra - * 3 g ‘
GEH du parallélogramme GH l’eft auflî dans les.Eig. I33 ‘
136. 138. 13p. 140. du premier cas 3 & coiifequem-
mentaüffi, ( Lem. 9. part. 1. ) da diagonale du parallélo-
gramme GH fe trouve toujours égale en ce cas à la fom-
•me de ces cotez EG , EH. Donc fuivant la part. 3 . de ce
Théoreme-ci, la charge de l’appui A , réfu lcante du con-
cours d action des puitlances P , R. , fur cet appui , eft auffi
-toujours égale a la fomme P — f-R de ces deux puitlances Fis. 143.
dans ce cas des Fig, 136. 135?. 140. 1 4 1 . qui fe rédui- M 5 '
fent alors aux Fig. 1 4 3 . 145. dans lefquelles ces deux
puiffances P , R , de directions CHyp. ) parallèles, entr elles,
lagiflent vers le même côté , où font appliqués de diffe-
xens cotez del’appui A de la Machine: &; cela confor-
.niément au CofoL.-iCdu Lem, 51 .-lequel Corol. 1 . fait voir
a.ulii que cette charge toujours dirigée { part.-}. ) fuivant
la diagonale EF doit l’être alors de E vers A parallèle-
ment aux directions P, Pc, vers le même côté quelles,

.comme dans les Fig. 1 4 3 . 1 4 3 .

2 0 . Tant que l’angle MEN compris entre les directions Fis - T K-
de ces deux puiffanoes P, R, demeure -infiniment aigu , I41 '

celui GEH du parallélogramme GH des Fig. 135.137.

.141. 141. de l’autre cas , elt au contraire ( Bef 11.
-Corollaire ) infiniment obtus 3 &, confcquemment ( /. cm. y.
part. 1. ) k diagonale EF du parallélogramme GH elt
pour lors en ce cas égale feulement à.la différence des co-
tez EG, EH, de ce parallélogramme.. Donc fuivant la
part. 3 . de ce Théoreme-ci , 1 a charge de l’appui A , n’eff
alors égale qu’à k différence P — R des puiffances P, R, en «• M4.

cecas desFig.i 35. 137. 141. 141. qui feréduifent alors aux I45 °

Fig. 1 44. î 41I. dans lefqn clics. ces deux puiffances de dire-,

-étions ( Hyp. ) parallèles entf’ellesfiagiffent vers des cotez
directement oppof-ez , eu font d’un même côté de cet ap-
pui A : &ceb conformément au Corol. 2 . du Lem. 5) . le-
quel Corol. 2 fait voir auîîi que cette charge toujours, di-
îcigée ( part. 3. ) fuivant la diagonale EF, doit l’etre alors

A vers E parallèlement juix directions de ces deux

..N.n

?I6.‘ II!-
& fuivantcs
jafij'.i’ài 41.

Fr&. 136-

338. 133-
£40.

Tic. 144.
349*

Fig. 135.

337 141.
141»

1 8 i. N O U V E L L E

puiffmces P, R , & vers le côté où tend la plus forte P

d’entr elles , comme clans les Fig. 144. 146.

C O R O L L A I R E X.

Tout cela fuit encore du Corol. 3. joint au Lem. 5). & à
fes Corol. 1 . 2. fçavoir , qu’en cas d’équilibre ici entre les
puilfances P, R , & de l’angle MEN infiniment aigu, c’eft-
à-dire ( Lem. 6. Corol.. 1.) de leurs direftions parallèles
entr’elles ; non feulement la charge de l’appui A eft tou-
jours égale à la fournie P— f-R de ces deux puilfances,
tant qu’elles agilfent enfemble en même fenss ou feule-
ment égale à leur différence P — R , fi elles agilfent en lens
contraires , mais encore- que cette charge- de l’appui' A eft ,
toujours dirigée parallèlement aux directions de ces deux
puilfances vers le même côté quelles dans le premier cas,
&L vers le côté où tend la plus forte d’entr’elles dans le fé-
cond. Car,

i°. Lorfque l’angle MEN eft infiniment, aigu , la part.
1. du Lem. 5). fait voir que le finus de cet angle total
MEN dans les Fig. 136. 138. 13p. 140. du premier
cas , eft égal à la fomme des finus des angles partiaux
AEN, AEM. Doncf Corol. 3. ) la charge de l’appui A eft
auffi toujours alors égale en ce. premier cas à la lomme
P“TR des puilfances P , R, du concours d’aclion delquel-
les ( pan. 2. 3. ) il eft chargé j & cette charge toujours
dirigée ( part. 2. 3.) fuivant EF, le fera pour lors de E
vers A dans les Fig. 1 44. 1 46 . de la prefente hypothefe,
vers le même côté ou ces deux, puilfances tendent , &

( Lem. 5). Corol. r . ) parallèlement à leurs directions^ ainfi
que dans lenomb. 1 . du Corol. 5? .

2 0 . Lorfque l’angle MEN devient infiniment aigu par
l’éloignement infini de fon fommet E , l’angle AEN le de-
venant aufti pour lors , le Corol. 2,. du Lem.p. fait voir
que le finus du premier MEN de ces deux angles, par-
tial de l’autre AEN dans les Fig. 135. 137. 1 41 . 142..
du fécond cas , n’eft alors égai qu’à la différence dont le
finus de cet angle total AEN furpaffe le finus die fon au-

Megan; cvu e. 2S3

tre partial AEM. Donc ( Corol. 3. ) la charge de l’appui
A n’eft non plus alors en ce fécond cas , qu’égale à la dif-
férence P' — -R. , dont le poids ou la puiffance P furpafié la
puilfance R. : & cette charge , toujours dirigée ( part. 2.3.)

Suivant EP , le fera pour lors de A vers E dans les Figures
144. 146. de cette liypotliefe-ci en même Cens que la Fig. 144,
plus forte- P de ces deux puiiîances , pour lors directe- 14<f °
ment contraire à l’autre li, & ( Lem. y. Corol. 1.) paral-
lèlement à leurs directions , ainfi que dans le nomb. 2 . du
-Corol. p.

La même chofe fe peut encore démontrer autrement. F r g.-. ï î5 -.
Car II dans ce fécond cas d’équilibre l’angle MEN elt J 37 * 14 p
infiniment aigu, £c confequemment aufli AEM, ou 14 4 ‘
ion égal FEG , le complément GEH du premier étant
..alors ( Def. 1 1 . Corollaire ) infiniment obtus avec un par-
tial FEG infiniment aigu 5 le Corol. 2. du Lem. 7. fait
voir que le fi nus de cet angle total GEH 11e lera pour
lors qu’égal à la différence des finus de fies angles par-
tiaux FEH , FEG 5 & par confisquent ( à caufe de FEH
— EFG , & de EGF corn ; le ment de GEH à deux droits.)
le finus de l’angle EGF ne fera non plus alors qu’égal à
la différence des finus des angles EFG, FEG. Donc ( Co-
. roi. 3. la charge de l’appui A ne fera encore ici égale qu a
la différence F* — R. des deux puiiîances P, R_, & dirigée
( part. 2. 3 . & Lem. p. Corol. 2. ) de A vers E dans le fens
de la plus forte P d’entr’elles , parallèlement à leurs dire-
ctions, ain fi qu’on le vient de voir dans les Fig. 144. 14^.

Corollaire X I.

La charge de l’appui A , réfuitante du concours d’action ? rs. 134:
-des puiffances P, K, en équilibre ( Hyp.) entr 'elles, étant .*^) r c inKS
toujours alors ( part .3. ) à .chacune d’elles , comme la dia- 141.
gonale EF du parallélogramme GH eit à chacun de fies
-cotez EG , EH , pris fur leurs directions , & cette diago-
nale devenant ( quoiqu’on raifon differente) d’autant plus
...grande dans de cas aies- Fig. 136. .138. 13 p. 140.. &

Nnij

-ri- 8 4 N O U VILLE

d’autant plus petite dans celui des Figures 135. 137’
14 1. 141. que l’angle MEN elFplus aigu 5 il fuitmani-
feitement que cette charge de l’appui A , fera auffi d’au-
tant plus grande dans le premier cas , & d’autant plus
petite dans le fécond , que cet angle MEN fera plus aigu.
Donc cet angle ne pouvant jamais -être plus aigu, que
lorfqu’il l’cft infiniment , c’eft-à-dire ( Lem. 6. Corol. 1. )
que lorfque les directions des puiflances P, R. , font pa-
rallèles entr’elles 5 fie la charge de l’appui A , réfultante-
du concours de ces puiflances , n’étant pourtant alors;
( Corot. 9. 10-) égale qu’à leur tomme P-J-R, dans le
premier cas , fie qu’a leur- différence P* — R dansde fécond r
il fuit encore- évidemment que cette charge de l’appui A>
ne peut jamais être plus grande que la fomme de ces deux
puilfances P , R , dans le premier cas , ni plus petite que
leur différence dans, le fécond.

Corollaire XI L

Par confequent tant que les directions des deux, puiR
fances P, R , ne feront point parallèles , quelqu’angle
fini qu’elles faffent entr’elles , la charge de l’appui A ré-
fultante du concours d’action de ces deux puilfances >
fera toujours moindre que leur fomme dans le cas des
Fig. 1 3 6 . 1 3 8- 135». 1 40.. fie toujours plus grande que
leur différence dans celui desFig. 13 5. 137. 141. 142.
fans pourtant que cette charge de l’appui A puiffe ja-
mais devenir égale à la fomme de, ces deux puilfances dans
le fécond cas: de forte que tant que les directions de ces
deux puiflances P , R , font entr’elles quelqu’angle fini ,,
la charge de l’appui A , rélultante de leur concours
d’aétion fur lui, elt toujours moindre que la Pomme de
ces deux puiflances dans l’un fie l’autre des cas précedens ,
fie dans toutes les Machines de ce Théoreme-ci.

Tout cela luit encore immédiatement de la part. 3 .la
diagonale EF du parallélogramme. GH, fe trouvant tou-
jours moindre que la fomme de les cotez EG 3 EH , tant
qu’ils font quelqu’angle fini entr’eux , quoiqu’elle deyien-

M E- C A N- r -QJJ E. 1$ 5

5*6- d’autant plus grande que l’angle GEPI devient plus
aigu. ■

Corollaire XIIL

Il eft vifihle dans le Tour que la puiiîancc R fuppofée p z G ;
ici en équilibre avec le poids P , pourroit fe mouvoir de 13^-137-
maniéré , en defentorti liant ou en entortillant fa corde 1381
autour de la roue : BNB , que Ion point N d’application à
cette roue , pafleroit du côté de M dans les~Fig> 13 6„,

138. ou du côté oppofé à M dans les Fig. 13 5 . 1 3 7. de
maniéré, dis-je , qu’alors le cas des deux premières de ces
quatre Figures fe changerait en celui' des deux autres *

& réciproquement celui de ces deux autres Figures , eiî
celui des deux • premières : & cela ( Corel, -5 . ) fans que-
l’équilibre fuppofé entre les puilfances P , R , ceffàt ja-
mais 3 puifque Ton y auroit toujours P. R : : AN. AM‘.
ainfi ( Corol. 1 . ) que dans cet équilibre fuppofé.

Ile il aufli vifible dans le Treuil ou le Vindas , que la Fig. 139,
puilTaa.ee R paffant d’un côté à l’oppofé par rapport à I 4 °'-
l’appui A , à la même dillance AN , duquel elle fut en- H1 ‘
cote appliquée 3 le cas des Fig. 13 p. 140. fe changerait
en celui des Fig. 1 4 1 . 1 4 2 . & réciproquement : & cela
encore ( Corol. 6 .) fans que l’équilibre fuppofé entre cette
puiflance & le poids P , ceflat 3 puifque l’on y auroit en-
core ( Hyp .) P, R: : AN. AM. ainfi ( Corol. 1. ) que dans
cet équilibre fuppofé.

Or ( Corol. 11. ) la charge de l’axe ou appui A , réfui- eig.'ijo
tante du concours de ces puiffancésP , R , ne peut jamais & fuXyn.t-r.v
être plus grande que la fômme de ces puiifances dans le

• 0 • 1 / 1 T- ' . r o *43»

premier cas exprime par les Fig. 1 3,6. 138.- 13p. 140.
ni plus petite que leur différence dans le fécond exprimé
par les Fig. 135. 13 7. 1 41. 142. Donc la charge de
l’axe ou appui A du Tour , & du Treiiil ou du Vindas,
xéfultante du concours d’aélion des puilfances P , R y. •
qu’on y vient de fuppofer en équilibre , & toujours- en- -
fuite appliquées chacune à même clilfance que d’abord de
êet appui , de quelque côté- que ce loir, & confequera--'

N n ii j .

?. S 6 Nouvelle

nient ( Corel. 1.6.) toujours en, équilibre entr’eiles, ne peut
jamais être plus grande que la, fournie de ces deux puiflan-
ces , ni plus petite que leur différence , en quelque va-
riété de points de ces Machines que ces deux puiflances
foient fuccellivement appliquées , toujours chacune ,à
même d.iftance de l’appui A, pour y conferver {Corot, i. 6.)
d’équilibre entr’elley

Voila jufqu ici potir ce qui concerne l'équilibre des puiffan-
ces P , R, fur les Machines dont il s'agit ici. Voici aufji quel-
que chofefqai en ré fuite pour le cas meme oh ces puijfances n'y
feroient pas en équilibre entr elles , & feulement pour le be foin
que nous en aurons dans La fuite.

C O R O l. I. A I R H X 1 V.

Puifque le cas d’équilibre entre les puiflances P , R ,
-doit donner ici { Corot, i . ) P. R : : AN. AM. ou (Corot. 2.)
P à R , comme le -finus de l’angle AEN au finus de l’angle
AEM ; il eft manifefte que lorfqu'une de. ces puiflances eft
plus grande qu’il ne faut pour avoir ce rapport à l'autre. s
. elle doit {Ax. j.) l’emporter fur elle : puifqu’alors elle
, feroit plus grande qu’il ne faudroit ( Corot. . 1 . & 7. ) pour
faire équilibre ici avec elle.

Corollaire XV.

Réciproquement fî,une- ; de ces deux puiflances P,R S
l’emporte ici fur l’autre , étant alors plus, grande qu’il ne
.faudroit pour faire équilibre avec elle , leurs directions
.demeurant les mêmes belle fera ait 111 pour lors à l’autre
en plus grande raifon que la requife pour cet équilibre ,
iaquellé eft ( Corot. :i . ) de P. R : : AN. AM. ou ( C orol. 2 . )
de P à R., comme le finus de l’angle AEN efl; au Anus
de l’angle AEM. Donc alors , fi c’eft la puiflance ou le
poids P qui l’emporte fur la puiflance R , l’on aura P à
R en plus grande raifon que AN à AM , ou que le finus
de l’angle- AEN au fliius , de l’angle AEM. Pareillement
fi c’eft la puiflance R qui l’emporte fur le poids P 3 l’on
aura de même R à P en plus grande raifon que AM A

M e c a' N i qjj e. zSy

AN, ou que le Anus de l’angle AEM au finus de l’angle
' AEN-

C O K O L L A IRE X VI.

De plus lorfqu’une des deux puiflances P , R. , l’empor-
tera ici fur l’autre , la direction de la force reTultante
{Lem. 3. Corol. 1. ) de leur concours , ne pafFera point
(prncpp. geher. Cor. 1. ) par l’axe ou l’appui A, mais en-
tre cet appui &: la direction de celle des deux puiflances-
qui l’emportera fur l’autre. Car puifque ( Lem. 3 . Cor. G . )
ces deux puiifances P , R, n’agilfent enfemble que de cet-
te force reTultante de leur concours fur chacune des Ma-
chines dont il s’agit , &; de même que feroit cette force
feule i il elt vilîble ( princ. gener. Cor. - 1 '.) que la direction
de cette force réfultante du concours de ces deux puiffan-
ces P, R , doit palier du côté de celle des deux qui l’em-
portera fur l’autre , entre l’appui A , & la direction de
cette puiflance prédominante.

S C H O L I E.

Il fuit de tout ce qui précédé , que dans le Tour, en
cas d’équilibre entre les pui flan ces P, R , qui y font ap-
pliquées , la variété des direétions de-ces deux puiflances y
Y varie toujours ( Corol. 8.9. 1 o. 1 1. 1 1. 1 3. ) la charge
de l’appui A , réfultante du concours d’aétion de ces deux
puiflances fur lui 5 mais qu’elle n’y varie jamais ( Cor. 4.)
le rapport de ces puiflances entr elles 3 & qu’ainfi la con-
fideration de leurs directions eft tout-à-fait inutile dans
la recherche de ce rapport. C’eft pour cela que clans la
fuite pour avoir ce rapport entre deux puiflances en
équilibre entr’elles fur tel nombre de Tours à la fois qu’011
voudra , nous ne nous mettrons plus en peine des angles
que les directions de ces deux puiifances y pourr oient fai-
re ou ne pas faire entr’elles, mais feulement des rayons
ou des diamètres des rouleaux & des roues- de-toutes ces
Machines,

?.. S § ^'Nouvelle

THEOREME XX.

.. Fx G, Z4 7 . Soient plufieurs ■ Tours AMD , B NE , CO F , &c. mobiles
autour de leurs centres, fixes A , B , C , (fie. fiaient autant de cor-
des DD , EE , FR , dre. roulées fur les rôties ou tambours
MD, EN, O F., çfic. de ces Machines , de maniéré que la
corde DD roulée fiur le tambour DM fiuivant MD , le pu fie
être fiur le rouleau ou cylindre KD [uivant D K ; que celle EE
qui P efi fiur le tambour E N (uivant NE , le put fie etre aufii
fiur le rouleau LE [uivant EL ; & partout de meme jufiquaa
dernier Tour COF fur la roue FO duquel fiait aufji la corde FR,
roulée [uivant O F : h /’ extrémité R de cette corde FR fioit une
puifiance R , qui par le_ moyen d.e toutes ces AL a chine s ou de -tous
ces Tours ainfii équipe fi., agi (Je contre le poids ou la puifiance F
appliquée d.-une autre corde GP , qui je puifie rouler ou filer
[uivant GH. Cela pofié , quelques J oient les directions GP ,
DD , E E , FR , des Cordes. , jeudis ,

I. .fin en cas d 1 équilibre ici entre les puifiance s P , R, la puifi-
■ fancc R fera à la puifiance ou poids P , comme le produit des
rayons de tous les rouleaux efi an produit des rayons de toutes
'les roues , eu ( ce qui revient au même ) comme l’unité efi a la
fr adiion ré finit ante du fiecond de ces produits , divifié par le pre-
mier, quelques fioient les directions de -ces puifiance s P , R.

II. Réciproquement fi les puifiance s P , R, font entr elles en
ce rapport , elles feront ici ' en équilibre entr elles , quelques en
•fioient encore les directions .

DïMONSTU TM O: N.

Part. i. En ce cas d’équilibre. iuppoié les deux forces
donc chacun des cordons DD , EE , &c. elE directement
tiré en fens contraires , étant ( Ax.fi ..égales entr 'elles,
-foient appeliez D chacune des deux dont le cordon DD
. eh ainfi ciré j E, chacune des deux dont- le cordon EE eh
auffi tiré directement en fens contraires , Sec. Cela pôle ,
■fi des appuis ou centres fixes A , B , C , Sec. par les points
-G , D , D , E , E , F , Sec. pu les rouleaux Se les roues font
.couchées par les parties droites des cordes, on imagine les
payons AG? ÀD , BD , BE, CE, CF, Sec. de ces rouleaux

Plan, .

N owfielUj JHecaïucjii&j .

Tcm-v,I 'pac? . 2^

Ml C ANI QJJ. E,. 1 $ 9

de ces roues 5 le Corol. 1 . & le nomb. 2 . du Corol. 3 . du
Th. 19. donneront ici chacun

R. È : : CE. CF. fur le Tour COF 5
E. D : : BD. BE. fur le Tour BNE 3
,D. P : : AG. AD. fur le Tour AMD ,

&c.

Donc ( en multipliant par ordre ) l’on aura ici R. P : f
ÂGxBDxCEx &c. ADxBExCFx &c: : 1 .

AGXBEXCEX

&c. C’eft-à-dire la puiffance R au poids P , comme le
produit des rayons de tout ce qu’il y a ici de rouleaux ,
eft au produit des rayons de toutes leurs roues * ou com-
me l’unité eft à la fradion faite du fécond de ces produits,
divifépar le premier. Ce qu’il falloit 1 °. démontrer.

Part. 1 1 . Je dis prefentement que fi les puiffances P,
R, appliquées comme ci-deffus , font entr 'elles en cette
•raifon , elles demeureront ici en équilibre entr 'elles. Car
iî elles n’y demeuroient pas , & qu’une des deux , par
exemple , R , l’emportât fur P 3 il eft vilible qu’alors cette
puiffance R l’emporteroit furE dans le Tour COF, E fur
D dans le Tour BNE , D fur P dans le Tour AMD , &c„
& confequemment qu’alors ( Th. 19. Cor. 15.) on auroit

R.E !> CE. CF. dans le Tour COF 3
E. D !> BD. BE. dans le Tour BNE 3
D.P > AG. AD. dans le Tour AMD *

&c,

Donc ( en -multipliant par ordre ;) l’on auroit au/ïï pour
lors R. P > AGxBDxCEx &c. ADxBExCFx &c. c’eft-à-
dire, qu’alors la puiffance R feroit au poids P en plus gran-
de raifon que le produit des rayons des rouleaux au pro-
duit des rayons des roues 3 ce qui eft contre l'hypothefe.
Si au contraire on vouloir que ce fut P qui l’emportât fur
R., on trou ver oit de même R à P en moindre raifon que
le premier de ces deux produits au fécond 3 ce qui eft en-
core eontre. l'hypothefe. Donc aucune de ces deux puif-

Oo*

Va*

2,^0 N O U V E L L E

fances ne remportera ici fur l’autre-, & par confequene
elles y demeureront en équilibre entr’elles tant que la
première R fera à la fécondé P , comme le produit des
rayons de tout ce qu’il y a ici de rouleaux , eft au produit
des rayons de toutes leurs roues. Ce qu’il falloir z°. démon-
trer.

Autrement. Si les deux puiffances R ,P, fuppofées en-
tr’elles en ce rapport , ne demeuroient pas ici en équili-
bre entr’elles , foit à la place de R. quelqu’autrepuiffance

5 qui y demeurât en équilibre avec la puiffance ou le
poids P. La part, i * donnerait alors S à P , comme le pro-
duit des rayons de tout ce qu’il y a ici de rouleaux , eft
au produit des rayons de toutes leurs roues. Mais telle eft
auffi ( Hyp. ) la raifon de R à P. Donc on aurait ici S—R j

6 par confequent cette nouvelle pniffance S y demeurant
( Hyp. ) en équilibre avec le- poids P, la puifïance R y de-
meurerait auffi ( Ax. z.) en équilibre avec ce même poids P,
Ce qu’il fallait encore i°. démontrer .

Corollaire L

Cette part. z. jointe au Corol. i. & au nonib. z. du
Corot, du Th. I p. fait voir que lorfqu’on aura ici R. P :
AGxBDxCEx &c. ADxBExCFx &c. l’on y aura toujours
auffi , i°. R.E : : CE. CF. z°. E. D : : BD. BE. 3 °. D. P : 1
AG. AD. 4 0 . &c. Car puifque ce rapport de R à P rend
ici ( part, z . )' ces deux puiffances R , P , en équilibre entre-
elles, & que cet équilibre ne peut être fans ceux de R
avec E , de E avec D , de D avec P , &c. Ce rapport de R
à P ne peut, être non plus , fuivant le Corol. 1 . & le nomb.
2 . du Corol. 3 . du Th. 1 5? . fans qu’il y ait , 1 °. R. E : : CE»
CF. Z °. E. D : : BD» BE. 3 °. D. P : : AG. AD. 4°. &c. ain£
qu’on le vient d’avancer.

Corollaire II.

T ï g. 147; Les longueurs des cordons DD , EE, &c. fuppofez fans
348.149. pefanteur, nefervant ici ( Fig. 147- 148. ) qu’à la -com-
munication d’action des puiffances P , R > d’un Tour à

Mécanique. i^i

l’autre immédiatement fuivant depuis le premier jufqu’au
dernier ■, 8c cette communication d’aclion y devant tou-
jours être la même , quelques foient ces longueurs DD ,

EE,8cc. il efl viflble que quand elles deviendraient nulles,

& que les points D, D , E , E , 8cc, fe confondraient en un
deux à deux de même nom, ainfl que. dans la Fig. 14p.
dans laquelle la roue MD touclie en D le rouleau DK ,

8c la roue NE touche en E le rouleau FL 5 cette commu-
nication d’action des puilfances P , R , fub filerait encore
la même de chacune de ces Machines à fa voihne par le
. moyen des relies de cordes NDK , NEL , 8cc. roulées fui-
vant l’ordre de ces lettres fur leurs roues 8e rouleaux j &
qu’ainlî tout ce qu’on vient de voir dans les Fig. 147.

:ï 4 8. doit pareillement être vrai dans la Fig. 145). Donc,

i°. E11 cas d’équilibre entre les puilfances P, R, fur les Fig * r 4 ?«
Tours qui £e toucheraient comme dans cette Fig. 14p.
l’on auroit en general ( fart. 1 . j R. P : : AGxBDxCE &c„

y

. ADxBExCF &c. ou R. P :

ADXBBXCFX

8CC.

AGXRDXCEX

2°. Réciproquement h les puilfances P, R, font- entre-
belles en ce rapport dans cette même Fig. 145). il y aura
pour lors {part. 1 . ) équilibre entr’elles.

C o R o L L a 1

R E

III.

Au lieu des cordes MDK , NEL , roulées fur les roues
MD , NE., Se fur les rouleaux DK , EL , qui les touchent
dans la Fig. 145). li l’on imagine que ces roues foient den-
tées , que les bandes circulaires quelles touchent de ces
rouleaux, foient auffi dentées en pignons engrenez avec
elles , ainli que dans la Fig. 1 5 0. dans laquelle la puilfan-
ce R à un des bras CQdeTreiiil , oqVindas , ou de Mani-
velle , lequel en cas de mouvement fît décrire au point F
de la perpendiculaire CF à la direction RF de cette puif-
:fance , un, cercle OF tel que la roue OF de la Fig. 1 45».
iui auroit fait décrire il cette puiflance y eût été appli-
quée en F: alors voyant que Faction de cette puiflance R

O o i j

Fig. 1492

ijo.

V

s

% 9 %- Nouvelle

eft la même dans la Fig. 150. fur le bras CF, & fur le
pignon EL , que fur la roue OF & fur le rouleau EL de;
la Fig. 14p. voyant de plus que l’effort de ce pignon EL
fur la roue EN ,. par l’engrenement de leurs dents, fe
fait fuivant les touchantes communes en E dans la Fig. .
150. comme celui du rouleau EL fur la roue EN par le
moyen de la corde NEL roulée fur l’un & fur l’autre
dans la Fig. 145». & ainlide l’effort fait en D dans cha-
cune de ces deux Fig. 1 4 p .15 o . On verra que dans celle-
ci comme dans l’autre,

f> V. ijo. i°. En cas- d’équilibre entre les puiffances F, R , furie.

roiiage de la Fig. i <, o. il doit y avoir encore en general.
[ Corot. 1. mmb. 1 . ) R. P : : AGxBDxCEx &c. ADxBEx

f;
l
I
|

'Corollaire. I V..

GFx &c. ou R. P : : I .

ADXBEX C FX

&C--

AGXBDXCEX

2 0 . Réciproquement fi les puiffancesR,P , font entrer
elles en ce rapport fur le roiiage de la Fig. 1 5 o. il y aura;
pour lors ( Corot, z.nomb. 2 . { équilibre entr’elles.

f 1 e. 14 Si dans la Fig. 1 5 o . on regarde la puilïance R appli-
ï j o. au bras CQ_d’un Treiiil ou V indas , ou d’une Mani-

velle, comme h elle étoit appliquée au point F d’uneroue
OF décrite du rayon CF perpendiculaire à la direction
RF de cette puiffance R , de même qu’elle l’eft au point
F du tambour OF dans les Fig. 147. 148. 145). & que
pour nous exprimer plus univerfellement- , on prenne cet-
te roue OF imaginée dans la Fig. 150. pour celle d’un
Tb^rfubhitué à la place de ce Treiiil ou Vindas , ou de
cette Manivelle : il fuit de tout ce qui précédé ( excepté
du Corol. 1 . } que de quelque nombre de T ours que foient
faites les Machines entières, des Fig. 147. 148. 1451.
150.

i°. En cas d’équilibre entre les deux puiffinces P , R ,
dont la première P foit appliquée au rouleau du premier
Tour, êc la fécondé R à la roue du- dernier 5 la premie-

Mf CANI QJJ É. 2^5

re- P de ces deux puifiances fera par tout ici à la fécondé
R , comme le produit des rayons de toutes les roues , fera
au produit dès rayons de tous leurs rouleaux ou pignons.

2 0 . Réciproquement fi ces deux puifiances ainfi appli-
quées à ces Machines , font en tr 'elles en cette raifon , eL--
lès y feront en équilibre entr 'elles.

C O R O L L A I RE V.

Si l’on prend n pour le nombre- de ce qu’il y a de Tours
dans chacune de ces Machines entières des Fig. 147,;
148. 14p. 150. & que le rayon de la roue de chacun
de ces Tours îoit' dans tous en même raifon quelconque
au rayon dé fon rouleau ou pignon , en forte qu’on ait
partout ici AD. AG : : BE. BD : ■: CF. CE : : &e» l’on y atura-
aufii pour lors-

%°. AD. AG : : AD. A’G.

2°. AD. AG : : BE. BD.-
3°. AD. AG:: CF. CE.*

&c,-

Donc { en multipliant par ordre ) l’on y aura pareille--

ment AD. AG : : ADxBExCFx &c. AGxBDxCEx Sic.-
Or 011 vient de voir en general dans tout ce qui précédé, --
excepté dans lé CoroL 1 . que le cas d’équilibre entre les •
puifiances P, R , fur chacune des Machines dont il s’agit
ici, y donne toujours P. R: : ADxBExCFx &c. AGxBDx
GEx &c Et réciproquement que lorfque ces puifiances
font entr ? elles en ce rapport , elles y font en équilibre en--
tr’elles. Donc en ce cas-ci des rayons des -roues par tout'
en même raifon aux rayons de leurs rouleaux ou pi-
gnons ,

1 °. Si les puifiances P , R , y font en équilibre entr 'elles,
Bon y aura toujours P. R : : AD. AG {Hyf- ) ::BE. BD
( Hyp. ) : :~CF. Œ* : &c.

2 0 . Réciproquement fi ces deux puifiances P , R , font

O o üj

.1-94 N Û U V ELLE

entr’elles en cette raifon dans ce cas-ci , elles y feront en
. équilibre entr’elles.

Corollaire VL

Si l’on prend rà : i dans la raifon quelconque du rayon
de la roue de chaque Tour au rayon de fon rouleau on
pignon , fuppofée encore ici la même dans tous 5 l’on y
aura r.< 1 : : AD. AG : : BE. BD : : CF. CE : : &ç. Et. confe-
quemment AD— rxAG , BE— rxBD , CF— rxCE ,.&ç.
Donc en fubftituant ces valeurs de AD , BE , CF , &ç. en
leurs places dans le nomb. 1 .du Corol. 5.

i°. Ce nomb. 1. du Corol. 5. donnera pour ici P. R : :

— - ■» » •• — . #

rx AG. AG : : rxBD. BD :: rxCÈ. CE: : &c. c’eR-à-dire,

par tout ici P. R. : : r n - I. en cas d’équilibre entre ces
puilTances P , R..

2 0 . Réciproquement le nomb. ,2. du même Corol. 5.,
fera voir que ces puilTances P, R, feront ici en équilibre

entr'elles , tant qu’il y aura P. R : : r'. J .

Corollaire VII.

Si la Machine vue de front dans la Fig. 1 5 p. elF re-
gardée de côté -comme dans la Fig. 151. dont les axes
AA, BB,CC, êec. font reprefentez par A , B,C, &c.
dans la Fig. 1 50. fi de plus au lieu des pignons de cette
Machine ainfi vue de côté dans la Fig. 151- on y imagi-
ne des lanternes comme' dans la Fig. 1 52. entre les fit-
féaux defquclles les dents des roues s’engrcnnent comme
entre les dents des pignons des Fig. 150. 1 5 .1 . fi enfin
l’on ftippofe dans les Machines des Fig. 1 51. 1 5 2. que
des rayons AD , BE, CF , des roues., & ceux AG , BD , CE 9
Sec. des pignons ou des lanternes , y foient perpendiculai-
,res à leurs' axes AA , BB ,CC , &c. comme dans la Fig.
150. en comprenant j. ëncorë ici ( pour abréger 110s ex-
prelîions ) le cercle OF Lotis le nom de Rôtie , & le rouleau
de la roue MD fous le nom de Pignon : on verra dans les
Fig. 1 5 1 « .1 5 2. comme dans la Fig. 1 50..

*+ S-

PL

Ifl .

'S'

'Nouvelle- J^ïecanujue . Tome.I .pag.agj.

L4.1.

M E C A N I QJLT E. z'^t

I. Qu’en general pour tous les roiiages , quels qu’y' •
foit le nombre des roues & des pignons ou des lanter-
nes, Se les rapports de leurs rayons.

i°. Le nom b. i. des Corol. 3. 4. y donnera P. R : :
ADxBExCFx &c. AGxBDxC.Ex &c. tant que les puif-
fances P , R , y feront en équilibre entr’elles.

z°. Et le nomb. 2. des mêmes Corol. 3.4. fera réci-
proquement voir que ces puilfances P, R , y étant entre-
eiles dans ce rapport, il y aura toujours équilibre entr’elles.

II. Si n elt le nombre de ce qu’il y a de roues dans ces
Machines , & que ce rayon de chaque roue y foit par tout
à* celui de fon pignon ou de fa lanterne : : r. 1 . quelque ■
foit ce rapport fuppofé par tout le même.
i°. Le nomb. 1. du Corol. 6 . donnera toujours ici P.

R : : r n . 1 . tant que ces puilfances P , R , y feront en équi-
libre entr’elles.

2 0 . Et réciproquement le nomb. 2. du même Corol. 6 .
les y fera voir en équilibre tant quelles y feront en ce rap- ~
port entr’elles. *

Corollaire VIII.

Puifque par tout ce qui précédé ( excepté par le Cor. 1 .)
en cas d’équilibre entre les deux puilfances P , R , fur p IG q 47 ’"
chacune des Machines des Fig. 147. 148. 145». 150. & fuivantes
1 5 1 . 1 5 2. la puilfance ou le poids P eit toujours à la J u % u ’ aI î l »
puilfance R, comme le produit des rayons des tambours
ou des roues de tous les T ours qui compofent chacune de
ces Machines entières , effc au produit des rayons de tous
leurs rouleaux ou pignons, ou lanternes j il en vilible que
le rayon du tambour ou de la roue de chaque T our étant
toujours plus grand que le rayon de fon rouleau , ou de fon
pignon , ou de la lanterné , il faudra d’autant moins de for- ~
ce à la puilfance R pour faire équilibre avec le poids P fur
la Machine où ces deux puilfances feront appliquées com-
me cidelfus , que cette Machine fer a faite d’un plus grand
nombre de Tours , & que ie rayon du tambour ou de la :
roue de chaque Toury fera plus grand par rapport au rayon
de fon rouleau ou de fon pignon , ou* de fa lanterne.

25» S Nouvelle

Par exemple , fi les roues des Tours de chacune de Cé's
;Machines , font toutes de rayons en même raifon quel-
conque de rà i , aux rayons de. leurs rouleaux ou pignons
ou lanternes , comme dans le Corel. 6. &; dans l’art. 2. du
'Corel. 7. h de plus n exprime le nombre des Tours dont
çhacunede ces Machines eft compofée , comme dans les
Corol. 5. 6. 8e 7. art. 2. les npmb. 1. du Corol. 6. &c de
Part. 2. du Corol. 7. donnant pour ce cas-ci P. R : : r». 1.
lorfque les puiffances P, R, font en équilibre encr’elles
fur les Machines des Fig. 147. 148. 145?. 1 5 o. 151.
152- On voit que plus le nombre n de leurs Tours fera

grand ., & plus fera grand auffi le rapport ~ du rayon de

chacune de leurs roues ou tambours , au rayon de fou
rouleau ou pignon ou lanterne ; plus au contraire la puifi-
fance R devra être petite pour y faire équilibre avec un
même poids P :.en voici quelques exemples.

JLe cas particulier des Fig. 147. 148. 14 9. 150. 1 5 i„

1 5 2. où il n’y a que trois roues ( en y prenant pour une
roue le cercle OF du Treiiil , du Yindas,.ou de la Ma-
nivelle , dans les Fig. 150. 151* 1 .5 2 . ) chacune d’un
-rayon appellé r, & trois rouleaux ( en y comprenant auffi
les pignons & les lanternes ) fuppofez chacun d’un rayon
~i . par rapport au rayon ( r ) de fa roue : ce cas , dis-je , 1
.ayant ainh , la précédente analogie generale R. P: ■:

X. r. n . s’y réduira à R. P : : 1. r 3 . f>’où l’on voit qu’en cas
.d’équilibre l’on y auroit ,

X°. R. P : : 1 . x 2 .5 , il r ~ 5 : c’ell-à-dire , qu’alors une livre
de force en foùtiendroit ici 1 2 5 .

4°. R. P: : 1. 21 6. fi .:.c’eft-â-dire , qu’alors une livra
de force en foùtiendroit 2 16.

3 0 . R. P : : 1. 343 . fi r~7 : c’eft-à-dire , qu’alors une li-
vre de force en foùtiendroit 343.

4 0 . R. P : : 1. 517.fi rpz8 : c’eft-à-dire^, qu’alors une livre
de force.cn foùtiendroit 512.

£°. R. P : : 1.725). fi r—ÿ ■. c’eft-à-dire , qu’alors une livre
de force en foùtiendroit 7 z

^ , M E C A N I (VU E. 1 9 7 *

d e - R. P~ M . I oo o. fi rrni o : c’efi-à-dire., qu’alors une

livre de force foûtiendroit un poids de i o o o . livres.

Et ainfi de fuite, félon que le rapport y feroitplus grand.

Cette même puifiance R d’une livre de force foûtiendroit
encore ici de bien plus grands poids P., fi au lieu de trois
Tours , il y en a voit, ici davantage , & des poids d’autant
plus grands qu’il y auroit pi us de T Mrs , ou que le nombre
n de ces Tours feroit plus grand.

, De-là , & de tout ce qui précédé il fuit qu’il n’y a point
de poids fi énorme , qu’on ne puiffe faire foûtenir à la
moindre force ou puifiance imaginable que ce foit, par
le moyen de plufieurs Tours ajultez entr'eux comme dans
iesFig. 147. 148. 14p. 1 5 o. 1 5 1. 1 5 z. foit parla mul-
tiplication de ces Tours. , foit par l’augmentation du rap-
port des rayons de leurs tambours ou roues aux rayons
de leurs rouleaux ou pignons ou lanternes, foit enfin ( pour
faire davantage ) par tous les deux enfemble.

’S C H O I I E.

I. Telle edi la raifon de la force prodigieufe du Criq Fig.

..de la Fig. 1 5 1 . pour élever ou pour traîner toutes fortes
de fardeaux P par le moyen de la Manivelle CRQ^que
la puifiance R fait tourner j je veux dire la raifon de la
prodigieufe petiteffe de force R qu’il y faut employer
pour élever ou traîner les fardeaux les plus lourds. Cette
Machine ell non feulement très-puiflante , mais encore
d’autant plus commode, qu’elle. tient très-peu de place:
elle en tient fi peu , qu’on la peut cacher dans une boëte
•ou caiffe fort petite , & par-là en rendre la force plus
•merveilleufe aux ignorans , qui font effrayez de lui voir
faire marcher des Chariots , traîner des Canons , &c.
avec très-peu d’effort ou de peine de la part de celui qui la
fait agir,

I -I. Les Moufles peuvent auffî être logées dans de
Ærès-petits efpaces mais il s’en faut bien quelles ns

' 2 c> g Nouvelle

foient auffi puiflantes que le Criq : il leur faudrait bien des
Poulies pour arriver à l’e'galer en force > quelque nombre
de roues qu’il eût, 6c quelque petits que fuflént les rap-
ports des rayons de fes roues 6e de fa manivelle à ceux de
Ion rouleau 6c de fes pignons. Puifque la moindre force
requife pour foûtenir un poids avec des Poulies ou des
Moufles t doit être à ce poids ( Th. i 7. Corol. 3 4. ) com-
me l’unité efl: au double du nombre des Poulies mobiles,
lorfqu’un des bouts de la corde efl; attaché à la Moufl e
fixe 3 ou ( Th. 1 8. Corol. 3. ) comme l’unité efl au double
du nombre des Poulies mobiles, augmenté de cette unité,
lorfque ce bout de la corde efl: attaché à la Moufle mo-
bile , au lieu que dans le Criq la puiflance R. , pour être
ainfi en équilibre avec le poids P , ne doit en general être
à ce poids (Corol. 7. art. 1. nomb. i. ) que comme l’unité
efl à la fraction réfultante du produit des rayons des
roues 6c de la manivelle , divilé par le produit des rayons
du rouleau ôc des pignons 3 8c feulement ( Corol. 7. art.
z . nomb. 1 . ) comme le rayon du rouleau , ou d’un des pi-
gnons , pris pour l’unité , efl au rayon d’une des roues
ou de la manivelle , élevé à un degré , dont le nombre
des roues ( le cercle OF de la manivelle étant pris pour
une roue ) foit l’expofant , lorfque les rayons des roues &
de la manivelle font dans toutes en même raifon aux
rayons de leur rouleau 6c de leurs pignons , ainfi que dans
le Corollaire 7. art. z. Cela, dis-je, étant ainfi dans les
Moufles 6c dans le Criq , une roue engrenée dans un pi-
gnon, pouvant feule avec lui (par la feule grandeur du
rapport de fon rayon à celui de Ion pignon; épargner plus
de force dans l’ulage du Criq , que plu fleurs Poulies en-
femble dans une Moufle 3 . la force du Criq entier doit être
incomparablement plus grande que celle des Moufles , à
pareil nombre de pièces , 6c même à beaucoup moins de
pièces dans le Criq que dans les Moufles.

III. Cette raifon fait voir que l’homme qu’on a vu
dans les articles z. des Scholies des Théorèmes 17. 18,

M E C A N I OJJ E. 2p^

pouvoir s’élever foi-même feul jufqu’à la hauteur , par
exemple , de la voûte d’une Eglife , par le moyen des
Moufles 5 pourroit s’y élever auffi feul, & beaucoup plus
aifément par le moyen du Criq attaché ferme à un pa-
nier dans lequel cet homme feroit , à l’aide d’une corde
attachée par un bout à cette voûte , & par l’autre à la
circonférence du rouleau de ce Criq : cette corde fe fî-
lant autour decerouleauàmefure que cet homme feroit
tourner la manivelle de cette Machine , elle enleveroit
ainfi cet homme avec la Machine & l e panier fi haut qu’il
voudroit vers la voûte. Il eif encore à remarquer que
quelque aifément que cet homme fe puilfe ainfi enlever
par le moyen d’un Criq, & d’autant plus aifément que ce
Criq auroit plus de roues j le Corel. 7 . du Th. 1 4. fait voir
que ce même homme fe pourroit enlever encore avec la
moitié moins de force ou de peine , h la corde attachée
au rouleau decette Machine paffoit par delfus une Poulie
attachée à la voûte, d’où elle revînt s’attacher par fon au-
tre bout au panier.

I V. Afin que les roues des Fig. 150. 1 5 1 . 15 2. puif-
fent jouer librement , il eft vifible que leurs dents doi-
vent être égales à celles des pignons dans lefquelles ces
roues s’engrenent , & les entre-deux de ces dents aufïï
égaux de part 6e d’autre , je veux dire dans la roue de
dans le pignon qui s’engrene avec elle 5 de forte que le
nombre des dents de cette roue doit être à celui des dents
de ce pignon , comme la circonférence de la roue à la cir-
conférence du pignon , ou ( ce qui revient au même )
comme le rayon de la roue au rayon du pignon. Il faut
prendre garde que ces dents de roues 6e de pignons doi-
vent être un peu arondies , pour empêcher, ou du moins
pour diminuer l’oppofitîon que leur rencontre perpendi-
culaire de l’une avec l’autre pourroit faire à leur mou-
vement. La figure qui leur convient pour cela fe perfe-
ctionnera dans l’ufage de la Machine , en fe frottant de
,.en s’ufant les unes contre les autres.

— P p ij

«

500

- Fr®. ïfj.

& {uivantes
jufau’ài67.

N'O U V £ L L E

S E CT ION

De toutes fortes de Leviers , de quelque figure s de
quelque efpece , dans quelque fituation qu ils
Joient , & pour toutes les directions pojfibles des
puijfances , ou des poids qui y font applique ^

Définition XXL

L E Levier eft une vergeinflexible MN , de figure quel-
conque , conliderée fans pefanteur , à laquelle on
conçoit trois puiflances E , F,, H appliquées en difFerens
endroits X , O , B sou deux puillances E , F , & un appui
B v qüi par fa ré fi fiance tient lieu de la troifiëme puiifan-
ce H, & dont la charge eft ce qu’il a à foütenir- du con-
cours d’aétion des- deux autres , ou de tant d’autres
puilfances qu’on y pourroit fuppofer. dirigées à volonté;

Corollaire.

Quelque foit fur l’appui B d’un Levier quelconque la
charge réfultante du concours d’action de tant de puif-
fances qu’on voudra , appliquées à volonté à ce Levier,
& en équilibré entr 'elles, fur cet appui 3 la réfiftance qu’il
y doit faire pour cet équilibre doit être (Ax. -4.. ) égale
&; directement' oppofee à cette charge. Cet appui s’ap-
pelle d’ordinaire Hypomachlion ,110m tiré du Grec, Se fort
en ufage dans la Statique. -

- On ne met ici tant de figures de Leviers avec tant de dire-
ctions differentes de puifiances que pour faire mieux fentir
l univerfalite du Théorème fuivant , dont la démonfiration ,
aujji-bien que lui , va- convenir également k chacun d'eux ,
ét k tout ce qu on en pourroit- imaginer dé autres : <jr cela fans
etre oblige de-pajjer ( ainji que /’ on fait d’ordinaire) parle 1

M £ cani ou é; 50-îr

Levier droit pof ? far un appui mis entre deux par fa anc es de
directions parallèles entr elles , & perpendiculaires à ce Le-
vier , pour arriver aux autres , ainfi (. dis-je ) quon le fait
d’ordinaire par des fappofitions qui , quoique vrayes , ne font-
pas a fae z, évidentes pour être admifes aujji gratuitement qu-çrp
les fait. ■■

S C IL O L I Et

I. Au lieu de d'eux puilfances fie un appui , 011 confl-
dere d’ordinaire dans le Levier une puilfance, un poids,;
& un appui , comme fi la pelanteur d’im poids n’étoit pas
une force femblable à celle d’une puilfance qui lui fer oit
égale de même direction qu elle. Cette feule variété
d’expreflïon a fait diviler le Levier en trois efpeces qu’on
a -foigneufement diltinguées l’une de l’autre-, comme ft
elles - ' étoient differentes»

. On appelle Levier de la première efpece-',. celui; dont l’ap-"
pui eft placé entre le poids fie la puilfance ; Levier de la-
fécondé efpece , celui dont le poids eft entre la puilfance &
l’appui , -fie Levier de la troiféme efpece , celui dont- lapuif-
fance eft entre le poids fie l’appui.

Mais ft à la place du poids fie de l’appui on fubftitue
fui vaut leurs directions- deux puilfances , dont une foin
égale à la pefanteur du poids , fie l’autre égale à la réfi-
ftance de l’appui 5 on verra toutes ces différences de Le--
viers difparoîcre , fie fe réduire toutes à celui de la pré-
cédente Déf. z 1. auquel trois puilfances font appliquées
en differens en doits , fie de maniéré qu’une quelconque
d’entr’elles a gifle toujours feule contre les deux autres. -
De-là s’évanùuiilentaufli, comme badines , toutes les que-' '
liions faites par Ariftote dans fa Mécanique, fie par plu-' '
fleurs autres après lui, fur les- Rames , les Mats, fie. le
Gouvernail d’un Y ailfeau j fçavoir v a quelle efpece de
Levier chacune de ces pièces doit fe rapporter. Il n’y a-
qu’à- prendre pour appui la puilfance qui fe trouve an
point ou chacun de ces Auteurs le veut , fie pour puift
lance la réfiftance de l’appui , pour faire voir que toutes
ces queftions ne font que de nom.

rjc-s . . N o y y .js i h . b

II. Ce qui a fait imaginer , ou du moins fort autorifé cette
diviflon de Leviers en plijfieurs efpecqs , a peut-être e'té
le défaut d’une démon fixation generale , qui convînt à
toutes ces prétendues efpeces à la .fois. Tout, ce que j’en
ai vâ de differentes de celle qui fe trouve dans le Projet
de ceci, publié en 1 6 87. n’eff que de la première de ces
efpeces de Leviers , de laquelle on paffe enfuite aux deux
autres : on y fuppofe , dis- je , d’abord un Levier droit fur
un appui ppfé entre deux poids ou deux puiffances , ou
entre une puiffance &, un poids; enfuite par des fuppofi-
tions nouvelles , ce qu’on a dit des proprietez de l’équili-
bre fur le Levier droit , on l’adapte aux angulaires ou aux
coudes de fon efpece, Se enfuite à ceux dont l’appui fe
trouve à une de leurs extrêmitez.

III. Ce défaut n’eff: pas le feul qui. empêche ces dé-
-monftrations d’être univerfelles 5 elles font encore limi-
tées par la fuppofition qu’on y fait que les directions des
puiffances ou des poids appliquez aux Leviers , y font
paralleleles entr elles : de forte que ce n’eft. encore que
par des fuppofîtions nouvelles qu’on paffe de ce cas de
parallelifmé à celui ou les directions fer oient quelqu’an-
gle entr elles. Ce fécond défaut a paru feul fi confidera-
jble au fçavant M. Fermât , qu’il n’a point ..craint de dire
dans la page .141. du Recueil de fes Ouvrages , imprimé
à Touloufe en 1 6 7.7 . Fundamenta Mechaniees non fatis
.accurata tradidijf ? Archimedem fueram dudurn fufpicatus :
fuppofuijfe enim motus, gravium defeendentium inter fe pa-
rallelos patet , nec veto abfque hac hypothefi confiare poJJunt
ipfius demonjlrationes. Non inficior qmdem hypothefim hanc
' ad fenfum proximè accommodari , quippe propter magnam à
centro Terne dijlantiam poffunt defeenfm gmvium fupponi
paralleli, non feens ac radii fola.re.s -: fed '-v entât em intimant
& accuratam qu&rentibus hâte no.n fitisfaciunt. Generalis
nempè Veciium natura in quolibet mundï loco videtur c on fi-
Aeranda & ajlruenda j ideoque nova in Mechanicis funda-
menta, e veris & proximis principiis funt accerfenda.

M-» de Eerniat parle ainli à l’occalîon d’une conteftation

Me c a n i qjj e . 305

rapportée en plusieurs Lettres depuis la pag. 112. jul-
qu’à la pag. 1 5 1 . du Recueil qu’on vient de citer de l’es
Ouvrages , laquelle a duré lîx mois entre lui d’une part ,,
& Meilleurs Pal cirai ScRobervalde l’autre , fans pouvoir
s’accorder fur les propriétés du Levier dans l’hypothefe
des directions des poids concourantes au centre de la
Terre , dont il s’agilfoit de donner une démonilration im-
médiate & indépendante du parallelifme : chacun des
deux partis trou voit toujours à rédire à la démonlfration
que l’autre croyoit en avoir trouvée.

I V. Sans entrer dans le détail de cette conteftation
qui fe trouve dans les Lettres dont on vient de parler ,
il elt aifé de voir par tout ce qui précédé , que ces trois
grands Géomètres , aufquels les mojjveinens compofez
étoient h familiers ,'auroient été bien-tôt d’accord entre-
eux, s’ils avoient alors feulement tourné la tête de ce côté-
là : car voyant, fui vant la doctrine de ces mouvemens, con-
formément au Cor. 7 . du Lem. 3 . que les deux poids fup-
pofez appliquez à un Levier avec des directions tendan-
tes de part 6: d’autre au centre de la Terre, n’a giffoient
enfemble fur ce Levier que comme une force unique >
égale à la réfultante del'eur concours , dirigée comme elle
Suivant la diagonale d’un parallélogramme fait de cotez
pris entr’eux en railon de ces poids fur les directions de
ces mêmes poids 5 ils auroient tout-auffi-tôt , conformé-
ment au Corol. 2 . du principe general , conclut que pour
J’équilibre entre ces deux poids l’appui du Levier dévoie
être en quelque point à volonté , de fa rencontre avec
cette diagonale prolongées, & de-là fe feroient offertes
à eux toutes les proprietez & les fuites qu’on va voir de
cet équilibre par cette voye dans le Théorème fuivantj.
qui renfermera beaucoup plus que ces Meilleurs ne cher-
choient , étant d’une univerlalité qui embraffe toutes for-
tes de Leviers à la fois , quelques foient leurs figures
leurs fituations , & les directions des poids ou des puifTaii"
ces qui s’y trouveront appliquées 5 & cela fans aucune
dépendance du paralleliîme de ces directions , fans lequel

.'3 04 N O U V E L L E

/avant le Projet de ceci publie' en 168 7. perfonne ( que
•je fçache ) n’a voit encore rien démontré de ce qui relui-
re ici de leur concours , qui bien loin d’être ainfi une
fuite de ce parallelifme , eit au contraire le general dont
-ce parellelifme lui-même n’eft qu’un cas iur une infinité
de pofitioiis differentes de -ces directions , toutes compri-
-lès dans ce Théorème -univerfel fous le nom general
d’angles quelconques ^ defquels le plus aigu de toutes les
poffibles eff ( dis-je ) ce parallelifme lui-même , ainfi qu’il
' paroît par les Corol. 1 . 1 . du Lem.ff .

D e F I K l T I O N XXII.

Les perpendiculaires menées de l’appui d’un Levier
quelconque fur les. dire étions des poids ou puiffances qui
4 e u r feront appliquées feront appellè'es leurs -dijlances h
i’ appui , ou Amplement 1 esdiftanc-es de ces poids ou de ces
puiffances j &; les parties du Levier -comprifes entre ce
même appui & les:, directions de ces poids ou puiffances,
-feront appelle'es bras du Levier.

Le produit de chaque poids ou puiffance abfolue par fa
diltance à l’appui du Levier auquel elle elt appliquée,,
■s’appelle en Latin Momentum , ce que le Corol. 4. du Th.
-U . qu’on -va voir , me fait croire ne pouvoir mieux s’ex-
primer enffrançois que ( Def 1 . ) par le mot de Force rc-
lative, ou à’imprejjion ou faction fur ie Levier auquel ce
poids ou cettè puiffance eit appliquée : nous ne brifferons
pourtant pas de-l’appeller aullî Moment , pour nous moins
'-éloigner du langage ordinaire. La raifpn de ce nom vient
•fans doute de ce que ces produits font égaux ou inégaux
-( ainfi qu’Gn le verra dans les Corol. 7. 8.7. 10. duThéo-
■reme fuivant) comme les impreffions de deux puiffances
fur un Levier , félon qu’elles font ou ne font pas équili-
bre entr elles fur fon appui. Ce qui fie dit ici des forces
relatives ( Moment a) des forces ou puiffances abfolues ,
fie dit auffi des réfiltances relatives des abfolues , qui
\ Ax. % . 3 . 4. ) fuppléent ces forces,

jP f EFINTIO$

1

M F. C A N J (VU E 3 O 5

Définition XXIII.

Outre l’ufage ordinaire des Leviers pour enlever ©u
rremuer de grands fardeaux , le droit MN , dont l’appui B
elL entre le poids Se la puilïance , fert encore à peler des
marchandifesplacées à une de fes extrêmitez contre- un
poids de pelanteur connue fufpendu à l’autre extrémité
de ce Levier , dans l’hypothefe des directions des poids
parallèles entr’elles., Se alors ce Levier s’appelle Bala?ue ,
lorfque les bras BM , BN ,en font égaux 3 fie P e fort ou Ro-
maine lorfqu’ils font inégaux.

Dans la Balance le Levier MN s’appelle Fléau ou Tra-
verfiains BH , V Anfe ou la Cha(]e 3 BG , l ’ Aiguille , laquelle
d’une piece avec le fléau , lui elt perpendiculaire , Se
mobile avec lui autour de l’effieu B 3 les deux pièces
E,F, fixement fufpendues aux extrêmitez M , N, du
fléau, s’appellent BaJfins y \or(q u’elie.s font e rcufées en forme
d’Ecuelles lans oreilles , & Plateaux , lorfque ce ne font
que des pièces de bois plates ordinairement quarrées ,
..comme dans certaines Balances de-s pauvres gens de cam-
pagne , ou dans les grandes des Doiianes.

DanslePefon ou la Romaine le Levier MN s’appelle
la Verge y BEI , l'An (et MC, le Crochet , auquel la mar-
/chandife E , ou le poids à -peler elf fufpendu à l’extrémité
M de fon petit bras BM 3 & F , la Majj e , qui elt un poids
de pefanteur connue, comme d’une livre, ou deux, Sec.
lufpendu à- un Anneau 0 plat , pofé fur fon tranchant , Se
.mobile le long du grand bras BN , dont il elt enfilé , Se qui
itli divifé en parties égales à BM.

THEOREME XXL
Fondamental de la prefente Section 5..

Dans toutes fortes de Leviers MN de figures & de.pofitions
quelconques , quelques (oient aujfi les directions XE,, O P,, B H ,
des trois puijjances P , F , H, qui y (oient appliquées en autant
de points quelconques X 0 , B ,ff avoir,, celle ..du. point du mfi

As

Fig. itfa
170.

Fig. 163 ;;

F iG.. 170.

Fig. ijj;

& fuivantM
ju£^u’ài67.

30 6 Nouvelle: //

lieu contre les deux autres , ou deux quelconques E ,, F , d’ en-
té elles contre un appui invincible B mis d la place de la troi-

r ' tt 11 r "

jieme H.

I. En cas d’ équilibré entre ces trois puiffances E , F, H, ou en- -
tre les deux premières E , F , fur l’appui B ; quelqu angle DA P
ou BAS . , que fujfent enté elles les directions XE , 0 F , pro- -
longées des puiffances. E , F ,la direction B H prolongée de ■ la
puiffançe H , ou de la réfiflance de l’appui B mis en fa place ,
pajfera toujours par le fomme-i A de cet angleDAF ou RAS , a
travers ce meme angle fuivant fan plan , ...

I I . Cette direction BH de la puiffançe H ou de l’appui B ,
fera auff toujours alors en ligne droite avec la direction de la
force réfultante ( prjnçip. gêner. & Lem. 2.-3 . ) du concours
d’aétion des puiffances È , F i ou (ce qui revient au même ) la
direction de cette force réfultante du concours de ces deux puif-
fances E , F , paffèra toujours alors du point A de concours de
leurs directions y par l’appui B , ou fuivant la direction BH de
la puiffançe H, dont cet appui tient lieu ( Ax. %. ) par fa ré-
fiflance . Cette puiffançe H, ou. cet appui B mis en Ja place ,
fera auff toujours alors d’une réfiflance égale a la force ré fui- -
tante du. concours d’ action des deux autres puifiam.es E , F.

III. En quelque raifon que la direction BH prolongée de
la puiffançe H, ou.de la réfiflance de l’appui B mis k fa place,
divife ( part. .1 . ) d’angle D AP ou RAS compris, entre les di-
rections auff prolongées des puiffances E -, F i fi l’on imagine
un parallélogramme R AS G fur une diagonale quelconque A G
prife depuis A. dans l’angle RAS fur HA , ou B A prolongée de
ce coté-lk lequel parallélogramme ait Je s co te fi A R , AS , fur
les directions EX , FO , pareillement prolongées du même coté)
la puiffançe H , ou la charge de l’appui B , réfultante fur lui
( part. 2. ) du concours des puiffances E , F , en cas d’ équilibré
fera d chacune des pui fiances E , F, comme la diagonale AG

de ce parallélogramme RS , fera k chacun de fies cote fi AK,, . ,
AS , correfpondans fur leurs directions .

I V. En ce meme cas d’ équilibre , fi les pui fiances E , F ,

/ ont enté elles comme les parties AR , AS ,de leurs directions,^
fij- que de ces deux si te fi A R , AS , on fafj e un para lie logram •

M e c a n i qjj e. 3 07

rme 'RS '> la diagonale AG dexe faràlleiogrdfnnte pajférâ tou-
jours juivànt la direction prolongée BH de la puiffance H ,
ou par /’ appui B mis en fa place ,fi c efl fur cette puiffance H ,

; ou fur cet appui E , que ces deux puiffance s È , F , font équi-
, libre i _& la puiffance H, éü la charge de l'appui B mis en fa
place , fera encore pour lors à chaume des puiffance s E , F ,
..... comme la diagonale AG du parallélogramme RS , éfi a cha -
v c Un de f es cotez, .A R , AS , co'rrèfp'ondanS fur leurs' diH.cH.onL

Y. Réciproquement fi la direction de la force réfultahte
( princ. gener. Lem. .2 . 3 .) du concours des puiff ances £ , F ,
paffe par l’appui B , il y aura équilibre entre ces deux pùïff'àn-
. ces fur cet appui mis k la place de la puiff dnceH ici ? et ranch ée.

V I. Pareillement fi la diagonale AG prolongée dit parallé-
logramme RS fait comme dans la part. 4. de cotez A R , AS,
pris fur les directions des put fane es F , F , èfi raifon.de ces
memes puiff ante s , paffe par ï 'appui B q où [ce qui revient au
même ) fi l’on met un appui B dans quelque point que ce fait
de la rencontre de cette diagonale prolongée avec le Levier
MN ; il y aura toujours encore équilibre entré ces puiffance s
E , F . fur cet appui B.

D E M O N S T A A T I O N.

Part. I. LeCorol. 1 4. du Lem. 3. fait voir qt'fen cas
M'équilibre entré -les trois puiffances E , F , H , appliquées
- ( Hyp. ) au corps MN , ou entre les deux premières E , F.,
&i’appui B fuppléant ( Ax. 2 . ) la troifîéme H. 5 leurs trois
directions XE,QF , BH , doivent palier le long d’un rnê-
: me plan, chacune à travers l’angle des deux autres, 5 c
-par Ion fommet,, lequel fera infiniment éloigné ( Lem. 6 ■„
Corol. i. z.) ii c es trois clirëétioüs font parallèles entr’el-
les. Donc en ce cas d’équilibre , quelque fait l’angle DAP
-ou RAS compris entre les deux premières XE-, OF , de
s, ces trois directions prolongées 5 la troifîéme BH de la
-puiffance H , ou de laxéfîltahce de l’appui B , qui (Ax. 2 .)
.la fuppléeroit , palfera- toujours par le fommet A de cet
angle, à travers ce même angle luivant fon plan. Ceqii.il
f allô a i°. dJmqntK’L

3 o S Nouvelle-

Pa r t. 1 1 . Regardons pour un moment la puiffance H
oifive & fans action 3 le nomb. 1 . du Corol. 1 . du Lem. 3 .
fera voir , comme on l’a déjà vu dans la démonfirrarion de
la part. 2. du Tir. 1 p. Se ailleurs, que du concours d’aétion
des puiffances E , F , il doit réfulter fur le Levier MN une
nouvelle force fuivant quelque ligne AG qui paffe par
la pointe A de l’angle RAS compris entre les directions
de ces deux, puilïances , fuivant laquelle ligne. AG ce
corps feroit ici prelfé, pouffé , ou tiré par le concours de
ces deux puilïances E , F , comme fi au lieu de l’être ainfi
par elles enlemble , il ne l’étoit fuivant. cette ligne AG
que par une feule force, égale à la réfultante de leur con-
cours 3 & que ce corps ain fi preiTé, pouffé, ou tiré fui-
vant cette ligne AG , fe meuvroit effectivement ( Ax. 1 . )
fuivant cette direction de Anvers G, fi rien ne s’y oppofoit. ,
Donc n’y ayant ici ( Hyp. ) d’obftacle qu’en B , de la part
de la puiffance H remile en action fuivant BH contre les
deux autres E , F , ou de la part de l’appui B , qui mis à la
place de cette puiflance H, la fuppléef Ax. z.) par la
ré fi fiance , non feulement cette direction AG delà force
réfultante du concours des puiffances E, F , doit dans le
cas d’équilibre, ici fuppofé , fe. trouver effectivement
( Lem. 3, Corol. z .nomb. 1.) fuivant BH, fi ce il avec la
puiffance H que les puiffances E , F , y demeurent en équi-
libre , oupaffer ( princ. gener. Corol. 1 .. ) par l’appui B , fi
c-’eft fur cet appui que ces deux puiffances demeurent
ain fi en équilibreentr’elles 3 mais encore cette force ré-
fultante de A vers G du concours de ces deux puiffances
E , F , doit alors . ( Lem. 3 . Corol. z ..nomb. 3 . ) être, égale à
là réfiftance de cette puiffance H , ou de l’appui B 3Veft-
à-dire ( Lem. 3 . Corol. égale & directemenpoppofée z
cette réfiftance. Ce qu il falioit z°. démontrer.

Par t. III. Suivant cette precedente part. 2. Ion voit
qu’en ce- cas d’équilibre entre les trois puiffances E, F,
H , ou entre les deux premières E , F , fur l’appui B , qui
{Ax. 2.) fuppléeroit à la troifiéme H 3 la force réfultante
du concours. de ces deux puiffances E , F., doit être égale:

ÎVÎ’E C A N I QJJ E. j

& directement oppofe'e à la réfiltance que leur fait la
puiffance H , ou l’appui B mis à la place de cette puifl’am*
ce H j'®de forte que BH étant ( Hyp. ) la direction de la ré-
ffltance de la puiffance H ou de l’appui B , cetté force ré-
fültante du- concours d’adion des puiffances E , F , contre
cette réfiltance, doit en ce cas-ci d’équilibre, non feule-
ment être égale à cette même réfiltance de la puiffance H
ou de l’appui B , mais encore être dirigée lui vaut HB eir
fêns directement contraire à celui de cette rélîltance, qui
eft [Hyp.) fuivant BH, c’elt-à-dire {part . ) être dirigée
fuivant AB , ou ( conjlr. ) fuivant la diagonale AG du pa-
rallélogramme RS, lequel ayant ( conflr. ) les cotez AR,
AS, lut les diredions des puiffances È , F, du concours,
defquelles cette force réfulte , fait conféquemment voir
( Lem. 3 . Corol. i. nomb. 1, ) que- cette même force fui-'
vant AG , doit être ici à chacune des puilfances E, F , •
comme cette diagonale AG elt à chacun de ces cotez AR
AS , correlpondans fur leurs diredions. Donc la puiffan-
ce H , ou la réfiltance- de l’appui- B mis en fa place , & par"
confequcnt aulfi ( Déf i i. Corol. ) la charge de cet ap--
pui , doit être ici cà chacune des puiffances E, F , ( fuppo-
fées en équilibre contre cette puiffance H , ou fur cet -
appui B ) comme la diagonale AG du parallélogramme'
RS elt à chacun de fes cotez AR , AS , correfpondans fur -
ies diredions de ces deux puiffances E , F. Ce qu’il falloit
3 ®. démontrer.

Part. I V. Puifqué ( Hyp. ) EF:: AR. AS. la diredion
de la force réfultante du concours de ces deux puiffan- •
ces E , F , doit être Lem. 3 . Corol. 1 . nomb. 1 ) de A vers ’
G fuivant la diagonale AG du parallélogramme RS ,oip
( ce qui revient au même ) cette diagonale AG doit être'’
fuivant cette diredion de la force rélultante- du con-
cours des puiffances E, F. Or ( part. 1.) en cas d’équili- -
bre cette même diredion doit être fuivant BEI ou palfejH
par B. Donc en ce même cas d’équilibre ici fuppolé, la
diagonale AG doit toujours auffi être fuivant BH , ou> 1
palier par B j & confequenmient ( part. 3. )la puiffance’

•;3 I O N O U V E L L E 4

H , ou la charge de l’appui B mis en fa place , doit en- '
.,core être ici à chacune des deux puilTancesh , F , ( fup-
pofées en équilibre avec cette puiifance H , ou Tur cçt
appui B ) comme la diagonale AG du parallogramme RS,

. eh à chacun de.fes : cotez AR, AS, qui leur répondent
fur leurs directions. Ce qu il fallait f 0 . démontrer.

Part. Y. Cette part. 5. fe trouve démontrée dans le
Corol. 1 . du principe general , en ce que lorfque la dire-
ction de la force réfultante du concours des puillances
E , F , palTe par l’appui B , la réfiftance invincible ( Hyp. )
de cet appui , que cette force trouve alors à fon paflage,
quand elle tend vers lui , comme dans les- Fig -1 53.155,.
157. 15 p. 1 6 z. 1,64. 1 6 6 . 167. ou quand il tire(pour
ainh dire ) contr’elie , lorfqu’elle tend à s’en éloigner ,

, comme dans les Fig. 154. 15 6 . 1 5 8. ,16p. 1.6 1 • 16 3.
.16 5. doit l’arrêter tout court, & mettre ainhf Lem. 3.
Corol. x.nomb .4.) ,en équilibre entr’elies fur cet appui B
les puillances E , F , fans. qu’aucune d’elles- puihe faire
pane hcr le Levier MN d’aucun côté j puifque cette for-
ce réfultante de leur concours , Se ainh arrêtée ou foute-
.hue toute entière par l’appui , elt ( Lem. 3 .part. 3 . çfÇo -
/ ol . 6 . ) tout ce que ces deux puiffances ,E ,.F, fonc d’effort
fur ce Levier MN. Ce qui il fallait 5 0 . démontrer ,cr ce
_qn on verra, encore hêtre ci- après dans le Schol. du Th.

Part. VI. Puifque les puillances E , F , font ici en-
.tr’elles ( Hyp.) comme les cotez Ail , AS , du parallélo-
gramme RS , fuivant lefquèls elles font dirigées : la force
Irél ultante de leur concours, fera { Lem. 3 . Corol. z . nomb. 1, . )
luivant la diagonale AG de.ee parallélogramme. Donc
cette diagonale prolongée paifànt {Hyp.) par l’appui B , il
y aura encore ici équilibre (part. 5.) eutrt.crs deux puif-
fances E , F , fur cet appui B. Ce qu il fallait 6°. démontrer .

Autre Démonstration.

Ce Th. 2.1 . pourrait. encore le démontrer par le Th. 1,.-
.en conhderant le Levier MN comme un corps (ans pe.~
fauteur, tiré avec des cordes par trois puilfances E, F,H,i

# M E G' A N I QJJ E, 3 I I

à ia fois, oit comme un corps tiré par les deux premières
E, F-, contre latroifiéme H qui lui tienne lieu depelan-
teur , d ( 0 même que E ce Levier MN étoit un poids de
cette pefanteur H, foûtenu ou tiré avec des cordes XE,
OF , par ces deux premières puiflancesE, F. Suivant cela, ,

P a rt. L La partie i . du Th. i . fera voir qu’en cas d’é-
quilibre , la direction BFF prolongée de la pefanteur ou •
puiflance FI, palfera toujours par le concours A des di-
rections pareitlement f prolongées XE , OF-, des puilfances ■
E,F , fuivant leur plan , & à travers l’angle DAP ou
RAS , que ces deux directions-ci prolongées font entre-
elles, quel qu’il foit : de forte qu’en imaginant au Levier
MN un appui B , dont la réflltahce contre les puilfances
E , F , y fupplée ( Ax, z. ) celle de fa pefanteur ou puif-
fance FI , c’elf-à-dire , dont la réh (tance & la direction
fuient les mêmes que celles de cette puiflauce ou pelan »
teur FI de ce Levier j cette direction EIB prolongeé dé.
cet appui B , ou de cette puiflance fi , palfera encore ( en -
cas d’équilibre ) par lefommet A de l’angle DAP ou RAS ;
compris entre les directions ainfi prolongées des puilfan- -
cesE,F , à travers de cet angle fie fuivant fon plan. Ce '
qui il fallait encore i°. démontrer.

Part. II. La part. z. du Tli. r. fait auffi voir qu’en
ce cas d’équilibre cette direction BH de la- puiflance ou
pefanteur H dît Levier MN, iera. toujours en ligne droite ’
avec celle de la force réfultante du concours des puif- -
fàncesE,F. Donc en fubftituant encore un appui B dans
la direction BFî de Cette pefanteur ou puilFance FI ,. au lieu :
d'elle , lequel {Ax. z. ) la fupplée par fa réflltance j la :
direction de la force réfultante du concours des puilfan-. -
cesE,F, palfera aulfi toujours ( en cas d’équilibre ) par '
cet appui B. Ce qtt il fallait encore z°. démontrer.

Pa rt. 1 1 1. La part. 3 . du Th. 1 . fait -auffi voir qu’en- -
ce même cas d’équilibre , la puiflance ou pefanteur Fl du-
Levier MN , & confequemment auffi ( Ax. z . ' la réii-
ftance de l’appui B mis en la place de cette puifiance ou
pefanteur H , doit toujours, être à chacune des pidüa-nc^s.

-v

: 'i 1 2 'Nouvelle

E,F , comme la diagonale AG du parallélogramme RS,,
eft à chacun de fes cotez AR , AS , correfpondans fur les
directions EX, FO , prolongées de ces puiflancel'E, F.
.Ce pu il falioit encore 3 0 . démontrer.

Part. IV. La parc. 4. du Th. 1. fait pareillement
voir qu’en ce cas d’équilibre , non feulement la direction
delà force féfultante du concours des puiffances E, F,

. c’eft-à-dire ( Lem. y . Corot. ; i . nomb.L . ) la diagonale AG
du parallélogramme RS , fait des cotez AR , AS , pris en
rai l’on de ces deux puiflances fur leurs directions , paflera
toujours fuivant la direction BH de la puiflTanee ou pe-
fanteur Fi du Levier MN , 8e confequemment aufli par
l’appui B , mais encore que la réflffance de cette puiflan-
, ce ou pefanteur H , ou de l’appui B mis en fa place dans
;fa direction B H , doit alors être à chacune des puiflances
E , F , comme cette diagonale AG du parallélogramme
RS ell à. chacun de fes cotez AR , AS , correfpondans
fur les directions de. ces deux puiflances E, F. • Ce qu ilf al-
lô it encore 4 0 . démontrer.

Les part. 3. 6 . de. ce Théoreme-ci peurroient aujfi fe démon -
.trer par la part. 6 . du Th. 1. mais les démonf rations qui en
résulteraient , ne feraient que celles-là memes qui fer oient de
ces deux part. .5. 6 . dans la de'monflration generale qui précé-
dé celle-ci , feulement plus longues & moins claires que. celles-
là par le tour qu il faudrait prendre alors pour y revenir} c ejl
pour cela que -nous ne nous y arrêterons pas davantage.

Nous ne par-ler’ons pas non plus davantage de la puiffance H
.qui,prife au hafard entre les trois puifsames E , -T , H, appliqué es
au Levier M N , en quelque ordre, & fuivant quelques dire-

, autres puiffances E , F , en équilibre entr elles ; Æ quun Le-
: vicr quelconque preffé , pouff é , ou tiré par deux puiffances fur
un appui placé a tel point qu on voudra de c e Levier, revient
.toujours à un qui le feroit par trois puiffances , dont une quel-
conque feroit à la place de cet appui dont une quelconque

Jkffffi

M t C A H I Q JJ E,' 3.1.3

, Auff agiroit feule contre les deux autres : pour faire voir, dis-
je , qu’en quelque point d’ application de ces trois puijj ances à un
Levier, qu on plaçât cet appui au lieu de celle qui y était ap-
pliquée , l’ équilibre s’y feroit toujours de même , & avec les
mêmes rapports entre les deux puijj'ances re fautes , & la réfi-
Jlance de cet appui., qu entre ces deux mêmes puijj ances & la
troifiéme dont xet appui tiendroit la place qu ainfi la divi-
fion ordinaire des Leviers en trois ejpeces.difiinguées entr elles
parles differentes pofi fions de cet appui & des deux puiffanceS
qu’il foutient , ejl aujfi inutile pour avoir ces rapports , qu’on
l’a . cru necejfaire pour pajjer de -celui d’ entre deux puijj'ances
en- équilibre fur un appui, entr elles ( qui était le feul qu on y
cherchât avant le Projet qui parut de ceci en 168 j. ) d celui
, d’entre deux puijj'ances.., -. dont l’une feroit entre i autre & cet
appui. Nous ne parlerons donc plus de la puijfance H , mais
feulement de l’appui B , -qu onvientde voir enf aire la fonction
contre, les deux autres puijj ances E , F ,en équilibre entr elles,

•AVERTISSEMENT. (

Pour abréger nos expreffions , nous appellerons doréna-
vant B , la charge ou ( Défi 1 1 . Corot. ). la <réfiitance de
d’appui de ce nom.

C O R O L L A I R E 1 .

En cas d’équilibre entre les puiiTances E , F , fur l’appui
-B , la diagonale AG du parallélogramme RS de la part. 4.
fait des cotez AR, AS^pris en raifon de ces deux puif-
-fances E , F , fur leurs directions , padant toujours ( part. 4.)
•par cet appui B.j il eft vifible que ce parallélogramme
-doit être le même que celui de la part. 3 . fait fur cette
-diagonale AG prife fur AB, fansfe mettre en peine du
rapport de fes cotez AR , AS , fuppofez feulement fur
les directions des puiiTances E , F j & ainfi en ce cas d’é-
quilibre le rapport de AR. AS : : E. F. fuppofé dans la
part. 4. doit auffi fe trouver dans la part. 3 . Ce qui fuit
auffi de cette même & feule part. 3 . puilque donnant
JE, B ; ; AR. AG. & B. F:.: AG. AS. en .cas d’équilibre,

Rr

«

3 ï'4 N O U V EL LE

elle doit aulïî donner alors ( en raifon ordonnée ) E. F: r-
AR. AS. • e

Cor o l l a i r e I L

Par confequent la diagonale AG prolonge'e pallant.
toujours ( fart. 3.4. ) par l’appui B en cas d’équilibre en-
tre les puinances E , F , fur cec appui , fi de ce même ap-
pui B on imagine les perpendiculaires BD , BP , fur les di-
rections XE , OF , prolongées de ces deux ■ puilfances -, le
Lem. 8 . donnant AR. AS : : BP. BD. ce cas d’équilibre
donnera auffi toujours ( Corel, x.) E. F: : BP. BD. e’eft-à-~
dire ( D'éf n..) que ces puilfances E,F , feront toujours
alors entr 'elles en raifon réciproque de leurs dii tances
BD , BP, à l’appui B de leur équilibre..

Corollaire III.

Réciproquement E E. F : : BP. BD. il y aura équilibre,
entre ces deux puilfancesE , F , fur l’appui B : car fi au-
tour d’une diagonale quelconque AG prïfe depuis A
vers G fur AB prolongée ,. on imagine un parallélogram-
me RS qui ait fes cotez AR, AS, fur les directions pro-
longées EX , FO , des puilfances E , F , le Lem. 8 . donnant
alors BP. BD : : AR. AS., l’on aura aufll pour lors E. F : :
AR. AS. Par confequent ces deux puinances E , F , fe-
ront alors [part. 6 . )en équilibre entr’elles fur l’appui B.

J s-s. 1 s4«. C’eft- 1 % , fuivant ce (pu on a rapporté de M\ Fermât au com-
mencement de cette Section-ci dans l’art. 3 . du Schol. de la
Déf. 11. ce que lui, Af. Pafchal , & At. de Roberval cher-
chaient dans le cas de la Fig. 1 5 4. en y prenant A pour le cen-
tre de la T erre , & les puilfances E , F ,pour des poids qui y ten-
dent i & comme les démonjlrations precedentes conviennent à
toutes fortes de Leviers d toutes fortes de directions des
poids ou puifjances qui y feront appliquées , au lieu du Levier
droit MN de la Fig. 154. on peut prendre ici le circulaire:
ponctué XQEx concentrique a- la Terre ( auquel les puifjances
ou les poids E , F , de tendances „• h fon centre. A, feraient appli-
quées en X ,x , cj lai rencontré en S par la direction prolongée

f M E C A N I QJJ E. 315

AG de l’effort réfiultant du concours de ces poids ou puiffances)
ainfi que fiaifioient Meffieurs de Fermât , Pafichal & de Ro-
■ b ervai, pour arriver ( à ce qu’ils croyaient ) plus ai fé 'ment au
_but où ils tendoient , comme fi la figure du Levier , êr lu va-
riété des directions des poids ou puiffances y fiaifioient quelque
ch 0 fie. Les propriété fi que ces Meffieurs y cherchaient fifiont ici
démontrées de ce Levier circulaire XfèBx chargé fiur fion ap-
pui B de puiffances ou de poids tendans a fion centre A , comme
de tout ce qu on y voit dé autres Leviers i fif avoir , que F. F : %

BP. BD. dans ce Levier circulaire ainfii chargé , comme dans
■tous ceux- lù. M. de Roberval , qui parloit pour lui , & pour
M. Pafchal contre M. de Fermât 0 arriva pourtant a cette
■propriété pour ces directions requifies de poids tendans au cen-
tre A de la Terre , en démontrant ( comme Archimede ) le rap-
port de deux puiffances de directions parallèles „ en équilibre
fiur un Levier droit dé un appui pofié entr elles , & tri pa (fiant
enfuite de ces directions parallèles aux concourantes. Mais
M. de- Fermât s’ oppofioit ace paffage , quoiqu’il admît ce prin-
cipe dé Archimede pourles directions parallèles , & que pourle
fiairc fiervir aux directions concourantes M. de Roberval ny
employât que les fiuppofitions .qu’on y employé encore tous les
jours s marque que ces fiuppofitions , quoique vrayes , ne fiont
pas afifiefi claires pour être admifies aufifl gratuitement qu’on les
fiait.

Corollaire IV.

Si les puiffances E , F au Levier MN , 11’y faisaient f 1 g. ^ 5 :
-point équilibre entr’elles fur Ion appui B , 6 c que ce fût, & fanantes
par exemple, la puiflance E qui l’emportât fur la puif- JU ~ u * l67 "
Lance F j il eff vifible que la puiflance E feroit alors plus
grande , ou la puiflance F plus petite qu’il ne faudroit
pour faire équilibre entr’elles fuivant leurs directions >

, 8 c confequemment ( .Corollaire 1 . ) qu’011 auroit alors
E. F > BP. BD,

Corollaire. V.

B-eciproqueme.nt fl E. E J> BP. BD. il n’v aura point d’e-

Rrî|_

3 1 6- Nouvelle-' 1

quiirbré entre les puiffances E , F , fur l’appui B , 8e ee-
fera E qui l’emportera fur la puiffance F 5 puifque s’il y'
avoit équilibre entr’elles , l’on adroit alors ( Corokz. )
E. F : : BP. BD. Et E c’étoit.Pqai l’emportât fur E , l’on au-
roit auffi pour lors ( Corol. 4. ) EuF <1 BP. BD. Ce qui l’un-
5 e l’autre feroit contre i’Eypothefe. Donc E E. F > BP. BD.>
il n’y aura point d’équilibre entre les puiffances E, F, fur
l’appui B. On démontrera de même qu’il n’y en auroit
pas non plus E F: E.: : BD- BP. 6e que ce feroit alors F qui
remporterait fur E..

De ces Corollaires fait la raison de là force des Cifeaux ,des>
Tincettes , dés Tenailles , & de femblables Machines. Car ce ,
font autant de Leviers , on plutôt de doubles Leviers dans cha-
cun de ces infirumens , dont le clou qui en lie les deux Leviers \
enfemble , ejl le centre ou l’appui commun de ces deux Leviers s -
& parce que les branches qu ôn tient à la main , font plus lon-
gues que les ferres , ap/f la force qu’on applique à ces ■ branches,
qui en font comme les diflances a l’appui ,y a un-bien plus grand
effet par rapport à ce qu on pince dans les ferres , & ce d’am
tant plus grand que ces branches font plus longues que ces. s.
ferres: ;

G O RO L L A I R E V L -

Le Corol. 2. donnant E. F::BP.BD.'eiicas d’équilibre,
entre les puiffances E , F, fur l’appui B 5 6e le Corol. 4.
donnant E. F > BP. BD. en cas de non équilibre , 6e que
ce fut la puiffance E qui' l'emportât fur la puiffance F , l’on,
aura ExBD“FxBP dans le premier cas, 6e ExBD> FxBP
dans le fécond , c’eft-à-dire {Déf. zz.) que les Momens fe-
ront égaux entr’eux dans le premier cas , 6e le Moment
de la puiffance E plus grand que celui de Fa puiffance F
dans le fécond.

Corollaire VII.

Le Corol. 3 . fait réciproquement voir que les puiffân-
ces E , F-, feront en équilibre entr’elles fur l’appui B , E les
Momens en font égaux, entr’eux , c’eff-à-dire ( Déf. zz.)

M E- C A N I O.U f. 3"I 7”.

JrExBD— FxBPi puifqu’alors on auroit E. F:: BP. BD.'
auquel cas le Corol. 3 . fait voinqu’il y auroit équilibre-
entre #es puiffances E ,F , fur l’appui B.

G O R. O L L A I R E VIII.

Le Corol. 5 . -fait réciproquement voir que les puiffan-
ces E , F , ne feront point en équilibre entr’elles fur l’appui
B, li les Momens eu font inégaux , & que ce fera la puif-
fance E qui l’emportera fur la puiffanqe F , fi le Moment
delà première eft plus grand que- celui de la fécondé,
e’eL-à-dire ( Déf. z 2. : ) f ExBD !>FxBPj puifqu’on au-
rait alors E. F->-BP. BD. auquel cas le Corol. 5. fait voir '
qu’il n’y auroit point d’équilibre entre les puiffancesEj ;
F , fur l’appui B. •

C O R O L L A I R. £ IX.-

Il fuit des pfécedens Corol. z. 3 . 4. 5. 6 . 7. 8. que le
degré ou la quantité d’action ou d’impreffion ( Momentum)
d’une puilFance fur un Levier , ne -fe prend pas feulement
de la grandeur de fa force employée , mais aufftde fa di- -
Lance de fa ligne de direction au point d’appui du Le-
vier fur lequel elle agit: de lor-te que le produit de cette
diLance par la force employée de cette puiffance , eL la
mefure de fon action , ou de l’impreffion ( Momentum )
quelle fait fur ce Levier. D’oit l’on voit que lorfque plu-
fieurs puiffances ou poids font équilibre entr’eux lurun
appui- de Levier il faut que les fommes de ces produits
ou Momens antagonistes foient égales de part & d’autre
de l’appui- j & -réciproquement que L- ces deux fommes ;
font égales entr’elles , tous, ces poids ou puiffances demeu- -
reront en équilibre fur cet appui. Cela fe -verra encore -
autrement dans le Corol. 1 . du Th. 15. •

C O R O L L A I R E X. -

Ce Corol. g. fait aulîi voir qu’en quelque point d’un ;
Levier- qu’une .puiffan ce lui foie appliquée , pourvu que -

llriij .

■3:1 B N C U V -E L L E _ 1

la diftance de la ligne de direction de cette piiîffance an
point d’appui de ce Levier foit toujours la même j fon
.action ou impreffion ( Momentam ) fur ce Levier le Vu. aufli
Toujours la même. '

Par la même raifon , fi differentes puiffances égales
agiffoient fucceffivement fuivant la même direction , ou
fuivant des directions également diftantes du point d’ap-
pui du Levier auquel elles feroient appliquées 5 leurs
actions ou imprefîions ( Moment a) fur ce Levier feroient
.aufîi égales -, &: confequemment ( Corol . 5 = ) il y auroit
.alors équilibre entr’elles.

Corollaire X I.

Si prefentement on prend pour finus total la droite AB
Æiienée de l’appui B du Levier MN au concours A des di-
rections EX , FO , prolongées des puiffances E , E , appli-
quées en X, O, à ce Levier ; les perpendiculaires BD.,
ËP , menées decet appui B fur ces directions , fe trouvant
alors être (De'fy.) les finus des angles BAE , B AF , de
.chacune de ces mêmes directions avec la droite AB , ce
qu’on voit de ces perpendiculaires BD , BP, dans les. Corol.
2. 3.4. 5. eft pareillement vrai des finus de ces deux an-
gles BAE, BAp : fçavoir ,

i°. Qu’en cas d’équilibre entre les puiffances E,F,fur
l’appui B, ces deux puiffances E,F, feront toujours alors
.entr’elles {.Corol. 1. ) en raifon réciproque des finus de
ces angles BAE, B AF , compris entrq chacune des dire-
ctions de ces puiffances 8e la droite AB..

i°. Réciproquement que fi ces deux puiffances E, F,
appliquées au Levier AIN , y font entr’elîes en ce rapport,
il y aura pour lors ( Corol . 3 . ) équilibre entr’elles fur cet
appui B.

‘ 3 °. Que fi les puiffances E , F , appliquées au Levier
MN , n’y faifoient point équilibre entr elles fur l’appui B,
& que ce fût , par exemple , la puiffance E qui l’emportât
fur la puiffance, F , cette puiffance E feroit alors {jCor.ol. 4.)

f M'E. C A N I CC-U E.- 3 ‘-I f

à cette puifiance F en plus grande raifon que le finus de
l’angle B AF au fi nus de l’angle BAE.

.^Réciproquement , que fi la puifiance E étoit à la
puifiance F en plus grande raifon que le finus de l’angle
B AF au finus de l’angle BAE, cette puifiance El’empor--
teroit ( Corol. 5 . ) fur la puifiance F , de maniéré qu’il n’y;
auroit point- alors d’équilibre entr elles.

Corollaire XII,

Soit b le point ou la droite XQ efi: rencontrée par la'
diagonale AG prolongée de part ou d’autre jufqu’à elle,--
U. que les angles bX A , bOA -, des directions des pu-ifian-
cesE, F, avec cette droite XO , foient égaux entr eux:
lés Corol. 2,; 3 . font voir que fi cès deux puiflances ainfi-
appliquées au Levier MN , font en équilibre entr’elles
fur fon appui B , elles feront alors entr’elles en raifon re-'-
e-iproque des bras bX , bO , d’un Levier droit XO , dont
l’appui feroit en b > c’eft-à-dire , qu’on auroit alors E. F :
bO .bX. Et réciproquement que fi ces. deux puiflances
font entr’elles en cette raifon, elles feront auflî en équi-
libre entr’elles fur cet appui B ou b. Car en menant W,
^perpendiculaires aux- directions XE , OF , prolongées -
de ces deux puiifances E,F confequemment ( Cor. 1.)

parallèles à BD ,,BP , chacune à chacune j

i°. Dans les Fig. 153.1 54. 15 5. r 56. 157. 1 5 8.
15 7. 1 6 o. 1 6 1 . 16 a-, ou les angles ( Hyp. ) égaux bX A,
bO A , rendent le triangle XAO ifofcelle 5 les- triangles
bd A ,bpA ,ainfi faits femblables aux triangles BD A, BPA,
chacun à chacun , de même' que les femblables entr eux
-bdX, bpo , donneront BP. BD : : bp. bd: : bO.bX. Donc en
cas d’équilibre fur l’appui B , l’on aura ici ( Corol. 2.. )
E. F : : bO. bX. Et réciproquement fi ces deux puiflances-
-E,F , font entr’elles en cette raifon, il y aura ici {Cor. 3 ..)
équilibre entr’elles fur l’appui B.

2 0 . Dans les Fig. 163. 164.165.106. 16 7. où les an-
gles ( Hyp égaux bX A , bOA , rendroient les droites EX,
FQ-, & conlequemment auifi ( Lan. 6. Corol. 1 ) B A ,

Fiée. ü3~-
Si fuivanctîT'
jufqti’sP

lé*.

■Si fuivanres --' 5
juf<ju I à iv

1

-3 2 0 Nouvelle P

toutes trois parallèles entr’elles : ce qui rendant femhla-
blés les triangles bdX , bp O , & égales deux à deux , les
-perpendiculaires comprifes entre BA , & chacune des
■deux autres -EX , LO- de ces- trois paralleleles , fçayoir
-bd~ BD , &■ BP j l’on auroit encore- ici , comme dans

fenomb- 1 • BP. BD : : bp. bd : : bO. bX. Donc .auffi en cas d’é-
quilibre entre les puillances E , F , fur l’appui B. 5 l’on au-
roit ici ( Corol. z. ) E. F : : bO. bX. Et réciproquement li
ces deux puillances E , F , étoient entr’elles en cette raifon,
il y auroit ici Ç Corol. -i . ) équilibre entr’elles fur l’appui B..

LÜ O KO L L AIRE XI I L

Si prefentement on -fuppofe que fur un' Levier droit
MN d’un appui B pôle dans, fa direction , tel que dans les
Fig. 153 - 1^4. 163. 1 64. les directions despuiffimcesF,
-F , font parallèles entr’elles : les bras BX , BO , de ce Le-
vier étant alors {Déf. 2 z. ) les diltances elles-mêmes de fon
-appui B aux directions EX , FO , de ces deux puillances,
ou en raifon de, ces diltances , félon que ces directions pa-
rallèles EX, -FO, feront perpendiculaires, ou non , à ce
-Levier droit MNbles Corol. „z. 3. font voir que li ces
deux puillances E, F , font entr’elles en -raifon récipro-
que de ces bras BX , BO , du Levier , c’elt-à-djre , li E. F
BO. BX. il y aura pour lors équilibre entr’elles fur l’ap-
pui B 5 & réciproquement que fi avec de telles directions
fur un Levier droit, elles font en équilibre, en tr’elles,elles
feront aulîî pour lors en ce rapport. Tout cela fuit auffi du
précèdent Corol. 1 .1 .

■ -C'ejl-lh ce cj.ii on appelle d’ordinairele. premier principe de
Mécanique , excepté Ad. D.efcartes , & Varron 'jurisconsulte
-Genevois , le f quels, ont pris tous deux pour ce premier principe,
qu’il ne faut ni plus ni moins de force pour .lever un corps
pefant à une certaine hauteur , que pour en lever un att-
ire moins pefant à une hauteur d’autant plus grande ,
qu’il eft moins pefant , ou en lever un plus pefant à une
•hauteur d’autant moindre. .C’ejt ainfi que parle M* Pefi

.cartes

1 M E C A N I QJLT E. 3 2Ï.

cartes dans fies Lettres , Loin. I. Lett. -j 3 . Voici pref enterrent
. comment parle Fanon dans la pag. 23. de Jon Traité De
Motu s imprimé k Geneve en 1584. chez -Jacques Stoer :
Tantum enini eft libram imam quatuor fpatiis moveri ,
quantum libras quatuor uno fpatio eodem tempore.' Cet
. Auteur dit aujfi dans la pag. 2 2. Si ëüim tanta fit tarditas
, motûs vis unius , refpeetu motus vis alterius , quanta eft
proportio vis illius.ad hanc , non fiet motus. Ce qui ejl aujji
le principe de Galilée lequel principe revient a l’autre , ou
l’ autre h lui ’> puifque dans les Machines les efpaces font tou-
jours comme lesvitejfes.

Au refie , tout cela fuit fi naturellement de notre Ax. 1 .

■ connu de tout le monde , qu'il na pas été neceffaire que Galilée
.ni De [cartes ayent ici rien emprunté de Fanon ^ ni Defcartes
. de Galilée. Aujfi nefi-ce que pour indiquer ce principe , & pour

rendre jufiice k tous les trois , quon rapporte ici ce qu'ils en
» ont dit .

0 RO L L Tl R E XIV.

Il fuit du precedent CoroL 1 3 . que dans la fuppofi- F m,
tion qu’on fait d'ordinaire des directions parallèles des l? °'

. poids appliquez à une Balance ou a une Romaine , mo-
biles en B P une & l’autre par rapport à leur anfe BH 5 les
poids F , . F , en équilibre aux extrêmitez M, N , des bras
; égaux BM , BN, d’une Balance reprefentée dans la Fig.

, 1 G 9 . y doivent être égaux entr’eux j & qu’en équilibre
. à l’extrémité M d’un des bras BM de la Romaine repre-
fentée dans la Fig. .170. & au point quelconque G de
. fon autre bras BN , ces deux poids doivent être entr’eux
. en raifon réciproque des diftances BM BO , ou ils fe
trouvent alors du point B. Ge qui fait voir l'utilité de la
.Balance pour pefer des poids égaux, & de la Romaine
pour en pefer d’inégaux quelconques E contre un Pefon-.F

■ toujours le même , ïnobile le long d’un bras BN : des poids
E, dis-je., d’autant plus grands que la longueur du bras
BNl’eit davantage par rapport à l’autre brasBM, 6e que
de Pefon F peut s’éloigner davantage de l’appui ou de
d’cllieu B de la Romaine.

f

'Fig. 1 jj.

& fuivantes
jufqu’àifii.

■Fi g-. i<?3 t
ï.64. 16 j.

3ïï

Nouvel l e- f '

Four la fureté de ces AFachines à pefer, il y a des précau-
tions h prendre dams leur conJlrucHon & dans leur uj âge : on J
en parlera dans la fuite. €j

CaROLLAIRE X V. •

Quelques foient les directions des puidances quelcon--
ques E , F , il fuie auflî des part. 5 . 6 . que dans les Leviers
des Figures marquées ici en marge, clans lelquelles la dia-
gonale AG prolongée du parallélogramme RS , pafîe
dans l’angle XAO compris entre les directions de ces
puidances j cette diagonale prolongée p a fiant toujours
par quelque point de ces Leviers , quelqu’en foient les
figures 6e les longueurs, il y aura toûjours quelque point
B y fçavoir, celui de leur rencontre avec cette diagonale
prolongée , ,lur lequel appuyez- ou foiitenus , ces deux puiC
fances E , F , pourront toujours demeurer en équilibre en-
tr’elles , quelque rapport qu’elles ayent l’une 6c l’autre.,

& queiqu’en foient les directions.

Cor o- l l aire X VL

Il n’en va pas de même des autres Leviers des Figures-
marquées pareillement ici en marge , dans lefquelles la
diagonale AG, quelque prolongée qu’elle foit, ne palfe
point dans l’angle XAO , mais dans, fon complément à
deux droits ... Car cette diagonale AG , quelque prolon-
gée qu’elle foit , pouvant ne point rencontrer ces Leviers,
faute d’être adez long ou de figure, qui le permette , 6e
même ne pouvant jamais les rencontrer , quelques longs,
qu’ils foient , lorfqu’ils font droits , comme dans les Fig,
163. 164. 6e que les puidances E , F , qui leur font ap-
pliquées , font en tr files en raifon réciproque des ünus
des angles de leurs lignes de direction avec ces Leviers,

Sc rendant aind la diagonale AG parallèle à ces mêmes
Leviers , tous ces Leviers peuvent être dg figure ou de
longueur à n’avoir jamais chacun aucun point fur lequel
appuyé il puide foutenir les puidances E , F, en équilibre,
cntr’élles 6c même les droits , quelques longs qu’ils foient-,.

Mexani qjj t . 323

f ne peuvent jamais avoir un tel point d’appui , lorfque ces
fepûiffaa^es y .Font entr 'elles dans la raifon precedente.

COROLIAUE XVII.

Ainfi en generaf lorfque deux puiffan ces E , F , étant Fig. i î
-données avec leurs directions , & la pofitionMN du Le- & fuivanoes
vier auquel elles font appliquées , on demande le point Ju ai67< *
d’appui B de ce Levier , fur lequel ces deux puilfances
demeureroient en équilibre entr’elles j il n’y a qu’à pro-
longer la diagonale AG du parallélogramme RS fait (.com-
me ci-deffus ) de cotez AR , AS , pris en raifon de ces
deux puilfances E , F, fur leurs directions depuis le point
de concours de ces mêmes directions : Il cette diagonale
AG prolongée rencontre le Levier MN , leur point de
rencontre fera ( pdrt. 5.6.) celui de l’appui cherché j Si
fî elle ne peut le rencontrer 3 ce Problème fera ( principe
gener. Corol. 2 . ) impoffible.

C O R O L L A I R E XVI I L

Il fuit encore des part. 5 . 6 . conformément aux Co-
roi. 14. 15. que les deux mêmes puilfances quelconques
E, F j peuvent faire fucceffivement équilibre fur une infi-
nité de points d’appui B d’un même Levier MN , en chan-
geant feulement leurs directions 5 pnifqii’on les peut va- -
rier en tant de maniérés que la diagonale AG prolongée
paffera fucceflîvement par tous les points imaginables de
ce même Levier , excepté par les points X 3 O , ou ces.

.deux puilfances lui font appliquées.

Corollaire XIX.

Il fuit auffi du nomb. 1. du Corol. 1 1 . que fi un poids Fis.

E eft appliqué en X à un Levier XB avec plufîeurs puif-
fances F ,F , de directions differentes , -capables de le foû-
tenir chacune fuivant fa direction particulière XF fur
l’appui B de -ce Levier 5 & que fi après avoir mené d’un
point A quelconque de la direétion XA du poids ‘E , la
droite A Z parallèle à BX menée de cet appui B au point

Sfij

3' 24 . Nouvelle' . w

d’application X , quelque foie la figure de ce Levier ;
prolonge toutes les directions FX,FX, juFqu a larencbn- ,
tre M , M , de cette droite AZ >■ chaque ligne XM Expri-
mera la puiflance F , dont elle Fera la direction , & tou-
tes les XM toutes les puifiances F capables chacune de
Foûtenir le même poids E dans la même fituation XB du -
Levier Fur Fon appui B.

Car le nomb. i . du- Corol. ri.- fait voir que chaque
puiflance F capable de Foûtenir Fuivant la direction XF
Fur l’appui B du- Levier XB , doit être à ce poids comme
le finus de l’angle BXA eft au finus de l’angle BXF , ou
( à cauFe de A Z Fuppolée parallèle à BX ) comme le Fi-
nus de l’angle XAM eit au finus de l’angle XM A correF-
pondans >& par- conséquent aufli ( Lem. S.. Corol. z . )
comme chaque XM elt à XA. Donc toutes les XM Fe-
ront ici entr’elles comme toutes les puifiances F capables
d’y Foûtenir le même poids E chacune Fuivant la direction
de chaque XM correFponda-ntes. Donc auffi,

' i°. LorFque la direction XF d’une de ces puifiances F
Fera en ligne droite avec XA du côte' oppoFé 3 XM Fe.
trouvant alors égale à XA , cette puiflance F Fera aiûfi
pour lors égale au poids E.

z°. Si l’angle BXF du- côté de F Fe trouve égal à l’an-
gle BXA , la puiflance F Fe trouvera encore alors égale
au poids E j.puifque les parallèles AZ , BX , qui rendent
les angles XM A— BXF ,.XAM— BXA, rendroient XM A
tmXAM , & conFecucmment XM— XA .

3 °.Donc [nomb. r jles puifiances F pourroient avoir deux
directions, Fçavoir, celles des nomb. r . z,. Fuivant lefquelles
©lies devroient chacune être égale au même poids E
pour le Foûtenir en équilibre Fur 1 appui B du Levier BX,

4 0 . LorFque XF Fe trouvera confondue avec XB pa-
rallèle ( Hyp. ) à AZ , la prolongation de XM parallèle aufli
pour lors à AZ > Fe trouvant alors infinie par rapport à-
XA 3 la puiflance F qui auroit cette direction , devroit
aufli être infinie par rapportait poids E pour pouvoir ici
le. Foûtenir Fur l’appui.B.,

M e 'c A N â QJJ IV
C O R O L LAI R E X X.

3 - H:

Si’ î^n imagine prefentement differens poids E, foûte-
Btts fur l’appui B du Levier XB par une puiffance F fui»
yant differentes directions XF 5 le nomb. 1 .du Corôl. il
fait encore "voir que tous ces differens poids E , capables
d’être ainfi fucceffivement foutenus par une même puif-
fance F , feront entr’eux comme les finus des angles BXF
faits des XB avec les directions correfpondantes XF de
eétte puiffance. _

Car ce nomb. 1. du Cor ol. 1 1. fait voir qu’en casd’é-
quilibre cette puiffance F doit être à chaque poids E ,
quelle foutiendroit ainfi , comme le fi nus de l’ang \e[Hyp,)-
confiant BXE ferait au finus de chaque angle BXF que
la direction XF fuivant laquelle cette puiffance F fou-
tiendroic ce poids E, ferait- avec XB. Donc tous ces diffe-
rens poids E feraient ici entr’eux comme les finus' des an-
gles correfpôndans BXF;-- Donc auffi,

i°. Tant que la puiffance F fotitiendra le poids E fui-
vant une direction XF directement oppofe'e à celle XE
de ce poids , l’angle BXF le trouvant alors complément
( à deux droits ) de l’angle BXE , & les finus de ces deux-
angles étant ainfi ( Défi p. Corel. 2 . ) égaux ou le même s
le poids E fera auffi pour lors égal a la puiffance F , ainfi
qu’on l’a déjà vu dans le nomb. 1 . du Corel. 1 p,

2 0 .. Si l’angle BXF du côté de F -, fe trouve égal à BXE s
îe : poids E fera encore ici égal a la puiffance F , ainfi que
dans le nomb. 2... du precedent Corol. I p .

5 0 . Donc [ nomb. 1 . ) la puiffance F pourrait avoir deux
directions differentes, fçavoir , celles des nomb. 1 . 2. fui-
vant lefquelles elle pourfoit foûtenir des poids égaux fur
l’appui B du Levier XB 5 ce qui revient auffi au nomb.- 3 .
du Corol. rp.

4°, Si la direction XF de la puiffance F , fe tronvoic
confondue avec XB , l’angle BXF le trouvant alors nul
©u zéro, & confequemment auffi fou finus , le poids E fe-
rait, auffi pour lors nul par rapport a cette puiffance F,

S f iij,

* >

f

<• c

3 z-G -Nouvel l e

c eft- à-dire , abfolument zéro , fi cette puiftance F érajfe
finie y ou elle infinie, fi ce poids étoit fini. Ce qui rey-Æqt.
pareillement au nomb. 4 du Corel. 1 51.

C O IC O I. LAI R.,E XXJ.

81 câblâtes Puifqu’en general dans le cas d’équilibre fur l’appui B
jufiju’àis/. de quelque-Levier MNquece foit , entre deux puifiances
quelconques E , F , la réfifiance ou la charge de cet ap-
pui B eft toujours ( parf. 3 . 4. ) à chacune de ces deux
puifiances E, F, comme la diagonale AG du parallélo-
gramme RS efi à chaeunde fes cotez A lh , AS , corref-
pondans fur leurs directions prolongées EX , FO j c’eft-
à-dire ( à caufe de AS~GR ) comme le coté AG du trian-
. -gle AGR efi à fes deux autres cotez AR , GR 5 l’on aura
( Lem . 8. Corol. z. ) cette réfifiance ou charge de l’appui
B à chacune de ces deux puifiances E , F , comme le finus
de l’angle ARG , ou de fon complément RAS , eft à cha-
cun des finus des angles AGR ou G AS , <k GAR j c’eft-à-
dire, la réfifiance ou la charge de l’appui B , &les puiffan-
ces E ,F , alors entr 'elles comme les finus des angles RAS,
G AS, GAR, ou ( à caufe que- les angles XAO , B AO,
BAX , leur font égaux ou complemens à deux droits)
.comme les finus des angles XAO, B AO , BAX.

CoiOLLAï X E X X IL

Donc le finus de chacun des trois angles RAS , GAS,,
-GAR , ou XAO, B AO , BAX , étant, toujours ( Lem. 8,
Corol. z. ) moindre que la fomme des deux autres , tant
que l’angle XAO , que font entrelles les directions des
puifiances E , F,. eft fini , les -finus des autres l’étant aufti.
pour lors , à caufe que leur fommet commun A n’eft alors
qu’à une diftance finie du LevierMN j la charge de l’appui
B,réfultante du concours de ces puifiances EF, en équili-
bre ( Hyp. ) fur lui, fera pour lors ( Cor. z 1 .) moindre que
la fomme de ces deux mêmes puifiances fur quelque Le-
Lfier que ce foit , Se chacuqe de ces deux puifiances tovf-

M e C A N:ï QJJ-E.
tes atiffi moindre que la fomme ‘faite de Vautre
barge de l’appui B.

Corollaire X X I I L

32-7
&; de

Mais fi l’angle X AO , que font entr elles les diredtiorfs
des puifiances E , P , elt infiniment aigu.', c’eft-à-clire
( Lem. G. Corol. ) fi ces directions EX , FO , font paral-
lèles entr 'elles, ou eonfondues-en une qui pafle par l’ap-

B ulB - '

1 Dans tous les Leviers MN, dont l’appui B efi: dans cet Fié.'
angle XAO , ou dans fon oppofé aufornmet, & dont cet
-appui B fe trouverait- entre les directions des puiffances ‘

E , F , devenues parallèles entr’elles , - ou entre les points
-X , O , de leur application au Levier fuivant des dire-
ctions qui patient toutes deux par fon appui j l’angle RAS
s’y trouvant auffi pour lors infiniment aigu, & le total de
G AS , GAR , fon finus feroit égal ( Lem. 7. ) à la fomme
des finus de ces deux autres. Par confequent alors (Car.. 2 1 :j ;
la charge de l’appui B , réfultante du • concours d’aétion
des puillances E , F , en équilibre ( Hyp. ) fur lui ,eft aufii
toujours égale à la fomme de ces deux puiffances , tant
que leurs directions y dont parallèles entr’elles , ou ( Lem. ■

G-. Corol. 1. ) que l’angle XAO compris entre leurs dire-
ctions EX , FO , ett infiniment aigu.

t°. Au contraire dans tous les Leviers MN dont l’appui Fro. ici
B ett hors de l’angle XAO , ou de fon oppofé au fommet , &rul g ai, y 5
& cet appui B auroitdun ieul cote les directions des
puiffances E, F, devenues ici ( Lem. G. Corol. 2-. ) parallè-
les entr’elles par la fuppofition qu’on y fait de l’angle
XAO infiniment aigu j Ion complément RAS fe trouvant
alors ( Dcf 1 1. Corol. ) infiniment obtus, & total encoré y*

de GAS , GAR , dont le premier GAS feroit au contraire
alors infiniment aigu , 1 e finus de cet angle total RAS 11e ‘
feroit ici égal ( Lem. 7. Corol. 2.) qu’à la différence doht
le finus de fon angle partial GAR furpafferoit le finus de
fon autre partial GAS. Par confequent ( Corol. z 1.) h; ~
charge de l’appui B , réfultante du concours ct’aclion. des -

Fie. 153.
154 . ijj.
& c.

Fig. if?’
154. &c.

3 10 - I î 3.
I54. &£.

■J îl "N o U V E P LE (

puiffances E,F, en équilibre ( Hyf. ) fur lui , n’eff ic'i'fe.-
le non plus qu’à la différence dont la puiffance F ^yffur-
p a lié la pui fiance E , tant que les directions de ces' .deux
puiffances font parallèles entr’elles.

Ç O K O L L A T R E X. X I V.

II en va tout autrement j lorfque l’angle XAO devient
infiniment obtus, c’eff-à-dire ( D éf 11.) obtus jufqü.’à
rendre les directions EX , FO , des puiffances E , F , en
une feule ligne droite XO , qui pafle par leurs points X ,
O, d’application au Levier MN , & par fon appui B , fur
lequel ces deux puiflances ainfi dirigées, font ici fuppo-
fées en équilibre entr’elles foit que çe Levier foit droit
comme dans les Figures ici marquées , ou que courbe à
volonté, il ait fon appui dans çette droite XO.

. 1 °. Dans les Leviers MN qui ont leur appui B fur - cette
droite XO entre les points X , O , d’application des pu if-
fan ces E , F , à chacun cie ces Leviers j l’angle XAO,
qu’on fuppofe ici infiniment obtus , rendant auffi l’angle
. total R. AS infinimen.t obt.us, ayec.un de fes partiaux GAR,
G AS , infiniment aigu j le finus de cet angle total RAS
n’y fera égal ( Lem. 7. Corol. z.) qu’à la différence des fi-
lins de dès deux angles partiaux GÀR , G AS. Par confe-
quent [ Corol. z 1 . ) la charge de l’appui B , réfultante du
concours des puiffances E , F , en équilibre ( Hyp ) fur lui,
& dirigées ici en fens contraires fuivant la droite XO ,
dans laquelle pn le fuppofe., ne fera plus ici égale qu’à la
différence de ces deux puiffances : de forte que fl çès deux
puiffances étaient égales entr’elles, la charge de l’appui B
'.en feroit ici entièrement nulle ou zéro.

De .ce que les puiffances E, F , font ici directement con-
traires , le feul Ax. 5 . fait voir que la charge de l’appui B
y fera égale à la différence de ces deux puiffances E , F , &
dans- le fens de la plus forte.

2 0 . Au contraire dans, les Leviers MN , dont l’appui. B,
placé fur la droite XO , n’y eft point entre les points X, O,

d’application

Mecani ojj e. 3 2. s>

L d'implication à chacun de ces Leviers 5 l’angle XAO,
1 qu’li fuppofe ici infiniment obtus , rendant fon comple-
%nenn^A.S ( Cor. Défi 11.) infiniment aigu, le fînus de cet
angle total RAS fera ici égal ( Lem. 7. ) à la fomme des
finus de fes deux angles partiaux GAR , GAS. Par con-
fequent ( Corol. z 1 . ) la charge de l’appui B , réfultante
du. concours des deux puiffances E, F , en équilibre (Hyf.)
fur lui , & dirigeas ici en même fens fuivant la droite XO.,
dans laquelle on le fuppofe , fera ici égale à la fomme de
çes deux puiffances E , F.

De ce que ces deux puiffances E, F , font ici dirigées en
même fenx.ftii.vant la même droite XO , le feul Ax. 4.
fait voir que' la charge qui en réfulte ici à l’appui B, doit
être égale à leur fomme , 8c dirigée en même fens qu’elles
fuivant leur direction commune XO.

L’angle XA O fuppofe infiniment .aigu dans le Corol. 23.
.confondant quelquefois dans le nomh. z. du CoroL z 3 . les di-
. notions EX j FO., des pui fiances E , F , en une fuivant la droi-
te XO , qui paffe par leurs points X , O , d’ application au Le-
vier MN s & cet angle XAO fuppofe infiniment obtus dans le
Corol. -z < . les y confondant toujours ; on a fuppofe' par tout là
que cette direction commune XO paffoit par l’appui B fur le-
quel on y fuppofoit ces deux puiffances en équilibre entr elles.:
■parce que ftcet appui B étoit hors cette droite XO prolongée „
comme dans les Fig. 135. ,-l ÿ6- 1 5 7. .1 5 8. 1 5 5?. 1 60.
161. 161. 1 A 5 . 1 66. .16 y . cet équilibre entre les. deux
put fiances E , F .'de directions ainfi confondues en une , ne
pourroit êt-re ( Corol. ,7. ) à moins que ces deux puiffances ne
fufient dire, ctemen-t contraires & égales entr elles s auquel cas
ces deux puiffances fe [oâtiendroient mutuellement ( Ax* 3 .,)
fans aucune réfifiance. de la part, de l’appui B.

Corol lai r e X X V.

La charge de l’appui B de quelque Levier MN que ce
■Toit , démontrée dans les precedens Corol. 21. 11. z .3..
24. par le moyen des finus des trois angles RAS , GAS ,
,GAR , ou des trois XAO, B AO, BAX, de mêmes finus

• Tt ■

Fie. if3.
& fniyantes
jufcjEil 6 ?»

ÏXS. ï^l
& fuivantes
jufqu’ài St.

3 3 ô Nouvelle

que ceux-là, peut encore fe démontrer par le moyer
parallélogramme RS confirait comme dans les part J
dans lefquelles il revient ( Corol. i . ) au même. C-
En effet chacune de ces deux part. 3. 4. faitvoir qu’eu
cas d’équilibre entre deux puiffances quelconques E ,
F, fur l’appui B de quelque Levier MN que ce foit, au-
quel elles foient appliquées en X , O , fuivant quelques
directions XE , OF , que ce foient auffi j la charge de cet
appui B réfultante du concours d’action de ces deux
puiffances E , F , fur lui , doit toujours être à chacune
d’elles , comme la diagonale AG du parallélogramme RS
eft à chacun de fes cotez A-R , AS correfpondans fur
leurs directions j ou ( àcaufe de AS=:RG ) comme le côté
AG du triangle ARG eft à chacun de fes deux autres
cotez AR , RG > & confequemment que cette charge de
l’appui B eft toujours moindre que la fournie de ces deux
puiffances E ,.F , tant qu’elles font équilibre entr’elles fur
cet appui , 8e que les angles de ce triangle ARG ou du
parallelpgramme RS font finis, c’eft-à-dire , tant que les
directions EX , FO , prolongées de ces deux puiflances E ,
F, font entr’elles un angle fini XAtD , ainfi qu’on l’a déjà
vû. dans le Corol. 2 2 .

Corollaire XXVI.

Mais lorfque cet angle XAO eft infiniment aigu , delt-
a-dire ( Lem. 6. Corol. 1.2.) lorfque les directions EX,
FO , des puiffances E y F , font parallèles entr’elles , ou
confondues en une qui paffe par l’appui du Levier MN.

i°. Dans tous les Leviers MN , dont l’appui B eft dans
cet angle XAO, ou dans fon oppofé au fomrnet, & dont
cet appui B fe trouverait entre les directions des puiffan-
ces E , F , devenues ici parallèles entr’elles , ou entre les
points<X ,0 , d’application de ces puiffances au Levier
lorfque ces deux points X , O, font en ligne droite avec
fon appui B , l’angle RAS du parallélogramme RS , s’y
trouvant auffi pour lors infiniment aigu , la diagonale AG
de ce parallélogramme RS fe trouve alors {Lem-y -fart. 1 .)

Me c a n i qjj £. 33 r

la fomme de fes cotez AR, AS. Donc la charge
:>pui B , réfultante du concours des puiffances E , F ,

^libre ( Hyp. ) fur lui , fe trouve auffi pour lors
{part. 3. 4. ) égale à la fomme de ces deux puiffances,
ainli qu’on l’a déjà vu dans le Corol. z 3 . nomb. 1 .

z®. Au contraire dans tous les Leviers dont l’appui B Fig. iey.
eft hors de l’angle XAO ,ou de fon oppofé au fommet , u-'

& dont cet appui B auroit d’un feul côté les directions ' /
des puilfances E, F, devenues ici ( Lem. 6. Corol. 1. z.)
parallèles entr’elles par la fuppofition qu’on y fait de l’an-
gle XAO infiniment aigu 3 fon complément RAS fe trou-
vant alors ( Déf. 1 1 .) infiniment obtus , la diagonale AG
du parallélogramme RS ne lé trouve plus alors ( Lem. y.
fart. z. ), égale qu’à la différence de fes cotez AR , AS.

Donc la charge de l’appui B , réfultante du concours des
puilfances E,F , en équilibre ( Hyp. ) fur lui, ne fe trouve
auffi pour lors égale qu’à la différence de ces mêmes
puilfances , ainli qu’on l’a déjà vu dans le Corol. A3*

4 nomh. a-

Corollaire XX Y II.

C’efttout le contraire , lorfque l’angle XAO eff infini- Fig. 155;
nient obtus , c’eff-à-dire ( Lem. 6. Corol. 4. ) lorfque les 15 4 ' &c ‘
directions XE , OF,des puilfances E , F, font en ligne
droite XO , qui palfe par leurs points X , O , d’applica-
tion au Levier MM , & que cette droite XO palfe par
l’appui B , fur lequel ces deux puiffances' ainli dirigées ,
font ici fuppofées en équilibre entr’elles. Car ,

1 Dans les Leviers qui ont leur appui B fur cette , f-io; ïssï
droite XO entre les points X, O, d’application des puif- £ 54-
Lances E , F , à ces Leviers , l’angle XAO , qu’on fuppofe
ici infiniment obtus , rendant auffi infiniment obtus l’an-
gle RAS du parallélogramme RS , la diagonale AG de
ce parallélogramme 11e fera pour lors ( Lem. c,.part. z. )
égale qu’à la différence de fes cotez AR , AS. Donc auffi
,la charge de l’appui B , réfultante du concours des puif-
fances È, F , en équilibre entr’elles ( Hyp. ) fur lui , ne

Tt ij

■•P? **

Fie. 163.
2 <4* &c.

332, Nouvelle

fera non plus alors (part. 3.4.) qu’égale à la différence
ces mêmes puilfanees ainfi qu’on l’a déjà vû dai
Corol. 14. nomb. 1 .

i°. Au contraire dans les Leviers dont l’appui B placé
fur la droite XO , 11’y eft point entre les points X , O,:,
d’application des puilfanees E , F , à ces Leviers , l’angle
XAO , quon fuppole ici infiniment- obtus , rendant aip
contraire fon complément RAS infiniment aigu , la dia -
gonale AG du parallélogramme R S , fait fous cet angle
RAS , fera pour lors ( Lem. c,.part. 1 . ) égale à la fomme !
de fes cotez AR , AS, Donc aufli la charge de l’appui B
réfultante du concours des pnilfances-E , F , en équilibre-
( Hyp. ) fur lui, fera pour lors-( part. 3 . 4. ) égale à lafom-
me de ces deux puifiances , ainfi qu’on l’a déjà yu dans let
Corol. 24. nomb. 2.

Corollaire XX Y I IL

ï G. IÎ3.
fuivantes
jufqu’à 167.

1 La charge' de l’appui B de quelque Levier MN' que ce"
fôit , démontrée dans les précédons Corol. 11. -2-2. 2-3
24. 25. 2 6. 27. peut encore fe démontrer autrement,,
en fuppofant BD , BP , PT , perpendiculaires en D , P , Q_,
aux trois directions AX , AO : AB , & qui par- leur ren-
contre entr elles forment le triangle BPT. Car ce trian-
gle ayant ( Lem. 8 . Corol. 8 ; ) les trois cotez BT, -BP , PT ,
entr’eux comme les fînus des angles BAO4BAX, XAO,
au travers defquels , ou des compte mens def quels ces di-
rections prolongées- palferoient , l’on aura aülfi ( Cor. 2 il)
en cas d’équilibre entre les puilfanees E, P, fur l’appui 1 B
d’un Levier quelconque MN , la charge de cet appui B ,
& ces deux puilfanees E,E, entr 'elles comme les trois-
cotez PT , BT , BP , de ce triangle BPT , perpendiculaires
(Hyp.) aux- directions de cette charge &. de ces -deux
puilfanees.

G O R O L L A I R E X-XJ X.-

Par confequent chacun de ces trois cotez du triangle.
BPT ,, étant toujours moindre que la fournie des deux.au-

M F C A K r (V_U El 3.3-3-

tlfiSi tant que l’angle XAO eft fini , tous les Tiens l’étant
a ' u %P our ^ ors 5 * a c ^ iar g e de l’appui B , réfultante du
cone^irs des puilfances E , F , en équilibre entr’elles
{Hyp. ) fur lui , fera pareillement alors ( Corol. 2 8. ) tou-
jours moindre que la fomme de ces deux puilfances , 8 c
cliacune d’elles toujours moindre auffi que la fomme fai-
te de l’autre puilfance & de cette cliarge ^ ainfi- qu’on l’a-
déjà vû-dans les Corol. 22.2 5.. _

Corollaire XXX.

Mais fi l’angle<XAO fe trouve infiniment aigu par l’é-
loignement infini de fon fomrnet A , c’cll-à-dire {Lem. 6 .
Corol. i< 2 ,-) fi les directions XE , OF, des. puilfances E, F,
font parallèles en:r elles confequemment ; auffi à la

droite BA > cet éloignement infini du 'point A , rendant
pareillement les angles BAX-, BAO , infiniment aigus , les'-
trois perpendiculaires {Hyp.) BD , BP, PT, à ces trois.
paralleles-XE , OF , B A , feront alors fur une meme ligne,
droite 5 Si confequemment auffi les trois- cotez BT, BP, ■
PT , du triangle BPT , parties de ces perpendiculaires,
ou ces perpendiculaires elles-mêmes , feront auffi fur une
même ligne droite perpendiculaire à ces trois parallèles 2 ;
de -maniéré que ,«

1 °. Dans les Leviers qui auront leur appui B dans l’an-
gle XAO , ou dans Ion oppofé au fomrnet , les deux cotez
BT , BP , feront alors bout à bout fur le troifiémePT,
confondu avec eux & égala leur fomme par l’arrivée de
fon point Q_jm B. Cela feroit auffi par le nomb, 1 . du
Corol. 3 . du Lem. pi. en ce que l’angle XAO { Hyp. ) infi-
niment aigu , rend fou complément PBD ou PBT infini-
ment obtus dans le triangle PBT, ce nomb. 1. du Corol 3 V
du Lem. p. fait voir qci alors fon côté PT oppofé à cet
angle infiniment obtus , fera égal à la fomme de fes deux
autres cotez BT, BP. Donc la charge de. l’appui B , réful-
tante du concours des puilfances E , F , en équilibre ( Hyp .)
fur lui, fera pour lors ( Corol. 28.) égale à la fomme de
ces deux puilfances dans les Leviers dont l’appui fera,.

Ttiij..

F 1 «s.x 5 3.;
& fuivantcs
jufqu’à
16 %.

T î ®. 16}
16 4- 165-
166. 167.

■Sia. 153 !
ï 54- i«3-
.164. &c.

,fï

.£ 54. &C.

Kf 3 .

3 34 Nouvelle

dans l'angle XAO , a in fi qu’on l’a déjà yû dans le nonib.-
des Corol. 2 3 • 2 6 .

i°. Dans les Leviers qui auront leur appui B a/ /de-
lions de l’angle XAO, ou de fon oppofé au fommet, le cas
prefent de cet angle XAO infiniment aigu , ou ( Lem. 6 .
Corol. -1 . 2. ) des directions AX , AB , AO , parallèles en-
tr’elles , rendant bout à bout les deux cotez BT , PT , du
triangle BPT fur fon troifiéme BP alors confondu avec
eux & égal à leur fournie par l’arrivée de leur concours
T fur lui , Qjirrivant auffi pour lors en B , & confequem-
ment le côté PT fera pour lors égal à la différence des
deux autres. Cela feroit auffi par le nomb. 2. du Corol. 3 .
du Leni. . en ce que l’angle. infiniment aigu XAO , ren-
dant auffi infiniment aigus les angles OAB , PBT , BPT ,
& le triangle PBT fe trouvant alors avoir deux angles
•infiniment aigus en B , P , & un infiniment obtus en T 5 ce
nomb. 2. du Corol. 3. du Lem. 3. fait voir qu’alors le
côté BT de ce triangle fera égal à la différence de fes
deux autres cotez BP , PT. Donc la charge de l’appui B,
réfultante du concours des puiffances E , F , en équilibre
( Hyp. ) fur lui , fera pour lors ( Corol. 28.) égale à la
différence de ces deux puiffances dans les Leviers dont il
s’agit ici, a in fi qu’on l’a déjà vu dans les nomb, 2. des
Corol. 23. 26,

>C O R P L L a i re XXXI.

Au contraire , lorfque l’angle XAO eft infiniment oh-
ms , e’efi-à-dire ( Lem. 6 . Corol. 4. ) lorfque les directions
XE , OF , des puiffances E, F , font la ligne droite XO s
qui paffe par leurs points X , O , d’application au Levier
MN , & que cette droite XO paffe par l’appui B , fur le-
quel ces deux puiffances ainfi dirigées font fuppofées en
équilibre entr’elles. Alors ,

i°. Dans les Leviers qui ont leur appui B dans l’angle
XAO, fur la droite XO , entre les points X , O , d’appli-
cation des puiffances E, F , à chacun de ces Leviers , l’an-
gle XAO , que l’on fuppofe devenir infiniment obtus »,

M E C A N I QJJ E, 3 3 f

ûdaht ainfi ( T)cf. n. Corol. ) fon complément PBD ou
infiniment aigu , & les deux autres angles en P , T
ngle BPT , un encore infiniment aigu , & l’autre in-
finiment obtus j le nomb. 2. du Corol. y. du Lem. 5). fait
voir que le côte' PT de ce triangle BPT , feroit pour lors
égal à la différence de fes deux autres cotez BP , BT,
Cela feroit encore en confiderant que lorfque l’angle
PBT eft infiniment aigu , fes cotez , BP,BT,fe cou-
chent ( Lemme 6 . Corol. y . ) l’un fur l’autre , & le troi-
fiéme côté PT du triangle BPT fur l’excès du plus grand
de ces deux-là , defquels par confisquent ce troifiéme PT
ne doit être alors que la différence. Donc ( Corol. 2 8. )
dans ces fortes de Leviers la charge de l’appui B , réful-
tante du concours des puiffances E,F, fuppofées entre--
elles en équilibre fur lui fuivant des- directions qui fe-
raient entr’elles un angle X AO infiniment obtus, ne fe-
roit alors égale qu’à la différence de ces deux puiffances,
ain fi qu’on l’a déjà vu dans les nomb. 1. des Corol,
24. 27.

2 0 . Dans les Leviers qui ont leur appui B au- dehors de
l’angle XÂO , fur la droite XO , ayant d’un feul côté
les points X , 0 , d’application des puiffances E , F , à cha-
cun de ces Leviers , l’angle XAO, que l’on fuppofe de-
venir infiniment obtus , rendant ainfi l’angle PBT infini-
ment obtus par les pofitions perpendiculaires en B de BP
au défions, &: de BT au deffus de XO prolongée , & les
deux autres angles en P, T, du triangle BPT , infiniment
aigus 5 le nomb. 1. du Corol. 3 . du Lem. 5). fait voir que
le côté PT de ce triangle BPT , feroit pour lors égal à la
fiomme de ces deux autres cotez BT, BP. Donc ( Cor. 28.)
dans ces fortes de Leviers la charge de l’appui B , réfiul-
tantedu concours des puiffances E, F , dlippofées entre-
elles en équilibre fur lui fuivant des directions qui fe-
raient entr’elles un angle XAO infiniment obtus , feroit
alors égale à la fomme de ces deux puiffances , ainfi qu’on
l’a déjà vu dans les nomb. 2. des Corol. 24. 27.

E 1 a. r
16-4. &c,

*

3 3 ^ Nou v E-L H

Corollaire XX XI I.

Suivant quelques directions EX, FO, que les pujj
ces E, F, ^appliquées en X, 0 ,à quelque Levier MN que
ce foit ,-faffent équilibre entr’elles fur fon appui B plaçë
où l’on voudrai il fuit des précedeiis Corol. .2 i . z 3 • 24.
15. z6. 27. 28. 27. 3 o. 3 1 . que la plus grande charge
qui enpuiflfe réfulter à cet appui B , c’eft ( nomb.i. des
Corol. 23. 24. 2 6 . ér.nomb. i. des Corol. .2,4. .27. 31. J
d’être égale à la fournie de ces deux puiffances ; 6e que la
. moindre. c’eft ( ?wmb. i.dçs Corol. 24- 27- 3.1.,^’ mmb. 2.
des ..Corol., 23. 24. 2.d. ) d’être égale à leur différence.,
fçavoir , l’une 6e l’autre de.pes deux charges de l’appui B,
lorfque les directions des puiffances E , F , font parallèles
entr’elles ou en ligne droite , qui paffe par, cet appui con-
formément à la réflexion qui fuit le Corol. 24. Quant
aux autres directions de ces deux puiffances E,F t , les
Corol. 2 2. 2 5. 25?. font voir chacun que la charge qui
en réfultera à l’appui B , fur lequel on les fuppofe en
équilibre entr’elles , eff: toujours moyenne entre ces deux
extrêmes ,, c’.eft- à-dir.e , toujours moindre que la fournie
de ces deux puiffances , & toujours plus grande que leur
différence 5 6^ ce d’autant plus grande que l’angle RAS
fe trouve plus aigu , la diagonale AG du pat allelogr ani-
me RS en étant d’autant plus grande .par rapport à fes
cotez AR , ÀS, 6c cette charge étant alors ( part. 3 . 4. )
aux puiffances E , F , comme cette diagonale À G eff à ces
mêmes cotez AR , AS.

1(4. Scc.

RIO ROULAI R E XX XI IL

Lorfque. les directions XE , OF, clés -puiffances E, F.,
font en ligne droite XO, dans laquelle prolongée fe trou-
ve l’appitiB du Levier auquel on les fuppofe appliquées j
non feulement. la réllifance .( Hyp. ) invincible de cet ^ap-
pui alors direéteinent oppofé à, chacune de ces puiffances,
les met toûjours ( princ. gêner. Corol. 1 . en équilibre ou en

Mec an i q,u e: 3.37

30 s fur lui , quelque rapport qu’elles ayent entr’elles’j
encore ,

M c!eft par la réduction -de l’angle XAO à l’infi-
laimenr aigu , ! que les directions XE , OF., des puiftances
,E , F , fe , confondent ainfî en une fuivant XO par l’ap-
pui B i la charge de cet appui eft alors égale ( nomb . 1.
des Corol. 2 3 . 2 6 . 3 o. ) à la fomme de ces deux puiffan-
ces , quand cet appui B eft entre leurs points X, O, , r
, d’application au Levier, comme dans les, Fig. 1 53.1 54. 6 c -

feulement égale {nomb. z. des CoroL 23. z 6 . 30. ) à leur
différence , quand il 11’y eft pas , commedans les Fig. 163.

164. audi .ces deux puiftances E, F, agiffent-elles fur '

,cet appui B en même fe ns dans le premier cas , 6 c en fens
directement contraire dans le fécond.

2° Sic’eft par la réduction de l’angle . XAO à l’infini-
jnent obtus, que les directions XE, ,QF , des puiftances
E, F, fe confondent en une fuivant XO qui paffe par
d’appui B. j la .charge de cet appui n’eft égale ( nomb. 1 . des
Corot. 24. 27. 3 1 . ) qu’à la différence ,de ces deux puif-
fances, quand cet appui B eft ..entre leurs points d'appli-
cation X,Q, comme dans des Fig. 1 5 3. 1 54. & égale
( nomb. 2 . des C orol. . 24. % 7. 3 1 .) à leur .fomme , quand
îl n’y eft pas,. comme dans les Fig. 163. 164. Audi ces
deux puiftances E, F, font-elles ici directement contrai-
res dans le premier cas , & en même fens dans le fécond.

C O R O L L A I R JE X.X X I V.

Suivant le Corol. 2 S. les puiftances E ,F, dirigées à FlG . ln;
^volonté, 6 c en équilibre, entr’elles fur l’appui B d’un Le- &fuivant®s
vier quelconque MN ., font alors -entr’elles comme les i u % u ’ a ^
c.ôtez BT , BP , qui. leur répondent dans le triangle. BPT,
,c’eft-à-dir.e alors, E.F : : BT. BP. Mais le Corol. 2» donne
auffi pour lors E. F,: : BP. BD. Donc en cas d’équilibre
dans toutes fortes de Leviers , & de directions de puiftm-
ce.s , on a toujours BT- BP : : BP. BD. Par confequent en
menant la droite DP , les triangles PBT , DBP , qui ont
i'.angle commun en B , font toujours alors femblabîes en-

Vu

5 3 & Nouvelle

tr eux > & confequem mène les trois cotez DP , BP ,
du fécond DBP de ces triangles , font toujours alor/ren-
tr’eux comme les trois cotez PT ,BT ,BP , qui 1 cÿf fon
homologues dans le premier PBT. Or en ce cas d’équi-
libre des puiffances B , F , lui* 1 appui B , la charge qui en
réfulte à cet appui, & ces deux puiffances E , F, dont tou-
jours entr’elles ( Corol. i R. ) comme les trois cotez PT' }1
BT , BP , de ce triangle PBT. Donc cette charge de l’ap-
pui B , Se ces deux puiffances E , F , feront toujours aufli
pour lors entr elles comme les trois cotez DP , BP, BD,,
du triangle DBP, qui n’a que deux cotez BD, BP , per-
pendiculaires ( Corol. 2. ) à deux EX , FO, des trois dire-
cEions EX , FO , AB , des puiffances E , F , S c de la charge
de l’appui B ,. réfultante du concours d’action de ces deux,
puiffances fur lui , au lieu que ( Corol. 2. 8 . ) l’autre trian-
gle PBT à fes trois cotez. BT, BP, PT ,. perpendiculaires à
ces trois directions.

On voit que toutes les differentes valeurs de charges d’ap-
puis de Leviers quelconques, déterminées depuis le Corol.. 21 ..
jufquici, pour toutes les directions pofjibles des puiffances en
équilibre fur eux deux à deux de directions quelconques , pour-
raient encore fe déterminer par le moyen du triangle DBP »
comme l’on a fait par le moyen die fon femblable P BT dans les
Corol. 2 . 8 . 15 , 30 . 3 1 . Mais en voila a fez, , & peut-être
trop pour la quantité ou valeur de ces fortes de charges. Voici
prefentement quelles ■ en font les directions , cef-u-dire , en
quel fens , ou vers quels cotcv les appuis des Leviers en font
chargez,.

Corollaire XXXV.

On a vii dans les démon ffrations des part. 2. 3. 4.
qu’en cas d’équilibre entre deux puiffances quelconques
E , F , lur un appui de quelque Levier que ce foit , au-
quel ces deux puiffances feroient appliquées en deux
- points X , O , aufli quelconques fuivant quelques dire-
ctions EX, FO j que ce fuffent j la charge de eet appui B,
rélukante du concours d’action de ces deux puiffances.

M E C A N I C^IT E„ 3 3f

toujours être de A vers G fuivantla diagonale AG
parallélogramme RS fait de cotez AR , AS , pris
'.ire étions de ces puiffances , laquelle diagonale AG
prolongée paffe par l’appui B. Donc ,

i Èn general , quelque foit l’angle X AO compris en-
tre ces directions prolongeas EX , FO , des puiffances E ,

F, en équilibre entr’elles ( Hyp. ) fur l’appui B j la droite
menée du fommet A de cet angle par cet appui B , fera
la direétion de fa charge de A vers G , réfultante du con-
cours de ces deux puiffances. Donc auffi en particulier,

- , i°. Lorfque cet angle XAO fera infiniment aigu, c’eft-
a-dire ( Lem. 6 . Corol. i.. i. ) lorfque les directions EX,
FO , des puiffances E , F , feront parallèles entr’elles , ou
confondues en une, qui paffe par l’appui B > cette dire-
ction AB de la charge de cet appui B, encore de A vers

G, fera auffi parallèle à celles-là ( Lem.. 6 . Corol. 1. 1.)
ou confondue avec elles , & dans le fens de ces deux
puiffances E,F , fi elles tirent vers le même côté, ou
dans le fens de la plus voifine de cet appui , fi elles tirent
vers des cotez differens.

3 °. Lorfque l’angle XAO fera infiniment obtus , c’effi-
à-dire ( Lem. 6 . Corol. 4. ) lorfque les directions EX, FO,
des puiffances E , F , feront auffi en ligne droite XO , qui
paffe par leurs points X , O , d’application au Levier
MN , & par l’appui B ( Ax. 5 . ) de chacun des Leviers
fur lefquels l’équilibre ici fuppofé ferait alors poffible fur
-cet appui : la direétion AB de la charge de A vers G de
ce même appui B, fe trouvera pour lors ( Lem. 6 . Cor. 3.4.)
confondue dans cette même droite XO avec les directions
EX , FO , de ces deux puiffances E , F , Se dans le fens
( Ax. 5.) de la plus forte d’entr elles , fi elles font con-
traires l’une à l’autre , ou dans le fens de toutes les deux,
fi elles s’accordent à tirer vers le même côté.

Corollaire XXXVI.

Il fuit prefentement des Corol. 11. 22. 2 3 . a 4. 2 5 .
g.,6. l’j.xS.. .2-5?. 340. 31.32. 3 3. 34. 3 5. qu’en cas d’é-

Yuij

r 34o Nouvelle'

quilibre fur l’appui B d’un Levier quelconque MN
tre deux puiflances aufli quelconques E , F , appliquas à
quelques points X , O , qu’on voudra.de ce Levier
rigées aufli comme l’on voudra.-

i°. Tant que l’angle XAO compris entre leurs dire- -
étions EX , FO , prolongées fera fini , la direction delà:
charge réfultante du concours d’aétion de ces deux puif-
fances E , F , fur l’appui B de ce Levier , fera { Coroi. 3 5
nomb. 1 . ) de A vers G fuivant AB 3 & cette charge fera,
toujours alors ( Corot. 3 2. ) moyenne entre la fomme de»
ces deux puiflances Se leur différence 5 c’eft-à-dire , tou-
jours moindre que leur fomme , Se toujours plus grande :
que leur différence, Se ce d’autant plus grande (Cor. 2 5.).
que l’angle RAS (, égal à XAO, ou à fon complément )
fera plus grand.

2 0 . -Lorfque l’angle XAO eft infiniment aigu , cAft-à-'
diref Lem. G. Corot. 1. 2. ) lorfque les directions EX, FO/
des puiflances E , F , font parallèles entr elles ou confon-'
dues en une , qui pâffe par l’appui B ,. la direction de la
charge réfultante du concours d’action de ces deux puif-
fances fur cet appui B de leur équilibre füppofé, fera
encore ( Corot. 3 -5. nomb. 2. ) de A vers G fuivant AB-
alors parallèle à leurs directions EX , FO , ou confon--
dues avec elles en une ,. qui paflera ( Ax. 5 . ) par l'appui-
B i & foit que ces directions des puiflances. E, F , foient .
parallèles entr’elles , ou confondues en une , qui pafle par'
cet appui B , fa charge fera toujours alors ( nomb. 1 . des
Corot. 23.26.30.) égale à la fomme de ces deux puiflan-
ces E , F , ii cet appui B eft entre leurs directions ou entre-
leurs points X , O, d’application au Levier , & feulement
égale à leur différence ( nomb. 2. des Corot. 23. 26. 30.)
iorfqu’ü n’v eft pas.

3 °. Lorfque l’angle XAO' eft infiniment obtus , c’eft-à-
dire ( Lem. G. Corot. 4.. ) lorEjue les directions EX , FO,
des puiflances E , F , font en ligne droite XO , qui pafle
par les points X, O-, d’application de ces deux puiflances
au Levier MN, ôc par l’appui B( Ax. y. ) de tous les Le-

A M E’C A N I et U 1 . . 54 *'

s dans lefquëls l’équilibre fuppoië entré ces deux;*
puÆmces E , F- , feroit alors poffîble fur cet appui B 5 la. -
charg* réfultante de ; leur concours d’action fur ce même"
appui Ë de leur équilibre fuppofct'aura [Lem. G. Cor.} . 4.)
fa direction confondue dans XO avec les leurs , dans le '
fens de la plus forte d’ent-r’elles. ( Ax. 5 . ) fi elles font con- ’
traites l’une à- l’autre fera pour lors égale ( Cofol. 24-
Ÿfomb. 1. ) à leurs différences; ou fi ces deux püiffances J
E, F , s’accordent à tirer vers le-même cote, cette charge^
de l’appui B aura-pour lors ( Lient. y. Corol. z. ) fa direction. '
vers ce ecté-là dans le fens de toutes ces deu x püiffances > •
di fera pour lors ( Corol. 24. nomb. 2. ) égale àleur fournie.

EniG^y. que le Projet de ceci fut -publié , -perfonne ( que '
je fqachej ri avoit encore démontré la charge ni la direction '
des points d'appuis des Leviers -. il ne paroît pas même pu il
fait aifé'delefairepar leS principes ordinaires , où l’on ne con
dud l’équilibre entre -deux -puificypces ou deux poids , applique fq .
fi un Levier 3 que de leur égale oppoftion fi être circulairementC
enlevez l’un par l’autre autour de l’appui- fixe de ce ^Levier s ’
au lieu que c’ejlde leur accord & de leur réunion d’uchon fur ’
cet appui que l’on conclud ici cet équilibre entr eux fur cerné- ’
me appui : 'confédération- qui renferme neéejairement celle de
la charge &■ de la direction de cet appui , 'lefquelles ri entrent-
point du tout- dans les principes- ordinaires. -Cependant fans la-
donnai fiance de cette charge ifir de cette direction-' des appuis •

« des Leviers ,, 4 l y a bien des Problèmes qui on -ne f paierait ré - '
foudre : par exemple , fans là comioiffance de la direction des -'
appuis il n’efi pas po/jible de démontrer quelles devraient'
être les directions' de deux -puîffances- quelconques pour '
faire équilibre entr’clles fur quelque Levier que Ce foie-,/
dont l’appui feroit une fpliere 5 ni fur combien de points -
de-ce Levier ainfi appuyé, il feroit poilibk que ces mê-
mes püiffances fiffent équilibre en changeant feulement:
leurs directions. Il n’efi pus pofjible non plus , fians la con- "
nôijfance de la direction de la charge des appuis des Le-
viers de trouver le point d’appui de celui auquel tant de ■
püiffances qu’on voudra ioient appliquées , pour toutes-

Vuiij,.

■ 542. Nouvelle '1

les directions pofîibles dans lefquelles on les peut fupps^f j
fer 5 ni deux puilTances étant données avec leurs d wk- |
étions & leurs points d’application à un Levier, de /fou- ë
,yer quelle doit être la direction & point d’application
d’une troiliérae puiflance auffi donnée , pour que toutes
trois enfemble raflent équilibre entr’elïes fur quelque
point donné que ce foit de ce Levier , & pour quelque
direction que- ce foit de ce point d’appui. Jl en fera de mê-
me de toute autre puijfance fur les Leviers dont la folution dé-
pendra de la détermination de la, charge (f de la direction des
appuis.

Depuis 168 7 que cette réflexion fut faite dans le Projet
de ceci , il a paru une Mécanique -, dans laquelle , apres avoir
démontré que deux poids en équilibre fur un Levier droit per-
pendiculaire aux directions, de ces poids qu on y fuppofe paral-
lèles enté 'elles , & d’un appui pofé entr’eux font tou jour s l’un
d l’autre en raifon réciproque des bras de ce Levier auquel ces
deux poids font ainfi appliquez, J (jr apres avoir pafjé de-lù
aux autres Leviers , & aux autres directions des puijfance s
qui y font appliquées : on efl enfin arrivé par des fubflitutions
(f par des transformations -de Leviers , à des ra fions cornpo-
fées , qui ont enfin donné celle qui fe pre fente tout d' un-coup ici
( Corol. 25 .) & dans le .Projet de ceci ( pag. 6.1 ■ Corol. 4 . )
de la charge de l’appui a chacune des deux puijfance s qu’il fou-
■tient en équilibre entr elles. Ce. qui juflifie ce que Convient de
dire au commencement de cette réflexion-ci ^ comme on l’qvoit .
déjà dit dans la pag. 64.. du Projet de ceci: qu’il ne paroît
■pas aifé de démontrer la charge ni la direction des points
d’appuis des Leviers par lés principes ordinaires: chofes
qu’on vient de v#ir fauter aux yeux , ffi s’ offrir d elles-mêmes
somme confequences immédiates du principe qu’on fuit. ici.

Corollaire X XXV IL

Si l’on fuppofe prefentement que tous les points de cha-
que corps font chacun d’une pefanteur par tout la même,
à quelque diftance qu’il fe trouve du centre de la Terre

M E C A N F QJJ E. ' 345

ylkEquel toutes ces pefanteurs tendent toujours, & que ce
e\ps s’en approche ou s’en éloigne en fe meuvant tou-
j oit\^ para llelemen t à lui-même , c’eft-à-dire , fans tour-
ner aucunement fur lui-même , 8é en gardant toujours
une même fituation de -tous fes points par rapport à ce
centre de la Terre : les part. 3 , 4. font voir que ce corps
pelera d’autant moins qu’il fera plus près de ce même
centre.

Car fi dans les Fig. 154. 156. 158. 1 6 o.. les pefan- Fis. 15-4,
teurs des points X , O , d’un corps quelconque MN,font 1
reprefentées par des puiffancesE, F , égales à ces pefan-
teurs, & dirigées comme elles au centre de la Terre, le-
quel doit ici A j les part. 3 . 4. font , dis-je , voir que la
charge ou pefanteur qui en réfultera à ce corps MN
fera à chacune des puiflances E , F , ou des pefanteurs
qu’elles expriment dans les points X , O , comme la dia-
gonale AG du parallélogramme RS , eft à chacun de fes
cotez AR , AS , pris fur les directions de ces puiffanees en
même railon quelles. Or il eft manifefte qu’à mefure que
le corps MN, mu. parallèlement à lui-même , approchera
du point fixe A , plds l’angle RAS augmentera , 8e plus
au contraire la diagonale AG du parallélogramme RS-
diminuera , les cotez AR , AS , demeurant toujours les-
mêmes. Donc auilî plus ce corps MN , toujours parallèle-
à lui-même , approchera de ce centre A de la Terre
moins fera grande la charge ou la pefanteur qui lui ré-
fultera du concours de-celles de fes points X , O , vers le
point A. La même chofe fe démontrera de tous les au-
tres points de ce corps quelconque MN, ainfi pris deux
a deux. Donc tout ce corps , toujours ( Hyp. ) en même fi-
tuation de fes parties par rapport au centre A de la Ter-
re , quoiqu a differentes diltances de ce centre , recevra
d’impreffion ou de pefanteur vers ce même centre par
le concours des pefanteurs confiantes de tous les points
ou parties toujours tendantes ( Hyp . ) à ce centre A , fera
toujours d’autant moindre , ceft-à-dire , qu’il fera toû- ■
jours d’autant moins pefant , quoiqu’en railon differente^

■344 S "N O U V Ë L LE H

qu’il fera, plus près de ce même centre ', fa fituation oh
"difpofition par rapport à ce çentre , demeurant durepr
toujours la même. Ainli une fpliere ayant toûjoursÆê-
rae fituation de toutes fes parties par rapport au çfentre
de la Terre, quelque tour qu’elle fafle fur elle-même,
devroit toujours être , fuivant ceci , d’autant moins pe-
faute quelle en feroit plus près.

€ O RO L LA I R E XXX VIII.

Mais fi la fituation des parties du corps, MN tout att-
ire que fpfierique , changeoit par rapport , au centre de
la Terre , en faifant quelque mouvement autour d’un
de fes points quelconques B 3 quand même ce point B de-
meureroit à même difiance B A du centre A de la Terre,
ce corps MN ne laifleroit pas d’en devenir plus leger ou
plus pefant. , félon que les angles XAO ou R. AS , faits
des directions concourantes des pefanteurs particulières
■& confiantes de fes points pris deux, à deux , . en devien-
droient plus grands ou plus petits. Tout cela fuit encore
des part. 3-4.de même que le precedent Corol. 3 7-

C or © .l d aj R E XXXIX.

Au contraire , fi au lieu de directions concourantes
/des poids , on les Tuppofe à l’ordinaire parallèles entre-»
.elles , & les points de ces corps encore de pefanteurs
toujours les mêmes dans chacun d’eux 1 , à quelques di-
ftances qu’ils fe trouvent du centre de la Terre, . ou de
tout autre point auquel on fuppofât que ..chacun de ces
poids tendent j les nomb. 1 . des Corol. % 3 . % 6 . font voir
que ces poids entiers feront auffi pour lors chacun de
même pel’anteur à toute diftances de ce centre , quelque
fituation qu’ils prennent par rapport à lui : puifque lui-
vant ces nomb. 1 . des Corol. 23. 1 6 . la pefanteur ou la
charge dp chacun de ces poids , réfultante du concours
des pefanteurs particulières de toutes fes parties , feroit
alors égale à la fournie de toutes les pefanteurs particu-
lières , lefquelles fuppofées confiantes, la rendroient auffi

Me c a n î qjj e. 545

out la. même, ôc d’une direction toujours ( Corol .3 5.
mm'Jka. ) parallèle aux leurs.

Corollaire XL.

De cette hypothefe des directions des- poids parallèles
entr’elles , 6c des pefanteurs toujours les mêmes dans cha-
cune de leurs parties ou points , 8 c confequemment aufli
( Corol. '3; 9. ) de leurs pefanteurs entières toujours les
mêmes à toutes fortes de di dances de la Terre ou de fon
.centre j deux de ces poids quelconques E, P, appliquez
•en X , O , à un Levier quelconque MN ., qui n’en aurait
aucune , Se en équilibre -fur un appui B pofé entr’eux
dans un point commun à ce Levier 6c à la droite XO ,
qui joint aulfi leurs points d’application à ce Levier , de-
meurer oient toujours en équilibre fur cet appui B, quel-
que variété de lituation mn qu’on donnât enfuite à ce
-Levier , les directions ~ex ,.fcc, des poids E, E, alors en
s,f, y étant encore parallèles entr’elles.

Car puifque les directions EX ,FO , ex, fcc , fon t(Hyp.)
toutes parallèles entr’elles, fi l’on mene par l’appui B la
droite DP perpendiculaire aux deux pxemiererEX , FO,

• en D , P , elle le 'ferai aufli aux deux autres ex ,fcc , end, pi
6c les triangles tant BDX,BPQ, que B dx, Eÿa>, feront
■ici femblables entr’eux. Donc B/. B d ■. : B*. Bx : BO. BX
■ : : BP. BD. Or l’équilibre fuppofé entre les poids E , F , fur
l’appui B dans la première lituation MN du Levier , don-
ne ( Carol. <2. ) BP. BD : : E. F (Hyp. ):: : e. f Donc aufli
e.f: : B p. B d. Par confequent (.Corol. 3 ..) ces deux poids
-E , F , en e , f, dans toute autre lituation mn que la pre-
mière fuppofée MN de-ce Levier , y relieront toujours
aufli en équilibre furie même appui B.

Donc dans cette hypothefe des directions des poids pa-
rallèles entr’elles , deux quelconques de pefanteurs con-
- liantes une fois , en équilibre fur un Levier aufli quel-
c conque MN , dont l’appui B foit dans la droite XO, qui
-joint leurs points X , O , d’application à ce Levier , de-
aneureront toujours en équilibre fur cet appui , quelque

.Xx

/

iis; *vï

54 6 : Nûüvelli Jm

variété de Situations mn qu’on donne à ce Levier : cjRti
à-dire,, dans toutes les fi tuations polFibles.de ce mêr^f Le-
vier. **

La même chofe fe trouvera encore démontrée dune autre,
maniéré dans le Corol.-6.du Th . i. 3 .

Corollaire XLI.

Ainfi le point B > qui ( Corol. i.. 3 Q divife la droite DP»
& confequemment aullî le Levier droit XO ,en bras ré-
ciproques aux poids E,. F, appliquez à leurs extrémité?»,
fera ici {Défi 14.) le centre de gravité du Levier droit
XO ainfi chargé en X , O , des poids E , F , de pefimteurs-
( Hyp. ) confiantes de directions ( Hyp. ) parallèles en-
tr’elles 3 & confequemment ( Corol..} 5 . nomb. 2 . ) la dire-
ction de ce centre de gravité ou de fa charge, doit être
Suivant la droite BG parallèle à celles-là , & cette charge
( nomb. 1 . des Cor. 2,3 . 2 6. 3 0.) doit être égale à la fomme
de ces poids*

G o R O L L A I R E XL IL

Suivant cela, fi l’on imagine un corps, ou poids quelcon-
que Soutenu en repos par un de Ses points aulli quelconque,
la direction de fa pelànteur réluîtante du concours des.
pefantetirs particulières, de toutes les parties , paflànt tou-
jours ( part. 2.) par ce point d’appui ou- de lufpenfion ,
luivant une ligne ( Corol. 35. nomb. 2.) parallèle aux di-
rections ( Hyp. ) parallèles en t relies de toutes ces pefan-
teurs particulières & cette pelànteur totale du corps en
queftion fe trouvant ainfi toute réunie dans cette ligne
d’équilibre , comme fi elle feule l’avoit toute entière 5 ce-
lui des points mitoyens de cette ligne , fur lequel appuyé,
©u fufpendu elle demeurerait en équilibre ou en repos,
fera auffi celui lur le quel le corps ou le poids entier de-
meurerait de mena . en équilibre ou en repos. Or les pe~
fanteurs particulières de toutes les parties de eette ligne >
étant (Hyp. ) toujours, ici les mêmes pour chacune , ik. de
directions toutes parallèles cntr’elles j l’équilibre de cette

Mecani qjcj e. 347

ligne Te conferveroit toujours fur ce point ( CoroL
Quelque fituation qu’on donnât à cette ligne autour
de cet appui. Donc l’équilibre du corps ou du poids fe
conferveroit auffi toûjours ici fur ce point dans toutes les
Situations poffibles qu’on pourroit donner à ce corps au-
tour de ce même appui. Par confequent dans tous les
points où toutes les parties auraient des pefanteurs par
tout les mêmes pour chacune , & toujours dirigées fui-
yant des lignes toutes parallèles entr elles , il y aurait tou-
jours un point par où ce corps étant fufpendu ou ap-
puyé, toutes fes parties demeureront toujours en repos,
quelque fituation qu’on leur donnât par rapport au lieu
vers lequel il tendrait. C’efl ce point qu’on appelle d’or-
dinaire ( Défi. 14.; le centre de gravité de ce corps ou de
ce poids.

On verra dans le Corol. 8 . du Th. 1 3 . quan tel centre de
gravité fe trouverait auffi dans les poids de directions concou-
rantes au centre de la Terre , pourvu que leurs parties f oient
ainfi dirigées par des pefanteurs proportionnelles dans chacu-
ne aux differentes difiances d'elles h ce centre. Mais fi avec de
Telles directions les pefanteurs en étaient confiantes &■ toujours
les mêmes.) on va voir dans le CoroL 4 ^.de ce Théoreme-c.i
qu'un tel poids n duroit point de tel centrc. de gravités

Corollaire X LI IL

Si prefentement on fuppofe que les directions des poids
«ou des parties de chacun , concourent en quelque point,
par exemple, au centre de la Terre , & que leurs pefan-
teurs foient encore par tout les mêmes pour chacun dieux
.à toutes diltances de ce centre 3 il arrivera le contraire du
■Corol. 40. fuppofé dans le precedent Corol. 42 . c’efc-à-
dire, que ces poids ne pourront être en équilibre deux à
deux fur un même point d’appui d’un Levier pofé entre
leurs points d’application à ce Levier dans la droite qui
joindra ces deux points , que dans une feule fituation de
ce même Levier, au lieu que fuivantle Corol. 40. cet
équilibre fe conferveroit dans toutes les fituations poilù

X x i j

54S. Nouvelle

blés de ce Levier , 11 ces poids avoient des directions!
jours parallèles entr’elless
îja. 171. Pour voir le premier comme l’on a déjà vu lefécond
dans le Corol. 40. foient deux poids quelconques E, F ,,
de pefanteurs confiantes., & constamment- dirigées vers
le point A , qui loit ( E l’on veut ) le centre de la Terre ;
lefquels poids foient appliquez à deux points quelconques
X, O, du Levier MN de figure quelconque ,& en équi-
libre entr’eux dans là. fituation. MN de ce Levier fur un
appui B placé ( comme dans le Corol. 40 . ) entre ces deux
points d’application dans un qui foit commun au Levier
& à la droite XO qui joint ces deux-là. Si l’on change,
cette fituation MN de ce- Levier en telle autre mn qu’on-
voudra , quelque foit le bras abaifie Bx par rapport à
l’élevé Ba , ces deux poids E , F , alors en e , f , n’y feront,
plus en 1 équilibre fur l’appui-B i au contraire Fa baille en e
vers A , emportera toujours, l’autre , jufqu’à ce que la.
droite XO,ou.v«, qui joint leurs points d’application a
ce Levier , foit dans la droite B A menée de l’appui B au.
centre A de la Terre , fçavoir > X ou x en R , Se O ou a en.
S plus. éloigné que R du point A.

Car fi du point B on imagine BD , BP , Bd, Bp , perpen-
diculaires fur les directions X A , OA , xA , «A., l’on aura.
( Lcm. 1 y. ) BP. BD > Bp. Bd. Mais l’équilibre fuppofé en-
tre les poids E , F , fur l’appui B dans la fituation MN du
Levier auquel ils font appliquez.,, donne { Corol. 1.. ) BP..
BD : . : E , F ( Hyp , ) : : e.f Donc, auflî r./î> Bp. Bd. Par con-
fisquent le poids E en dorique leLeyier eit en mn , l 'em-
portera;! Corol. 5.) fur le poids F alors en/, & tou jours ide.
même jufqu’à ce queOX ou ax foit en B A, dans laquelle
fituation. ces deux poids feront enfin arrêtez ( Jx. 3 .

G oroU 1 . dti.prmc. gener. ) par l’appui B alors directement,
oppofé à chacun d’eux..

Corollaire XL IV.

Puifque y lorfque le Levier MN,fur l’appui B duquel les,
poids E, F, faifoient(i/p.) équilibre en. cette. iituation MN,,

M s c a n i' ojj E. 345?

afïe en mn, & ces poids en e ,/, avec des directions’
nrs concourantes en A , & des pefanteurs toujours
les normes qu 'auparavant j il en rélulte ( Corol. 43. )
e.f> Bp. B d. C’eft-à-dire- ( en prenant AB pour fmus to-
tal ) e à/en plus grande raifon que le fin us de l’angle B A<&
au f nus. de l’angle BAx ; & ces raifons devant être éga-
lés ( Corol. 1. ) pour l’équilibre entre ces deux poids c,/
fur le point B du Levier en mn. Ilefi viiible que pour cet
équilibre en mn , l’appui de ce Levier devroit être placé
en B 3 x , fur un point b , qui rendît le finus de l’angle b Am
au fmus de l’angle bAx- comme e à/ •

De forte que f ces deux poids e, /, ou ( Hyp. ) E , F ,
étoient égaux entr’eux , les angles b Au, bAx , dcvroient -
aux! f l’être entr’eux pour que ces poids de directions con—
courantes A , pufient faire équilibre entr’eux en mn fur
l’appui b 3 ce- qui- rendrait alors bx.bu:: Ax. A«. Donc
pour mettre ain fi en équilibre fur un Levier de ftuation
quelconque mn , deux poids égaux e ,f, de directions con-
courantes en A j l’appui de ce Levier devroit être placé
dans un point b qui divifât la droite xo> en deux parties
hx, b® , qui fufent en-tr 'elles comme les diftances xA ,
» A du centre A des directions de ces deux poids aux points*
x , a , de leurs applications à ce Levier»

D’où l’on voit que lorfque ce Levier , s’il eft droit , ou la*
droite x&> feroit en RS fur la droite AB , ainfi qu’il y doit
arriver (Corol. 43.) lorfque de fa ftuation MN où les-
poids E., F, faifoient-f Hyp. y équilibre entr’eux fur fon ap-
pui B , on l’aura fait palier en mn 3 l’appui A qui les y foû-
tiendroit en équilibre , feroit alors fur AB en un point /3 y .
qui avec le point R diviferoitla droite AS en trois parties-
AR , R/ 3 , | 3 S j telles qu’on auroit. alors la toute AS. AR
/ 3 S. 0 R.

Pour trouver ce point /3 fur AB , il n’y a qu’à mener par'
S, R , deux parallèles quelconques SG , RH , rencon-
trées en G , H , par une droite quelconque AG , menée-
du point A , & après avoir pris RK— RH fur HR prolon-
gée vers K , foie menée la droite GK qui rencontre AS

X x-iij.

*

m

*3 5 o Nouvelle j

en 0 i ce point 0 fera le requis ici : puifque cette conftJu
étion rendant les triangles tant SAG,RAH, que j^»G
R/3K , femblables entr’eux deux à deux , l’on aura AS
A R. : : SG. RH ( Hyp. ) : : SG. RK: :j8 S. £R. c’efU-dire
AS. AR : : jSS. /SR. ainfi qu’il etoit requis.

Corollaire XL Y.

J?I 3 . I73.

Il fuit de ces deux derniers Corol. 43.44. que fi ton-
nes les parties d’un poids quelconque non fpherique ,
étoient de pefanteurs toujours les mêmes pour chacune
À toutes diitances du centre de la Terre , auquel elles
.tendiffent toutes conff animent 3 il n’y auroit aucun point
dans ce .corps par lequel appuyé ou fufpendu ailleurs
qu’au centre de la Terre ., ce corps demeurât en repos
•dans plus d’une fituation j puifque dans quelque fitua-
tion qu’il y fût en repos fur celui de fes points qu’on vou-
dra, dès qu’on le feroit tourner fur ce point , fa partie
abaiflêe vers le centre de la Terre l’emporteroit toujours
( Corol. 43 . ) fur l’autre qu’on en auroit ainfi éloignée.
D’où l’on voit que dans la prefente hypothefe ce corps
n’aurait aucun centre de gravité pris à l’ordinaire dans le
fens de la Déf. 1 4. fuppofé , dis-je , que toutes les par-
ties fulTent chacune d’une pefanteurpar tout la même ,
& qu’elles tendiffent toujours toutes au centre de laTerre,
excepte ici la Sphere , parce que quoiqvi h distances
.différent es du centre de la Terre , elle & fes parties euffent
( Corol. 37.) des pefanteurs fucccffivernent differentes dans
la prefente hypothefe des directions des poids concourantes h ce
centres les difpofi 'fions femblables de toutes fes parties autour du
fienja rendraient toujours entière de .même pofition ou fituation
par rapport a celui- lit , quelque mouvement qui. on lui donnât
autour du fien appuyé ou fufpendu , fes parties fuppléant alors
les unes aux autres k me furie quelles auroient les mêmes pofir
tions & ks thèmes pefanteurs que celles qufquelles elles fucr
eederoient.

Il efl vrai qu en regardant les fecleurs xBx , xBX , XBe» ,
4>BO 3 OB.x, de la Sphere xXO«x , comme autant de divers

J

M E C A N F QJJ E 3 ; ' 5 f-

femblables enfr eux ,qui dans l' hypothefe du Corol .'. 4 z.
ton centres b de gravité h diflanees. égales- dus
e-entr^B de grandeur de cette Sphere ; tous ces centres particu-
liers b de gravité feraient' a la circonférence d'une moindre
Sphere bbbb concentrique a celle-là. Mais outre que nous ne
fommes pas ici dans l'hypothefe die ce CoroL. y ?. . la raifon pré-
cédente fait voir que le centre B de grandeur de la Sphere
xX«Ox , chargé de fous les centres particuliers b de gravité } ,
en feroit encore lui-même un centre commun de gravité fur
lequel appuyé ou Joâtenu ils demeureraient tous en équilibre P
pfi confequemment auff que cette Sphere feroit encore en repos
dans fout ce quelle pourvoit avoir de fituations differentes au -•
tour de fon centre fixe B. Ainfi dans la prefente hypothefe des
directions des poids concourantes aucentre.de la Terre r ou en
tel autre point qu'on voudra de l'Univers , ce centre B de gran-
deur de la- Sphere xX«Ox , en doit aujji être le centre de gra-
vité pris au fens ordinaire de la Défi. 1 y. comme il l’efi
( Corot. 4 z 4 dans l’hypothefe de ces directions parallèles en--
tr elles.

Jpuant aux autres corps ou. poids non Jphcriques , il efi h re-
marquer que le précèdent Cor. 45. ne leurrefufeun tel centre
de gravité dans la prefente hypothefe des directions des poids
concourantes au centre de la- Terre ,.ou en tel autre point qùon-
voudra ,.qu en cas que leurs changemens de pofition par rap-
porta ce point , n en apportaient point k la pefanteur ou aux
efforts de tendance de leurs parties vers ce point.- Mais le con-
traire paroît dans le Corol. 3 y. lequel fait voir que dans le
mouvement de chacun de ces corps autour du point fixe fur le-
quel il feroit en équilibre ou en repos ,. celles de fies parties qu on-
approcheroit ainfi du centre de la Terre , ou elles font fuppofées
tendre toutes , en deviendraient d' autant plus légères ( quoiqu en-
rai fion differente ) qu'on les en approcheroit davantage , efi les
autres au contraire d' autant plus- pefantes , qu on les en éloigne -
r oit alors davantage. De forte que les premières , qui fiuivantle
Corol. 43 . l' r emporteraient ici fur les autres , fi elles y confier-
voient toutes leurs premières pefanteurs pc urroienf peut-être
par cette, diminution de la- leur , & par l' augmentation de.

\

•5 5 2 N'O U V E L L E

■celle des autres , ne point l'emporter ici fur elles , & y
fer-ver toujours leur premier équilibre avec elles dam
xe qu on pourroit donner de fituations nouvelles am
point d’appui de ce premier équilibre , au corps -non fpherique
fait ( Hyp. ) de toutes ces parties -.auquel -cas ce point feroit
ici le centre de gravité de-ce corps au fens ordinaire de la Défi
14. comme lui ou un autre le feroit [ Corol. 4 2 . ) dans l'hy-
-pothefe des directions ‘des poids parallèles entr elles.

Mais il y auroit là-une-compenfation , de la jufeffe de la-
• quelle il feroit d’ autant plus difficile de s’affuren, qu'il fau-
drait pour. xe la déterminer tous les angles au centre de la Ter-
re , compris entre les directions -de tous les points ■ de chaque
-corps ou poids qui y tendraient... Cela joint d-ce que ï éloigne-
- ment des corps d’ici au centre de la Terre ,efi fi grand , que fans
erreur fenji-ble toutes les directions de leurs -parties y peuvent
être prifês pour parallèles entr' elles , > fy confequemment ( Co-
rol. 42. ) tous ces corps ou poids , de quelques figures qu'ils
f oient , pour avoir- chacun un centre de gravité au fens ordi-
naire de la Dcf. 14. Nous les prendrons donc ainfi dans l, cl
fuite, en y prenant toujours leurs directions & celles de leurs
parties comme parallèles entr elles , a moins que nous n aver*
' -tiffions du contraire»

C O R O L LAI RE XL VL

'Suivant le Corol. 42. le centre de gravité d’un corps
ou poids quelconque étant [ Défi 14.) un point de ce
,-corps, par lequel ce même corps étant appuyé ou fuf»
pendu , il demeureroit-en équilibre ou en repos dans tou-
tes les fituations poffibles autour de ce point fixe j . ce
-point y doit.être chargé {-Corol. y 6 . nomb. .2. ) de la fom-
■me des -pefanteurs . particulières de toutes les parties de
-ce corps , fuppofées de directions toutes parallèles entre-
elles ,, -comme fi ces pefanteurs étoient toutes réunies en
ce feul point , ou comme fi ce centre de. gravité avoit feul
-la pefanteur entière de tout ce poids. Donc -par quelque
■point que cé foit que ce corps ou poids doit fufpendu ,
^ar exemple,, à-un bras de Lev-ier , -ou qu’il foit appuyé

LUC

i jji

' UlJL M E C A N I QJJ E. 3 5 3

|j femlui , il agira toujours fur ce bras do Levier , comme, s’il
fe n’ÿmoit fufpendu ou appuyéque par fon centre de gra-
vité ira point où ce bras le trouve rencontre' par la dire-
.rection de ce même centre de gravité >, parallèle ( Corol.

3 G.nomb. i. ) aux directions ( Hyp.) parallèles des parties
de ce même poids.

C O RO LL A I RE XL V II.

“Cela étant , fl deux poids E, F, dêdireêtions parallèles Fig. i?a.
entr’elles , & fixement appliquées ( comme on les voit dans I7J * 176 ’
. les Fig. 174- 1 7 5 . 1 7 6 . ) à-un -Levier quelconque XO ,
dont l’appui B doit entr’eux dans la droite RS , qui pafle
par leurs centres de gravité R , S , -font en équilibre en-
. tr’eux fur cet appui B par le. moyen de là branche BGxie
Levier XO d’une piece avec elle 5 le Corol. 40. fait voir
qu’ils referont toujours en équilibre .entr’eux dans tou-
tes les fituations pofîibles de ce Levier XO autour de ce
même appui B , lequel par cenfequent ( Dcf 14. ) en
.fera ici -le centre commun de gravité, chargé {Corol. 3 6,

.nomh. z. ) de la femme de -c-es deux poids É, F,fuivaat
une direction parallèle aux leurs.

Ileft vâfîble ( Corol. 4 6. ) que les poids E,F, fixement
attachez au Levier droit XO , qui pafle par leurs cen-
tres de gravité R , S, dans la Fig. 174. n’y ont que l’effet
qu’ils auroient , s’ils y etoient fufpendus aux extrêmitez
R, S , de ce Levier .prolongé jufques-dà & qu’ainfi fai-
fant ( Hyp. ) équilibre entr’eux fur l’appui B de ce Levier
dans la iituation RS , ils le feraient encore alors fur ce mê-
me appui B dans toutes . les autres fituations pofîibles de ce
Levier.

Corollaire X L V I I I.

Mais fi cet appui B , autour duquel le Levier XO peut
tourner par le moyen de la branche BG de ce ;Le- Fia. \ 77
v-ier , accrochée à cet appui , e fl au-defTus .de -la droite 1?s '
RS , qui paffe par les centres de gravité R , S , des
deux poids E , F , encore de directions parallèles en-
Tsdelles ,& fixement appliquées a.u Levier .XO dans les

y j

\

3; <,4 Nouvelle’

Fig- 177. 175- 1 S o. comme dans celles du préced>
Corol. 47. ou qui palTe dans la Fig. 1 7 8. par les
R , S , de libre fufpenfion de ces deux poids à ce If
&c fi ces - deux poids E , F , font en équilibre entr’eux fur
cet appui B dans une fituation quelconque XO de ce Le-
vier : quelqu’autre fitnation qu’on lui donne autour
de ce point fixe B , le poids F qu’on aura ainfi élevé en /,
l’emportera toujours fur Tabaiffé E en r , jufqu’à ce qu’il
ait ramené le Levier dans la première fituation XO, ex-
cepté lorfqu’on l’aura mis dans celle ou rf fer oit parallèle
au-deflù-s de l’appui B à la première fituation RS".

Pour le voir foit par cet appui B la droite DP perpen-
diculaire en D , P, aux directions ( Hyp. ) parallèles en-'
tr’elles DR , PS , des poids E , E , ôcreneontrees en d,.p, par
les directions rd ,fp , de ces deux poids en e , /, parallèles
auffi ( Hyp. ) entr’elles &. à celles-là , & qui- rencontrent
RS , en H , K , rencontrée auffi en M par rf. Enfin de
l’appui B foit menée fur RS en N la droite BN parallèle à
ces dir eétions, laquelle fe trouve en B^,lorfqueRS eften rf

Cela fait, les triangles femblables MK/,MEIr , donne-
ront MK, MFi : : M f M r.. Or Mf Mr > nf nr. Et ( cmjir. )
nf.nr: : NS.NR : : BP. BD. Donc MK. MH > BP. BD. Or
( conftr 0 NK. NH > MK.. MH.. Et B p. Bd : : NK. NH.
Donc à plus forte raifon Bp. Bd>BP. BD. filais l’équili-
bre fuppofé. dans la fituation XO du Levier , donne
(Corol. 1.) BP. BD : ; E. F (Hyp.) : : e.f. Donc Bp, B d> e.f.
Ou f <v> Bd. Bp. Donc auffi (Corol. 5. ) le poids F en/,,
l’emportera ici fur le poids E en e dans la fituation xa> du
Levier auquel ils font appliquez j & toujours de même
jufqu’à ce que ce Levier foit revenu dans la première fi-
tuation XO de leur équilibre fuppofé, excepté lorfqu’on
l'aura mis dans celle où RS feroit au deifus de l’appui B pa-
rallèle à la fituation d’équilibre qu’on lui fuppofé ici au-
deflous de ce même point B. La raifon de cette exception
ell vifible en imaginant les fleures, de ce Corollaire-ci dans
cette autre fituation 5 puifque BD , BP , y reliant les mêmes
qu’ici , l’on y aurait encore E. F ; : BP.-BD, ainfi que le don-

/

Me c an iq^u e. 355

;;ne®CV. i .)!’ équilibré fuppofé encre ces deux poids E, F, dans
■la prfeniere lituation XOdu Levier au-deflous de l’appui B.
Par confeqttent ( Corol. 3 . ) ces deux poids feraient enco-
re alors, en. équilibre entr’eux au-deflusde cet appui B.

•Corollaire X LIX. -

Si l’on renverfe directement de bas en haut autour du
point fixe B les Fig. 177. 1 7 S . 1 7 5). 1 8 o . du precedent
Corol. 48. en forte que cet appui B fe trouve ici au-
. delfous de la droite RS , comme il était au-delfus dans
le Corol. 48. on verra ici par le raifonnement qu’on a
fait là, que les poids E , F , ne pourront faire équilibre
.entr’eux que dans une feule lituation du Levier XO ainli
place' au-delfus de cet appui B 5 & qu’en toute autre li-
tuation qu’on lui donne autour de cet appui , le poids
, a bai lié l’emportera toujours fur l’autre , jufqu’à ce que
RS foit arrive'e au-deflous de ce même appui B dans une
; lituation parallèle à la première fuppofée d’équilibre au-
tour de ce point. On laide au Lecteur le foin de renver-
ler ainli ces ligures pour ne les pas multiplier inutile-
ment. Mais s’il veut s’en épargner la peine , il n’a qu’à
imaginer les poids E , F , avec des tendances fuivant RD.,
SP , diredement contraires à celles qu’ils avoient fuivant
DR, PS, dans le precedent Corol. 48. & ainli de ces
■mêmes poids en r,f, le .raifonnement de ce Corol. 48..
■leur fera , dis-je, voir ici comme là, que lices deux poids
E, F, font eu équilibre dans la pofltion XO du Levier
auquel on les fuppofe appliquées, en quelqu’autre fltua-
tion x a qu’on mette ce Levier , l’on aura ici comme là
/. e > B d. Bp. & confequemment ( Corot 5. ) que , 1 e - poids
F alors en /, l’emportera ici fur le poids E alors en e j &
toujours de même jufqu’à ce que le 'Levier foit tombé au-
jdeflous de B dans une lituation qui y rende rf parallèle
..à la première pofltion RS d’équilibre d’abord fuppofée
dans laquelle confequemment il reliera au-deflous de B
..comme dans le Corol. 4 8 .

y.yÿ

Fig. 1T7Î
178- r/j.
180»

. - 'J-

y ’

4

\

J 5 (y N O- U y E L L E'

COROLLAX RE L.

Les deux derniers Corol. 48. 49. le peuvent
conclure autrement de ce qui les précédé. Pour cela loit
N le point de la ligne RS ,. fur lequel appuyé ou foùtenu
les poids E , F , demeureroient en équilibre entr’eux dans
une Situation telle qu'on voudra de cette ligne droite re-
gardée comme Un Levier auquel ces deux poids fe-
.r oient appliquez en 11 , S ,-par leurs centres de gravité
R , S, dans les Eigures 177. 175»- 180. ou par leurs
points R, S , de libre fufpenfion dans la Figure 178.
les directions de ces deux poids étant fitppofées parallèles
entr’elles , ce point N en fera atiffi un ( Corol. 4 8 . ) fur le-
quel appuyé ou foûtenu ces mêmes poids feroient encore
équilibre entr’eux dans toute autre lîtuation de cette li-
gne RS , & con feque mment aùffi du Levier XO auquel
ces deux poids font.fuppofez attachezou fufpendus , c’e ic-
a-dire , dans toutes les fît-uations poilible-s de Tune & de
l’autre. Donc dans toutes ces differentes Lutations la di-
rection rélultante du concours de ces deux poids E, F,
paffera toujours ( part. z. ) par ce point N , & toujours
( Corol. nomb. 1.) parallèlement à leurs directions. T
e’etl-à-dire , verticalement. Donc n’y ayant ici ( Hyp.)
d’appui ,qu’en B , ces deux poids ne peuvent ( princ, gêner.
Corol. z ) demeurer en équilibre entr’eux fur ce point B ,
queilorf. u’il fe trou vera dans la verticale qui paffera par
N , ou ( ce qui revient au même ) feulement lorfque. ce
point N fe trouvera dans la verticale qui paffera par B ,
telle cju’eft ( confrr. ) BN- dans ces figures- ci. Or il elt vifi-
ble que de toutes les fituations pofubles de la droite RS ,
ou du Levier XO autour de l’appui B , il n’y en a que deux
ou le point N de la droite RS puiffe fe. rencontrer dans la
verticale menée par ce point fixe B , fçavoir ; ,une au-
deffous de lui, & l’autre directement au-deffus parallèle
à celle-là. Doùc foit que cet appui B fe trouve au-deffus
de RS comme dans le Corol. 48. ou qu’il fe- trouve au-
deffous , comme dans le Corol. 45). il n’y a que ces deux
Situations où le Levier XO puiiiê demeurer en repos , &

I

VV Mec a n revu e. 35 7

îës’poidsE , F > en équilibre entr eux fur cet appui B y
fçavhiy , lorfque le point N de la ligne R.S fe trouvera
dans la verticale qui pallera par cet appui B , foit au-
deffous ou au-deffus de cet appui 5 & que dans quelqu’au-
tre fitsuation qu on mette te Levier , il retombera toujours
au-deflbus de l’appui B jtifqu a ce que le point N de la
droite R.S loit dans la verticale qui palTera par ce point
B, telle qu’on fuppofe iciBN; Ce qui comprend à la fois
les Corol. 4.8. 4.5».

Corollaire LL'

Suivant cela , le point N étant ici ( C-orol. 47. ; le cen-
tré commun de gravité des poids E , F , de directions
( Hyp. ) parallèles entr’ elles 3 -le Levier XO , ni ces deux-
poids, ne s’arrêteront en-équilibre fur l’appui B , que lôrf- ,
que leur centre commun de ' gravité fera le plus -bas ou
le plus haut qu’il puide être au-deflous ou -au-deffus de B
dans la verticale qui palfera par ce point : ainfi lorfque
ce centre Gommun N- de gravité ne fera- - point au plus
haut qu’il puiffe être , il retombera toujours au plus bas
dans cette verticale, où il demeurera , ■&. y retiendra le-
Levier avec les poids E, F , en équilibre entr’eux.

C O R O L LA IRE LIL

Puifqué {Corol. 47.48. 49'. 50. ) deux poids appliquez'
fixement à un Levier , ne peuvent relier en équilibre^
dans toutes les. Iltu-ations poffibies de ce Levier , que fur-
un- point qui loit entr’eux dans- la droite qui palfe par
leurs centres p'articuliersde-gravité , & qu’il y a toujours
( Cor. i t 47. ) un tel point dans cette ligne i leur centre
commun de gravité [ Déf 14. ) doit toujours être dans
cette même ligne-, & jamais ailleurs, c’elt-à-dire,. tou-
jours entr’eux en ligne droite avec leurs centres pai ticu-
liers de gravité , & divifer toujours ( Corol. 2 . 3 . ) la di-
ùance d’un de ces centres particuliers à l’autre , ou cette
ligne en railon réciproque de ces poids : de forte qirun
tel point de di-viiion de là diftance. de leurs centres par-

Y y ]1 j

y

>

A

358 “Nouvel e e j

:ticuliers de gravité , fera toujours ( Corol. fiy. & J
Je centre commun de gravité de. ces deux poids.

S

C H O L I E.

Les proprietez du Tour , du Treuil,' du Vindas & des
autres Machines qui y ont rapport, déjà démontrées dans
la Section 4. fans le fecours d’aucune autre Machine , fe
démontrent auffi d’ordinaire par le moyen des Leviers
aufquels on les réduit : par exemple , dans les Figures
•Fïs. i3î. comprifes depuis. la 1 3 3 e . jufqu’à la 146 e . inclulîvement
Vivantes de part & d’autre , on confidere MAN comme un Levier
Mçju s ji 4 s . dont l’appui e-ft en A, & aux Bras AM., AN, duquel le
poids P &c la puiflance R font perpendiculairement ap-
pliquez , c’.eft-à-dire , fuivant des directions perpendicu-
laires à ces Brasj Selon trouve par ce moyen ( Th. z i„
Corol. 1. ) P. R : : AN. AM. lorique ce poids P & cette
puiflance R. font en équilibre fur l’appui A de cette ef-
pece de Machine , ainfi que nous Payons déjà trouvé fans
le feccurs d’aucune autre dans la Section 4. Th. 15?.
Corol. 1. Se nom b. z. du Corol. 3. En réduilant ainfi en
Leviers le Tour, le Treüil, Se les autres Machines qui y
ont rapport, de prefent Th. z 1. avec fes Corollaires pour-
voit fervir de même à démontrer tout . le contenu de cette
Seét. 4. Mais auffi réciproquement; cette Seétion pourroit-
elle fervir à démontrer ce Théorème avec fes Corollaires,
en regardant au contraire les Leviers comme faits de bras
de Tour , de Vindas , &c. l’indépendance de toutes ces
Machines entr’elles , eft .ee qui m’a porté à les démontrer
idépendamment les unes des autres , le précèdent princi-
„ pe general convenant également & immédiatement à tou-

tes fortes de Machines , fans être obligé de fe forcer
l’imagination à les transformer ainfi. d’une efpcce en une
autre.

THEOREME XXII

jz n cas fi équilibre dans les Figures precedentes Th. 11.
& Cuvantes , .fi r „ . Z . .

-'ju%u'àid7. entre les puil ances E , F ,Jur l appui B du Levier quelconque

&

i 1 Mecasi Q^Ü I. J 5 f

| JvSX, auquel elles font appliquées fuivant des directions aujji
< ^ quelconques i fi dé. un des angles R ou S du parallélogramme
A RG S*-, par exemple , de l’angle R on mene RK perpendicu-
laire en K fur la diagonale AG prolongée.

I. Les efforts de ces deux puiffances E , F , fur l’appui B
fuivant Ja direction AR-ou RA , feront toujours entr eux en
r-aifon de A K a KG.

II. Chacun de ces efforts fera auff toujours k la charge de
cet appui réfultante de leur fomme ou de leur différence , com-
me chacune de leurs expreffions AK , KG y fera a la diagonale
AG du parallélogramme A RG S .

Demonstratio

N»

Part. I. Après avoir au-ffi mené SL perpendiculaire
en L fur la diagonale AG prolongée , foient appeliez K ,
h , les efforts que les puiffances E , F , font ( félon Lem. j .
part. i. ) fur l’appui B fuivant cette diagonale AG, la-
quelle en ce cas d’équilibre paffe ( Th. i i .part. 4. ) par ce
point d’appui B. Ce même Lem. 3 . 'part. x.. fait voir que
K.E: : AK. AR. Et F. L: : AS. AL. De plus la part. 3. &
le Corol. 1 . du Th. x 1 . fait voir auffi queE.F :: AR, AS,-
De forte qu’en ce prefent cas d’équilibre,

L’on aura toujours

’K.E: : AK. AR.
E.F:: AR. AS.
E.L:: AS. AL, •

Donc ( en multipliant par ordre ) K. L : : AK. AL. -Mais
lés triangles ( conjlr. ) femblables GRK , ALS , ayant GR-
—AS à caufe du parallélogramme ARGS , ont pareille-
ment AL— KG. Donc aiifli K. L : : AK. KG. Ce qu’il fai-,
loit i°. démontrer.

Part. II. Puifque ( part . 1. ) K. L ; : AK. KG. ou L. K : :
KG. AK. l’on aura pareillement iciL+_K. K : : KG+AK.
AK. fçavoir , L-fK. K : : KG-f-AK. AK: •. AG. AK. dans
les Fig. 153. 154. 155. 156. 1 5 7. 1 5 S . 15p. 1 do.
1G1 . 1 6 j. Et L— K- K : : KG— AK. AK : : AG. AK. dans;

A

- 3 - 6 °

N O U V E LL E

les Fig. .. i 6 1 . 1 6 3 . 164. 165.166. Donc la charge^.

l’appui B rélultantc de la iomme ou de la différenciées
efforts K, Lj que les puiffances E,.F., font fur luiênmê-
rne lensdans les premier.es de ces. Figures, étant — L — MG
& étant— L— K dans les autres Figures. offees efforts
K j L 5 1 ont directement. contraires. : 1 a. charge de l'appui B
réfultante du concours des puiffances E.., F , en équilibre
. ( Hyp . ) fur lui, c’e il- à-dire , réfultante.de la fomrne ou
de la différence des efforts K, L,quc.ces deux puiffances
font fur lui fuiyant une même ligne droite AB , fera tou-
jours ici à un tel effort K delà puiffmee E: : AG. AK.
..Or ( part. 1 . ) K. L : : AK. AL. Donc ( en raifon ordonnée)
, r cette charge de l’appui B fera auffi. toujours à l’effort L
. 4 e la- puiffance F : : AG. AL. Par confequent ,en appellant
B cette charge de l’appui B ,1 on apra par tout ici B. K : :
AG.AK.,& B. L ; : AG. AL. ou K. B: : AK. AG. &.L-B
: : AL. AG. ç’e 11 - à-dire , que chacun des efforts K, L,
des puiffances E ,4.5 ffr l’appui B de leur équilibre, entte-
elles , fera par tout ici à la charge de cet appui , réfukan-
te de la fomrne ou de la différence de ces efforts , comme
chacune des expreffions ( part. 1 . AK, AL ou KG, fera à
la diagonale AG du parallélogramme ARGS. Ce cju il
. àérnontrn \

C O R. O L .L A ï R E L

La part. 1. donnant K. L ::AK. KG. & les triangles
.( confir .) rectangles femblables AKR , GLS 3 & ALS,,
(SKIE , ayant ( de même que le parallélogramme ARGS)
ÂR— GS , AS— GK, auront auffi KR— LS , AL— G K ;
& confequemment , fi l’on prolonge KR jufqu’à la ren-
contre de AF en V , l’on aura ici KV. KR KV. LS : :
AK. AL: : AK. KG : : K. L. Mais en prenant AK pour le
rayon , la Déf. 1 o. fait wir que KV , KR , font les tan-
gentes desangles V AK , RAK , oudeleurs égaux ou com-
plemens FAB , EAB. Donc les efforts K, L , des puiffan-
ces E , F , fur l’appui B fuivant fa direction AB ou B A , en
oas d'équilibre entr 'elles fur cet appui, feront auffitou*

A M E C A N 1 QJJ'ï. 3<; I

; joftps entr’cux comme ces tangentes KV,KR des angles
FAB , EAB, compris entre chacune des directions AE,AF,
de ces*puiffances , & la direction AB de la charge ( TA 2 i ..
Corol. 35-) de, l’appui B de leur équilibre.entr’elles.

'C OlOLLAIRï IL

. La. part, x . fait aulïî voir que chacune de ces puiiTances
' E, F, en équilibre ( Hyp. ) fur l’appui B , contribue .à la
, charge de cet appui , lorfqu’elles confpirent enfemble à
le charger , comme dans les Fig. 154. 155. 156.157.
158. 15p. 160. 161. 167. ou de combien l’une lui
aide à foûtenir l’effort de l’autre fur lui , lorfqu’elles le
prelTent à contre-fens , comme dans les autres Fig. 162.
163- 164. 165. 1. 66, cette partie 2. fait, dis -je,
voir que .la perpendiculaire RK fur la diagonale ÂG
. prolongée , donne toujours AK à KG, comme ce que la
puiilanceEa de part à la charge de. cet appui B,eltà ce
que la puilfance F y en a dans le premier cas j ou comme
, ce que la puilfance E foûtient de l’effort de la puilfance F
fur cet appui ,. ellàce même effort de la puilfance F.

Cette part. 2. fait voir de plus que la perpendiculaire
SL fur la même diagonale AG prolongée , donne aulîî
GL à AL, en .cette même raifon 5 puilque les triangles
(■.confir. ).femblables AKR j GLS j & ALS , GKR , ayant
AR~GS.,,& AS=GR,à caufe du parallélogramme
ARGF , ont aufii GL=AK, & AL— KG.

C O R O L L A I Pv e 1 1 L

Suivant cela, & fuivant la part. 3 . & les Corel. 1. 3 5
du Th. 2 1. deux puiiTances quelconques , appliquées à
■ un Levier auffi quelconque MN fuivant telles directions
qu’on voudra , étant fuppofées en équilibre entr’elies fur
l’appui B de ce Levier ; il l’on mene de cet appui au con-
cours A de . ces directions une droite AB , .fur laquelle
prolongée ( s ? il e If necelîaire ) loit la diagonale AG d’un
parallélogramme ARGS fait de cotez AR , AS , pris fur
.ccs mêmes directions des puilianc.es E, F j . & qu’.enfuite

Z z

3*5 2 Nouvel l e .)

de fon angle R on mene RK perpendiculaire en K mr
cette diagonale^ AG prolongée : l’on aura tout à la fois ,

i°. Par la part. 3 . & le Corol. laduTh. 2 ï . les' puif-
fances E ,F , entr’elles comme les cotez AR , AS , corref.
pondans du parallélogramme ■ ARGS ; 2c chacune à la
charge de l’appui B , réfultante de leur concours , comme
chacun de fes cotez AR , AS., eft à la diagonale AG de
ce parallélogramme. .

2°. Par le Corol. 35. du Th. 2 1 . l’on aura AB ou B A , ,
en un . mot AG pour la. direction de cette charge de l’ap-
pui B. .

3 0 . Par le precedent Corol. 2 . les parties AK , KG ou
GL , LA. , de la diagonale AG prolongée entr’elles com-
me ce que les puillancesE, F, contribuent à cette charge
de l’appui B, lorfqu’elles confpirent enfemble à le char-
ger 5 ou comme ce que la puiflance E ioûtient de l’effort
de la puiffance.F , eft a ce même effort de cette puiffan- -
ce F.

Corollaire I V.

Ayant ici ( fart. 2 .) K. B : : AK. AG. Et L. B : : AL. AG, .
Outre ( Lem . 3. Corol. i.nomh. 3. ) E. K : ; AR. AK. Et
F. L : : AS. AL. la première 2c la troiftéme de ces quatre
analogies donneront (en raifon ordonnée) E. B : : AR. AG,
la fécondé 2 c la quatrième donneront 1 de même F. B : -,
AS. AG. Donc en cas d’équilibre entre les peiffances E 5
F , fur l’appui B , chacune d’elles fera toujours à la charge
de cet appui , réfultante de leur concours d’affion fur lui,
comme chacun des cotez AR , AS, font àla diagonale AG
du parallélogramme ARGS qui a fes cotez fur les dire-
ctions de ces puiffances , & fa diagonale fur. une ligne
droite menée du concours A de ces direétions fur l’appui
B, conformément à la part. 3 . du Th. 2 1 .

Tous des Corollaires tirez, de cette fartie 3 . du Th. 2 1 . pair--
voient etre pareillement déduits de ce Corol. 4.. des Corollaires-
du Th. z:. font aujf voir qu on en pourrait encore tirer de pa-
reils de celui-ci. Tout cela ejl présentement trop aifé pour s y ar-
rêter davantage.,-.

Nouvelle, Mécanique

Plan

AO

Tome, I.ptzye

Fia . /B/j

Fig ./ 56 ,

v_;

V !

A ■

r

Nou velle Mécanique .

Totne.I, pcuje.jffa.

\

% ■'&

F

bo .

Y

Nouvelle Æeccvu

- '^7 ■

Fig . ija : .

F,

V M E C A N I QJJ E 3 <î t

S ,C H O L I E.

’ Si l’on imagine les parallélogrammes re£t angles AKRYj
. ALSZ, dont les diagonales AR. , AS. , foient far les dire-
ctions AE, AF., des puillances E , F , depuis leur concours
A ; les Forces abfolues de ces puillances fuivant ces dire-
ctions , étant compofées ( Lem. 3 . Corol. 6 . ) chacune de
deux autres fuivant AK., A Y , pour la première E , 8c
fuivanc AL , AZ , pour la fécondé F j on verra comme
dans la part. 3 . du Lem.- 3 . ..que de ces quatre forces com-
po fautes , les deux fuivant A Y , AZ , totq ours égales 8c
directement oppofées entr’elles , fe détruifent ou le fou-
tiennent toujours mutuellement, 5 c que les deux autres
compofantes. fuivant AK-, AL ,Ae trouvent aufli détrui-
tes ou foutenues par la réillFstnce invincible ' de l’appiu A
placé dans leur direction . .commune AG , lorfqu’elles
. agilfeut en mêmei fens fuivant cette direction 3 ou par la
réli Itance de cet appui aidé de la plus foible , lorfqu’elles
agiffent en fens -contraires fuivant. cette même direction
AG : de forte que pour lors les compofées E , F , le font
' ..auffi toujours, & coafequemment hors d’état de faire pan-
cher le Levier MN d’aucun côté, ainli qu’on l’a déjà vu
. dans la part. 5 . du Th. . 2 1 .

LT. H E O R E M E X X I LL

Soient ' deux puijfances quelconques E , F , appliquées en X, p ÏG , l8r;
/•€>., au Levier droits MN de fituation quelconque , fuivant f & Ayantes
<■ -directions NE , OE , qui prolongées concourent, en tel point A A
. qu on voudra.

I. Si ces deux puijfances J, F, ainfi appliquées au Levier
.MK, font en équilibre entr elles fur quelque point B de ce Le-
vier, l’on aura tou joui s alors E. E : : AXy.BO. A Ox.BE.

II. Réciproquement fi ces. deux pu if] antes TE ,F , appliquées
{ comme ci- de fus ) au Levier MN ' , font, enté elles en cette
■raifon.i elles feront équilibre , entr elles fur ie point B de cc
/Levier.

Y y ij

3 * 4

< 2 : '-3

-j*

».

fl

N’ O U V B- r: L E
D E M OrN S T K A T' I O N'.'-

Part. I. Soit menée BA ; prolongée vers G 5 .& autour '
de fa partie quelconque A G , comme diagonale , foit le pa-
rallélogramme ARGS fait de cotez AR , AS , pris fur les
directions prolongées AX , AO , des puilfances E , F. Gela
fait, £ l’on y(ajôû.te par R la droiteR V parallèle àce Le-^
vier MN , & qui prolongée rencontre BG ,.OS , en K , V,
les triangles XAO , RA V 5 BAO , KAY 5 BAX, KAR , .
AKV, GKR, qu’on voit' ici ( conflr. ) femblables entrer
eux deux à deux ., donneront ÂX , AO : : AR. A Y. Et
BO. BX : : KY. KR.: : AV. GR : : A Y. AS. c’eft-à-dire, .

Ç AX. AO : : AR. AV, .
l'BQ.BX : : AV. AS...

Donc ( en multipliant par ordre ) AXxBO. AOxBX: ? :
ARxAV. ASxAV : : AR. AS. Or en cas d’équilibre en-
tre les puilfances E , F , fur l’appui B du Levier MN , l’on
aura ( Th, z 1. Corol. 1. ) toujours E.F : : AR. AS. Donc
en ce cas d’équilibre l'on aura auffi toujours, ici E. F : :
AXxBO. AQxBX- Ce qui il falloir 1 démontrer. -

Autrement. En prenant / pour la marque ou la caracte-
riftique des finus , la Trigonométrie donnera /BAO.
/ABO : : BO. AO. Et /ABX. /BAX : : AX. BX. Donc
les angles ABX:, ABO , égaux entreux , ou- compleinens
l’un de l’autre à deux droits , rendant ( Déf y. Corol. 2. )
leurs finus / ABX ,/ ABO , égaux entr’eux s l’on aura ici
( en multipliant par ordre les deux analogies précédentes)
/BAO. /BAX : x : AXxBO. AQxBX. Or l’équilibre ici
fuppofé entre les puilfances E , F , y donne .( Th. 2 1 . Cor ,
11. nomh. 1 i ) E. F : : /BAO. /BAX. Donc en ce cas d’é-
quilibre, l’on aura toujours iciE. F ; : AXxBO. AQxBX.
Ce qui il falloit encore. i°. démontrer.

Part. IÎ. Réciproquement fi l’on fuppofe ici E. F::
AXxBO. AQxBX, il y aura ici équilibre entre ces deux
puilfances E, F , fur l’appui B du Levier MN , 'auquel
elles foient appliquées comme ci-delfus. Car la confia u-

1

w

M E'C a- n i q^u - s. y h fi

ctio'n demeurant la même ici que là , l’on aura encore ici
comme là ( démonjlrat. i . de la fart. i \ ) AXxBO. AQxBX_
; : AR. AS. Donc on aura ici E. F : : AR. AS. Par conle-
quent ( Th. z 1 . f art. 6 . ) ces deux puiflances E , F , de-
meureront ici en équilibre entr’elles fur le point B du Le-
vier MN , par lequel paffe la diagonale AG prolongée du
parallélogramme ARGS , fait de cotez AR , AS , pris fur
les directions AX, AO prolongées de ces deux'puilfances •

E, F .Ce qu il fallait z°. démontrer.

Autrement. La confcruétion donnera ici ( comme dans là "•
démonftration z .dé la part, i . ) /BAO./BAX : : AXxBO.
AOxBX. Donc fuivant l’hypothefe quon fait ici de E. F : :
AXxBO. AOxBX. Ion y aura E. F : :/BAO. /BAX. Par
confequent ■( Th. 21.. Corol. 1 1 . nomh. z . ) ces deux puif-
fances E, F, feront ici en équilibre entr’elles fur l’apmi
B du Levier MN auquel on les fuppofe appliquées. Ce
qui l falloit encore z°, démontrer.

C O R. O LIAI R E ' L (

Le cas d’équilibre entre les poids E , F , fur le point B de
leur Levier XO , donnant toujours ici ( fart. i.jE.F::
AXxBO. AOxBX. Et coufequemment Ex AOxBX— Fx
AXxBO. l’on y aura auffi toujours alors BXi BO: :Fx
AX.ExAO. c’eft-à-dire, que l’appui de cet équilibre di-
vifera tou joursie Levier droit XO en deux bras BX , BO,
qui feront entr’eux en raifon compofée de la réciproque
des poids E, F. , & de la directe de leurs diltances AX r »'
AO-, au centre A de la Terre. •

COROLL Aï RE II.

Réciproquement dans la même hypothefe de la pefan •
teur de chaque poids en raifon de fa diftance au centré
de la Terre , auquel il tende toujours , deux tels poids E,

F , feront toujours en équilibre fur le point B qui divifëra
leur Levier XO en cette raifon de BX. BO Fx A X. Ex
AO. Puifque cette raifon ou proportion donnant Ex AO
xBXuuFxAXxBO , l’on aura pour Jors-E. F : : AXxBO'. •

3 66 "-Nouvelle

AOxBX. Ce qui ( part., z. ) rend toujours ici ces deux

- ">ids E j F j en équilibre entr’eux fur ce point B.

C .O R O L L A I R. E I I L

F10.1S7. Tout ce qu’on voit des .precedentes Fig.. 18 1.. rS 2.

&fumiv.es r g ^ _ 184.. 185 .,1 8 6. dans les prel'entes Fig. 1.8-7. 1 88.

Ju 511 a ' ÿ u . 1 8 t? . 1 5) 0 . 1 5) 1 . 1 5) z . demeurant les memes ici que là,
, fi l’on y ajoute BH , BL qui faflent en B. avecXO les an-
gles XBH— XAB , OBL— OAB 5

, i°. La part. 1 . fait voir qu’en cas .d’équilibre entre les
puilfances E , F , fur l’appui B, on aura toû jours E. F ; ;
BL. BH. Car les triangles femblables AXB , BXH j AOB*
BOL , réfultans de la prefente fuppolition des . angles
fXBH— XAB. , OBL—OAB , donneront AX. AB : : BX=
BH, Et AB. AO: : BL. BO. D’où réfuite ( en multipliant
par ordre) AX. AO : : BXxBL. BOxBH. Ce qui donne
AXxBQx BHtmAOxBXx BL 5 & confequemment BL.
BH : : AXxBO. AOxBX. Or, en ce cas d’équilibre des
puilfances E , F , fur l’appui B du Levier JyIN, auquel
. elles font ( Hyp. ) appliquées en X , O , fuivant des dire-
ctions concourantes en A jla part.; 1 . donne E. F : : AXx
BO. AOxBX. Donc en ce même cas l’on aura aulfi E. F : :

- BL. BH. ainfi qu’on je vient d’avancer.

2 0 . La part., z. : fait réciproquement voir que E E. F::
BL. BH. Ces deux puilfances E , F , appliquées comme
. -ci-delfus aux points X , O , du Levier MN , feront en
équilibre entr’elles fur . l’appui B de ce Levier : car la
conftruction demeurant ici la même que dans le préco-
ce dent nomb.' i.l’on aura, encorenci comme là, BL. BH :
AXxBO, AOxBX. Donc la prelente liypotùefe donnant
. ici E. F : : BL. BH. l’on y aura pareillement E. E: : AXx
BO. AOxBX. Par confequent {part. 1. ) ces deux puif-
i fances E , F , feront ici en équilibre entr’elles -fur le point
B du Levier MN , auquel on les fupp.ofe appliquées corn-
,-jme -ci-delllis.

/

0

O

F

B

••S

O

X

G

O

Fig. 177

il: B

F«7., 8 o.

1

f

J

M' ; E CA N I QJU Ev

Corollaire I

. • i<; 7 |

Pourvoir prefentement l’accord du precedent CoroW
avec lesCorol. 2.3. du Th. il dans lefquels ayant me-
né CD, BP , perpendiculaires aux dire&ions XE , OF,
des puilfanc.es E,E, l’on a vu que le cas d’équilibre en-
tre ces deux püiflanccs fur un point quelconque B de
leur Levier MX donne toujours E. F : : BP. BD. Et réci-
proquement que ce rapport rend toujours ces deux puif-
làncesE, F , en équilibre entr’elies fur cet appui B. Cela
joint au precedent Corol. 3 . fait, voir que Ion doit tou-
jours avoir ici BP. BD:.: BL. BH. quoique les deux trian-
glesPBL , DBH,.ne foient point femblables entr’eux. Pour
voir ( dis-je ) cet accord , voici comment il réfulte du

prefent Th. 2 3 . •

i°. Que E. F: : BP. BD. en cas d’équilibre entrê^S 1
puilfances E ,F , fur le point B de leur Levier MN j car
la Trigonométrie fait voir ( en prenant encore ici f pour,
la. marque des fi nus ) que AX. BX : : /’ABX. f BÀX. Et
BO. AO::/ BAO. /ABO. Ce qui (en multipliant par
ordre ) donne AXxBO. AOxBX : : /ABXx/fBAO.
/A BOx/B AX ( à caufe de /ABX“/ABO ) : : /BAO.
/BAX ( en prenant AB pour Enus total ) :: BP. BD. Or
la part. 1. fait voir qu’en cas d’équilibre entre les puif-
fances E, F , fur l’appui B du Levier MX-, auquel on les
fuppofe appliquées , l’on aura toujours E. F : : AXxBO.
AOx BX. Donc en ce cas d’équilibre cette part. 1. don-
ne auffi toujours E. F:: BP. BD. de même que le CoroL
2 .-du Th.. 2 i . ainfi qu’il le falloit 1 °. faire voir. -
2 0 . La part. 2 . fait réciproquement voir que ce ra/
port rend toujours ces deux. puilïances E,F,en équili-
bre entr’elies fur le point B de leur Levier MX. Car E
E. F : : BP. BD : :/BAO./BAX. l’égalité /A BX— /ABO
.rendra pour lors E. F : : /ABXx/B AO. /ABQx/BAX -
( en raifonnant comme dans le précèdent nomb. 1.)

AXxBO. AOxBX. Donc ( part. 2. ) les puilïances E , ■»
i jjfuppofées en ruifon-de BP à BD , feront ici en. équili— '

,' 3'6 8 N O U V E LIE

bre enti-’elles ( comme dans le Corol. 3 . du -Th. 21.) fur
l’appui B déterminé par ce rapport. Ce qu’il falloit auiH
faire voir.

C O .R O.L L A I k l Y.

Puifque {part, i.) en cas d’équilibre fur l’appui B du
; Levier MN entre les pùifTances E, F, qui ( Hyp.) y font
appliquées en X, O, avec des directions concourantes
en A j l’on aura toujours E. F : : AXxBO. AOxBX.
que réciproquement ( part. 2 . ) il y aura toujours éqùili-
bre fu r le même appui B entre c-©s deux puiffances E , F ,
tant qu’elles feront entr’elles en ce rapport : il fuit,

x°. Que E BX~BO, quelques foient AX, AQ , l’équi-
libre entre les puifTanc-es E, F., fur l’appui B , donnera
.toujo urs ( part. 1. ) E.F : : AX. A O. Et réciproquement
que clans cette hypothefe de fiX~BQ , ce rapport entre
ces deux puiiiances E, F , les mettra toujours {part. 1. )
.en équilibre entr’elles furie même appui B.

2°. Que fi AX=AO , comme lorfque le point A eft in-
finiment éloigné du Levier MN , & que ces directions
AX, AO, font çonfequemment ( Lem. G .Corol. 1. ) pa-
rallèles entr’elles j l’équilibre fur l’appui B entre les puif-
fances E , F , donnera toûjours alors ( part. 1 . ) E.F: : BO,
BX. .Et réciproquement {part. 2. j que ce rapport les
mettra toujours en équilibre entr’elles fur le même appui
B dans ce cas de leurs directions parallèles entr’clles. Tout
ceci s’accorde encore pour ce cas avec les Corol. 2. 3»
du Tli. 21.

Corollaire VI

Si au lieu des puiffances E ,-F , des Fig. precedentes, oiî
fuppofeici deux poids ou deux points pefansE, F, appli-
quez aux extrémitez X , O , du Levier droit XO fuivant
des directions XA , OA , qui concourent en un point quel-
conque A , qui foit ( fi l’on veut ) le centre de la Terre,
auquel point nous allons prefentement fuppofer que tous
les pqids tendent.

Nouvelle Meca/ucjiie

n am,J

o-ü e "

M I C A N ï QJJ E. 3 Cl

a' 0 . 'En cas d’équilibre entre ces deux poids quelcon
, ques E., F, fur tel. point B que Ion voudra de leur Levie.
XO , la part. i. fait voir que l’on aura toujours E. F"::'
.AXxBO. AOxBX.

2°. La part. z. fait réciproquement voir que fi ces
deux poids E ,,E , font entr’eux en ce rapport , ils -feront
; en équilibre entr’èux fur le point B de leur Levier XO.

3 °. Si après avoir mené B A , on fait les angles XBFFur:
XAB , OBL—OAB , le nomb. i. du Corol. 3 . fait voir
qu’en cas d’équilibre .entre les poids F, F, fur le point B
de leur Levier XO , l’on aura toujours E. F : : BL. BFL
4 0 . Le nomb. 2. du même Corol. 3 .fait réciproquement
voir que fi E. F : : BL. BFL ces deux poids E /F , feront en
équilibre entr’eux fur le point B de leur Levier XO.

Corollaire VII.

Les poids E , F , étant fixement appliquez aux extrê mi-
mez du Levier droit XO, comme on les voit dans les Fig.
1 5> 5 . 1 p 6. 1 p 7. & de directions toujours concourantes
au centre A de la Terre , fi l’on fuppofe que la p'efanteur
de chacun d’eux varie- en railon de les differentes diltan-
ces à ce centre j en forte que quelque fituation xa qu’on
donne au Levier XO , en faifant palfer les poids E, F , en
■ la pefanteur du poids E en X, foit en ce qu’il -en aura
en v , comme XA à-xA. j & que celle du poids F en O, loit
à ce qu’jl en aura en « , comme OA à -cbA : fil fuit du précè-
dent Corol. 6 . que quelques foient d’ailleurs les>pefan-
teurs d’un de ces poids à celles de l’autre ,, s’ils font en
équilibre ; entr’eux en X , O , fur le point B du Levier Xp,
iis feront encore- en équilibre entr’eux en x , » , fur le
.me point B pafie en b dans toute autre fituation x« de ce
Levier , laquelle donne par tout AvurBX , & BO.

Car en prenant encore ici E , F , -pour les pefanteurs
totales de ces deux poids en X , O , & e ,f, pour -ce qu’ils,
-en ont en x , «, la prefente hypothefe de E. e : -, AX. Ax.

m de F./:: AO. A*. donnera

„,|X AO.
A«

Aaa

.AX

; JO N o U V' E L L'E

'équilibre fuppoféen XO fur le point B , donne ( Corot -
Ë.i nomb. i . ) E. FcrAXtxBO: AQxBX (: à eaufe de BO=n

, & de BX:m£x ) î*î AXxk AOxLv. Donc aufïï - X - A ^
î AXx^tf. AQxbx* c’èft-à-diref en divifant les deux

Au

ântecedens par ^ , & les deux confeqnens par ~

Ax'xba~-Auxhx. -Par confequent ( Covol. 6. nomb. z. ) les*
mêmes corps B,, F- , .des pelanteurs ( Myp. )' variables en-
raifon de leurs diffcances au centre A de la Terre , lefquéls
étoient ( Hyp. ) en équilibré en X , O , fur le point B du - '
Levier XO, feront encore en équilibre entr’eux en .v 3 .
v . fur même point B paffé en b y de ce Levier paûe en
toute autre lituation xe>;

Go R O'L L A I R E

Si prefentement on imagine le centre A , auquel on"’
fùppofe que les poidsE , F , ou e ,/, tendent toujours , in-'
Animent éloigné d’eux j leurs dir ection s fe trou vant alors-
( Lem. 6. Corol. i.) toutes parallèles en tr elles, & les di~
fiances de ; ces poids à ce centre toutes égales entr’elles 3 -
confequemment la pefanteur de chacun, d’eux toujours
là même dans l’Hypothefe qu’on fait ici ( comme dans le
précèdent Corol. 7. ) en raifon. des diilances des poids an -
centre de la Terre j il fuit du précèdent Corol. 7. que fl
deux poids quelconques de direèlions toujours parallèles
/elles j & de pelanteurs toujours les mêmes - , font
équilibre entr’eux fur un point quelconque d’un Levier
auquel ils foient appliquez , ils fe trouveront de même
toujours en équilibre entr’eux fur ce point de ce Levier
dans toute autre fîtuation de ce même Levier , ainfi
qu’on la déjà vu d’une autre, maniéré -dans le Corol, 40.
du Th. i l.

:M E C A N I Q^ü E.

C O RO LL A I RE I X.

Donc (Corol. -j. JJ. ) un Levier droit chargé de deux
-poids quelconques à fes extrêmitez , ayant toûjours {Th.

i . fart. 6. ) .un point fur lequel ces deux poids demeu-
/ reront en équilibre entr’eux 3 il aura aufli toujours un
; point ( qui fera celui-là ) fur lequel cet équilibre fe con-
servera toûjours , quelques differentes fituations qu’on
•donne à ce Levier, foit que ces poids depefanteurs.{H)'/\)
proportionnelles dans chacun d’eux à les differentes di-
stances du centre de la Terre, auquel on les fuppofe tou-
jours tendre , ayent leurs directions concourantes , ou
( Lem. 6 . C oroL m . ) parallèles entf 'elles , .félon que . ce
centre fera Animent ou infiniment éloigné d’eux. Par
«eonfequent ce point ou appui d’équilibre perpe r *J ~
ligne droite qui. enfile- ces poids par leurs centres d
tCes particulières, principes de . leurs dire&ions , s’appel-
lant {Dcf 14. ) centre de gravite' commun à ces deux poids j
rll fuit que deux poids quelconques s- foit ( Corel. 7. ) de di-
rections concourantes. toutes au centre de la Terre avec
. des pefanteurs proportionnelles pour chacun d’eux aux
, differentes dillances finies de ce centre àlui , foit ( CoroL
:&.) de directions -toutes parallèles entf ’elles avec des pe-
fanteurs confiantes, & toûjoursles mêmes.., doivent tou-
jours avoir entf ’eux un. centre commun de gravité dans
une ligne droite menée par leurs . centres de forces par-
ticulières, fur lequel ces deux poids fixes aux extrêmitez
. de cette ligne droite inflexible & . fans pefanteur demeu-
reroient toûjours. en équilibre entr’eux , quelque vadete
de fituations qu’on . donnât à - cette ligne droite ainli
" : pour un Levier.

C O R O L L A IRE X.

Donc tout poids de l’une ou de l’autre de ees deux hy-
’. pothefes pouvant être regardé comme ain fi fait de deux
autres , ou de deux parties ainfi -en équilibre -entr’elles
fur quelqu’un de fes points , quelque fituation qu’on lui

A a ij

9 n

[ Û

Fig- t$f.
3 96.

3 7 1 Nouvelle

donne j il fuit necefTairement de-là ( Corol. o . } qu’il n'y a
point de poids qui dans l’une & dans l’autre de ces deux -
nfpothefes, n’ait un centre de gravité toujours le mêmef
ç’effc-à-dire , un point toujours- le même, fur lequel ap-
puyé ou foutenu , il ne demeurât en repos , quelque Etira-
tion qu’on lui donnât autour de ce point fixe , ainil .qu’on
l’a déjà vu dans le Corol. 4 2 . du Th. 2 1 . pour les poids,
de la fécondé de ces deux hypothefes , qui efi de poids
faits de parties toutes de pefanteurs confiantes & de dire-,
étions toutes parallèles entr’elles. .

S C H O L I Br

I. Le Corol. 7 . qui vient de donner ces centres de gra-
vité par le moyen des Corol. 8. p. 10. qui en ré fuirent ,
C.nc"’; /mcore démontrer par le moyen du Corol. il
7 edu Yii. 21. Pour cela, après avoir mené les droites AB,.
Ab , dans les Fig. ip 5. 1 p 6 . foit encore prife/ pour la
caracteriftique des fînus , la Trigonométrie donnera AO.
AX : : /AXO./AOX: :/AXB. /AOB. Et Av. Aa: : /A«v.
/A xo\: JA*>b. JAxb. Donc ( en multipliant p>ar ordre).
AOxAx. AXxA« ii'fAX.ÈxfAtob. fAQBxfAxb. Or en
prenant. E , q , pour, les pefanteurs du même corps E en
ces points y & F , /, pour les pefanteurs du même corps F
en . ces autres points , l’on aura ( Hyp. ) F./: :. AO. Aa. Et
£'• E : : Ax. ÂX, Ce qui ( en multipliant par ordre ) donne
Fx<?. Ex/ : : AOxAx : ; AXx A m. Donc on aura auffi Fx?.
Ex/: : fAXBxfAob. fAOBxfAxb(H ) „

Or la Trigonométrie donne pareillement BX. AB : :

A'.aX. fAXB-- ~- Y '^ A . x . Déplus BO. AB r: /B AO.
/ A. OB=a, . Déplus encore ba'. Ab : : fbAcn. /Au b
— A ^ X ^ A Et enfin bx. Ab--. fbAx.

Par confequent /AXB./AOB

bx

A B x/ 3 A X ABx /b AO _
EX ’ B. O

i

M E C A N I QJJ El ’ 3 7 5

feiH;- Ec ftrf. (Axb : : ifeÆéîà

T. Tl ^ •* U

BX

b o-

bx

"~Z ^tt- P ar confequènt auffi. fAM.By.fAab. /AOBx
/Arf : ÊlmÇi£i la fappofmon de RS&B

J EXAPû) BOXVX ri

bx,BO=bü , rendant BXx£a“BOxLv; : : /BAXx/BAw.
fBAOxfbAx.

Donc fùivant la préêedenté analogie H, l’on aura tou- •
jours ici Fx£:Ex/: : fBAKyfbAa.fBAOyfbAx.Or l’équi-
libre fùppofé entre les poids en E , F , fur l’appui B , donne
( 7 "A 1 1 . Corol. 1 1 . nomb. i .) F. E : BAX. JB AO- Donc-,
en divilant par ordre la précédente' analogie
l’on aura e.f: : fbAu. fbAx. Par confequent il y aim^n?
core ici équilibre fur l’appui b ( Th. z r . Cor. i i . nomb. i .)
entre les mêmes corps en e. f Ain 11 ces poids de pefan-
teurs chacun en railon de /es différentes' diftances au
centre A de la Terre, une fois en équilibre i entr’eux fini
un point quelconque B de leur Levier en fituacion quel-
conque XO , conferveront toujours cet équilibre fur le
même appui B palfé en b dans toute autre f tuation x<«
qu’.on voudra de ce même Levier, ainli qu’on l’a déjà
vu dans le précèdent Corol. 7. D’où l’on peut conclure
ici comme là , les centres de gravité démontrez- dans les
Corol. §. Ç). 10. qui réfultent de ce Corol. 7.

II. A i’occafion de ces centres de gravité , voici un
Théorème allez curieux , que j’ai vù quelque part , fuis
pouvoir mefouvenir oujeî’ai vu: je me fou viens leuf
ment que l’Auteur , après- avoir fuppqfé trois poids A ^

B , C, en rai’fon de 1 -, z , 3 , de pefanteurs confiantes, &
de directions parallèles entr’elles , placez à volonté 3 pour
en trouver le centre commun de gravité,, nienoit parleurs
centres particuliers deux droites AB , AC , qu’il divifoit
en E , D , en raifon réciproque des poids qui les termi-
naient 1 enduite, il nienoit par ces points deux autres droi-

Aaadij-

El G:î

5*74 -N O U V E L L. E

;;tes BD , CE , qui fe coupoient en G ;,il prétendait que ce
yint G étoit le centre commun de gravité de ces trois
poids. Mais comme il ne, les i'uppofoit qu’en raifon de? i ,
\t ,' 3 ,& qu’il paroiffoit ( autant que- je peux m’en fou-
venir ) vouloir toujours avoir recours à des nombres , pour
en faire la démonflration j voici le tout en general pour
des poids quelconques , fans y employer dé nombrés.

Soit donc prefentement trois poids quelconques A, B,
C, lefquels foient aufli de pefànteurs confiantes , 6c de
directions parallèles entr’elles j que ces trois poids , foient
encore difpofez comme l’on voudra. Je dis, comme cet
Auteur , que la conftruction precedente., à laquelle il
ajoute f EF parallèle à BD , donnera toujours, le point G
d’interfg dion des droites BD. , CE , pour le centre corn-
gravité de cesyrois poids quelconques A , B, C.

Car la confira dion donnant C» A : :DA. DC—

" c

Et A. B : : EB. EA. laquelle fécondé, analogie ( encompo-
fant; donne A-j-B. B : : EB-j-EA. EA : : AB. EA, : : BD. EF

A-fJi

bxda

: :DA- FA. P’où rçfulte EF' — ^

,ôc confequemment DF ( DA*— -FA ) ~D A— **

A-+B *

AXPA
A— f B °

L’on aura ici FC. ( DF — FDC )

. AXDA . AXDA

A— f*B

v-~

a — f b -f- c x a x da . gç .confequemment ( àcaufe de
A— Fbxc

PC=r ) FC. DC : :

/-+B— I CX AXD A. AXDA

* * — . - . O ■ ~ I

C

A-+B.XC

r i : : Ap* 4-B— |C. A— f B. Or les parallèles (Hyp.)
EF ,DC, rendent FÇ. DÇ : ; FE. DG ( à çaufe deEE=:

BXBD\ BXBD.

; A— f B J A— fB

DG : : BxBD. A**-FBxDG. Dope

M'e'c a n' i 'ojj- lï-

m

fC. A— +B : : BxBD. A— (BxDG. Ce qjui ( en. dL "
vî/ànt les confequens par A— {-B ) rend A— j-B— }-C. i : '
BxBD, DG, D J ou réfulte A-+B-+C B : : BD. DG. iP
( en retranchant les confequëns ) A— fC. B : : BG. DG.

. Or fuivant les hypothefes- qu’on fait ici de- DA. DC::

O, A. &des pefanteurs confiantes avec des directions pa-
rallèles de ces deux poids A -, C, le point D de leur Levier '
AC étant ( par les précedens CoroL 5. 8;- tk auffi par le
CoroL 4 r. du Th, 2 1. ) leur centre commun de gravité, -
& (Th. 21. Corol. 4 1 . ) chargéde la fomme A— {-C de ces ;
deux poids fuivant -une direction-parallelele aux - leurs s .-
qu on fuppofe auffi l’être à ce lié du poids B j le Levier BD
fé trouve ici chargé en B , D , de deux poids B , A— }-C, ■
de pefanteurs conilantes , & de directions parallèles en-
tr elles. -Donc l’analogie A— j-C. B : : BG. DG, qu l
de trouver, donne ici (fuivant les précédera Corol. 5
& fuivant le Corol. 41. du Th.' 21’) le point- G de ce
Levier BD pour le centre commun de gravité deces trois
poids A , B , C, Ce qu'il fallait démontrer.

Voila four le centre commun de gravité de' trois poids de"
pefanteurs confiantes , (fi: de directions parallèles entr elles ,
donnez. de pofition arbitraire. Voici prefe'ntement pour trouver
celui de trois poids de directions concourantes au centre de la :
Terre avec des pefanteurs pour chacun dieux en raifon des dif- -
ferentes difiances de ce centre d chacun dé leurs, centres parti-
culiers de gravité , démontrez dans le Corol. r G. du precedent
Th. 2 3 . De céci réfultera encore une autre démonfiration du
précèdent art. 1 . dans le Corollaire du Théorème fuivant,

THEOREME XXIV . -

Soient trois poids quelconques A , B, C, entr eux de pofi- fie
ieon confiante quelconque , (fi de pefanteurs qui pour chacun
deux foient en raifon . des di fiances de fon centre de gravité
( démontré dans le Corol. 10. du Th. 2 3. ) d celui T de la
Terre, auquel ces poids (fi leurs parties tendent toutes. Apres
avoir mené lesdroites AB , AG ^parles centres de gravité A s

yj 6 'Nouvelle

B , C , de- ces trois poids , foient imaginées trois proportion -
elles Ta , Tb , Te , a ces trois poids A, B , C , prifes depuis JT
jitr leurs directions AT- , BT. , CT> des deux .extrêmes Ta,
Te , de ces trois proportionnelles [oit fait le parallélogramme
S a Te, dont la diagonale ; ST. rencontre la droite ÇA en D i de
meme des deux premières Ta, Tb , de .ces trois proportionnelles
fait aufjl fait le parallélogramme VaTb ,-dont la diagonale
VT rencontre pareillement la droite AB en JS.

Je dis que le point G. de rencontre, des deux droites B D , CT,
fera le centre, commun de gravité des trois poids propofefA ,
B , C , dans la poftio.n. donnée entr eux .

-Démonstration-

I. La.- part. 6 ■ du Th. 2.1. fait -voir quelles deux poids

ipliquez ( comme on les voit ) aux extrêmitez du-
..Levier droit AC feraient équilibre entr’eux furie point
D de ce Levier j & confequemment ( Th. % 3 . Corol. ç) . )
que ce poids D feroit leur centre commun de gravité , du-
quel la. charge feroit ( Th. à, 1 . part. 2- 3 . 4. ) de D vers T
fuivant la diagonale ST du parallélogramme SaTc , 5 e à
. chacun de ces deux poids A , C , comme cette diagonale
TS à chacune de leurs proportionnelles Ta , Te.

On verra de même (Th. 1 1 .part:. 6 . ) que les deux poids
 , B ^appliquez ( comme on les voit ) aux extrêmitez du
Levier droit AB, feraient équilibre entr’eux fur le point
E de ce Levier 5 & confequemment ( Th. 2 3 . Corol.. c,.)
que ce point. E feroit leur centre commun de gravité , du-
. quel la charge feroit ( Th. z 1 .part. z. 3.4.) de E vers T
-fufvant la diagonale .VT du parallélogramme VaTb , 8 c
d chacun de ces deux poids A , B , comme cette diagonale
.VT à chacune de leurs proportionnelles Ta , Tb.

I I . Concevons prefentement deux autres parallélo-
grammes, dont le premier, foit S T» A , fait des proportion-
nelles (art. 1 . ) Tb , TS , au poids B : & à la force rëfultan-
,te du concours des deux autres A, Ci 8 c dont le fécond
.foit VTeZ fait des proportionnelles ( art. 1 . ) Te, TV , au
.poids C , &àla force réfultante du concours des deux au-

:f.i’ ' M e ca N i cvu '£. '3 jj

- très poids A , B. Le Corol. i o . du Lem. 3 . fera voir dans
le premier ST^R de ces deux parallélogrammes , que
i’impreffion ou la force réfultante du concours de dès
trois poids A , B , C , fera de R- vers T fuivant la diago-
nale RT de ce parallélogramme , laquelle fera à cha-
cune des proportionnelles de ces trois poids , comme cette
force à chacun d’eux > &c dans le fécond VTrZ, que cette
impreffion ou force réfultante du concours des trois mê-
mes poids" À, B, C, de pofition ( Hyp.) confiante entre-
eux j fera auffi de Z vers T fuivant; la, diagonale ZT de
cet autre parallélogramme , laquelle fera de même à cha-
cune des proportionnelles de ces deux poids comme cette
force à chacun d’eux : d’où l’on voit que ces deux dia-
gonales RT , ZT, doivent ici fe confondre en .une , qui
fera la direction vers T de toute la force réful|^jgJÙL
concours des trois poids A , B , C j les points R , Z", ic
confondre auffi en un feul.

III. Donc ( princ.gemr. ) le plan mobile BAC , dans le-
quel les centres de gravite' de ces trois poids A. , B , C,
font fuppofez fixement placez , demeurera immobile , &
eux en équilibre entr’eux fur le point G-, où ce plan eft
traverfé par cette direétion RT de l’impreffion ou force
réfultante ( art. 1 . ) du concours de ces trois poids. Or
des deux droites BD , CE-, qui font dans le pla'11 BAC des
. centres de gravité A , B , C, de ces trois poids , la pre-
mière BD étant ( conjlr. ) dans le plan ST£ du parallélo-
gramme STAR avec fa diagonale RT , & la fécondé CE
étant auffi \ conjlr.- ) dans le plan VTc du parallélogram-
me VTrZ avec fa diagonale ZT , ou ( art. z . ) RT ; ces
droites BD ; CE, doivent rencontrer toutes deux cette O
reclion R-T au point G , où elle traverfe. le plan BAC
des centres de -gravité des poids. Donc ce plan avec ces
trois poids, doit auffi demeurer en équilibre fur un appui
placéau point G , où ces deux droites BD ,:CE, fe rencon-
trent.

T V. Or quelque nouvelle fltuation qu’on donne à ce
•f pan mobile , ou à ces trois poids A, B-, C . de pofition

B b. b

; 100 .

" ]f

378 N OU V E L L E

( Hyp. ) confiante entr’eux, le point d’équilibre D (art. ra)
L des deux poids A , C,fur leur Levier AC , & celui É
l. 1 . ) des deux A , B , fur leur Levier AB , feront ( Th „ ~
i^.Corckl.j. ) toujours les mêmes. Donc le point G de
rencantre des deux droites BD 3 CE , &d’équilibre(^.3 .)
en. re ces trois poids A , B , C , fera aufîi toujours le me- -
me j 6c confequemment ( Déf 14. ) .ce point d’in ter fe--
cl ion G des droites BD, CE, fera le centre commun de
. gravité de ces trois poids A , B 3 C. Ce qté il falloit démontrer* .

Corollaire.

Si l’on prend prefentement A, B , C , pour les mafles
des poids appeliez jufqu’ici de ces noms , & encore leurs
dillances AT, BT, CT-, au centre T de la Terre , pour
ftrs de chacun de leurs points ou parties éga-
rées poids appeliez jufqu’ici A , B , C , pour abréger,
feront ici AxAT, BxBT, CxCT.

Cela étant , fl l’on, fuppofe- prefentement le centre T de
la Terre infiniment éloigné de ces poids de dillances fi-
nies entr’eux , en forte que {Déf. 1 1. ) tous les angles en
Tfoient infiniment aigus , 6c leurs complément ( à deux
droits ) en a , b , c, infiniment .obtus 5 ce cas rendant [Lem*
6 . Corol.r.) les droites AT-, BT, CT , VT;, RT, ST -,
toutes parallèles entr elles-, 6c les terminées, en#, b, c ,
confondues ( Lem. è.Corol. 3. ) avec aA ,-&B, cC 5 le tout
comme dans la Fig. 200. Alors les dillances AT, BT,
CT, qui expriment ( Hyp.) les pefanteurs des parties des
poids AxAT , BxBT, CxCT, au centre T de la Terre , fe
trouvant toutes égales entr’elles ; ces poids feront alors
" ^directions toutes parallèles entr’elles , 6c ce pefanteur.
confiante , qui les rendra pour lors en raifon de leurs
maffes A , B , C : ainfi les points E , D , d’équilibre {art. 1 .)
de ces poids deux à deux fur leurs Leviers droits AB,
AC , divifant alors ( Th. 2 i. Corol. 13.) chacun de ces
Leviers en raifon réciproque des deux poids appliquez à
fes extrêmitez 5 le prefentTh. 24. fait confequemment
voir qu’en divifant ainfi ces deux Leviers AB , AC, par

M e c a -n ï qjj êI 375

deux droites CE , BD , le point G d’interfeéfcion de ces
deux droites fera encore ici le centre commun de gravi-
té des trois poids quelconques A , B , C, de pefantei
confiantes , & de directions parallèles entr’elles , ainfi
qu’on l’a déjà vu d’une autre maniéré dans l’art. 2. du
. Schol. du Th. 2 3 »

D E F I N I T 1 o n XXIV.

De piufieurs forces ou pui-lfanc-e-s appliquées à un Le-
•yier, j’appei-1 & contraires celles qui tendent à lui donner

■ des mouvemens contraires autour de fou point fixe j &
rtmffimntes entr’elles , celles qui tendent à le mouvoir en
. même fens autour de cet appui , foie que les points d’ap-
plication des conspirantes de chaque part , îoient tous,
ou non, du même côté de cet appui. Suivant ees noms
les puiîfances M,N, qui dans les Fig. .201. xW

. tendent chacune à faire tourner de bas- en haut le bras
B G du Levier AG autour de fou appui fixe B , feront ap-
vpellées ■conjgiramtes en-tr 'elles, de même les puiîfances O s
. P, ÇL, qui tendent chacune à faire tourner de haut en
bas ce bras BG de ce Levier autour de ce même appui
. B , feront au fil appellées c-onfpirantes entr’elles : mais ces
deux mouvemens étant contraires entr’eux, ces -trois p-uif-
fances O , P , Q^, feront appellées contraires aux deux au-
tres M)N.,& ces deux-ci aces trois-li. Les Momens ( Mo-
: nienta ) de ces puiîfances feront aufiî appeliez confpiratis
ou contrains , félon que. ces puillanc-es le feront. Enfin la
fournie des Mowmzscoïiipirzns d’une part, fera. aufiî ap-
peli ée. contraire à celle des çonfpirans.ea fens contraire de
l’autre part.

Il eft cependant à remarquer qu’on n’appelle ici con~
,'traircs les forces ou leurs momens , qu’à rai ion des mou-
f vemens contraires , que ces. forces. .féparément . pri-fes cau-
.vferoieut -au Levier autour de fon .appui 5 puifque. con-

■ courant toutes enfemble , /elles. conspirent -& le rédui-
sent toutes- {princ. gêner. ) à une feule contre ce Levier , s
' 4 e quel demeurera . en repos , ou non , &: en confequence

■ .Bbbij

Fis. ioi',

tOl» -40J.

STïdS. 10 f.
gaz. 2.0.3»

#

3 8-0 N O U V E L L .£'

toutes ces «uiflances en équilibre , ou non , félon que k
direéhon ae cette force réfultante de leur, concours pa£~
Tra 5 ou non j par l’appui de ce Levier.

THEOREME XXV,

Tant de puijfances qu on voudra M , N, O , P ,
étant appliquées en autant de points A , C , E , H , G , ffc,
d'un Levier quelconque AG fuivant des directions quelcon-
ques en un même plan s du concours Vde celles HP , GJfy de
deux quelconques P , £)-j de ces puijfances , [oient prifes fur
ces deux directions HP , G-JjH, des parties FR , VS , propos
tionnelles a ces deux puijjances P , Jfj apres en avoir fait
le parallélogramme FRKS , dont la diagonale KF 'prolong ce
rencontre le Levier en À , & en T la direction OE prolongée
Vfance . O s fur ces deux lignes T\ , TO , J oient pris
Tl— F K , & T. Z. FR :: O. P . De même après r avoir fait le
parallélogramme TTXZ , dont la diagonale TX prolongée de
part & d’autre rencontre le Levier en F , & en |3 la direction
NC prolongée de la puijfance Ni fur ces deux lignes p>F,.fZC s
foient prifes (ly'zr.TX , & jgg-. FR : : N. - P. De mime encore ,
apres avoir fait le parallélogramme jSecfy , dont la diagonale
prolongée rencontre en D le Levier prolongé , & en L la
direction prolongée AM de la puijfance Mi fur ces deux lignes
$>L , AL , prolongées foient prifes Lty—fiS , & L*>. FR : : M.F-,
Et toujours de même jufqu k la derniere de tout ce qu il pour-
rait y avoir ici dé autres puijfances , defquelles on dira ce qu on
va voir des. cincj qu on y voit , defquelles. la derniere étant
M, je dis,

' Jfue fi des cotez, L» , qu on vient de déterminer, on fait

parallélogramme xS/oi , dont la diagonale IL prolongée
vers le Levier , le rencontre en B s un appui fixe- en ce point R
du Levier , foutiendra en - équilibre entr elles toutes les cinq
puijfances M , N, 0 ,.P , qu’on fuppofe ici appliquées k ce

Levier.. .

IL Réciproquement s’ il y a ici équilibre fur l’appui B entre
les cinqpuiffances qu on y fuppofe données^ de directions don . r

M £;C • a- n r evu s; 381

nées >'■$* "diagonale prolongée LI du dernier L§Io> des quatre
parallélogrammes qu on voit ici ,pajfera par cet appui B.

II I. La charge de ce-t-appui-B’réfultante du concours d’ action-
de toutes les puiffances > fera dirigée de B suer s 1 fuivant\ la
diagonale LJ du parallélogramme 1^1 ci. - ■ - : :

I V. Cette charge fera a .chacune dé ces puiffances M, N'^
0,P comme cette diagonale LJ d chacun des cotez Lee,
Ç>i,TZ , FR , VS , que les parallélogrammes L$Iu , jSeJV',
]SZXY, FR: ICS , ont fur les directions de ces puiffances.

V. En ce cas d’ équilibre fur l’appui B du Levier A G ,fi.dê
ce point B on mene fur ces directions prolongées AM, NC ,
MO , PH, GjH, autant de perpendiculaires B 3 . , Bc, Be , Bh ,
B g , qui les rencontrent en à , c , e , Il ,'g ,l’on aura toujours
My.B&M r Ny.Bc~OxBe—\-Py.Bh-- J t-JgY : :Bg.

V l. Réciproquement fi l’on, a ici J\jxBà--f-N}<Bc— Ox.Be
— I-jPx5.1i*-4^x5g , il y aura équilibre, fur /’ appui
les cinq puiffances M , N, 0, P , JF, quon y fuppofe données
fy de directions- données AM , NC ' EO , PH, JjG , aufqueh
les on fuppofe auffi que .Sa , Bc , Be, Bh , Bg ,font pcrpendiçu\
laires, .

Démonstration,-

Part. I. Ayant ( confir.) la pui-ffance P à chacune des
■quatre autres Q^, O, N, M, comme lecôté VR que le
parallélogramme VRKS a fur la direction PG prolongée
de cette ptriffanceP , eft à chacun des cotez V R, TZj fit ',
La , que ce parallélogramme & les trois autres quonvoitl
ici-, ont fur les directions de ces quatre autres puiffances
Q__, O , N , M 3 ces, cinq lignes VR , VS ,TZ’, fis , L (i> •„
font proportionnelles à ces cinq puiffances P , O, K^f.

Si prefentement on appelle A l’effort réfultant du con-
cours des puiffances P , Çfq F, le réfultant du concours
de a & de la puiffance O j D , le réfultant dit concours E
& de la puiffance N 3 & B , le réfultant de D & c!e la puif-
.lance M : les : proportionnelles precedentes jointes aux
fuppofitions faites- d’abord de TY~.VK, ( 2 ytrtTV ,, Lô=tt
0 .P-Î donneront ( Lem . py. Co'rol. i. nomb. 1. z.) l’effort &

• jB-bbiij

-38-1 'Nouvelle

( réfultant du concours des puiffances P , Q_, ) de' Y vers
K fuivant VK ,&A.P r: VK. VR ( confir. ) : : T Y . VR.

forte qu’ayant ( confir. ) P. O : : VR. TZ. l’on aura
auffi ( en raifon ordonnée ) a. O : : TY. TZ, Par confo-
quent l’effort F réfultant du concours de l’effort x & de
làpuiffance O, c’eft-à-dire , du concours des trois puiüan-
Ces P, Q_, O , fera de meme de -T vers X fuivant TX,
& à là puiffmce O : TX. TZ. De forte qu’ayant [ confir.)
0. P : : TZ. VR. & P. N : : VR. /2e. l’on aura auffi F. N : :
TX. (Sg ( confir. ) : : &y. 0e. Donc par la même raifon l’ef-
fort D refol tant du concours de l’effort F &c de la puiffan-
. ce N , c’efi-à-dirè , du concours des quatre puiffances P,
Q , G , N, fera de ,8 vers à' fuivant (àS 1 , & à la puiffimce
N: :'0L. 0e. De forte qu’ayant ( confir. ) N. P : : 0«. VR. &
^dP j^^yR. La. l’en aura auffi D. M : : 0<A. L« ( confir. )
Donc par la même raifon encore l’effort B ré-
^ fultant du concours de l’effort D &c de la puiffance M }
c ’elt- à-dire , du concours des. cinq puiffances P,Q,0 ,
N , M , fera de L vers 1 fuivant la diagonale LI du pa-
rallélogramme L0fo. Donc enfin ( princ.gen. Corol. 1 . ) ces
cinq puiffances forpnt.cn -équilibre entr’elles fur un ap-

• pui fixe placé au point B , où cette diagonale LI proion-

• gée rencontre le Levier. Ce qfiil fallait 1 °. démontrer.

Pa Pv-T. If. Pour l’équilibre fur l’appui B entre toutes les
puiffances qu’on fuppofe appliquées au Levier AG , il
faut ( princ.gen , Corol. z. ) que cet appui B fe trouve dans
la direction de l’effort réfultant du concours d’action de
. toutes ces puiffances. Or fuivant la démonftration delà
part. r. la direction de . cet effort commun eff ici de L
H y u s I fuivant la diagonale LI du parallélogramme LOI®.
Donc en cas d’équilibre entre toutes ces .puiffances M ,
N, O, P, Q^, fur l’appui fixe B du Levier auquel on les
: fuppofe appliquées 5 cette diagonale LI prolongée paffera
.par cet appui B. Ce efit il falloit z° . démontrer.

Part. III. Suivant la démonftration de la partie 1 .
•tout ce que les puiffances M , N O , P , Q_, font en-
.ferable d’effort fur ,1e Levier AG , fe réduifant à leur

M' E C ANS' CffU Bî 3 7 j

effort commun de L vers I fuivant LI i & l’appui fixe B
placé dans cette direction ou ligue prolongée , foûtenant
(Jx. ■} . ) cet effort tout entier qui ( Béf n.} en fai.
toute la charge •. c’eff une confequence neceffaire que la
direction de la charge de- cet appui fixe B foit ici de L
vers I fuivant LI diagonale du parallélogramme L 0 I». Ce
quilfalloit 3 0 . démontrer.

Part. IV. Suivant la démon fixation de la partie 1.
l’effort D non feulement réfulte de /3 vers # fuivant ( 3 <f >
du concours des quatre puiffances N , O , P , Q^, mais en-
core efi: à la puiffance M : : L8. Lw. Donc ( Lem. 3 , Cor. 1 i
nomb. 1. ) l’effort B , qui fuivant la démonffratioii de la
partie 3 . efi: la charge de l’appui de ce nom , réfultante
du concours de cet effort D & de cette puiffance M -,
o’eft-à-dire, du concours des cinq puiffances IOLO,
P , Qp, efi: à cette puiffance M , comme la diagQna.ienq?aï?
parallélogramme LgL efi: à fon côté correfppndant-La *
ou ( ce qui revient au même ) B. M : : LL- L®. Mais {confir.)
M. P : : Lw- VR. Donc auffi ( en raifon ordonnée ) la char-
ge B. P : : LL VR. Or ( confir. ) la puiffance P efi: à cha-
cune des quatre autres Q^, O , N , M , comme le côté
VR du parallélogramme VRKS efi: à chacun des cotez
correfpondans VS , TZ,) 2 « , Lw, de ce parallélogramme
& des trois autres TZXY , jSecAy, Lwl 0 . Donc ( en raifon
ordonnée ) la charge B de l’appui de ce nom , réfultante
du concours des cinq puiffances propofées M,N, 0 ,P>
CL> eff à chacune de ces puiffances , comme la diago-
nale LI du dernier Laid de ces parallélogrammes, eff à
chacun des cotez La, /Se , TZ, VR, VS , que tous ces
parallélogrammes ont lurles directions de ces puifîancN"
Ce qu il f allô it 4®. démontrer .

P a R. t. V. Il faut ici le fouvenir que dans la conftru-
étion faite dans l’énoncé du prefent Th. 2.5. on a pris
LôxxBa , $y“TX , TY—VK : cela joint au Corol. iff
du Lem. 1 6 . donnera LwxB a {Lem. 16. Corol. 1 . nomb. 4.)
t=L8xBrf~^xB^ ( Lem. 16. Corol. 1 .' nomb. 1 . ) — j 3 #x

£/— , 3 fex B jâ ê x B t—fiT X x B/( Lem. 16. Cor.ï <mmb,i *)■

§4 , ' N O Ü y E L'L'E

13 exBf'H'TZxBf— ■ f , TYxBfcr>-q3 ixBr-^TZxBé* 5 **!*
YKxB/ ( Lem.iG. Corol. i.,mmb. i.) :=• — j3exBc — |-TZx
' e— +-VSxB ( fp-fVRxBA Donc LwxBtf^jSêxB^TZxlL
pfr^- VSxB^— h VRxBA

P. M : : VR. L*-

■ Or ( corijlr. ) ^

P. N : : VR. j 3 e-

P. O : : VR. TZ-

P. Q. : : VR. YS=:

MX V R, o
P

NXVR.

-O x v R.

p

QXVR

011c en fubftituanc toutes ces valeurs de L& , H , TZ ,
Y S ? dans la derniere équation qui précédé ces analo-

(, r t MX V.R X B ^-rf-lx VRXBf

. fries , elle le changera en : — cr

Rxft Donc auffi œnml ,
-P

p

tipliant le tout par- — .Ton aura enfin dans le cas d’é-
• 1 vit

quilibre ici - fuppofé , MxB^— pNxBÉ-^cOxBe— j-QxB^
*■- f-PxBê. Ce qu il fallait 5 démontrer.

Part. YI. Je dis réciproquement que fi MxB^—b*
NxBetrtOxBtf-r-f-QxB^— f~PxBf , il y aura équilibre fur
le .point fixe B du Levier AG entre les puiflances M,N S
^ , P, Q^ , qu’on lui fuppofe appliquées. Car fi elles ne
demeuraient pas ainfi en équilibre toutes enfemble fur
cet appui fixé B , il y en aurait quelqu’une d’elles , par
exemple j, M, qui feroit trop grande ou trop petite pour
cela. En ce cas ( tout le relie demeurant le même ) foie
quelqif autre puiiTanceT* fubftituée à -la place de M, &
qui tirant- le cordon AM de celle-ci vers le même côté,

. &-fuivant-la même direction qu’elle , demeure en équili-

Y-Ce

Mec an i qjj e. 3 § $

'Ere fur ce même appui B avec les quatre autres puiflan-
ces N, O', Pj’* Q^j aurquelles on n’ait rien changé. En
ce cas d’équilibre fur cet appui B entre ces cinq puiffan-
ces > N , O , P , Q^_, dirigées ( Hyp. ) comme les cinq
M,N, 0 ,P, Q., & en même fens quelles : la part. 5 .
donnerait AixB^— bNxBc— OxBt-dQxB^— fPxBê. Mais
en cas d’équilibre fur ce même appui B entre les cinq
dernieres ainfi dirigées , la même part. 5-. vient de don-
ner aulïï MxB^—fNxBmOxBf— fQxB^-fPxBh. Donc
-on aurait alors ^xB^t=MxB^ , c’eft-à-dire, ^ — M. Par
■confequent puifque ( Hyp. ) la puiffance ia feroit ici équi-
libre fur l’appui B avec les quatre N , O , P , Q^j la
puiffance M rendue à Ion cordon AM au lieu de Cette
puiffance y. , &: dirigée ( Hyp. ) comme elle , & en même
fens, demeurera de même en équilibre avec ces quatre
.autres puiffances N, O, P , Çf_, fur le même b*

Donc li MxB^— +NxBr=;OxBfH‘QxB ( g , --+PxB/7, iîyau-
?ra équilibre fur cet appui fixe B du Levier AG entre les
cinq puiffances M , N , O , P , Q__, qu’on -lui fuppofe ap-
pliquées. Ce gu il falloit 6 °. démontrer-.

Corollaire I.

Les produits qui compofent les égalités des part. y. 6 .
exprimant ( Déf ?, 2. J les forces relatives ou Momens .
:( Momenta ) des puiffances qui s’y trouvent multipliées
chacune par la diftance de fa direêtion à l’appui B du
Levier AG , auquel elles font appliquées , & ce qu’on y
vient de voir des cinq precedentes puiffances M , N ,
O , P, Q^_, convenant de même à ce qu’on voudrait en
fappofer d’autres quelconques appliquées à ce Levier
quelconque, &: de direélions à volontés

1 La part. 5 . fait voir qu’en cas d’équilibre entre
toutes ces puiffances fur l’appui du Levier auquel on les
■fuppofe appliquées , les fommes contraires de Momens en
feront toujours égales entr’elles, c’eft-à-dire ( Déf. zy. )
•que la fomme de leurs momens confpirans à faire tour-
ner le Levier en un fens fur fon appui , fera toujours

?-*■-

V

3.8(5- Nouvel-L'Ev:

alors égale à la fomme des confpirans à Iq faire tourner
en fens contraire fur cet appui ., ainfi qu’on l’a déjà vâ^
J -<ns le Corol. 51 ..du Th. 2 r . .

i°. La parc. 6, fait réciproquement- voir que îôtfque
ces deux, fommes de, Mo mens leront égales entr’elles, iL
y aura toujours équilibre entre toutes ccs pu illances fur
l’appui fixe du Levier auquel on les fuppofe appliquées , 1
a in fi qu’on l’a au flj déjà vu dans le Corol. p,. du Th. 2. i » ,

C O R O L L: AIRE I L

Fr g. ioi.

10 lo

Cela étant., on voit qu’en cas d’équilibre entre plufieurS i
p.uifiances fur l’appui fixe d’un Levier quelconque , on
peut en changer à fon gré les directions & les points d’ap-
plication à ce Levier , même d’un côté à l’autre de l’ap-._
que, ces pu.ifiances. ceffent de faire équilibre
e.ntr’elles fur ce Levier mobile autour de cet appui , pour- .
vu ( Corol. 1. mm b. ?. . ) qu’on , les y . applique fuivant des ,
directions & vers des cotez qui rendent toujours leurs
fommes contraires de, Momens égales entr’elles. D’oix il ;
fuit que toutes ces puilfances quelconques, en quelque
nombre quelles foient , peuvent demeurer en équilibre
entr’elles fur même appui de ce Levier quelconque. •
fuivant une infinité de directions en une infinité de points ,
d’application à ceLevier.-

C’eft pour cela que nonobfiant le pafiage du point C :
d’application de la puilfance N d’un côté à l’autre de l’ap-
pui B dans les Figures 10 1. 202. en la faifant tirer -
dans une de ces Figures vers un côté oppofé à celui vers ,
lequel elle droit dans l’autre, & fuivant une direction , ,
'"dont la di fiance a l’appui B foit égale à celle de cet ap- _
pui. à l’autre direction qu’elle avoit de l’autre côté de lui , ;
cette puilfance N , qui aura encore ici ( Déf. 11.) le mê--
me Moment, qu’auparavant, & de même des autres puif-
fances M , O , P , ÇF , aufquelles ( Hyp. ) on n’a rien chan-
ge, fera encore ( Corol. 1. nomb. 2. ) équilibre avec elles
fur le même point d’appui B qu’auparavant : puifquede

P la

11 . 0 , 7 ,

Nou velle Mécanique . | ToaiJ.pacj , 38 z.

Nuj-i$7

R-, Z

200 ,

R R. R Z Z

HZ

/ Fig .00! .

c

Mec a n i qu e, 3 Su-

cette manière lès fournies .. contraires de Momens font en-
core ici égales entr’elles.

C’eft auffi pour cela que les puiflances M , N, appli- Fie. ao$
quées du même côté que toutes les autres O, P , Q^, 10 3 -
par rapport à l’appui B dans la Fig. 20.3. y font équili-
bre avec ces trois autres puiflances , comme dans la Fig.
zo 1 . où -ces deux.-, là font de l’autre côté de cet appui
tendant vers un côté oppofé à celui vers lequel elles,
tendent dans la Fig. 2 03. & fuivant des directions qui :

Jçur donnent encore ici une fomrne de Momens égale à .
celle qu’elles ont là , rien n’ayant ( Hyp. ) changé dans, ,
les autres,.

lin. du, f remuer Tome. .

I *

*

$

-I

.

a

I

y

■' -jf,

(

$}■ !.'■' j «ÏV &*• ; rî' , ^'?v'- • " i*' «

«WiJ

«B&i -B

i ’ y 'jfOlv • V?

à, * ,j SB®

%\ 'ï i i; âE‘v^>^s^^ r lêr - ' : ^i

| ■ Ma ■ ' ■

I»:, 1 V -^>5

1 la

a ourmïf ict

■ "** \\ak

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

i ^ ^ llïlll|li

i

;

iiSS

# ; ■ J

r f «

êSÊâfê il

;^9iï J

i

1

/ " J

fejCfcj-yî

ftf

#;.A 1

V"

IJ» *

'WïV? ’ .

t„LA : /

i vlll

|'^|(' ;H/ ’O
jlpÆjljw!,' :“ja

; y-" 1 ' .if ,• J

1 / • '

®Jip9 tf --v'